Los estudios del CIS

El CIS es el centro de investigaciones sociológicas y desarrolla su función de análisis y conocimiento científico de la sociedad española mediante la realización de encuestas y estudios cualitativos. Estos estudios se llevan a cabo, bien a iniciativa del propio organismo, bien a través de acuerdos con instituciones públicas o privadas sin ánimo de lucro.

Hoy hemos quedado con María José Real, que trabaja en el CIS desde hace varios años y nos puede explicar un poco el funcionamiento del centro.

- Hola, María José.

- Hola, os doy la bienvenida a mi lugar de trabajo.

- Gracias. Nos gustaría que nos explicaras un poco a qué se dedica el CIS.

- Bueno, la verdad es que dicen que una imagen vale más que mil palabras. Por lo que supongo que, después de haber entrado en la página web del centro, el siguiente vídeo os podrá dar una idea de lo que hacemos aquí.

Investigaciones con estadística. Vídeo de Mariano Real en Youtube
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- Impresionante. Y tu ¿a qué te dedicas concretamente en el centro?

- Básicamente, al análisis de datos y a la obtención de medidas de referencia. En cada estudio que realizamos se obtienen datos de un puñado de personas que después debemos extrapolar a toda la población. Los estudios que realizamos tienen un proceso complejo que siempre se repite. Primero debemos trabajar para determinar el conjunto de personas al que vamos a preguntar o al que les vamos a hacer un seguimiento. Es decir, las personas de las que vamos a obtener los datos. Una vez que tenemos los datos que deseamos, debemos analizarlos meticulosamente y obtener medidas de referencia que podamos, posteriormente, aplicar a toda la población. Aquí es donde yo desarrollo mi trabajo. Para finalizar el proceso, extendemos el estudio a toda la población y hacemos públicos los datos con los errores que hayamos detectado. Esta última fase es la más complicada.

- ¿Nos podrías poner un ejemplo?

- Sí, uno que la mayoría de la gente conoce. Cuando hacemos un estudio sobre la intención de voto, primero hacemos una especie de sorteo del que salen las personas a las que les vamos a preguntar. Después, entrevistamos a esas personas obteniendo el dato que queremos: la intención de voto de cada una de ellas. Posteriormente, analizamos estos datos y obtenemos la intención de voto de ese grupo de personas, que sería lo que yo haría. Para finalizar, hacemos extensible esa intención de voto a toda la población, teniendo en cuenta que existe un error controlado que estamos cometiendo.

- Muy interesante, María José. Gracias por tu habernos atendido.

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Matemáticas 3º E.S.O. CeDeC.

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Retrato de familia

Tarea

Parece que el trabajo que realiza María José en el CIS es bastante crucial de cara a los resultados finales y a la información que se da a conocer. Por este motivo, hemos vuelto a contactar con ella para que nos dé más información sobre su trabajo.

- Hola nuevamente, María José.

- Hola, encantada de volver a estar con vosotros.

- Como nos pareció bastante interesante el trabajo que realizas aquí, he venido con otra persona para que le expliques el trabajo que realizas en el CIS. También nos gustaría pedirte que nos sugirieras alguna actividad que podamos llevar a cabo en clase.

- Claro que sí, hay muchas. Yo voy a proponerle dos tareas que seguro sabrá resolver. Supongo que cuando realizas varios exámenes en clase, cada uno con su nota, sabes cómo calcular la nota final que vas a sacar. Bien, pues las dos tareas van a ir encaminadas por ahí. Para la primera, te voy a pedir calcular la edad media de los miembros de tu familia.

- Muy bien, . ¿Y para la segunda?

- Para la segunda vamos a proponer realizar un retrato de familia. Se trataría de imaginar que tenemos que hacer un retrato de todas las personas que viven en nuestra casa. Pero queremos hacer algo artístico, de forma que los ojos de todos aparezcan lo más cercanos posible a la mitad de la fotografía. ¿A qué altura pondríamos la cámara de fotos?

Ojedamd. FamiliaOjeda (CC BY-SA)

- La verdad es que esto nunca me lo hubiera planteado, pero ahora me ha picado la curiosidad. Según nos contaste, el CIS realiza investigaciones sociológicas y posteriormente las publica.

- Así es. Pero no solamente el CIS se dedica a realizar este tipo de estudios. Existen multitud de empresas que se dedican a ello y es normal que aparezcan en los medios de comunicación. Esta también podría ser una tarea interesante para los alumnos.

- ¿En qué consistiría exactamente esa tarea?

- En este caso, la tarea va a consistir en localizar en los medios de comunicación a través de Internet algún tipo de estudio estadístico como los que os comenté la primera vez que nos vimos. Como me ha dicho que tenéis un blog de aula, los chicos podrían hacer una entrada en el mismo en la que cuenten cuál es el tema que trata el estudio que habéis localizado y qué utilidad puede tener. En esa entrada incluirán poner un enlace al lugar de Internet en el que aparece. La entrada deberá de tener dos etiquetas. La primera de ellas será la primera letra del nombre seguida del primer apellido y la segunda será la palabra CIS.

- ¿Te atreverías a decirle cómo debe entregar las dos primeras tareas que le has puesto?.

- Para las dos primeras tareas que anoten todos los datos necesarios en el cuaderno y todos los cálculos necesarios. Para finalizar, pueden compartir con sus compañeros y compañeras los resultados obtenidos y la forma de obtenerlos. 

- ¡Eres genial, María José!

- Bueno, digamos que ser profesora ha sido y será mi deseo no cumplido, pero la verdad es que hay que estar muy preparada para hacer vuestro trabajo.

- Gracias por atendernos.

- Gracias a vosotros por esta oportunidad. Y si necesitáis más tareas solamente tienes que llamarme.

Retroalimentación

Recuerda anotar en tu cuaderno el nombre y los datos de cada una de las personas que necesites para cada una de las tareas.

Contenidos: estadística

Cada vez encontramos en Internet más artículos con una gran variedad de encuestas. Seguro que te preguntarás algunas veces si estarán bien realizadas y si su diseño estará basado en condicionar las respuestas de los encuestados. En definitiva, si los resultados obtenidos reflejan correctamente la realidad que queremos estudiar.

Arturo Mandly. Encuesta.

En esta unidad vamos a desarrollar contenidos básicos de lo que llamamos "Estadística". Esta es la ciencia con la que realizamos el tratamiento de la información de forma matemática. En ella son muy importantes tanto el método utilizado para la toma de los datos como la información que se deduce de ellos.

A veces; escuchamos críticas sobre las estadísticas y nos surge una duda: si de unos datos estadísticos se puede hacer deducir lo que se quiera. Esto es lo que intentan hacer algunos políticos ya que, tras unas elecciones, todos intentan dar la impresión de han resultado vencedores. Pero en realidad la estadística nos proporciona de una forma objetiva información sobre el tema que se esté estudiando.

Seguro que estarás de acuerdo que las estadísticas forman parte de nuestras vidas. Con ellas nos interrogamos sobre datos como el número de nacimientos anuales en nuestra población y su proporción de niños y niñas, el número de visitas a un determinado portal de Internet, los goles marcados por un jugador de fútbol a lo largo de distintas temporadas, etc.

Muchos de los datos estadísticos suelen aparecer acompañados de gráficas que nos permiten ver de un vistazo una gran cantidad de información y sacar conclusiones sobre ellas de una forma rápida e intuitiva.

En el siguiente enlace a un vídeo promocional de National Geographic, puedes ver a través de estadísticas y recuentos como será nuestra vida, en términos medios.

Conceptos básicos

Instituto Nacionalde Estadística (Dominio público)

Si te fijas bien, una gran parte de las estadísticas se basan en el estudio de datos referentes a nosotros; como la edad, estatura, peso, sexo, color del pelo, población de residencia, número de hermanos, etc. Recogemos este tipo de información y obtenemos distintos datos numéricos o gráficos, que nos hacen comprender mejor las características del conjunto de las personas que estudiamos.

En este apartado vamos a desarrollar la terminología básica que vas a tener que utilizar en los contenidos  relativos a la estadística. 

Podemos definir la Estadística como la ciencia que tiene como objetivo reunir información que; tras ser organizada, analizada e interpretada; facilita la toma de decisiones futuras.

Anota en tu cuaderno esta definición y los distintos términos que se van a trabajar a continuación.

Importante

La Estadística se divide en dos partes:

Estadística descriptiva: es la parte que se encarga de recoger, organizar, expresar gráficamente y resumir los datos que se han recogido. En ella construiremos tablas de frecuencias, agrupando los datos. También representaremos gráficamente estos datos  y calcularemos parámetros que nos indicarán claramente cómo se han distribuido los datos recogidos.

Estadística inferencial o inferencia estadística: es la parte que estudia regularidades en los datos recogidos para elaborar conclusiones futuras, permitiendo una toma de decisiones más efectiva. La bondad de esas deducciones se mide de forma probabilística. Es decir, estudiaremos cuál es la probabilidad de acertar eligiendo una opción u otra. También se pretende estudiar si se puede generalizar el estudio hecho de unos datos a toda la población. Es lo que se hace cuando se realiza una estadística de predicción de votos antes de unas elecciones.

Población y muestra

Importante

Sainz Proxy. Manifestación en Chacao (CC BY)

Veamos ahora los conceptos básicos de estadística que debes saber manejar:

Población: es el conjunto de elementos que son objeto de estudio estadístico.

Individuo: cada uno de los elementos de la población. El número total de individuos de la población se suele representar por la letra N.

Aunque tengan estos nombres, esos elementos pueden referirse a cualquier cosa y no solo a personas. Por ejemplo, podemos estudiar los televisores que se montan en una determinada fábrica, la cantidad de vehículos que se desplazan por carretera un fin de semana de agosto, o los programas de televisión más vistos en una determinada franja horaria. Cada televisor, vehículo o programa televisivo sería un individuo de ese estudio.

A veces, es necesario estudiar a todos los individuos de la población. En este caso se trata de un estudio exhaustivo. Por ejemplo, cuando se realiza el censo de población de una determinada ciudad. En general, es muy costoso, en tiempo y dinero; entrevistar a todos los elementos objeto del estudio. Por ello, se selecciona solo una parte y en este caso se dice que se trata de un estudio muestral.

Muestra: es una parte de la población con la que realmente se realiza el estudio.

Tamaño: es el número de elementos del que se compone la muestra y se suele representar por la letra n.

La elección de la muestra es muy importante para que los resultados que se extraigan de ella se puedan generalizar a toda la población. Debe haber pocos individuos, para que no sea muy costosa su realización, pero elegidos de forma que aparezcan todos los estratos diferentes que forman la población. Por ejemplo, si quisiéramos saber los gustos culinarios de la juventud actual; no bastaría preguntar a las puertas de una pizzería, pues hay una parte de jóvenes que prefieren otro tipo de comidas y no visitan este tipo de establecimientos. Si lo hiciéramos, la muestra seleccionada no sería representativa de toda la población a estudiar.

En la red

Visita el siguiente enlace y comprueba si has asimilado los conceptos anteriores, para lo cual debes resolver el pasatiempo de palabras cruzadas.

Si tienes problemas con alguno de los conceptos, vuelve a revisar las definiciones.

Importante

Fernando. La suerte (CC BY-SA)

Para seleccionar la muestra, se suele utilizar el método aleatorio; consistente en elegir al azar a los individuos de un listado en el que se encuentran numerados todos los integrantes de la población que queremos estudiar.

La selección aleatoria se puede hacer de diversas formas: con bolas o papeletas numeradas introducidas en una una bolsa o caja (cuando el tamaño de la muestra es pequeño) o mediante una calculadora científica o programas informáticos, que utilizan funciones matemáticas que nos devuelven números al azar.

Generación aleatoria con calculadora: La generación aleatoria de un número entre 0 y 1 mediante una calculadora científica se realiza mediante la tecla RAN# (en ciertas calculadoras hay que pulsar previamente la tecla de segunda función SHIFT o INV). El número que nos devuelve es un número de tres cifras decimales. Si queremos obtener un número entero aleatorio entre 1 y n bastará con multiplicar el número obtenido por el número n, sumarle 1 y tomar la parte entera.

Si, por ejemplo, queremos obtener un número entero aleatorio entre 1 y 200 realizaríamos los siguientes pasos:

1) Pulsamos las teclas SHIFT RAN # y por ejemplo nos devuelve 0,644

2) Multiplicamos 0,644 por 200 y obtenemos 128,8

3) Sumamos 1 a 128,8 y obtenemos 129,8

4) Tomamos la parte entera 129. Por tanto 129 es el número obtenido aleatoriamente. 

Como tarea; obtén, mediante el procedimiento anterior, cinco números enteros aleatorios entre 1 y 500. Anota en tu cuaderno los cálculos realizados y los números generados.

importante

Generación aleatoria mediante la hoja de cálculo del paquete ofimático OpenOffice

En OpenOffice disponemos de dos funciones que nos permiten obtener números aleatorios.

ALEATORIO():  devuelve un número aleatorio entre 0 y 1.

ALEATORIO.ENTRE(n1;n2): devuelve un número entero entre n1 y n2 incluidos ambos números. Por ejemplo, si queremos obtener un número entero aleatorio entre 1 y 100, escribiríamos en la celda en la que queremos obtener dicho número =ALEATORIO.ENTRE(1;100)

En siguiente archivo para descargar, puedes ver la generación de 10 números enteros aleatorios entre 1 y 200 en la columna A y la generación de 10 números aleatorios entre 0 y 1 en la columna C.

Descarga el documento. Generación de números aleatorios

Si guardamos la hoja de cálculo, la cerramos, y la volvemos a abrir; comprobaremos que han cambiado los números aleatorios generados.

Tarea

Elabora una hoja de cálculo con el siguiente contenido:

En la columna A debes obtener 10 números enteros aleatorios entre 1 y 500.

En la columna C debes obtener 10 números aleatorios entre 0 y 1. 

Escribe en tu cuaderno los tres primeros números obtenidos en la columna A y los tres primeros de la columna C con tres cifras decimales.

Guarda la hoja de cálculo con el título aleatorios.calc y cierra el programa openoffice.calc.

