El farmacéutico

¿Te has parado a pensar alguna vez la cantidad de medicamentos que existen en el mercado? Efectivamente, la cantidad es abrumadora. Esto hace que los conocimientos que debemos tener los famacéuticos sean cada vez mayores. Cremas, pastillas para el dolor de cabeza, jarabes de varios tipos y casas comerciales... Vamos, que comenzaría a contarte y no pararía.

Mariano real. Farmacia (CC BY)

Se me ha olvidado presentarme, mi nombre es Luis y soy propietario de una farmacia. En el vídeo te invito a hacer un recorrido por ella. Al menos por la parte que está de cara al público y que cuido lo mejor posible.

Josep Renalias. Farmàcia Masó (CC BY-SA)

Como te iba diciendo, los farmacéuticos debemos tener unos conocimientos cada vez mayores sobre los medicamentos que manejamos. Cada vez hay más en el mercado y las distintas composiciones de cada uno hacen que puedan servir como remedio para un grupo de enfermedades que debemos tener claras.

Aunque tradicionalmente la forma de almacenar el género en las farmacias ha sido tal y como la contemplas en la imagen de la izquierda, la tecnología se ha puesto a nuestro servicio y hemos conseguido sistemas de almacenaje totalmente informatizados. Esto hace que tecleando el nombre de un medicamento en un ordenador, un brazo robotizado lo localice inmediatamente y nos ahorremos tener que memorizar la posición en la  que lo tenemos guardado en la farmacia.

Por otra parte, llegan numerosos enfermos que vienen buscando un remedio rápido para una afección transitoria. En ese momento debemos estar muy atentos y proporcionarle el medicamento propio para dicha afección, sin que suponga un riesgo para la salud del enfermo. Saber la composición de cada uno para discriminar el que puede resultarle mejor es fundamental.

Entre otras tareas, también se encuentran las más tediosas y que son similares a las de otras tiendas. Hacer caja, realizar pedidos, hacer inventario... Bueno, supongo que te sonarán.

Licencia de Creative Commons
Matemáticas 3º E.S.O. CeDeC.

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Preparando compuestos

RDECOM. Laboratory broadens student's horizons (CC BY)

La composición química de los medicamentos hace que sus principios activos sirvan para un tratamiento u otro. Si nos fijamos por ejemplo en la Lizipaina, su composición es:

Lisozima 5 mg

Papaína 2 mg

Bacitracina 3 mg

Excipientes: Sacarina, sorbitol, esencia de menta, estearato de magnesio, c, c.s.

Como farmacéutico es importante conocer sus componenetes químicos y las cantidades en la que aparecen cada uno. Además de los componentes químicos aparecen otros componentes que sirven para darle consistencia o sabor y que no ejercen ningún tipo de principio activo. De estos componentes secundarios no es necesario conocer la medida que contiene cada cápsula o cada mililitro ya que no suponen un riesgo para la salud. En el caso de la Lizipaina,  serían los que aparecen bajo el nombre de excipientes.

Tarea

Tamorlan. Mortero-Farmacia (CC BY)

¿Polvos Pédicos?

Como te dije en el vídeo que aparecía en la historia inicial, una de las acciones más complicadas que realizamos los farmacéuticos es hacer fórmulas magistrales. Son medicamentos que se recetan en ocasiones muy especiales y que debemos elaborar a partir de componentes básicos de los que disponemos en la farmacia.

Precisamente acaban de hacerme un encargo para realizar Polvos Pédicos. Me acuerdo de que su composición era Mentol-HCL y Talco. También recuerdo que debía echar en el mortero el triple de uno que del otro, pero no sé de cúal de ellos debo echar más. A ver si me puedes ayudar. Necesito preparar 228 gramos mezclando los dos componentes. Indícame la cantidad que debo echar de cada uno de ellos. Anota la respuesta en tu cuaderno.

Por otra parte, busca la composición de un medicamento que tenga al menos dos componentes químicos. Selecciona dos de ellos e investiga sobre el siguiente supuesto:  si encontramos 378 gramos de mezcla de esos dos componentes y sabemos que han salido de ese medicamento, ¿Cuántos gramos corresponden a cada uno de ellos?

¿Te atreves a realizar un cómic?

Realiza un cómic, por ejemplo en PIXTON, en el que nos presentes el medicamento que has seleccionado y la forma que has tenido de resolver la pregunta que te hemos planteado. Además, si dispones de un blog de aula, realiza una entrada en la que incrustes el cómic. A esa entrada debes colocarle dos etiquetas. La primera formada a partir de la primera letra de tu nombre y tu apellido. La segunda etiqueta es la palabra "medicamento". Comenta las entradas de algunos de tus compañeros.

Retroalimentación

Si tienes dudas para conocer la fórmula magistral, puedes solicitar ayuda a un farmacéutico.

Contenidos: con una sola ecuación no tenemos bastante.

Constanza.CH. MALETA (CC BY)

Seguro que en muchas ocasiones te has encontrado con situaciones en las que hay varios elementos que no conoces. Por ejemplo, si vas a hacer un viaje y lo contratas con una agencia, el precio que te dan incluye dos conceptos: por un lado el desplazamiento y por otro la estancia en el lugar de alojamiento. O si vas al cine con unos amigos y alguien se encarga de comprar refrescos y palomitas; cuando te dicen lo que debes pagar, han sumado el precio de los dos. Otro ejemplo puede ser si realizas con varias personas un viaje de avión y facturáis todas las maletas juntas: podéis saber cuanto pesan todas las maletas juntas pero no el peso de cada una por separado.

Seguro que te vienen a la cabeza muchas más situaciones en las que hay varios elementos de los que no conoces su valor sino el valor de la suma del precio de todos Lo que vamos a intentar en esta unidad es encontrar métodos que nos permitan calcular los valores de cada elemento independiente.

Ampliamos el número de variables.

Si le preguntas a tus padres por los gastos periódicos que hay en una casa, seguro que te hablan de la luz, el gas, el teléfono, etc. En la gran mayoría de ellos el coste que se paga regularmente suele depender de dos conceptos: un coste fijo por tener contratado el servicio y otra parte que depende del gasto que se haya realizado en ese tiempo. Por eso, si te dicen solo cuánto tienes que pagar; no sabes, de entrada, cuánto vale cada uno de los conceptos.

Christian Senger . Outdoor Gas Installation (CC BY-SA)

Como ya has aprendido en la unidad anterior, cuando relacionamos cantidades que conocemos con otras que nos resultan desconocidas enseguida nos encontramos con ecuaciones.

En este primer apartado vamos a estudiar las ecuaciones en las que se mezclan dos elementos que no conocemos, como ha ocurrido en los ejemplos que hemos visto hasta ahora.

Ecuación con dos variables.

Importante

Generalizando lo visto en el tema anterior para las ecuaciones de primer grado, se define una ecuación lineal con dos incógnitas como toda expresión de la forma en la que a, b y c son números cualesquiera, mientras que x e y son las incógnitas.

Por ejemplo, ecuaciones de este tipo son: ; . También lo son, aunque no están en su forma general,   ó  .

Comprueba lo aprendido

Pregunta

Señala todas aquellas expresiones que correspondan a una ecuación lineal con dos incógnitas.

Respuestas

Opción 1

a)

Opción 2

b)

Opción 3

c)

Opción 4

d)

Retroalimentación

Compara cada caso con la definición anterior.

Solución

Incorrecto

Correcto

Correcto

Incorrecto

Comprueba lo aprendido

José Muñoz. Potitos (CC BY-SA)

El farmacéutico Luis, que conociste en la historia inicial, vende en su farmacia productos muy diversos. Entre ellos está la comida para bebés: tiene papillas, potitos, leches en polvo, y muchos otros productos alimenticios para los primeros meses de edad.

Hace un momento ha estado en la farmacia una clienta y ha comprado tres potitos de verduras y dos packs de tarritos de fruta. Ha pagado un total de 5,90 €.

Queremos saber cuál sería la ecuación que relaciona estas cantidades. Para ello vamos a representar por x el precio de los potitos y por y el de los packs de tarritos.