Abre de nuevo la hoja de cálculo anterior y comprueba cómo han variado los números aleatorios generados en las columnas A y C.

Retroalimentación

Utiliza las dos funciones ALEATORIO.ENTRE(n1;n2) y ALEATORIO() y el relleno automático de celdas.

Toma como referencia el archivo descargado anteriormente.

Importante

Muestreos aleatorios:

Muestreo aleatorio simple: se trata de obtener, mediante un método aleatorio, los individuos de la muestra entre los que forman la población. Este tipo de muestreo se realiza cuando los individuos de la población que vamos a estudiar tienen características  parecidas. Así, por ejemplo, usaríamos este método en el estudio de la estatura media de los alumnos de 1º de E.S.O. de una determinada clase, ya que se supone que sus alturas serán parecidas.

Muestreo estratificado aleatorio: se trata de dividir la población en grupos (llamados estratos) de características parecidas. De cada grupo se seleccionarán mediante un método aleatorio algunos individuos. El número de individuos obtenidos de cada grupo puede ser el mismo, (en cuyo caso se dice que se realiza mediante afijación igual), o proporcional al número de individuos que hay en total en dicho grupo con respecto al total de la población (en cuyo caso se llama afijación proporcional). Este tipo de muestreo nos permite obtener más información ya que, aparte de sacar resultados sobre el total de la población, nos da también información sobre los grupos (estratos) que lo forman. Siguiendo con el ejemplo anterior;  si queremos estudiar la estatura media de los alumnos de E.S.O. de una población, podríamos tomar como estratos los cuatro grupos formados por los alumnos de 1º, 2º, 3º y 4º de E.S.O.

El número de individuos que hay que seleccionar en la afijación igual en cada estrato será n₁=n₂=n₃=...= n/nº de estratos.

El número de individuos que hay que seleccionar en la afijación proporcional en cada estrato será n₁=N₁·n/N ,  n₂=N₂·n/N , n₃=N₃·n/N, .... 

En ambos casos tendremos que n₁ + n2 + n3 + ... = n

Aprende a hacerlo

Rogelio Miranad. Libros (CC BY)

Se quiere realizar un estudio estadístico mediante muestreo estratificado aleatorio de cierto tipo de información de una biblioteca. Esta contiene un total de 2000 libros distribuidos de la siguiente forma:

800 libros de Literatura.

400 libros de Geografía e Historia.

500 libros de ciencia.

300 libros de otros contenidos.

Para el estudio se quiere tomar una muestra de 180 libros y considerar como estratos los grupos de libros anteriores.

Resuelve las siguientes cuestiones:

a) Valor de N (tamaño de la población)  y de n (tamaño de la muestra).

b) Número de libros que hay que seleccionar para la muestra de cada uno de los distintos estratos si se realiza mediante afijación igual.

c) Número de libros que hay que seleccionar para la muestra de cada uno de los distintos estratos si se realiza mediante afijación proporcional.

Observa los distintos grupos que forman los libros y establece las proporciones oportunas.

Retroalimentación

a) N es igual al número total de libros, por tanto N=2000. n es el número de libros de la muestra, por tanto n=180.

b) Como existen 4 estratos, el número de libros a seleccionar de cada uno de ellos será 180/4 = 45, dado que en la afijación igual el número que se selecciona de cada estrato es el mismo. Por tanto n₁=n₂=n₃=n₄=45 .

c) En la afijación proporcional debemos realizar las proporciones basadas en la relación entre el número de libros de cada estrato y el total. Podemos recoger la información en la siguiente tabla:

Estratos =>

literatura

geografía e historia
ciencia

otros contenidos

Totales

Población =>

800
400

 500
300

2000

Muestra =>

n1

n2 

n3 

n4 

180

Por tanto n₁ = 800·180/2000 = 72, n₂ = 400·180/2000 = 36, n₃ = 500·180/2000 = 45, n₄ = 300·180/2000 = 27

Comprueba lo aprendido

Pregunta

Se quiere realizar un estudio estadístico, mediante muestreo estratificado, del número de horas que ven la televisión los individuos de una población de 3000 personas.  500 son menores de edad, 1500 tienen entre 18 y 50 años y el resto son mayores de 50 años. Sabiendo que el número total de personas seleccionadas en la muestra es 150, indicar cuál es la opción correcta en cada una de las siguientes cuestiones.

El número de individuos de la población y de la muestra es:

Sugerencia

Observa los datos suministrados en el enunciado.

Respuestas

Opción 1

a) N = 3000, n = 150

Opción 2

b) N = 300, n = 100

Opción 3

c) N = 500, n = 120

Retroalimentación

Correcto. El total de personas es 3000, por tanto N = 3000, y el número de personas que se selecciona es 150, luego n = 150.

Incorrecto. Repasa la información.

Incorrecto. Repasa la información.

Solución

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Pregunta

Si consideramos como estratos los distintos tramos de edad, el número de individuos seleccionados en cada estrato; si se realiza por afijación igual es:

Sugerencia

Observa el número de estratos que hay.

Respuestas

Opción 1

a) 45

Opción 2

b) 20

Opción 3

c) 50

Retroalimentación

Incorrecto. Repasa los cálculos y la información.

Incorrecto. ¿No crees que este número es demasiado pequeño ?

Correcto. Dado que hay 3 estratos y n=150 tenemos: n₁=n₂=n₃=150/3 = 50

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Pregunta

Si consideramos como estratos los distintos tramos de edad, el número de individuos seleccionados en cada estrato; si se realiza por afijación proporcional es:

Sugerencia

Observa el número de estratos que hay y el número de personas que contiene cada uno.

Respuestas

Opción 1

a) n₁=40, n₂=100, n₃= 10

Opción 2

b) n₁=25, n₂=75, n₃= 50

Opción 3

c) n₁=50, n₂=100, n₃= 25

Retroalimentación

Incorrecto. Repasa los cálculos.

Correcto. n₁=150·500/3000=25 , n₂=150·1500/3000=75 , n₃=150·1000/3000=50

Incorrecto. Repasa los cálculos.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Tipos de datos

Veamos ahora los conceptos estadísticos básicos relacionados con el tipo de datos que se estudian.

Se llama variable estadística o carácter a cada una de las características que pueden estudiarse de la población.

Las variables estadísticas pueden ser de dos tipos:

Cualitativas: son aquellas en la que los resultados posibles no son valores numéricos. Por ejemplo: color del pelo, tipo de ropa preferida, lugar de veraneo, etc.

Cuantitativas: aquellas cuyo resultado es un número. A su vez, las hay de dos tipos:

Cuantitativas discretas: cuando se toman valores aislados. Por ejemplo: número de amigos de tu pandilla, número de veces que vas al cine al mes, número de coches que tiene tu familia.

Cuantitativas continuas: cuando, entre dos valores cualesquiera, puede haber valores intermedios. Es decir, se toman todos los valores de un determinado intervalo. Por ejemplo: peso de las personas, nivel sobre el mar en que se encuentra tu ciudad, medida del perímetro torácico.

Comprueba lo aprendido

Lea y selecciona la opción correcta

El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo es una variable Rellenar huecos (1):

cualitativa

cuantitativa discreta

cuantitativa continua

JXUwMDNiJXUwMDE2JXUwMDE0JXUwMDBkJXUwMDA1JXUwMDFkJXUwMDE1JXUwMDE1JXUwMDFkJXUwMDFmJXUwMDE3

El número de hermanos es una variable Rellenar huecos (2):

cualitativa

cuantitativa discreta

cuantitativa continua

JXUwMDNiJXUwMDE2JXUwMDE0JXUwMDBmJXUwMDFhJXUwMDFkJXUwMDFkJXUwMDE1JXUwMDE1JXUwMDFkJXUwMDFmJXUwMDE3JXUwMDQxJXUwMDQ0JXUwMDBkJXUwMDFhJXUwMDEwJXUwMDExJXUwMDE3JXUwMDExJXUwMDE1

El número de empleados de una fábrica es una variable Rellenar huecos (3):

cualitativa

cuantitativa discreta

cuantitativa continua

JXUwMDNiJXUwMDE2JXUwMDE0JXUwMDBmJXUwMDFhJXUwMDFkJXUwMDFkJXUwMDE1JXUwMDE1JXUwMDFkJXUwMDFmJXUwMDE3JXUwMDQxJXUwMDQ0JXUwMDBkJXUwMDFhJXUwMDEwJXUwMDExJXUwMDE3JXUwMDExJXUwMDE1

El número de goles marcados por un equipo de fútbol en la liga es una variable Rellenar huecos (4):

cualitativa

cuantitativa discreta

cuantitativa continua

JXUwMDNiJXUwMDE2JXUwMDE0JXUwMDBmJXUwMDFhJXUwMDFkJXUwMDFkJXUwMDE1JXUwMDE1JXUwMDFkJXUwMDFmJXUwMDE3JXUwMDQxJXUwMDQ0JXUwMDBkJXUwMDFhJXUwMDEwJXUwMDExJXUwMDE3JXUwMDExJXUwMDE1

La velocidad de un vehículo es una variable Rellenar huecos (5):

cualitativa

cuantitativa discreta

cuantitativa continua

JXUwMDNiJXUwMDE2JXUwMDE0JXUwMDBmJXUwMDFhJXUwMDFkJXUwMDFkJXUwMDE1JXUwMDE1JXUwMDFkJXUwMDFmJXUwMDE3JXUwMDQxJXUwMDQzJXUwMDBjJXUwMDAxJXUwMDFhJXUwMDFkJXUwMDA3JXUwMDFiJXUwMDE0

Las temperaturas registradas en un observatorio cada hora son una variable Rellenar huecos (6):

cualitativa

cuantitativa discreta

cuantitativa continua

JXUwMDNiJXUwMDE2JXUwMDE0JXUwMDBmJXUwMDFhJXUwMDFkJXUwMDFkJXUwMDE1JXUwMDE1JXUwMDFkJXUwMDFmJXUwMDE3JXUwMDQxJXUwMDQzJXUwMDBjJXUwMDAxJXUwMDFhJXUwMDFkJXUwMDA3JXUwMDFiJXUwMDE0

El peso en kg de los recién nacidos en un día en España es una variable Rellenar huecos (7):

cualitativa

cuantitativa discreta

cuantitativa continua

JXUwMDNiJXUwMDE2JXUwMDE0JXUwMDBmJXUwMDFhJXUwMDFkJXUwMDFkJXUwMDE1JXUwMDE1JXUwMDFkJXUwMDFmJXUwMDE3JXUwMDQxJXUwMDQzJXUwMDBjJXUwMDAxJXUwMDFhJXUwMDFkJXUwMDA3JXUwMDFiJXUwMDE0

El color de ojos es una variable Rellenar huecos (8):

cualitativa

cuantitativa discreta

cuantitativa continua

JXUwMDNiJXUwMDE2JXUwMDE0JXUwMDBkJXUwMDA1JXUwMDFkJXUwMDE1JXUwMDE1JXUwMDFkJXUwMDFmJXUwMDE3

La profesión de una persona es una variable Rellenar huecos (9):

cualitativa

cuantitativa discreta

cuantitativa continua

JXUwMDNiJXUwMDE2JXUwMDE0JXUwMDBkJXUwMDA1JXUwMDFkJXUwMDE1JXUwMDE1JXUwMDFkJXUwMDFmJXUwMDE3

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En la red

En el siguiente enlace, puedes ver varios vídeos del INE (Instituto Nacional de estadística). En concreto te recomendamos "Un día en cifras"

Tarea

¿Es importante la estadística?

Como has podido ver en el vídeo anterior, la estadística es muy importante para un país. Pero la importancia de la estadística también queda patente en todo nuestra realidad cotidiana. Por esta razón, en esta tarea deberás localizar un vídeo en el que se compruebe o quede clara la importancia que la estadística tiene en algún ámbito de nuestra vida.

Una vez localizado, crea una entrada en el blog de aula en la que incrustes el vídeo. Explica el contenido, dejando claro por qué el vídeo demuestra la importancia de la estadística. Realiza un debate en el aula en donde se expongan diferentes puntos de vista y opiniones. La entrada deberá tener dos etiquetas. La primera será la primera inicial de tu nombre seguida de tu primer apellido y la segunda será la palabra imporestadística. 

Retroalimentación

El vídeo lo puedes buscar en Youtube por ejemplo. Recuerda revisar las condiciones y derechos de uso.

Organizando los datos

Santiago Agueda Alonso. Plaza españa las rozas (CC BY-SA)

Una vez que conoces los conceptos básicos de estadística, vamos a empezar a trabajar con ellos. Imagínate que has realizado una encuesta a pie de calle y has recogido multitud de datos de las personas que has entrevistado. ¿Qué puedes hacer ahora con ellos?

Si has preguntado sobre el estado civil; hay pocos resultados posibles: la persona puede ser soltera, casada, divorciada, viuda o formar una pareja de hecho. Si has recogido por ejemplo 120 datos, está claro que se repetirán muchas veces cada uno de ellos; por lo que lo mejor es agruparlos para poder estudiarlos mejor.

En este apartado vamos a ver como organizar los datos de los que se dispone.

En la red

En el siguiente enlace puedes ver un vídeo sobre la utilidad de la estadística y lo importante que es para mejorar el mundo.

Agrupando los datos

¿Te gusta la música?, ¿posees muchos CD/DVDs en tu casa? Aún en el caso de que no sea sí, piensa en una musipedia. Hay multitud de CDs y DVDs y, para poder tenerlos organizados de forma que sean fácilmente accesibles; deben estar ordenados. Una de las primeras formas de ordenarlos es agruparlos por los que son del mismo género. Algo parecido a lo que se hace con los CDs y DVDs es lo que vamos a hacer nosotros con los datos recogidos en una encuesta o por cualquier otro medio.

Lo que veremos en este apartado y el siguiente valdrá para las variables cualitativas y las cuantitativas discretas. En el punto siguiente sabremos qué pasa con las variables cuantitativas continuas.

Se llama tabla de frecuencias a una tabla en la que se relacionan los distintos resultados de la variable con la cantidad de veces que han aparecido dichos resultados. Un ejemplo es la siguiente en la que se recogen el número de DVDs/CDs de música de una musipedia.