Por tanto, la ecuación que representaría la venta realizada es:  Rellenar huecos (1): JXUwMDZiJXUwMDRiJXUwMDUzJXUwMDE5JXUwMDRiJXUwMDQ0JXUwMDA4JXUwMDE5JXUwMDE1JXUw MDA5  .

Pista: escríbela en la forma ax+by=c sustituyendo a, b y c por sus valores correspondientes.

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Importante

Igual que vimos en la unidad anterior, una solución de una ecuación es el conjunto de valores que cumplen la igualdad al sustituirlos en las variables.

Por ejemplo, en la ecuación serán solución todos los pares de valores que al sustituirlos en x e y verifiquen que el resultado es 9. Por ejemplo,

En el siguiente enlace tienes ejercicios para calcular soluciones de ecuaciones.

Hay ejercicios de tres tipos: comprobar que un par de valores son solución de una ecuación, dado el valor de una de las incógnitas hallar el valor de la otra y dada una ecuación y una solución hallar el valor del término independiente.

Debes elegir un ejercicio de cada tipo, escribir el enunciado en tu cuaderno y resolverlo. Por último, comprueba la solución pulsando el botón correspondiente.

Tarea

José Muñoz. Papillas (CC BY-SA)

¿Compramos comida para bebés?

Ahora debes crear una actividad parecida a la primera que hemos incluido en esta página. Selecciona otros dos productos de comidas para bebé que se pueden vender en una farmacia y entérate de cuál es su precio aproximado. Redacta en tu cuaderno un enunciado de ejercicio en el que un cliente de la farmacia haya comprado una determinada cantidad de cada producto (tú decides cuántos). Indica cuál ha sido el precio total que se ha pagado.

Después, resuelve el ejercicio escribiendo primero la ecuación correspondiente y señalando después tres soluciones distintas que puedan verificar esa ecuación.

Retroalimentación

No te olvides de comprobar en cada caso que la solución verifica la ecuación que has escrito.

Interpretación gráfica.

ideaComo has visto en el apartado anterior, una ecuación con dos incógnitas tiene infinitos pares de valores que la verifican. Si escribimos varios de esos pares de valores, por ejemplo, en una tabla, y los representamos en un plano obtendremos la gráfica de una recta. Todos los puntos que pertenecen a esa recta son soluciones de la ecuación.

En la escena siguiente puedes ver la representación gráfica de la ecuación . Manipula los deslizadores para ver la representación de dicha ecuación.

recta: ax+by + c = 0. Joaquín. (CC by - sa)

Tarea

escribiendoResuelve en tu cuaderno las siguientes cuestiones ayudándote del applet anterior.

Encuentra tres soluciones distintas de la ecuación 3x-2y-5=0.

Halla la solución de la ecuación -x+2y-3=0 en la que la incógnita x vale 2

Determina la solución de la ecuación x+3y-7=0 en la que la segunda variable toma el valor 2.

Halla los puntos en que alguno de los valores de la solución vale cero en la ecuación 2x+3y-6=0.

¿Qué representan esos valores en la gráfica?

¿Qué ocurre con la representación gráfica si a=0?

¿Y cuando y=0?

Para terminar, invéntate tres cuestiones originales que haya que contestar utilizando el applet anterior. Muéstralas en una entrada del blog con el título de "Preguntas sobre la gráfica de una ecuación con dos incógnitas" seguido de tu nombre. Añádele la etiqueta acostumbrada con la inicial de tu nombre y el primer apellido (por ejemplo, Mariano Real la etiqueta sería mreal. La segunda etiqueta será e2i).

Retroalimentación

Escribe las preguntas y sus respuestas correspondientes en tu cuaderno.

En la red

A la hora de representar gráficamente una ecuación es imprescindible saber hallar soluciones de la ecuación. Para ello, lo más cómodo, como sabrás, es: despejar una de las variables en función de la otra y/o darle a una de las incógnitas un valor y hallar el correspondiente de la otra.

Para practicar esas operaciones dirígete a la página indicada en el siguiente enlace y resuelve los seis primeros tests correspondientes a la parte de preparación para sistemas. Escribe en tu cuaderno los desarrollos completos de los últimos apartados de cada test.