Tipo de música

xi

Nº de CD/DVDs

fi

 Clásica
 200

 Pop
 500

 Jazz
 60

 Dance
 50

 Rock and roll

 120

Los conceptos que vamos a reflejar en las tablas van a tener una representación que es necesario que conozcas. Ya hemos definido en la parte anterior qué se entiende por variable estadística: lo que estudiamos de la población. Vamos a representar la variable que se está estudiando por la letra x. Si suponemos ordenados de alguna manera los posibles valores de esa variable, llamaremos x₁ al primer valor, x₂ al segundo y así sucesivamente. En general, la columna donde vamos a colocar esos resultados la encabezaremos por el símbolo xi para indicar que están todos los valores; cada uno con su subíndice u orden correspondiente.

Importante

Se llama frecuencia absoluta al número de veces que aparece un determinado resultado de la variable estadística entre todos los datos que se han recogido. Vamos a representarla genéricamente por la letra f.

Si hemos entrevistado a 600 personas, de las cuales 250 han sido hombres y el resto mujeres, la frecuencia absoluta del resultado Hombres sería 250 y del resultado Mujeres sería 350.

En la siguiente tabla de frecuencias se han recogido los datos sobre el color de pelo de 50 personas y se han agrupado según su frecuencia absoluta. Como puedes apreciar, lo único que hay que hacer es anotar los resultados posibles y al lado la cantidad de veces que se han recogido esos resultados.

Color del pelo

xi

Nº de personas

fi

Castaño
10

Moreno

 20

Pelirrojo
 15

Rubio

 5

El número total de elementos recogidos, que debe coincidir con la suma de todas las frecuencias absolutas, suele representarse por la letra N.

Comprueba lo aprendido

En un I.E.S. se está realizando un estudio sobre las faltas de asistencia de 40 alumnos de bachillerato a la primera hora de clase en el último mes. El objetivo es conocer el grado de absentismo a primera hora de clase. Se han elegido aleatoriamente 40 alumnos de bachillerato y se han obtenido los siguientes datos:

3, 1, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 0, 1, 4, 2, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 1, 0, 2

Esos datos se han agrupado en la siguiente tabla de frecuencias. Rellena los huecos correspondientes.

xi

fi

0
Rellenar huecos (1): JXUwMDZhJXUwMDAz

1
Rellenar huecos (2): JXUwMDY5JXUwMDAx

2
Rellenar huecos (3): JXUwMDZk

3
Rellenar huecos (4): JXUwMDZi

4
Rellenar huecos (5): JXUwMDY5

Habilitar JavaScript

Recuerda que la suma de todas las frecuencias debe dar en este caso 40. Si no es así, vuelve a contar con cuidado.

Ahora imagínate que te comentan que en la clase de 3º de E.S.O. A hay 12 niñas y en la clase de 3º de E.S.O. B hay 15 niñas.

A simple vista, parece que en la segunda clase la representación femenina es mayor. Sin embargo,  si te dicen que la primera clase tiene en total 20 alumnos mientras que la segunda tiene 30, la deducción ya no parece correcta.

Esto es importante a la hora de compartir resultados obtenidos por un mismo valor en distintos estudios, pues en ese caso es mejor comparar proporciones. Para ello necesitamos unos nuevos conceptos.

Importante

Se llama frecuencia relativa de un resultado al cociente entre su frecuencia absoluta y el número total de datos que se han recogido. Vamos a representarla por h. En ese caso la frecuencia relativa se calcularía como: .

El tanto por ciento de un resultado de la variable se halla multiplicando la frecuencia absoluta por 100 y dividiendo por el total o, directamente, multiplicando la frecuencia relativa por 100.

Aprende a hacerlo

Lourdes Cardenal. Valladolid colegio San Jose instalaciones deportivas (CC BY-SA)

Anota en tu cuaderno la tabla de la autoevaluación de la actividad anterior y añade una columna para la frecuencia relativa (encabezamiento hi) y otra para el tanto por ciento (encabezamiento %). La frecuencia relativa exprésala redondeada con dos decimales y el tanto por ciento sin decimales.

Retroalimentación

Debe quedarte la tabla de la siguiente forma:

xi

fi

hi

%

0
21

0,53
53

1
10
0,25
25

2
5
0,13
13

3
3
0,08
8

4
1
0,03
3

N=
40

La suma de todas las frecuencias relativas debe dar uno y la suma de los % debe dar 100. Pero, por problemas de redondeo, a veces se desvían un poco de esos valores. Es lo que ocurre en la tabla de la autoevaluación anterior, en la que las frecuencias relativas suman 1,02 y el porcentaje 102%. No importa, pero acostúmbrate a repasar los cálculos por si en algún lugar no te has acordado de redondear correctamente. 

Sigue practicando

Completa la tabla de frecuencias a partir de los datos que aparecen en la parte superior.

Cuando completes una columna o una fila de manera correcta, el título se volverá verde.

Matematicaula. Tabla de frecuencias. (CC by sa)

Para generar nuevos números, puedes hacer clic en el botón de actualizar. Anota en tu cuaderno los cálculos de varios ejercicios.

Curiosidad

La frecuencia relativa nos indica una proporción. Es decir; cuando hablamos de la frecuencia relativa de los rubios en un conjunto de personas, es el cociente entre el número de rubios respecto del total.

¿Qué pasaría si España fuese un pueblo de 100 habitantes?

Acumulando las frecuencias

Outisnn. Instituto de Enseñanza Secundaria Claudio Moyano (Zamora) (CC BY-SA)

Como hemos visto, las frecuencias que definimos pueden usarse con cualquier tipo de variable estadística. Pero hay algunas más, que complementan a las vistas, que solo se pueden utilizar cuando la variable estudiada es cuantitativa. Ello es así porque es necesario que la variable esté ordenada.

Por ejemplo, no tiene sentido preguntar quién tiene un color de pelo menor que moreno, pero sí tiene sentido preguntar cuántos alumnos han tenido menos de tres faltas a clase a primera hora. En este segundo caso, se considerarían juntos los que no han tenido ninguna falta con los que han tenido una falta y dos.

Esa idea de agrupamiento es la que vamos a trabajar con las frecuencias acumuladas.

Importante

Frecuencia absoluta acumulada de un resultado: es la suma de todas las frecuencias absolutas de ese resultado y todos lo que están antes que él. Por ejemplo: si queremos saber cuántos alumnos hay en un instituto que sean menores de edad (es decir, que tengan menos de 18 años) tenemos que sumar las frecuencias absolutas de los que tienen 12, 13, 14, 15 , 16 y 17 años. La frecuencia acumulada la vamos a representar por la misma letra que la normal pero en mayúscula. En nuestro caso usaremos la letra F.

Frecuencia relativa acumulada de un resultado: es la suma de las frecuencia relativa del resultado y de todos los anteriores. También puede obtenerse dividiendo la frecuencia absoluta acumulada entre el valor total de datos recogidos. La representamos por H

Tanto por ciento acumulado de un resultado: es la suma de todos los valores absolutos desde el primer resultado hasta el resultado elegido.

Aprende a hacerlo

En una tienda de telefonía móvil han hecho un estudio sobre el número de teléfonos móviles que tienen en su casa, para toda la familia, los clientes que han entrado a consultar en la tienda durante los cuatro últimos días. Con esos datos han creado la siguiente tabla de valores. 

Nº de teléfonos por familia

Nº de familias con

esa cantidad

 xi
 fi

 2
12

 3
16

 4
8

 5
3

 6
1

 N=
 40

Debes completar la tabla añadiendo las columnas correspondientes a las frecuencias absolutas acumuladas (Fi), relativas (hi), relativas acumuladas (Hi), % y % acumulado.

Retroalimentación

Para completar la tabla, vamos completando sucesivamente las distintas columnas de izquierda a derecha. Observa que el último dato de la columna Fi debe coincidir con el valor de N y el último dato de la última columna debe dar 100.

Nº de teléfonos por familia

Nº de familias con

esa cantidad

Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

Frecuencia

relativa acumulada

Porcentaje

acumulado

xi
fi
Fi
hi
Hi
%

% acum.

2
12

12

0,300

0,300

30
30

3
16

28

0,400
0,700
40
70

4
8
36
0,200
0,900

20

90

5
3
39
0,075
0,975
7,5
97,5

6
1

40
0,025
1,000

2,5

100

N=
40

Comprueba lo aprendido

A partir de la tabla anterior, contesta a las siguientes preguntas:

a) El número de hogares con 3 teléfonos es de Rellenar huecos (1): JXUwMDY5JXUwMDA3 .

b) El porcentaje de familias con 4 teléfonos es de un Rellenar huecos (2): JXUwMDZhJXUwMDAy %.

c) La proporción de hogares con menos de 5 teléfonos es de Rellenar huecos (3): JXUwMDY4JXUwMDFjJXUwMDE1JXUwMDA5 .

d) El número de hogares con 4 o más teléfonos es de Rellenar huecos (4): JXUwMDY5JXUwMDAz .

e) Rellenar huecos (5): JXUwMDZjJXUwMDA0 % es el porcentaje de familias con menos de 4 teléfonos.

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Debes fijarte en cada caso en cuál de las columnas debes utilizar.

Importante

Este tipo de tablas se pueden realizar fácilmente mediante la hoja de cálculo. Para ello, tendrás que usar las operaciones aritméticas necesarias, el relleno automático de celdas y la referencia absoluta a una celda como por ejemplo $B$10. También tendrás que hacer uso de la función SUMA(celda inicial; celda final) para calcular la suma de los datos de una columna.

En el  siguiente enlace a un documento de OpenOffice.calc puedes ver cómo se ha construido la tabla de la actividad de los móviles. Fíjate en las siguientes observaciones que hemos hecho:

En la celda B10 está la expresión =SUMA(B5:B9), que nos indica que debe sumar los valores de la celda B5 a la B9. Este valor, por tanto, será el correspondiente a N (suma de todas las frecuencias).

En las celdas de la columna hi puedes ver que se utiliza $B$10 para que, cuando se realice el relleno automático de las celdas de la columna, haga siempre referencia a la celda B10 (valor de N) y por tanto siempre se divida por dicho numero.

Se han formateado las celdas de las columnas  hi y  Hi a tres cifras decimales, para lo cual se han utilizado los iconos +.000 y x.000 de la barra de formatos.

Para el encabezamiento de la hoja se han seleccionado las celdas de dicha fila y se ha procedido a realizar su combinación mediante la opción formato->combinar celdas. 

Tarea

En la Casa de la Cultura de una determinada ciudad se proyectan habitualmente películas de dibujos animados para niños y adolescentes de entre 8 y 16 años. Los responsables de la actividad están interesados en saber cuál es la distribución de las edades de los niños y niñas que suelen asistir a ellas. Para ello, han preguntado a cada uno de los asistentes a una sesión su edad. Estas han sido las respuestas:

8
10
9

12
11

10
11
8
9

14

12

8

10
10

15

13

13

12

11

16

10

11

9

8

10

10

12

15

13

14

Realiza las siguientes actividades:

Confecciona en tu cuaderno una tabla en la que indiques, para cada edad, el número de niños y niñas que han asistido a la película.

Elabora con OpenOffice.calc una tabla de frecuencias y calcula todas las frecuencias vistas, incluyendo las acumuladas de forma parecida a la de la actividad de los móviles. Escribe siempre los decimales redondeados a tres cifras decimales.

Guarda la hoja de cálculo en tu ordenador con el nombre cine.ods.

Comprueba con tus compañeros si habéis obtenido los mismos resultados. En caso contrario repasad los datos y la hoja de cálculo.

Retroalimentación

Antes de empezar, revisa la hoja de cálculo de la actividad de los móviles.

Acumulando en continuo

Ya hemos visto cómo se agrupan los datos cuando se utilizan variables cualitativas y cuantitativas discretas. ¿Qué ocurre con las continuas.

La dificultad que tienen las variables continuas, al agrupar por frecuencias, lo puedes comprobar con el siguiente ejemplo:

Para las prácticas de laboratorio de los alumnos de bachillerato se van a encargar una serie de batas. Una tienda de la zona ofrece las batas de varias medidas distintas en cuanto al largo. Para poder pedir las que se necesitan, se decide hacer un estudio de las alturas de los alumnos de laboratorio. Una vez medidos los alumnos, se obtienen las siguientes estaturas (en centímetros):

183, 164, 159, 176, 173, 168, 155, 168, 162, 161, 172, 174, 178, 184, 160, 181, 165, 167, 163, 172, 178, 161, 158, 170, 179

Si pretendiéramos realizar una agrupación de los datos, como en el caso de las variables cuantitativas discretas, nos encontraríamos con que hay muchos valores distintos. En concreto,  desde el menor valor (155) hasta el mayor (184), hay 30 valores distintos. Pero, además, muchos de ellos no aparecen ninguna vez, por ejemplo el 156 o el 175. Por tanto, tendrías una tabla muy grande y con bastantes valores de frecuencia nula.

En estos casos, para evitar ese problema, lo que se hace es agrupar los datos en intervalos semicerrados. En este enlace puedes practicar los diferentes tipos de intervalos en la recta numérica.

La forma de completar la tabla es la siguiente: se cuentan cuántos valores distintos hay entre el valor mayor y el menor (en este caso es 30) y se dividen proporcionalmente en el número de intervalos que queramos conseguir. Lo normal es que el número de intervalos no sea menor que cinco ni mayor que diez.

En este caso; si quisiéramos tener cinco intervalos, necesitaríamos que su amplitud fuese de 6 centímetros cada uno. Entonces construiríamos la siguiente tabla.

Estaturas en cm

Intervalos

fi

 Fi
hi

 Hi
 %
%acum.

[155,161)

4

 4
 0,16
0,16
 16
16

[161,167)
6
10
 0,24
0,40
 24
40

[167,173)
6

16

0,24
0,64
24

64

[173,179)
5

21

0,20
0,84

20
84

[179,185)
4

25

0,16
1,00
16
100

N =

25

Lo primero es calcular la frecuencia absoluta. Para ello, sólo hay que tener en cuenta un detalle importante: los intervalos son cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha. Esto quiere decir que si tienes un valor que corresponde con dónde termina un intervalo y empieza el siguiente, ese valor debes contarlo en el segundo intervalo y no en el primero. Esta es una norma que se sigue usualmente.

Lo que debe quedarte claro es que no puedes contarla en ambos intervalos o estarías duplicando los valores y te saldrían más valores de los que has recogido.

Una vez que tengas la frecuencia absoluta, el resto se calcula como lo hemos hecho con el otro tipo de variables. Sólo hay un concepto nuevo,  que definimos a continuación.

Importante

Cuando la variable estadística es cuantitativa continua los valores se agrupan en intervalos. Todos los intervalos deben tener la misma amplitud; de forma que recojan todos los valores posibles, desde el menor al mayor. Cuando un dato es el que sirve de división para pasar de un intervalo al siguiente, sólo se contabiliza en el segundo intervalo.

Se llama marca de clase de un intervalo al valor medio del intervalo (se calcula sumando los extremos y dividiendo entre dos). Se suele considerar que los valores que están dentro del intervalo se distribuyen a un lado y otro de la marca. Equivale en total como si todos los valores del intervalo valiesen lo mismo que la marca de clase. Por eso, lo vamos a representar por x; ya que va a sustituir al valor de la variable como si fuese una variable cuantitativa  discreta.

De esta manera, la tabla anterior; al añadir la columna correspondiente a las marcas de clase (columna xi ); quedaría de la siguiente forma:

Estaturas en cm

Intervalos

 xi
fi

Fi
hi

Hi
%
%acum.

[155,161)

158
4

4
0,16
0,16
16
16

[161,167)
164

6
10
0,24
0,40
24
40

[167,173)
170

6

16

0,24
0,64
24

64

[173,179)
176

5

21

0,20
0,84

20
84

[179,185)
182
4

25

0,16
1,00
16
100

 N =
25

En el siguiente enlace puedes ver la construcción de la tabla anterior mediante OpenOffice.calc.

Aprende a hacerlo

CARNICERIA CLAN CREW. Carniceria clan (CC BY-SA)

En mi barrio acaban de abrir una pequeña carnicería. El dueño, para saber cuántos kilogramos de carne debe traer, decide hacer un estudio para saber cuántos kilogramos de carne vende en el primer mes. Las cantidades, redondeadas a kilogramos, han sido las siguientes:

13, 25, 28, 31, 24, 46, 15, 20, 32, 19, 28, 18, 21, 31, 25, 29, 35, 18, 27, 33, 26, 35, 43, 20, 35, 28, 23

Construye una tabla de frecuencias que tenga 6 intervalos de la misma amplitud, comenzando en el valor más pequeño que aparece. Escribe en la segunda columna la marca de clase. Completa la tabla con todas las frecuencias y % que hemos visto.

Utiliza OpenOffice.calc para elaborar la tabla y guárdala con el nombre carne.ods. Una vez obtenida, escribe la tabla en a tu cuaderno.

Retroalimentación

La tabla completa debe quedar como la siguiente. Compara los intervalos y asegúrate de que has colocado cada valor en el intervalo correspondiente.

Pesos en kg

Intervalos

xi
fi

Fi
hi

Hi
%
%acum.

[13,20)

16,5
5

5
0,185
0,185
18,5
18,5

[20,27)
23,5

8
13
0,296
0,481
29,6
48,1

[27,34)

30,5

9

22

0,333

0,814
33,3

81,4

[34,41)

37,5

2

24

0,074

0,888

7,4

88,8

[41,48)

44,5
3

27

0,111

0,999

11,1

99,9

N =
27

Gráficas

No exageramos si decimos que la estadística es una parte de las matemáticas omnipresente en nuestra vida. Las empresas, públicas y privadas, presentan sus campañas, su evolución y su estado actual a través de tablas de datos y gráficos. En la educación, se estudian los resultados obtenidos por el alumnado para saber si la evolución es positiva o no. En los medios de comunicación, a pesar de los llamativos titulares, mucha información se complementa y fundamenta a través de tablas numéricas y todo tipo de representaciones: en las elecciones, en la evolución de los accidentes de carretera, del precio de la bombona de butano, del rendimiento de un deportista...

I4 Circ feren diagram (Dominio público)

Como en los medios de comunicación el tiempo y el espacio son muy importatnes, cada vez es más usual que informaciones numéricas se ofrezcan mediante gráficos estadísticos. Esto se hace así por varias razones: cupan menos espacio, atraen más la atención, comparan fácilmente elementos entre sí y permiten asimilar más información de un solo vistazo. Sin embargo, hay que ser muy críticos con las gráficas que aparecen en los medios, pues no es raro que tengan errores significativos e incluso que estén manipuladas para llevarnos a confusión. Esto es especialmente habitual en el caso de la publicidad.

En este apartado vamos a ver los gráficos más usuales que se suelen utilizar en la estadística, y que encontrarás en los medios de comunicación.

Curiosidad

En muchas ocasiones, las matemáticas han avanzado gracias al esfuerzo de personas que no eran matemáticas profesionales. Sin embargo, utilizaron las matemáticas para resolver problemas cotidianos con los que se encontraban. Una de esas personas fue la inglesa Florence Nightingale (1820,1910), quien está considerada como la creadora de la enfermería moderna y una de las primeras personas en utilizar los datos estadísticos para fundamentar sus ideas.

En el siguiente enlace a un vídeo puedes apreciar cómo utilizó los gráficos estadísticos (algunos de los cuales inventó ella misma) para reducir drásticamente la mortalidad en los hospitales. 

Si, tras ver el vídeo, te apetece conocer algo más de la vida de esta apasionante mujer; puedes visitar el siguiente enlace en el que se habla de su vida, de sus conocimientos matemáticos (fue la primera mujer en ser admitida en la Sociedad Estadística de Inglaterra) y del principal gráfico que inventó. 

Con barras y sectores

Si vas a una librería y hojeas un libro ilustrado, ¿qué es lo primero en lo que te fijas? Estamos seguros de que, igual que nosotros, primero te fijas en las fotos y las ilustraciones que aparecen y, en el caso de que alguna te atraiga especialmente, después lees el pie de foto o el texto que acompañe a la ilustración.

Esta atracción por las ilustraciones es la que hace que nos sea más fácil y atractivo ver cualquier tipo de información numérica mediante un gráfico. En este apartado vamos a ver los gráficos más usuales que puedes encontrarte.

Importante

El gráfico o diagrama de sectores está formado por un círculo dividido en sectores circulares, de forma que los ángulos de cada sector sean proporcionales a la frecuencia del resultado representado.

Esta representación gráfica puede utilizarse con cualquier tipo de variable. A la hora de representar los resultados, da igual que la frecuencia sea absoluta o relativa o incluso que se trate deel %. Como el círculo completo es proporcional al total y cada sector a una parte, en todos los casos el gráfico sería el mismo.

Aprende a hacerlo

Vamos a construir el diagrama de sectores correspondiente a la siguiente distribución de colores del pelo de 100 personas.

xi

fi

Castaño
15

Negro

59

Pelirrojo

4

Rubio

22

N=
100

Retroalimentación

Hay distintos modos de calcular el ángulo que corresponde a cada valor. Uno es hacer una regla de tres. Si el total de los valores obtenidos es equivalente a 360º, la frecuencia absoluta de cada resultado será equivalente a la cantidad de grados correspondiente. Sería como  así:

Sin embargo, si despejamos de esa regla obtenemos , con lo que vemos que es equivalente a multiplicar la frecuencia relativa por 360 o multiplicar el % por 3,6. Por ello, si tenemos en la tabla de frecuencias calculada la relativa; es más rápido utilizar este segundo procedimiento.

Completamos por tanto la tabla de frecuencias.

xi

fi

hi

%

grados º 

Castaño
15

0,15
15
54

Negro

59

0,59
59
212

Pelirrojo

4

0,04
4
14

Rubio

22

0,22
22
79

N=
100

Y, por último, lo que necesitamos es dividir el círculo en partes; según la última columna. Así obtenemos el gráfico siguiente:

Puedes elaborar este tipo de gráficos fácilmente mediante la hoja de cálculo. En el siguiente enlace a un documento OpenOffice.calc puedes ver la tabla y el gráfico anterior.

Para elaborar el gráfico a partir de la tabla se ha procedido de la siguiente forma:

Se ha hecho click sobre el icono   y se ha elegido el tipo de diagrama en el cuadro de diálogo que aparece. En este caso el de sectores. 

Se han seleccionado las columnas correspondientes a los valores xi y la de los % (debes utilizar la tecla control ya que las dos columnas no son contiguas).

A continuación se ha hecho click en la opción 4. Elementos del gráfico y se ha rellenado el campo correspondiente al Título (hemos puesto DISTRIBUCIÓN DEL COLOR DEL PELO). Hemos dejada marcada la opción Mostrar leyenda.

Hemos pulsado en el botón Finalizar para obtener el gráfico en formato básico.

Para conseguir que aparezcan los % al lado de cada sector se procede de la siguiente forma:

Hacemos click con el botón sobre el cículo y seleccionamos la opción Propiedades del objeto.

En el cuadro de diálogo que aparece debes hacer click sobre la pestaña Etiquetas de datos y activar la opción Mostrar valores como porcentajes y finalmente hacer click en el botón Aceptar.

Tarea

Capture Queen. Color Your life (CC BY)

Queremos que realices un estudio sobre los colores favoritos de tus compañeros y compañeras de la clase, para lo cual debes realizar las siguientes actividades:

1º) Tú y cada uno de los compañeros de tu clase debéis decir cuál de los siguientes colores os gustan más: amarillo, azul, verde y rojo.

2º) Realiza un recuento con los resultados anteriores.

3º) Elabora mediante OpenOffice.calc una hoja de cálculo con una tabla parecida a la de la actividad anterior de la distribución del color del pelo. Crea el correspondiente diagrama de sectores.

4º) Modifica los distintos objetos del diagrama de sectores: caracteres y colores.

5º) Guarda en tu ordenador el documento con el nombre colores.ods.

6º) Comentad en grupos los resultados obtenidos y ved los distintos diagramas realizados.

Retroalimentación

Fíjate en la hoja de cálculo de la actividad anterior y la forma de calcular los grados que debe abarcar cada sector correspondiente a cada color.

Importante

El diagrama de barras es un gráfico formado por unos ejes coordenados en los que se representan, en el eje horizontal, separados regularmente, los distintos resultados de la variable y, en el eje vertical, adecuadamente dividido, los valores de la frecuencia correspondiente a cada resultado. Sobre cada uno de los resultados se eleva una barra, del mismo grosor, cuya altura equivale a la frecuencia que estemos representando.

El diagrama de barras se utiliza con las variables cualitativas y las cuantitativas discretas. Para las variables continuas, necesitaremos una variación que veremos más adelante.

Se llama polígono de frecuencias a la línea que une los extremos superiores de las barras. 

En el siguiente enlace puedes elaborar un diagrama de barras sobre el número de hijos en 30 familias.

En el siguiente enlace a un documento puedes ver el diagrama de barras elaborado con los mismos datos de la actividad sobre la distribución del color del pelo y creado con OpenOffice.calc. La forma de elaborar el diagrama es análoga a la del de sectores pero especificando como tipo gráfico el de columnas y como datos a representar las frecuencias absolutas.

Tarea

Fernando. Más bolas (CC BY-SA)

Tenemos una bolsa donde hay bolas de cinco colores diferentes: rojo, verde, azul, amarillo y turquesa. Sacamos bolas, anotamos su color y volvemos a dejarlas en la bolsa. Obtenemos el siguiente conjunto de valores:

Ro, Ve, Ve, Am, Tu, Ro, Am, Az, Tu, Ro, Ve, Tu, Am, Am, Am, Ve, Az, Ro, Az, Tu, Az, Ro, Ro, Ve, Ve.

Construye la tabla de frecuencias absoluta y relativa y dibuja los diagramas de barras y sectores correspondientes a esos datos.

Retroalimentación

Una vez que lo hayas hecho, utiliza el siguiente enlace para comprobar que has realizado correctamente la representación.

Curiosidad

A veces se representa el polígono de frecuencias sin representar el diagrama de barras. Esto suele ser muy corriente en los medios de comunicación, en los cuales es usual ver gráficas lineales a trozos que en realidad son polígonos de frecuencias. Observa, por ejemplo, el siguiente gráfico en el que se recogen los nacimientos en una población desde el año 2005 al 2010.

En el siguiente enlace a un documento OpenOffice.calc puedes ver el diagrama anterior y la tabla de datos en la que se basa. La forma de elaborar el diagrama es análoga al de sectores y de barras pero especificando como tipo gráfico el de Línea y como datos a representar las columnas correspondientes a niños y niñas. Prueba a modificar algunos de los datos de la tabla y elementos del diagrama (fuentes, colores, etc.).

Pensamos que uno de los objetivos primordiales de la educación es preparar a las personas para afrontar la vida social y laboral en que van a desenvolverse. Para que ello se haga de forma óptima, las personas deben aprender a ser críticas con aquello a lo que se enfrentan. Es por ello que cualquier consumidor de medios de comunicación debe enfrentarse a la información que le llega con criterio y examinando la veracidad o no de la noticia.

Por ejemplo, en el siguiente gráfico de tránsitos de motos y de personas menores de 18 años por una avenida podemos observar como la amplitud de los sectores no se corresponden con los porcentajes (%) que representan. Como puedes comprobar, el sector de las motos se corresponde con porcentaje del 25% (ya que abarca un cuadrante) y no un 10%. El sector de los menores de 18 años representa una zona inferior al 50% (abarca menos que un semicírculo) y no un 60% como se indica en el diagrama.

Este tipo de errores son realizados a veces de forma imprevista y otras veces de forma intencionada. Así, por ejemplo, en publicidad es muy común realizar este tipo errores con el fin de llamar la atención sobre un determinado producto o servicio, haciendo por ejemplo que las barras de un diagrama no estén realizadas todas en la misma escala, De esta forma dos barras que deberían tener poca diferencia se presenten una mucho más alta que la otra.