Tarea

Para terminar este punto 1, dedicado a las ecuaciones lineales con dos incógnitas, te vamos a proponer un juego que se llama Construye tu sistema. Puedes descargarte las instrucciones pulsando en el icono.

Este juego está indicado para participar tres o cuatro jugadores. Forma equipos con tus compañeros. Esperamos que te diviertas aplicando lo que has aprendido en este punto.

Retroalimentación

Para poder jugar debes tener claro cómo se comprueba que una solución cumple una determinada ecuación. Si tienes dudas, repasa antes este primer apartado completo.

Manejamos varias ecuaciones.

GP PORTUGAL|MOTO GP

Dani Pedrosa consigue su primera victoria del año

El piloto de Honda superó los dolores de hombro y a Jorge Lorenzo a tres vueltas del final para ganar en solitario. Stoner tercero. Pedrosa, a 4 puntos del balear, que es líder del mundial.

Titular capturado el 1 de Mayo de 2011 de la página as.com.

Si escribimos una ecuación que relacione los puntos de Jorge Lorenzo, representados por x, con los de Dani Pedrosa, indicados por y, la ecuación sería . Pero eso no nos da información sobre cuantos puntos tiene cada uno. Para ello necesitaríamos más información ya que la ecuación anterior tiene infinitos valores que la verifican.

Como veremos en este apartado, para encontrar soluciones a determinados problemas en los que hay dos valores que no conocemos necesitaremos tener dos ecuaciones que formarán un sistema de ecuaciones.

¡Por sistema!

Igoor Reis . Treino de Motociclismo (CC BY-SA)

Seguimos dándole vueltas a la clasificación en Moto GP de la que hablábamos en el apartado anterior. Si además de la información que has visto en el titular nos dicen que entre los dos tenían en ese momento 126 puntos, entonces sí podemos hallar la puntuación de cada uno. Esto es debido a que tenemos más información, en nuestro caso que x + y = 126. Tenemos por tanto dos ecuaciones referidas a las mismas incógnitas.

En nuestro caso sería el sistema formado por las dos ecuaciones siguientes:

Importante

Llamamos sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas a un conjunto formado por dos ecuaciones referidas ambas a las mismas incógnitas. Su expresión general será de la forma:

En esa expresión x e y son las incógnitas y todas las demás letras representan números conocidos.

Resolver un sistema consiste en encontrar un par de valores (x,y), llamados solución del sistema, que verifiquen las dos ecuaciones del sistema a la vez.

Por ejemplo, el par de valores x = 65 e y = 61 verifican el sistema que hemos planteado antes ya que se verifica.

Comprueba lo aprendido

Dado el sistema lineal ,  indica cuáles de las siguientes expresiones son solución del sistema.

Pregunta 1

a) x = 5 e y = -1.

Sugerencia

Sustituye en el sistema y comprueba las igualdades.

Verdadero Falso

Retroalimentación

Falso

Es falso ya que solo verifica la primera ecuación.

Pregunta 2

b) x = 5 e y = 4.

Verdadero Falso

Retroalimentación

Falso

No es correcto, esos valores sólo cumplen la segunda ecuación.

Pregunta 3

c)  x = 2  e  y = 1.

Verdadero Falso

Retroalimentación

Verdadero

Es correcto

Comprueba lo aprendido

Siempre que llega el verano, la Fundación de Educación Ambiental otorga las Banderas Azules a playas y puertos deportivos. Estas banderas sirven como símbolo para identificar la alta calidad ambiental, los buenos servicios y la seguridad de esos lugares.

España mantiene su "reinado de banderas azules"

España ha obtenido 603 "banderas azules"

Captura de la página diariocritico.com.

En el año 2011 se han otorgado a España un total de 603 banderas azules, repartidas entre playas y puertos deportivos. Si sabemos que el número de puertos ha sido 51 más que el quíntuplo del número de playas, escribe un sistema de dos ecuaciones que recoja esos datos.

Si llamamos x al número de playas e y al de puertos deportivos, entonces el sistema sería

Rellenar huecos (1): JXUwMDY5  x +  Rellenar huecos (2): JXUwMDY5  y = 603

x - 5 y =  Rellenar huecos (3): JXUwMDZkJXUwMDA0

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Tras encontrar las ecuaciones, debes escribir el sistema en su forma general.