En en el diagramasde barras de la siguiente imagen puedes comprobar este tipo de errores. Observa las alturas y las frecuencias que representan las distintas barras. 

Observa como la columna del canal 2 está totalmente desproporcionada con respecto a las demás y la del canal 3 tiene una altura mayor al doble de la del canal 4.

Para lo continuo

En el apartado anterior hemos estudiado los diagramas estadísticos de barras y de sectores, que se emplean para la representación de variables cualitativas y cuantitativas discretas. Ahora vamos a ver cómo podemos representar gráficamente los datos asociados a una variable cuantitativa continua.

Importante

El histograma es la representación típica para las variables estadísticas cuantitativas continuas. En este caso, en el eje de abscisas se distribuyen los extremos de los intervalos de forma adecuada. Sobre cada intervalo se eleva un rectángulo cuya superficie es igual a la frecuencia que corresponde a ese intervalo.

Como es usual dar la misma amplitud a cada intervalo, lo usual es hacer coincidir la altura del rectángulo con la frecuencia representada.

En los histogramas también se puede dibujar el polígono de frecuencias, que es la línea poligonal que une los puntos medios superiores de los rectángulos.

Aprende a hacerlo

Estaturas en cm

Intervalos

fi

[155,161)

4

[161,167)
6

[167,173)

6

[173,179)

5

[179,185)

4

N =

25

Vamos a construir el histograma correspondiente a la distribución de las estaturas de los alumnos de bachillerato recogidas en la tabla.

Retroalimentación

Tenemos que colocar los extremos de los intervalos separados uniformemente, según la amplitud de los intervalos, y posteriormente levantar un rectángulo de altura igual a la frecuencia del intervalo. Nos quedará un gráfico como el siguiente:

En el siguiente enlace a un documento OpenOffice.calc puedes ver el diagrama anterior, incluyendo el polígono de frecuencias y la tabla de datos en la que se basa. 

Para elaborar el histograma se ha procedido primero a generar un diagrama de tipo de barras tal y como se ha realizado en el apartado anterior. Para que las barras queden juntas, deberás hacer click con el botón derecho encima de una de las columnas y en el cuadro de diálogo que aparece pulsar sobre la opción Propiedades del objeto. En la pestaña Opciones deberás poner a 0% el campo correspondiente a Espacio.

Para conseguir poner las distintas estaturas en el eje horizontal, deberás modificar el título del eje x adaptándolo correctamente a las marcas de las barras. Otra opción es que, en vez de colocar las estaturas, se coloquen los intervalos de ellas; lo cual es más sencillo. Basta con seleccionar como columna de etiquetas la columna de los intervalos y permitir que se muestren.

Una vez hecha una etiqueta, por ejemplo la del eje x, puedes copiarla y pegarla. El problema es que la que pegues no podrás modificarla, por lo que deberás realizar todos los ajustes de colores, fuente, etc. sobre la original y a continuación realizar la copia.

Para añadir el polígono de frecuencia tendrás que elaborar otro diagrama como el anterior pero de tipo Líneas. Deberás modificar el polígono que aparece colocándolo encima del diagrama de barras y haciendo coincidir los vértices con los puntos medios de la parte superior de las columnas. Una vez que has conseguido ajustarlo, deberás copiar dicho objeto y pegarlo en el otro diagrama y colocarlo correctamente.

Tarea

La siguiente tabla es la correspondiente a la actividad sobre la carnicería de tu barrio que realizaste en el apartado Acumulando en continuo. Recuerda que la columna de la frecuencia absoluta representa el número de días del mes en los que se ha comprado un número de kilogramos de carne correspondiente a cada intervalo.

pesos en kg

Intervalos

fi

[13,20)

5

[20,27)
8

[27,34)

9

[34,41)

2

[41,48)

3

N =

25

Realiza el histograma correspondiente a partir del documento que creastes con OpenOffice para dicha actividad. Guarda posteriormente el documento con el nombre carne-histograma.ods.

Retroalimentación

Fíjate en el histograma elaborado en la actividad anterior.

En la red

En este apartado hemos trabajado con los diagramas más usuales que se utilizan en estadística, pero en todos ellos se pueden modificar sus condiciones para presentarlos de distintas formas. En el siguiente enlace puedes ver variaciones de todos los modelos que hemos visto y otros diferentes. 

Parámetros estadísticos

Ya hemos visto cómo se organizan los datos y cómo representarlos. Ahora vamos a estudiar cómo sacar información precisa sobre su distribución.

Como has podido comprobar, la estadística tiene una gran importancia en los medios de comunicación. Si sigues la información que nos llega a través de radio, prensa o televisión, seguramente habrá muchas personas famosas de las que habrás oído hablar aunque no se dediquen a parcelas sociales por las que tú tengas especial interés. Por ejemplo, aunque no seas una persona aficionada al fútbol, seguro que habrás oído hablar del fichaje del futbolista Cristiano Ronaldo. O aunque no seas aficionado al cine, habrás oído hablar, quizás hasta la saciedad, de Penélope Cruz. Y puede que no seas un adicto a la lectura, pero seguro que conoces algo sobre el personaje de Harry Potter. Estamos seguros de que has escuchado hablar de estos personajes reales o ficticios porque, aunque el ambiente en el que se desarrollan no te atraiga, son fenómenos mediáticos que inundan en determinados momentos todos los medios.

Este proceso el que vamos a conocer en este apartado: cómo una gran cantidad de datos puede reducirse a un sólo valor que indicará información sobre ese conjunto de valores.

Imagina que eres una persona aficionada a la cocina y que has preparado un nuevo plato que presentas a tu familia. Quizás alguno de ellos, después de probarlo, exclame "este plato se merece un 9" o incluso un 10. Esa puntuación que se le da al plato puede depender de muchos factores: la originalidad, la textura, el sabor, la presentación, la cantidad, los productos y condimentos utilizados, etc. En este tema vamos a plantear algo similar. Vamos a buscar unos pocos valores que nos den información sobre la población que estamos estudiando.

Flavio Lorenzo Sánchez. Ensalada templada de bacalao, cebolla en texturas, escabeche de manzana, brotes y emulsión de bacalao (CC BY-SA)

Se llaman parámetros estadísticos a unos pocos valores que resumen las características fundamentales de una serie estadística de datos y se pueden clasificar en tres tipos: de centralización, dispersión y posición.

Centralización

David Evers. Pyramid panorama (CC BY)

Hay conceptos estadísticos que seguro que utilizas muy a menudo, aún sin darte cuenta. Si tienes tantos hermanos o hermanas mayores como menores, entonces tú eres el hermano mediano (o hermana mediana, según el caso). Si utilizas algo que está de actualidad, es porque estás a la moda, es decir, te relacionas con lo que más gente usa en esos momentos. Si te gusta salir los fines de semana de marcha, seguro que unos días gastarás más que otros. Pero si quieres saber cuál es el gasto medio al mes deberás calcular la media estadística de los gastos de cada fin de semana. Estos tres conceptos tan elementales son los que vamos a desarrollar.

Los Parámetros de centralización son aquellos valores en torno a los cuales están agrupados los datos. Básicamente, son los valores centrales del conjunto de valores recogidos y representan, de forma global, a toda la población o la muestra.

Importante

Manuel Martin Vicente. Escaparates en las calles de Madrid (CC BY)

Se define la moda como el valor que más se repite entre los datos de que disponemos. Sería el resultado de la variable con mayor frecuencia absoluta. Vamos a representarla por Mo.

La moda es el único parámetroestadístico que puede utilizarse con cualquier tipo de variable. En concreto, es el único parámetro que tiene sentido calcular en las variables cualitativas.

Tiene además la particularidad de ser el único que puede tomar más de un valor. Por ejemplo, si disponemos de 6 monedas de 1 €, 1 €, 2 €, 0,50 €, 0,50 € y 0,20 €; la moda correspondería a los valores 1 € y 0,50 €, ya que ambas se repiten dos veces.

Comprueba lo aprendido

En una pequeña empresa, trabajan siete empleados que, según el tiempo que llevan en la empresa y el trabajo que desarrollan, cobran distintos salarios. Los salarios mensuales de los empleados, en euros, son los siguientes: 805, 950, 950, 950, 1200, 1200, 2100.

La moda de esos valores es de Rellenar huecos (1): JXUwMDYxJXUwMDBjJXUwMDA1 euros.

Habilitar JavaScript

Recuerda: la moda es el valor que más veces se repite.

Comprueba lo aprendido

Pregunta

En la siguiente tabla se recoge el color del pelo de un grupo de 50 personas.

Color del pelo

xi

Nº de personas

fi

Castaño
10

Moreno

20

Pelirrojo
15

Rubio

5

¿Cuál de las siguientes opciones es la moda del color del pelo?

Sugerencia

Observa las frecuencias absolutas y aplica el concepto de moda.

Respuestas

Opción 1

a) Rubio

Opción 2

b) Moreno

Opción 3

c) Pelirrojo

Retroalimentación

Incorrecto. Fíjate bien en las frecuencias absolutas.

Correcto. La mayor frecuencia absoluta es 20, que se corresponde con el color moreno.

Incorrecto. Repasa el concepto de moda.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Los restantes parámetros estadísticos se utilizan cuando la variable es cuantitativa.

Importante

Joan Sorolla. La carretera de Valldoriolf (CC BY)

Si suponemos que los datos están ordenados numéricamente de menor a mayor, la mediana es el valor que está en el centro, es decir, el valor que tiene por delante la mitad de los valores y por detrás la otra mitad. La representaremos por Me.

Para su cálculo hay que distinguir si los datos están agrupados o no por intervalos. En el caso de que los datos estén agrupados por intervalos, la mediana coincide con el segundo cuartil, concepto que estudiaremos en el apartado correspondiente a los parámetros de posicionamiento.

Cuando los datos no están agrupados por intervalos, se procede de la siguiente forma para el cálculo de la Me:

Si el número de valores que tenemos es impar, la mediana será el que ocupe el valor central. Por ejemplo, si el número de personas que viven en los distintos pisos de un bloque de viviendas son: 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6; la cantidad mediana de personas que viven en esos pisos sería de 4 personas.

Si el número de valores de los que disponemos fuese par, entonces la mediana es la semisuma de los dos valores centrales. Y no importa que obtengamos un valor decimal, aunque parezca no tener sentido en el contexto. Si en el ejemplo anterior hubiese una vivienda más con tres personas, entonces los valores centrales serían el 3 y el 4, por lo tanto, la mediana sería

Comprueba lo aprendido

Daniel Lobo. Industria (CC BY)

Considera de nuevo el ejercicio de los sueldos de los empleados de la empresa. Estos eran: 805, 950, 950, 950, 1200, 1200, 2100.

El sueldo que correspondería con la mediana sería Rellenar huecos (1): JXUwMDYxJXUwMDBjJXUwMDA1 euros.

Si consideramos también el sueldo del gerente, que cobra 2.500 euros, entonces la mediana de esos valores sería un sueldo de Rellenar huecos (2): JXUwMDY5JXUwMDFmJXUwMDFlJXUwMDA3JXUwMDAy euros.

Habilitar JavaScript

Recuerda que si hay un número impar de valores es el término central. Si la cantidad es par, es la mitad de la suma de los dos centrales.

Importante

Nos queda por ver el parámetro central por excelencia: la media. Desde que comenzamos a estudiar la secundaria, dominamos muy bien qué es la media y como se calcula. Piensa que las notas que nos han puesto en nuestras evaluaciones suelen haber sido calculadas utilizando ese parámetro.

La media es el valor promedio del conjunto de valores que estamos trabajando. Suele representarse por. Suele considerarse a la media como el centro de gravedad de la distribución de valores y, como veremos, no tiene por qué estar exactamente en la mitad.

Se calcula sumando todos los valores obtenidos y dividiendo entre el número total de datos. Si los datos que tenemos son x₁, x₂, x₃, ... hasta el valor xN, entonces la media vendría dada por la expresión.

La media equivale al valor que obtendríamos si reuniésemos todo el valor completo de la variable y lo repartiésemos a partes iguales entre todas las observaciones que hubiésemos hecho.

Aquí tienes un ejemplo. Si sumamos los sueldos de todos los empleado,s tendríamos 805+950+950+950+1200+1200+2100 = 8155 €. Si ahora calculamos la media, obtenemos:

Si supusiésemos que el sueldo de todos los empleados era igual, sería precisamente ese valor medio, ya que la suma de todos los sueldos valdría lo mismo: 805+950+950+950+1200+1200+2100 = 8155 = 1165 · 7.

Aprende a hacerlo

Jorge. mercurio (CC BY-SA)

En una mediana empresa quieren realizar un estudio sobre el número de empleados que faltan al trabajo por encontrarse enfermos. Durante dos semanas van anotando la cantidad de personas que faltan, obteniendo los siguientes datos:

1, 0, 2, 1, 1, 5, 1, 0, 0, 3, 2, 1

Calcula el número medio de empleados que han faltado al trabajo en esas dos semanas.

Retroalimentación

Si aplicas la fórmula que hemos visto, obtendrás el valor

La media suele darse con una o dos cifras decimales.

Curiosidad

Los valores extremos de la distribución que hayamos tomado no suelen afectar a la mediana, pero si afectan a la media. Si hay algunos valores muy grandes, hacen aumentar la media; mientras que si hay valores muy pequeños respecto de los demás, hacen que la media disminuya. Por eso, la media no está a veces exactamente en el medio, como sí le pasa a la mediana.

Con tablas

Chapuisat. Centro Comercial Avenida M40 (CC BY)

Ya sabes calcular los parámetros centrales de un conjunto de datos. Pero, ¿te servirá lo aprendido en todos los casos? Si quieres saber cuál es el gasto mensual medio que tienes de leche en tu casa, no hay mucha dificultad. Basta hallar la media de los litros de leche que habéis consumido durante los doce meses de un año. Pero si fueses el gerente de una cadena comercial con miles de empleados y quisieras saber cuál es la edad media de tus empleados, sería más complicado

Si recuerdas el ejemplo de los sueldos de apartado anterior, había tres empleados que cobraban 950 euros. A la hora de hallar la media, podíamos sumar tres veces ese valor o calcular 950·3. En el caso de tres no parece muy interesante, pero si se repitiera el mismo sueldo 231 sería distinto: no costaría igual tener que sumar 231 veces una misma cantidad en lugar de multiplicarla por 231. Por es,o cuando tenemos muchos datos, los cálculos de los parámetros se realizan a través de la tabla de frecuencia.