Disparidad en el número de soluciones.

En nuestra vida cotidiana, hay muchos certámenes en los que el resultado puede variar según las candidaturas presentadas cada año. Se puede declarar desierto si la calidad no es muy buena en opinión del jurado, entregarse a una persona o institución o entregar el premio a varios candidatos distintos de forma ex aequo. Un par de estas posibilidades puedes observarlas en el recorte de prensa que te adjuntamos.

Divulgación

Fernando Corbalán, premio José Mª Savirón

La última edición del Premio José María Savirón de Divulgación Científica ya tiene ganadores. En su categoría aragonesa, el jurado ha decidido reconocer la continuada labor divulgativa desarrollada por el matemático Fernándo Corbalán. En su dilatada trayectoria, ha mostrado a todo tipo de públicos las matemáticas presentes en la vida cotidiana, a través de exposiciones, artículos y libros, así como desde el programa educativo Matemática Vital. Es colaborador de Heraldo Escolar desde 1985, y precisamente la semana pasada presentó en Zaragoza su libro "Mates de cerca" (editorial Graó), que recoge los artículos publicados en dicho suplemento.

En la categoría nacional, el galardón ha recaído ex aequo en Jorge Mira Pérez, de la Universidad de Santiago de Compostela, organizador de Con-Ciencia, iniciativa en la que han participado varios premios Nobel; y en el programa de divulgación científica de la 2 de Televisión Española "Tres 14", que dirige Ana Montserrat Rosell.

Noticia del Heraldo.com.

Algo parecido pasa con las ecuaciones. Ya viste, en la unidad anterior, que las ecuaciones de segundo grado podían tener 0, 1 o 2 soluciones según los coeficientes de la ecuación. En los sistemas va a pasar algo parecido.

Importante

Según el número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar de la siguiente forma:

Sistema Compatible Determinado: tiene una única solución.

Sistema Compatible Indeterminado: tiene infinitas soluciones. Basta que tenga dos soluciones distintas para que sean solución todos los valores que satisfacen a una cualquiera de las dos ecuaciones.

Sistema Incompatible: no tienen solución.

Gráficamente es muy fácil saber en qué tipo de sistema estamos. Como viste en el apartado anterior, la representación gráfica de una ecuación lineal con dos incógnitas era una línea recta. Si tenemos un sistema; gráficamente tendremos dos líneas rectas y, según su posición, podremos saber cómo es el sistema.

Si las dos rectas se cortan en un punto, el sistema es compatible determinado.

Si las dos rectas coinciden, todos los puntos satisfacen a las dos ecuaciones y el sistema es compatible indeterminado.

Si las dos rectas son paralelas, entonces no hay punto común y el sistema es incompatible.

Sistema de Ecuaciones. Vicente Urquía. (CC by-sa)

Tarea

Utiliza el applet anterior para representar sistemas y, al mismo tiempo, estudiar cómo se tienen que comportar sus coeficientes para que el sistema sea de un tipo u otro. Después, resuelve en tu cuaderno la siguiente tarea:

Manipula la ventana para representar los siguientes sistemas. Debes decir qué tipo de sistema es cada uno y cuál es su solución (ten presente que cuando el sistema no tenga solución única aparece en pantalla que la solución del sistema es indefinida).

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Una vez que hayas encontrado de qué tipo es cada sistema, estudia la relación que debe haber entre los coeficientes de una ecuación y otra para que el sistema sea: compatible determinado o indeterminado, o bien incompatible.

Retroalimentación

Tienes que obtener tres posibles situaciones para el sistema e indicar en cada caso cómo es el sistema.

a) .

b)

c)

En la red

Para comprobar si has asimilado lo que hemos trabajado, realiza los tests que encontrarás en el siguiente enlace.

Resuelve los 5 primeros tests que corresponden a "clasificación". Después, responde a los tests del 8 al 11. En estos últimos aparecen una serie de sistemas clasificados por tipo.

Escribe en tu cuaderno tres ejemplos de cada tipo. 

Cambiar para ser equivalente.

Comprueba lo aprendido

Pregunta

Un comercial ha estado en la farmacia que regenta Luis y le ha hecho una oferta especial de protectores solares para el verano. Ha comprado cinco cajas de cremas en tubo y tres en espráis. Luis ha pagado un total de 258 euros.

Si representamos por x lo que vale la caja de cremas en tubo y por y el precio de cada caja de espráis, la ecuación que corresponde a este caso sería. 

Respuestas

Opción 1

a) 5x+3y+258

Opción 2

b) 3x+5y=258

Opción 3

c) 5x+3y=258

Retroalimentación

Esa expresión no es una ecuación.

Te has confundido con las variables.

Esa es la expresión correcta.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Pregunta

Ha sido tal el éxito de las cremas que enseguida Luis ha encargado un nuevo pedido. En este caso ha solicitado 15 cajas de tubos de crema y 9 de cremas en esprays. Por todo ha pagado un total de:

Respuestas

Opción 1

a) 258 €

Opción 2

b) 774 €

Opción 3

c) 1290 €

Retroalimentación

No puede ser que pague lo mismo por mayor cantidad.

Correcto, como ha pedido el triple de genero deberá pagar el triple de euros.

Si ha pagado eso, le han estafado.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Si nos fijamos en la situación anterior, la ecuación que correspondería a la segunda cuestión sería . Es la misma que teníamos en la primera cuestión multiplicada por tres. En el segundo caso se ha pedido, y por tanto pagado, el triple que en el primer caso.

Tanto esta ecuación como la de la primera cuestión tienen exactamente las mismas soluciones, por eso reciben un nombre particular, se dice que son equivalentes.

Importante

Dos ecuaciones se llaman equivalentes cuando tienen exactamente las mismas soluciones. Esta definición se amplía también a los sistemas de ecuaciones.

Las tres reglas fundamentales para encontrar ecuaciones o sistemas equivalentes son las siguientes:

1.- Si en una ecuación se multiplican o dividen, por un número distinto de cero, todos los términos de la ecuación, entonces se obtiene una ecuación equivalente.

Por ejemplo, las ecuaciones y son equivalentes.

2.- Si en una ecuación se suma o resta la misma expresión en los dos miembros, la ecuación obtenida es equivalente a la anterior.

Por ejemplo, las ecuaciones y (hemos sumado 3 en los dos miembros y restado 2y) son equivalentes.

3.- Si en un sistema, a una ecuación se le suma o resta  la otra multiplicada por cualquier número, distinto de cero, el sistema que se obtiene es equivalente al anterior.

Por ejemplo, el sistema es equivalente al sistema , pues a la segunda ecuación le hemos sumado la primera multiplicada por 2.

Realiza el test que aparece en la siguiente ventana. Una vez que termines en una pantalla pulsa el botón con la flecha en la parte inferior derecha.

Please install Java 1.4 (or later) to use this page.

Ecuaciones y sistemas equivalentes. Applet creado por Jose Muñoz Santonja.

En busca de la solución.

En muchas ocasiones; para conseguir un buen resultado, hay que realizar muchas acciones que son repetitivas y quizás aburridas, pero imprescindibles para lograr el objetivo propuesto. Por ejemplo, para conseguir un pastel apetitoso como el de la imagen, ha habido que realizar muchas tareas rutinarias que, aunque no tan vistosas, son indispensables para conseguir un trabajo final de exposición. Habremos tenido que batir huevos, manejar la harina necesaria, añadir frutas y azúcares, utilizar cacharros de cocina que se habrán tenido que limpiar antes y después de usarlos, calentar el horno, estar pendientes del pastel, etc.

Nacho. Tarta (CC BY)

En este apartado vamos a ver algo parecido, pero para los sistemas. Es decir, una vez que tengamos un sistema planteado; para poder encontrar la solución, que será lo que nos interese, necesitaremos realizar una serie de cálculos más rutinarios pero imprescindibles para llegar al final.

Te vamos a enseñar los métodos tradicionales para hallar la solución de un sistema.

Calculadora.