Importante

El cálculo de los parámetros de centralización a través de las tablas de frecuencia se realiza de la siguiente forma:

Mediana: como los valores están ordenados en la tabla de frecuencias, el procedimiento consiste en calcular la frecuencia absoluta acumulada. Se divide el número total de datos recogidos (N) entre dos. El primer valor cuya frecuencia absoluta acumulada supera a esa cantidad, es el valor mediano. Esto es debido a que si escribiésemos todos los valores ordenados uno detrás de otro, la frecuencia acumulada nos indicaría hasta qué lugares llegaban cada uno de los distintos valores.

Si la mitad de N coincide exactamente con el valor de la frecuencia acumulada de un valor, estaríamos como en el mismo caso del apartado anterior cuando teníamos un número par de valores. En ese caso, la mediana es la semisuma de ese valor y el siguiente.

Media: en lugar de sumar cada valor todas las veces que aparezca, multiplicamos el valor de la variable por la cantidad de veces que aparece (frecuencia absoluta). La suma de todos esos valores la dividimos entre el número total de valores recogidos. Se aplicaría la fórmula siguiente:

Si en lugar de valores de una variable discreta, tuviésemos valores de una variable continua, el proceso es muy similar. En este caso, en lugar de moda se habla de intervalo modal y, de momento, en lugar de mediana hablaremos de intervalo mediano.

Para hallar la media, únicamente hay que tener en cuenta que se toma como valor xi de la variable el de la marca de clase. En este enlace puedes encontrar la definición de marca de clase y ejercicios donde se utiliza para calcular la media de datos agrupados.

Aprende a hacerlo

nº de televisores | nº de hogares
0 | 6
1 | 30
2 | 28
3 | 21
4 | 9
5 | 6

En el estudio del número de televisores por familia de un barrio se ha recogido la información que se muestra en la tabla.

Calcula la moda, la mediana y la media de esos valores.

Retroalimentación

En primer lugar construimos la tabla de frecuencias y le añadimos la columna de las frecuencias acumuladas (Fi) y la columna de los productos (fi·xi) y añadimos una fila con los totales.

xi
fi

Fi
xi·fi

0

6

6

0

1

30

36

30

2

28

64

56

3
21

85

63

4

9

94

36

5

6

100

30

Totales =

100

215

Moda:

Observa que la mayor frecuencia absoluta es 30 correspondiente al valor 1, por tanto la moda es 1. Moda = 1.

Mediana: 

Tenemos que N=100, por tanto su mitad es 50.

Observa que el primer valor en el que se alcanza el valor de 50 en las frecuencias absolutas acumuladas (Fi) es en el valor x=2 correspondiente a F = 64.

Por tanto, la mediana es 2. Me = 2

Media:

En el siguiente enlace a un documento OpenOffice.calc puedes ver el cálculo de la media de la actividad anterior. Observa como para totalizar las columnas, se utiliza la función SUMA.

Comprueba lo aprendido

Javier Lastras. Espárragos Naturales Cocidos al Vapor (CC BY)

Una empresa envasadora de espárragos blancos quiere estudiar la posibilidad de lanzar al mercado envases de dos tamaños. Uno para productos más grandes, lógicamente de mayor precio, y otro para los elementos más pequeños. Para ello hace un estudio aleatorio del tamaño de espárragos que va envasando, obteniendo los siguientes resultados:

Medida en cm. Intervalos

Nº de espárragos fi

[7,9)
25

[9,11)
172

[11,13)
311

[13,15)
413

[15,17)
79

Completa la tabla con la frecuencia acumulada, la marca de clase y los valores xi·fi. Después, calcula los parámetros de centralización y contesta a las siguientes preguntas:

a) El intervalo modal es [ Rellenar huecos (1): JXUwMDY5JXUwMDAy , Rellenar huecos (2): JXUwMDY5JXUwMDA0 ).

b) El intervalo mediano es [ Rellenar huecos (3): JXUwMDY5JXUwMDAw , Rellenar huecos (4): JXUwMDY5JXUwMDAy ).

c) La media, redondeada a dos decimales, vale Rellenar huecos (5): JXUwMDY5JXUwMDAzJXUwMDFlJXUwMDFiJXUwMDA3 .

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La tabla completa que habrás obtenido es:

Medida en cm. Intervalos
Marca de clase xi
Nº de espárragos fi
Fi
xi·fi

[7,9)
8
25
25
200

[9,11)
10
172
197
1720

[11,13)
12
311
508
3732

[13,15)
14
413
921
5782

[15,17)
16
79

1000
1264

N =

1000

12698

Curiosidad

Hemos comentado que la mediana y la media no tienen sentido en las variables cualitativas. No obstante, a veces, para poder sacar esa información incluso en datos no numéricos, lo que se hace es codificar las respuestas. Por ejemplo, a veces  te habrás encontrado encuestas en las que, al preguntarte sobre cuál es tu grado de satisfacción con un determinado servicio, te habrán pedido que elijas un número del 1 al 5 (el 1 significa nada satisfecho y el 5 muy satisfecho).

De esa forma se evalúan los datos numéricos correspondientes y se pueden hallar todos los parámetros.

Mario Antonio Pena Zapatería. Trabajando con tres pantallas (2 PCs) (CC BY-SA)

Una vez que has llegado a este punto, suponemos que ya dominas los parámetros de centralización. Debes recordar siempre que esos parámetros representan valores alrededor de los cuales se agrupan los datos recogidos en el estudio estadístico. La moda es donde hay más, la mediana es el punto medio exacto de los datos y la media equivale al centro de gravedad de la distribución de valores. Pero, como es lógico, con esos valores no es suficiente para tener toda la información sobre los datos.

Por si no te ha quedado clara la dificultad de utilizar sólo los parámetros estadísticos centrales imagina un ejemplo. Hemos preguntado a 15 personas sobre las veces que se conectan al día a Internet fuera de su trabajo y, tras estudiar las respuestas, nos ha salido una media de 3 veces al día, ¿es esa suficiente información? Posiblemente esa sola no nos sirva, ya que puede haber muchos casos. Por ejemplo, puede darse el caso de que prácticamente todos dediquen el mismo tiempo o que haya unos que dediquen muy poco tiempo y otros mucho.

Precisamente por esta dificultad es por lo que necesitaremos más parámetros estadísticos que vamos a desarrollar a continuación.

Dispersión

Andy Wright. Nectarina (CC BY)

Ya hemos comentado que uno de los parámetros estadísticos fundamentales es la media. Se utiliza en multitud de ocasiones: muchos elementos se fijan en función de los valores medios que se realizan en estudios y todo parece depender de ella. Por eso no es de extrañar que los parámetros que vamos a ver en esta sección estén todos pendientes de la media. Así por ejemplo, si tenemos una caja de nectarinas, lo normal es que no todas tengan el mismo tamaño y es lógico que nos fijemos en si hay una gran variación entre ellas o son todas parecidas.

Se llaman parámetros de dispersión a una serie de valores que indican lo concentrados o separados están los datos entre sí y respecto a la media.

Importante

Se llama recorrido o amplitud del rango a la diferencia entre el valor más pequeño y el más grande que se ha recogido. Nos da una primera idea de si los datos están agrupados o están muy separados, al menos en lo que respecta a los valores menores y mayores.

Aprende a hacerlo

En el estudio del número de hijos por familia de un barrio se ha recogido la información que se muestra en la tabla.

nº de hijos

xi

nº de familias

fi

0
6

1
30

2
20

3
10

4
5

5
1

Determina el valor del recorrido o amplitud del rango.

Retroalimentación

El valor más pequeño del nº de hijos es 0 y el mayor 5, por tanto el recorrido o amplitud del rango es 5-0 = 5

En otro estudio realizado sobre la estatura de los alumnos de una clase se ha obtenido como menor estatura 150 cm y como mayor 170 cm ¿Cuál es el recorrido o amplitud del rango de las estaturas?

Retroalimentación

La diferencia entre el valor mínimo y máximo es 170-150=20. Por tanto, el recorrido o amplitud del rango es 20 cm.

Comprueba lo aprendido

Pregunta

En el estudio del peso de distintas piezas de melocotones se ha obtenido un peso mínimo de 50 g y un máximo de 85 g. ¿Cuál es el recorrido o amplitud del rango de los pesos?

Sugerencia

Aplica lo aprendido en los ejemplos anteriores.

Respuestas

Opción 1

a) 50 g

Opción 2

b) 35 g

Opción 3

c) 85 g

Retroalimentación

Incorrecto. Mira bien los datos.

Correcto. 85-50 = 35

Incorrecto. Repasa el concepto de recorrido.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Pregunta

En el estudio de las ciruelas de una determinada producción se han obtenido los datos del calibre  en cm que aparecen en la tabla. El estudio se ha hecho a partir de una muestra de 140 piezas. ¿Cuál es el recorrido o amplitud de rango de los calibres de las piezas de ciruelas estudiadas?

xi
fi

[5,6)
30

[6,7)

50

[7,8)
40

[8,9)
20 

Sugerencia

Observa los valores mínimos y máximos.

Respuestas

Opción 1

a) 5,5 cm

Opción 2

b) 6 cm

Opción 3

c) 4 cm

Retroalimentación

Incorrecto. Mira bien los valores.

Incorrecto. Mira bien los valores.

Correcto. El valor mínimo es 5 cm y el máximo es 9 cm, por tanto el rango es 9-5 = 4 cm

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Importante

Se define la desviación típica  a la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las diferencias de las medidas obtenidas con la media de los datos. Se representa mediante la letra griega σ (sigma minúscula). Dicho valor se puede obtener mediante cualquiera de las siguientes expresiones:

La segunda expresión es la que normalmente se suele utilizar ya que, si nos basamos en la tabla de frecuencias, basta añadir una nueva columna correspondiente a xi²·fi y totalizarla.

La desviación típica nos da información sobre cómo se desvían los datos respecto a la media, de forma que cuanto mayor sea más alejados están los datos de ella.

Al cuadrado de la desviación típica se le llama varianza, varianza = σ², que es otro parámetro de dispersión que también se suele utilizar en estadística.

Aprende a hacerlo

Vamos a retomar el ejercicio del número de hijos por familia del barrio. Teníamos la tabla siguiente:

nº de hijos

xi

nº de familias

fi

0
6

1
30

2
20

3
10

4
5

5
1

Vamos a calcular su media y su varianza.

Retroalimentación

A la tabla vamos a añadirle dos nuevas columnas: una con los valores de xi·fi y otra con los valores xi²·fi. Para obtener la última columna basta con multiplicar el valor de la columna anterior por su valor xi.

Añadimos también una fila con los totales y procedemos a realizar los cálculos con dos cifras decimales.

xi

fi

xi·fi 

xi²·fi

0
6
0
0

1
30
30

30

2
20
40

80

3
10
30

90

4
5
20

80

5
1
5

25

 Totales
 72
125

305

La media ya será: .

La desviación típica será por tanto:

Como puedes ver, el cálculo a partir de los datos de la tabla es bastante sencillo.

En el siguiente enlace a un documento OpenOffice.calc puedes ver el cálculo de la media y de la desviación típica de la actividad anterior. Observa que hemos introducido dos nuevas funciones:

REDONDEAR(Número a redondear;nº de decimales): redondea un número con el número de cifras decimales que se indique. Por ejemplo, REDONDEAR(5,456;2) redondeará el número 5,456 a dos cifras decimales y por tanto nos devolverá el valor 5,46.

RAÍZ(número) , devuelve la raíz cuadrada del número que se especifique. 

Tarea

Jose Luis Cernadas Iglesias. Tachiño (CC BY)

Mediante la siguiente tarea queremos que realices un estudio del número de animales que tienen en su casa distintas familias de tu entorno más cercano: tus propios familiares, amigos y algunos de tus compañeros. Para ello debes realizar las siguientes actividades:

1) Selecciona 12 personas que no vivan en la misma casa y pregúntales cuántos animales tienen en casa.

2) Recoge la información en una tabla de frecuencias creándola con OpenOffice.calc.

3) Añade a la tabla las columnas necesarias para poder calcular la media y la desviación típica.

4) Calcula, utilizando dos cifras decimales, la media y la desviación típica.

5) Representa en un diagrama de barras o de sectores la distribución del número de animales. 

6) Analiza los resultados obtenidos, indicando si existe o no una gran dispersión de los datos.

Una vez que hayamos terminado el proceso,  guarda el archivo en tu carpeta personal y realiza una entrada en el blog. El titulo de la entrada estará formado por dos partes, la primera será la inicial de tu nombre y tu primer apellido y la segunda será animales.

Utiliza dicho documento para realizar una exposición a tus compañeros y explicarles los resultados obtenidos del estudio.

Retroalimentación

Aplica los distintos conocimientos que has aprendido sobre OpenOffice.calc y el cálculo de la desviación típica y su significado.

Posición

Javier Pais. Minutos antes de las diez... (CC BY)

¿Has estado alguna vez en un importante museo, en un concierto de un artista de éxito o en unos grandes almacenes a principio de mes? Seguro que recordarás las largas colas. Donde las colas de espera están bien organizadas, nosotros hemos encontrado indicaciones como estas: primero un letrero que indicaba "a partir de aquí 30 minutos de espera", unos metros más adelante otro de "desde aquí 15 minutos" y así sucesivamente. Es una forma de compartimentar la cantidad de personas que esperan y el tiempo que se tardará en llegar a la entrada o ventanilla. Algo similar hacen los parámetros que vamos a ver a continuación.