Puedes practicar con la siguiente calculadora para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Introduce los datos en las casillas correspondientes y pulsa el botón "Resolver".

x+y=

x+y=

Solución:

x=

y=

Método de reducción.

Virgirm. Matrioska (CC BY)

Los métodos de resolución de sistemas se suelen basar todos en una misma idea: reducir el número de ecuaciones y pasar de dos ecuaciones con dos incógnitas a una sola ecuación con una incógnita. En este último caso, ya sabes resolverlas gracias a  lo que aprendiste en la unidad anterior.

El objetivo de llegar a una ecuación con una incógnita puede lograrse de distintas maneras, según el método que utilices.

Veamos un primer ejemplo en la presentación siguiente.

Método de Reducción. Presentación de José Muñoz Santonja.

En el enlace tienes ejemplos de resolución de sistemas por el método de reducción. Basta con que pulses en el botón de Siguiente paso para ver cómo se resuelve el sistema.

Los botones inferiores que aparecen al final del proceso permiten elegir la incógnita que se quiere eliminar al principio así como la ecuación en la que se sustituye el primer valor hallado. Pruébalos para ver que por cualquier camino siempre se consigue la misma solución.

CIDEAD. Reducción

Si pulsas en el botón de otro ejemplo podrás resolver otro sistema distinto.

Elige un sistema del enlace y resuélvelo en tu cuaderno. Posteriormente, pulsa en el botón correspondiente de la ventana para comprobar si has obtenido la misma solución. Realiza la misma actividad con cuatro sistemas distintos, resolviéndolos todos por el método de reducción.

Debes cambiar la variable eliminada y la ecuación en que sustituyes para hallar el segundo valor. No utilices siempre las mismas.

Seguir practicando

¿Serás capaz de resolver todos los ejercicios del documento adjunto? Inténtalo por el método de reducción y comprueba si lo has conseguido.

Sistemas de ecuaciones (Ventana nueva)

En la red

Ahora es el momento de que apliques lo que has aprendido de este método. Con el siguiente enlace accedes a la página de Álgebra con Papas en la que tendrás que contestar a una serie de test sobre el método de reducción. Aparte de la pantalla inicial, te encontrarás con 8 tests sobre sistemas parcialmente resueltos.

Debes resolver en tu cuaderno los tests pares. En esos casos, escribe los sistemas y su resolución por este método. Es conveniente que primero lo intentes en la página, ya que esta te indicará los posibles fallos que tengas.

Método de sustitución.

Posiblemente en varias ocasiones habrás escuchado la frase "ponte en su lugar", indicando que colocándose en lugar de otra persona quizás se vean las cosas de distinto modo. En el método que vamos a ver en este apartado vamos a hacer eso, colocarnos de una ecuación en la otra ecuación. Es en lo que se basa el método de sustitución. En la siguiente presentación aparecen los pasos  y un ejemplo resuelto.

Método de Sustitución. Presentación de José Muñoz Santonja.

En la ventana inferior tienes ejemplos de resolución de sistemas por el método de sustitución. Basta con que pulses en el botón de Siguiente paso para ver como se resuelve el sistema.

Los botones inferiores, que aparecen al final del proceso, permiten elegir la incógnita que se va a despejar y en qué ecuación. Prueba distintas opciones para ver que, por cualquier camino, siempre se consigue la misma solución.

Si pulsas en el botón de otro ejemplo, podrás resolver otro sistema distinto.

CIDEAD. Sustitución

Igual que has hecho en el punto anterior, escribe cuatro sistemas de los que aparecen en el applet anterior en tu cuaderno. Resuélvelos y después pulsa en Siguiente paso para comprobar la solución. Elige distintas variables y distintas ecuaciones para despejar, no utilices siempre las mismas. Escribe en el cuaderno el desarrollo completo de la resolución.

Seguir practicando

¿Serás capaz de resolver todos los ejercicios del documento adjunto? Inténtalo por el método de sustitución y comprueba si lo has conseguido.