Se llaman parámetros de posición aquellos que dividen a los datos obtenidos en partes proporcionales, de forma que cada parte tenga el mismo número de elementos. Para poder hacerlo necesitamos que los datos estén ordenados de menor a mayor. Los hay de tres tipos: cuartiles, deciles y percentiles, aunque vamos a desarrollar solo los cuartiles.

Importante

Se definen los cuartiles como los valores que dividen a la distribución de valores ordenados en cuatro partes iguales. Son los siguientes:

Q₁: primer cuartil. Tiene el 25% de los datos detrás de él y el 75% delante.

Me: segundo cuartil .Coincide con la mediana. Tiene el 50% de los datos delante y el otro 50% detrás de él.

Q₃: deja detrás de él el 75% de la distribución y delante el 25%.

Se define el recorrido intercuartílico a la diferencia entre el tercer y el primer cuartil. Dentro de este intervalo se encuentra el 50% de la distribución. Un estudio conjunto del recorrido y del recorrido intercuartílico nos da información sobre la dispersión de la muestra. Si el recorrido general es grande pero el intercuartílico pequeño, eso indica que hay valores extremos. Si ambos son grandes, los datos son dispersos. Si ambos son pequeños, los datos están muy agrupados respecto a los valores centrales.

Para calcular los cuartiles basta generalizar el cálculo de la mediana que ya habíamos visto. Se halla y el primer valor cuya frecuencia absoluta acumulada supera ese valor es Q₁. Para Q₃ debemos hallar y seleccionar aquel valor cuya frecuencia acumulada supera esa cantidad. Hay que recordar (como en la mediana) que si un valor tiene como frecuencia acumulada exactamente ese valor, se halla la media aritmética con el valor siguiente.

Aprende a hacerlo

Veamos en primer lugar el cálculo de los cuartiles cuando los datos no están agrupados en intervalos.

Para realizar un estudio sobre el gasto farmacéutico en la sanidad pública, le encargan a Mercedes que haga un estudio sobre el número de medicamentos por paciente que se receta en una determinada consulta a lo largo de una semana. Tras estudiar los datos, Mercedes obtiene la siguiente tabla.

nº de medicamentos (xi)
1
2

3

4

5

6

7

8

9

10

nº de pacientes (fi)
12
24

15

13

9

6

2

1

1

1

Calcula los cuartiles de esa distribución.

Retroalimentación

Necesitamos la frecuencia acumulada y dividir N en cuartos, para lo cual en primer lugar procedemos a completar la tabla.

xi

fi

Fi

1
12
12

2
24
36

3
15
51

4
13

64

5
9
73

6
6
79

7
2
81

8
1
82

9
1
83

10
1
84

N=
84

Como N=84, N/4=84/4=21

El primer cuartil, por tanto, se alcanza para x=2 (buscamos el primer valor de la frecuencia absoluta acumulada que supera o iguala a 21), Q₁ = 2

El segundo cuartil (mediana) es el valor para el que la frecuencia absoluta acumulada supera o iguala a N/2=84/2=41 , luego Me = 3

El tercer cuartil es el valor para el que la frecuencia absoluta acumulada supera o iguala a N=3·84/4=63 , y por tanto Q₃ = 4

Ejemplo o ejercicio resuelto

Considera la distribución del ejemplo de las medidas de los espárragos que estamos trabajando en este tema.

Medida en cm, intervalos
Nº de espárragos fi

[7,9)
25

[9,11)
172

[11,13)
311

[13,15)
413

[15,17]
79

Halla los tres cuartiles de esa distribución.

Retroalimentación

La tabla con las frecuencias absolutas acumuladas es:

Medida en cm, intervalos
Nº de espárragos fi
Fi

[7,9)
25
25

[9,11)
172
197

[11,13)
311
508

[13,15)
413
921

[15,17)
79

1000

N=

1000

Ve pulsando sobre la ventana y observa los pasos que debemos dar.

Procedemos de forma análoga al ejercicio anterior con la diferencia de que ahora tendremos que realizar las proporciones necesarias para calcular, dentro de los intervalo,s los valores que se corresponden a los distintos cuartiles.

Calculamos primero los valores N/4, N/2 y 3N/4. Estos valores son N/4=1000/4=250, N/2=1000/2=500 y 3N/4=750.

Q1 (primer cuartil)

Buscamos el primer intervalo para el que se alcanza el valor N/4=250 en la columna Fi.Vemos que es el intervalo [11,13) cuya frecuencia acumulada es 311. Por tanto, el valor de Q₁ estará comprendido entre 11 y 13. Para calcular dicho valor realizamos la siguiente proporción:

A la frecuencia absoluta 311 le corresponde una diferencia de 13-11=2. Por tanto, a 250-197 =53 le corresponderá una amplitud de x.

Planteamos la regla de tres

311

-------

 2

53

-------

 x

de donde obtenemos que x=2·53/311=0,34, por tanto Q₁ = 11+0,34 = 11,34 cm 

Me (segundo cuartil)

Buscamos el primer intervalo para el que se alcanza el valor N/2=500 en la columna Fi. Vemos que es el intervalo [11,13) cuya frecuencia acumulada es 311. Por tanto, el valor de Me estará comprendido entre 11 y 13. Para calcular dicho valor realizamos la siguiente proporción:

A la frecuencia absoluta 311 le corresponde una diferencia de 13-11=2, por tanto a 500-197 =303 le corresponderá una amplitud de x.

Planteamos la regla de tres

311

-------

 2

303

-------

 x

de donde obtenemos que x=2·303/311=1,95, por tanto Me = 11+1,95 = 12,95 cm  

Q3 (tercer cuartil)

Buscamos el primer intervalo para el que se alcanza el valor 3N/4=750 en la columna Fi. Vemos que es el intervalo [13,15), cuya frecuencia acumulada es 413. Por tanto, el valor de Q₃ estará comprendido entre 13 y 15. Para calcular dicho valor realizamos la siguiente proporción:

A la frecuencia absoluta 413 le corresponde una diferencia de 15-13=2. Por, tanto a 750-508 =242 le corresponderá una amplitud de x.

Planteamos la regla de tres

413

-------

 2

242

-------

 x

de donde obtenemos que x=2·242/413=1,17, por tanto Q₂ = 13+1,17 = 14,17 cm .

En resumen tenemos que:  Q₁ = 11,34 cm , Me = 12,95 cm y Q₂ = 14,17 cm

Tarea

Te planteamos una tarea en la que queremos que realices el cálculo de los cuartiles de la actividad del número de hijos por familias del barrio.

Recuerda que la tabla de datos es:

nº de hijos

xi

nº de familias

fi

0
6

1
30

2
20

3
10

4
5

5
1

Anota en tu cuaderno la tabla y todos los cálculos que has realizado.

Una vez que has calculado los cuartiles indica entre cuáles se sitúa tu familia.

Retroalimentación

Aplica los procedimientos que hemos desarrollado para el cálculo de los cuartiles para datos no agrupados en intervalos.

Experimentos aleatorios.

En este apartado vamos a tratar las nociones básicas para el tratamiento del azar y que serán necesarios para tratar el siguiente tema, en el que estudiarás el concepto de probabilidad.

Los comienzos del estudio matemático del azar podemos situarlo precisamente como consecuencia del estudio de los juegos de azar. Fueron el Caballero de Meré alrededor de 1651, a la vez que los matemáticos Fermat y Pascal, los que comenzaron con un estudio exhaustivo de este tipo de problemas.

Actualmente estos conceptos son aplicados prácticamente en todas las ciencias y en una gran variedad de situaciones de la vida real.

No podemos siempre determinar lo que va a suceder, pero si podemos realizar un estudio de los casos posibles que pueden darse y qué posibilidades tenemos de que ocurran cada uno de ellos.

Por ejemplo; si lanzamos un dado, sabemos que sólo hay seis posibilidades: 1,2,3,4,5 o 6 dependiendo del azar la puntuación obtenida.

Sucesos

Importante

daniel.julia. ja tinc un numero de loteria.i capicua!! (CC BY-SA)

Un experimento aleatorio es aquel en el que su resultado es imposible de predecir con seguridad por muy bien que conozcamos como se produce.

Cada vez que repetimos el experimento, decimos que es una prueba del mismo. A cada uno de los resultados de una sola prueba se le llama suceso elemental.

Serían ejemplos de experimentos aleatorios:

a) Lanzar una moneda al aire.

b) Elegir al azar un alumno de una clase y observar el color de su pelo.

c) Elegir a una persona al azar de una lista y ver cuál es su sexo.

d) Lanzar un dado con sus caras numeradas del 1 al 6 y observar que número sale.

e) Extraer una bola al azar de una bolsa con bolas de distinto color.

f) El número del gordo de la lotería nacional del próximo sorteo.

Importante

El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto formado por todos los resultados posibles (sucesos elementales) y se representa por la letra E.

Los subconjuntos del espacio muestral se llaman sucesos y se representan por letras mayúsculas A, B, C, D ...

Si un suceso está formado por varios sucesos elementales, decimos que es un suceso compuesto. Por ejemplo, si lanzamos un dado, un suceso elemental sería que saliera un 2 y lo representaríamos por ejemplo por A = {2}. Mientras, un suceso compuesto sería salir un número par y lo representaríamos por ejemplo por B = {2,4,6}.

Aprende a hacerlo

DadoDado el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado con sus caras numeradas del 1 al 6.

a) Determinar el espacio muestral.

Retroalimentación

E = { 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

b) Indica un suceso que sea compuesto formado por dos sucesos elementales.

Retroalimentación

Por ejemplo, podemos considerar el suceso que salga un número mayor que 4.

B = { 5,6 }

Aquí tienes otro tipo de experimento aleatorio basado en lazar monedas.

Aprende a hacerlo

EurosSea el experimento aleatorio basado en lanzar una moneda dos veces y llamemos c a salir cara y x a salir cruz.

a) Determinar el espacio muestral.

Retroalimentación

Tenemos cuatro posibles elementales y, por tanto, el espacio muestral es:

E = { cc, cx, xc, xx }

 b) Indicar un suceso compuesto de dicho experimento aleatorio.

Retroalimentación

Por ejemplo, podemos considerar el suceso que salga al menos una cara.

B = {cc, cx, xc }

Comprueba lo aprendido

Dado el experimento aleatorio consistente en sacar una bola de una bolsa que contiene bolas blancas, negras y rojas; indica si son o no verdaderas las siguientes afirmaciones.

Pregunta 1

a) El suceso B={Blanca} es un suceso compuesto.

Verdadero Falso

Retroalimentación

Falso

Falso. Es un suceso elemental.

Pregunta 2

b) El suceso T={Blanca, Roja} es un suceso compuesto.

Verdadero Falso

Retroalimentación

Verdadero

Correcto. Está formado por dos sucesos elementales {Blanca} y {Roja}

Pregunta 3

c) El suceso S={Negra} es un suceso elemental.

Verdadero Falso

Retroalimentación

Verdadero

Correcto. Es un suceso elemental.

Otros tipos de sucesos son:

Decimos que un suceso es seguro si siempre ocurre. El espacio muestral es en sí mismo un suceso seguro.

Decimos que un suceso es imposible si nunca puede suceder. Por ejemplo, en el experimento lanzar un dado con sus caras numeradas del 1 al 6, sería imposible el suceso consistente en que , al lanzarlo una vez, salga un 7.

Dos sucesos son incompatibles si no pueden suceder a la vez. Así, por ejemplo, si lanzamos una moneda, los sucesos salir cara y salir cruz son incompatibles.

Llamamos suceso contrario (opuesto) de un suceso A, al suceso que sucede cuando no sucede A. Se representa por , aunque también se puede representar mediante A' o Ac. Por ejemplo, el suceso contrario de sacar oro al extraer una carta de la baraja española, es el suceso salir basto, copa o espada. El suceso contrario de sacar cara al lanzar una moneda será salir cruz y lo expresaríamos como A = {cara} y = {cruz}.

Operaciones con sucesos

Importante

El espacio muestral E y los sucesos pueden ser representados en diagramas de Venn, como puedes observar en la siguiente imagen.

En la imagen se representa el espacio muestral E = {1,2,3,4,5,6}, correspondiente al experimento aleatorio de lanzar un dado con sus caras numeradas del 1 al 6. Las zonas amarillas se corresponden a los sucesos A = {2,3} y B = {2,5}.

Ejemplo o ejercicio resuelto

Supongamos que hemos grabado en cada cara de un dado las letras a,b,c,d,e y f. Representa en tu cuaderno, mediante diagramas de Venn, el espacio muestral relativo al experimento aleatorio consistente en lanzar dicho dado. El suceso A consiste en salir una vocal y el suceso B consiste en salir las consonantes comprendidas en el alfabeto entre la a y la e.

Fíjate en el ejemplo de la imagen anterior.

Retroalimentación

Importante

La unión de dos sucesos A y B es el suceso formado por los de A y B. Se representa por A U B. Por ejemplo, dado el suceso A = {2,3} y el suceso B = {2,5}, la unión será A U B = {2, 3,5}.

La intersección de dos sucesos A y B es el suceso formado por los sucesos comunes de A y B. Se representa por A ∩ B . Por ejemplo, dado el suceso A = {2,3} y el suceso B = {2,5}, la intersección será A ∩ B = {2}.

Aprende a hacerlo

Consideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado con sus caras numeradas con los números 2,4,5,6,10 y 12. Sean los siguientes sucesos:

A, consistente en salir un número primo.

B, consistente en salir un número múltiplo de 3.

C, consistente en salir un número múltiplo de 5.

Resolver las siguientes cuestiones.

Determina los sucesos A, B y C.

Retroalimentación

A = {2,5}, B = {6,12}, C = {5,10}

Determina los sucesos A U B, A ∩ B, A U B U C, A ∩ C.

Retroalimentación

A U B = {2,5,6,12}

A ∩ B = Ø

A U B U C = {2,5,6,10,12}

A ∩ C = {5}

Comprueba lo aprendido

Pregunta

Consideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar dos veces una misma moneda.  Su espacio muestral es E = {cc,cx,xc,xx}. Consideremos los sucesos A = {cc,cx,xc}, B = {cc,xx} y C = {cx,xc}. Indica la opción correcta a las siguientes cuestiones.

¿Cuál es el suceso contrario del suceso A?

Sugerencia

Realiza un diagrama de Venn con los distintos sucesos.

Respuestas

Opción 1

a) {xx}

Opción 2

b) {cx,xc}

Opción 3

c) {cc}

Retroalimentación

Correcto. Como puedes observar, el único suceso que falta es el xx para completar el espacio muestral.

Incorrecto. Observa bien el espacio muestral.

Incorrecto. Observa bien el espacio muestral.

Solución

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Pregunta

¿Cuál es el suceso A U B?

Sugerencia

Realiza un diagrama de Venn con los distintos sucesos.

Respuestas

Opción 1

a) {cc,xx}

Opción 2

b) E = {cc,cx,xc,xx}

Opción 3

c) {cc,xx,cx}

Retroalimentación

Incorrecto. Observa bien el espacio muestral y los sucesos A y B.

Correcto. La unión de los dos sucesos tiene todos los sucesos del espacio muestral.

Incorrecto. Observa bien el espacio muestral y los sucesos A y B.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Pregunta

¿Cuál es el suceso A ∩ B?

Sugerencia

Realiza un diagrama de Venn con los distintos sucesos.

Respuestas

Opción 1

a) {cx,xx}

Opción 2

b) {xx}

Opción 3

c) {cc}

Retroalimentación

Incorrecto. Observa bien el espacio muestral y los sucesos A y B.

Incorrecto. Observa bien el espacio muestral y los sucesos A y B.

Correcto. El único suceso elemental común a los sucesos A y B es el cc.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Pregunta

¿Cuál es el suceso B ∩ C?

Sugerencia

Realiza un diagrama de Venn con los distintos sucesos.

Respuestas

Opción 1

a) {cc}

Opción 2

b) Ø

Opción 3

c) {xx}

Retroalimentación

Incorrecto. Observa bien el espacio muestral y los sucesos B y C.

Correcto. Los sucesos B y C no tienen ningún suceso elemental en común, por tanto su intersección es el suceso imposible Ø.

Incorrecto. Observa bien el espacio muestral y los sucesos B y C.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

En la red

En el siguiente enlace puedes realizar un repaso de los contenidos que hemos desarrollado sobre los experimentos aleatorios y las operaciones con sucesos.

Realiza las distintas actividades que se proponen en el apartado "sucesos de un experimento aleatorio. Tipología".

Tarea

Tarea

¿Resumimos?

Por fin hemos terminado todos los contenidos de esta unidad. Hemos estudiado los distintos tipos de variables estadísticas en los que podemos clasificar los datos que recogemos en los estudios estadísticos.

Hemos trabajado los conceptos de población y muestra (y cómo se puede realizar la selección de ésta).

También hemos estudiado los principales parámetros estadísticos y las distintas formas de representación gráfica.

Finalmente, hemos estudiado el concepto de experimento aleatorio y distintos aspectos básicos relacionados con los sucesos.

Para tener bien estructurado todo lo tratado en la unidad, vas a realizar una presentación oral en la que plantees a tus compañeros un esquema de los contenidos tratados.

Retroalimentación

Realizad un debate en el aula sobre los contenidos tratados en las presentaciones que se habéis hecho.

Tarea

José Antonio Gil Martínez. Sardinas (CC BY)

¿Comes pescado?

En esta tarea queremos que realices un estudio sobre los hábitos alimentarios relativos al pescado en tu entorno: familia, amigos y algunos de tus compañeros. Para ello debes realizar las siguientes actividades:

1) Selecciona al menos 12 personas de tu entorno que no vivan en la misma casa  y hazles esta pregunta: cuántas veces a la semana suelen comer pescado y el tipo de pescado que suelen consumir (que te indiquen a lo sumo 3 tipos cada uno de ellos)

2) Recoge la información sobre el número de días que consumen pescado en una tabla de frecuencias, creándola con OpenOffice.calc.

3) Añade a la tabla las columnas necesarias para poder calcular la media, los cuartiles y la desviación típica.

4) Calcula, utilizando dos cifras decimales; la media, mediana, primer y tercer cuartil y la desviación típica.

5) Representa en un diagrama de barras la distribución del número de veces que se come pescado.

6) Analiza los resultados obtenidos, indicando si existe o no una gran dispersión de los datos y si están dentro de lo que es un hábito de alimentario saludable relativo al pescado, para lo que deberás buscar información en internet sobre dicho aspecto.

7) Recoge la información sobre el tipo de pescado que consumen en una tabla.

8) Realiza el gráfico estadístico que consideres más apropiado sobre la tabla anterior.

9) Infórmate sobre las bondades que aporta incluir en nuestra dieta el pescado y, más aún, el tipo de pescado que te han indicado.

10) Teniendo en cuenta todo el estudio completo que has realizado y la información que has localizado, realiza un texto en el que expongas las conclusiones a las que llegas respecto a los hábitos alimenticios de la muestra de personas que has seleccionado. ¿Qué recomendación les harías?

11) Recoge el estudio completo en una presentación en la que desgranes paso a paso todos los apartados anteriores.

12) Busca en Internet la imagen del cuadro de algún pintor conocido que te pueda servir para ilustrar tu trabajo y colócala como primera diapositiva de la presentación que has realizado, indicando el nombre del pintor y el título de cuadro. Sube posteriormente la presentación a Internet.

Una vez que tengas la respuesta a todas las anteriores cuestiones realiza una entrada en el blog con el título "Hábitos alimenticios" y que contenga dos etiquetas, la primera será la inicial de tu nombre y tu primer apellido y la segunda será pescado. En esta entrada aparecerá un texto redactado de lo que has realizado y un breve comentario sobre las dificultades a las que te has enfrentado para realizar el estudio.

Utiliza dicha entrada para realizar una exposición a tus compañeros y comentarles los resultados obtenidos del estudio. 

Retroalimentación

Debes de tener en cuenta el tipo de variable estadística que se está tratando en cada caso y los distintos tipos de cálculos relativos a los parámetros estadísticos.

Ampliación

En la red

Algunos enlaces que te recomendamos para repasar los contenidos de la unidad son:

Diagramas de Venn. En este enlace puedes realizar varios ejercicios basados en los diagramas de Venn.

Diagrama de Venn. Aquí puedes profundizar sobre los diagramas de Venn y otros tipos de diagrmas.

Experimentos aleatorios. Puedes ampliar tus conocimientos sobre experimentos aleatorios y los distintos tipos de sucesos y operaciones. También se proponen una gran variedad de actividades, realiza el mayor número de ellas posibles.

Estadística. En este enlace puedes elaborar mosaicos estrellados parecidos a los que realizaron los árabes en sus decoraciones. Genera varios mosaicos con esta herramienta.

Recuento de datos y moda. Aquí puedes practicar sobre el recuento de datos, moda y diagramas de barras.

Estadística. Puedes profundizar sobre la representación gráfica de datos y el cálculo de parámetros estadísticos. Realiza el test que aparece en este enlace.

Tarea

Tarea

Guerretto. Louvre - Escultura Clásica (CC BY)

Observando la escultura de la imagen, puedes ver que tiene unas proporciones casi perfectas. Esto es debido a que antiguamente en las esculturas se utilizaba la llamada proporción áurea o divina proporción que aparece muchas veces en la naturaleza: en plantas, animales, etc. Esta proporción viene dada por el número de oro o número áureo  y se representa mediante la letra griega Φ cuyo valor es , que aproximándolo a dos cifras decimales es 1,62. En particular ,en el cuerpo humano podemos comprobar que el cociente entre la altura de una persona y su altura hasta el ombligo se aproxima a dicho número. De esta forma, cuánto más se acerque a él, más agradable es estéticamente nuestro cuerpo a simple vista.

Mediante la siguiente tarea queremos que realices un estudio sobre las proporciones del cuerpo en tu entorno: familia, amigos y algunos de tus compañeros. Para ellos debes realizar las siguientes actividades:

1) Selecciona al menos 12 personas de las que hemos mencionado y mide de cada una su altura completa y su altura hasta el ombligo. Calcula su cociente y aproxímalo a dos cifras decimales.

2) Recoge la información en una tabla de frecuencias creada con OpenOffice.calc. En ella debes distribuir los datos en un máximo de 8 intervalos.

3) Añade a la tabla las columnas necesarias para poder calcular: la media, cuartiles y la desviación típica.

4) Calcula, utilizando dos cifras decimales la media; mediana, primer y tercer cuartil y la desviación típica.

5) Representa en un histograma la distribución de dicha proporción.

6) Analiza los resultados obtenidos, indicando si existe o no una gran dispersión de los datos y si están cerca de la proporción áurea.

7) Infórmate en Internet sobre otras situaciones en las que se da la proporción áurea tanto en la naturaleza como en el arte y en especial en el cuerpo humano. Busca también información de cómo es utilizada la proporción áurea por parte de los cirujanos plásticos.

8) Teniendo en cuenta todo el estudio completo que has realizado y las información que has localizado en los dos apartados anteriores, realiza un texto en el que expongas las conclusiones a las que llegas con respecto a la proporción de las alturas de la muestra de personas que has seleccionado ¿Qué recomendación les harías para conseguir que su proporción se acerque más a la áurea, calzado, peinado, etc.?

9) Recoge el estudio completo en una presentación en la que desgranes paso a paso todos los apartados anteriores.

10) Busca en Internet una imagen que te pueda servir para ilustrar tu trabajo y colócala como primera diapositiva de la presentación que has realizado. Sube posteriormente la presentación a Internet.

Una vez que hayas acabado el proceso, realiza una entrada en el blog con el título "Proporción áurea". Añádele dos etiquetas: la primera será la inicial de tu nombre y tu primer apellido (Por ejemplo, de Rosa García será rgarcia y la segunda será proporción). En esta entrada aparecerá incrustada la presentación que has realizado y un breve comentario sobre las dificultades a las que te has enfrentado para realizar el estudio.

Utiliza dicho documento para realizar una exposición a tus compañeros y comentarles los resultados obtenidos del estudio.

Retroalimentación

Recuerda los conceptos y distintos tipos de cálculos que hemos trabajado en esta unidad.Ten en cuenta que en esta tarea se está utilizando una variable cuantitativa continua.

Refuerzo

En la red

Algunos enlaces que te recomendamos para repasar los contenidos de la unidad son:

Sucesos aleatorios. Sobre los experimentos aleatorios y los distintos tipos de sucesos. Realiza las actividades que se proponen.

Espacio muestral y eventos. Puedes ver en este enlace varios ejemplos sobre espacio muestral y sucesos.

Iniciación a la estadística. Sobre los aspectos más generales para introducirnos en la estadística. Realiza los distintas actividades que se presentan.

Estadística. En este enlace puedes repasar todos los conceptos que hemos trabajado sobre estadística y realizar un gran variedad de actividades.

Tarea

Tarea

peasap. Sleep Like A Baby (CC BY)

En esta tarea queremos que realices un estudio sobre hábitos de descanso relativos al número de horas que se duerme diariamente en tu entorno: familias, amigos y algunos de tus compañeros. Para ello, debes realizar las siguientes actividades:

1) Selecciona al menos 12 personas de las que hemos mencionado y pregúntales cuántas horas de media suelen dormir al día de lunes a viernes.

2) Recoge la información en una tabla de frecuencias (creada con OpenOffice.calc.) en la que debes considerar como marcas de clase valores enteros de las horas (por ejemplo 6h, 7h, 8h, etc.) y la amplitud de cada intervalo que sea de una hora. Es decir, serían de la forma [5.5,6.5),[6.5,7.5), etc.

3) Añade a la tabla las columnas necesarias para poder calcular la media, cuartiles y la desviación típica.

4) Calcula, utilizando dos cifras decimales, la media, mediana, primer y tercer cuartil y la desviación típica. Indica cuál es la moda.

5) Representa en un histograma la distribución del número de horas que se duerme diariamente.

6) Analiza los resultados obtenidos, indicando si existe o no una gran dispersión de los datos y si están dentro de lo que es un hábito saludable relativo al número de horas que debe dormir una persona cada día. Deberás buscar información en Internet sobre dicho aspecto y los problemas que se derivan de no dormir las horas suficientes.

7) Infórmate sobre las bondades que aporta al rendimiento escolar el dormir las horas suficientes.

8) Teniendo en cuenta todo el estudio completo que has realizado y las información que has localizado en los dos apartados anteriores, realiza un texto en el que expongas las conclusiones a las que llegas. Con dicho estudio respecto a los hábitos de sueños de la muestra de personas que has seleccionado ¿Qué recomendación les harías?

9) Recoge el estudio completo en una presentación en la que desgranes paso a paso todos los apartados anteriores.

10) Busca en Internet una imagen del cuadro de algún pintor conocido que te pueda servir para ilustrar tu trabajo y colócala como primera diapositiva de la presentación que has realizado, indicando el nombre del pintor y el título del cuadro. Sube posteriormente la presentación a Internet.

Una vez que tengas la respuesta a todas las anteriores cuestiones, realiza una entrada en el blog con el título "Hábitos de  sueño" e identifícala con dos etiquetas: la primera será la inicial de tu nombre y tu primer apellido (Por ejemplo, de Rosa García será rgarcia y la segunda será dormir). En esta entrada aparecerá incrustada la presentación que has realizado y un breve comentario sobre las dificultades a las que te has enfrentado para realizar el estudio.

Utiliza dicho documento para realizar una exposición a tus compañeros y comentar los resultados obtenidos del estudio. 

Retroalimentación

Ten en cuenta lo aprendido y que el estudio es relativo a una variable cuantitativa continua.

Cuestionarios

Cuestionarios

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Matemáticas 3º E.S.O. CeDeC.

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Ficha técnica

Título

Estadística

Materia

Matemáticas

Nivel educativo

3º ESO

Contenidos

Población, muestra, tipos de datos. Frecuencias. Gráficas. Parámetros estadísticos: centralización, tabulación, dispersión, posición. Experimentos aleatorios: sucesos.

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Créditos

Proyecto EDIA. Estadística. Cedec

Autores: Mariano Real Pérez, Arturo Mandly, Manso José Muñoz Santoja

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