Sistemas de ecuaciones (Ventana nueva)

En la red

Ahora es el momento de que apliques lo que has aprendido de este método. En el siguiente enlace accedes a la página de Álgebra con Papas, en la que tendrás que contestar a una serie de tests sobre el método de sustitución. Aparte de la pantalla inicial, te encontrarás con 8 tests sobre sistemas parcialmente resueltos.

Debes resolver en tu cuaderno los tests impares. En esos casos, escribe los sistemas y su resolución por este método. Es conveniente que primero lo intentes en la página, que te indicará los posibles fallos que tengas.

Método de igualación.

En nuestra vida cotidiana hay cosas que son iguales de por sí, por ejemplo unas gemelas, y otras que intentamos hacer iguales para conseguir algo. Por ejemplo, queremos trabajar lo mismo que otras personas; si tenemos trabajo, tener el mismo tiempo de ocio, ganar lo mismo; a veces nos arreglamos como nuestro ídolo musical preferido para intentar parecernos, etc.

Dado que una solución de un sistema son valores iguales en ambas ecuaciones, intentaremos buscar que las incógnitas de esas ecuaciones sean iguales. En ello se basa el último método que veremos de resolución en este curso.

Método de Igualación. Presentación de José Muñoz Santonja.

Los botones inferiores que aparecen al final del proceso, permiten elegir la incógnita que se va a despejar y en cuál de las dos ecuaciones despejadas sustituir el primer valor que se obtiene de la incógnita. Prueba distintas opciones para ver que, por cualquier camino, siempre se consigue la misma solución. Puedes observar que, dependiendo de la variable que se elija, puede simplificarse la resolución.

Si pulsas en el botón de otro ejemplo, puedes resolver otro sistema distinto.

CIDEAD. Igualación

Como sabes, la tarea habitual de este punto 3 consiste en escribir en tu cuaderno cuatro sistemas elegidos entre los que aparecen en el applet anterior. Debes intentar resolverlos primero en el cuaderno y después comprobar si la solución es correcta.

Es posible que las incógnitas que has elegido no sean las mismas que aparecen en el applet, pero ya sabes que puedes cambiar la incógnita elegida para que sea la misma que has utilizado.

No elijas para despejar siempre la primera incógnita. Intenta elegir en cada caso la que sea más fácil de despejar en, al menos, una de las ecuaciones.

Seguimos practicando

¿Serás capaz de resolver todos los ejercicios del documento adjunto? Inténtalo por el método de igualación y comprueba si lo has conseguido.

Sistemas de ecuaciones (Ventana nueva)

En la red

Por último, vas a aplicar lo que has aprendido de este método. En el siguiente enlace accedes a la página de  Álgebra con Papas, en la que tendrás que contestar a una serie de tests sobre el método de igualación. Aparte de la pantalla inicial, que te pregunta sobre el propio método, te encontrarás con 8 tests sobre sistemas parcialmente resueltos.

Debes resolver en tu cuaderno un total de cuatro tests que tu elijas, aunque entre ellos debe estar obligatoriamente el 8. En esos casos, escribe los sistemas y su resolución por este método. Es conveniente que primero lo intentes en la página, que te indicará los posibles fallos que tengas. En el sistema del test 8 tienes que indicar de qué tipo es el sistema.

Resolviendo problemas.

Jose.cfr. Audi a3 sline (CC BY-SA)

Hay una serie de situaciones en las que debemos seguir un orden a la hora de realizar una acción. Por ejemplo; si queremos poner en marcha un coche, primero debemos seguir estos pasos: introducir la llave en el punto de contacto, girarla y encender el motor, meter una marcha y acelerar el motor a la vez que vamos soltando el embrague. Si no se nos ha olvidado quitar el freno de mano, con esas actividades conseguiremos poner en marcha el coche.

Para resolver un problema, también hay que seguir una serie de pasos que nos permitan llegar a la solución. Una vez leído y entendido el enunciado, y qué nos piden; debemos tener muy claro lo siguiente:

Cuáles son los datos que sabemos y necesitamos para resolver el problema. Ellos formarán los coeficientes de las ecuaciones.

Qué elementos no conocemos y queremos hallar. Esas serán las incógnitas.

Qué relación existen entre los datos y las incógnitas. De aquí sacaremos las ecuaciones del sistema.

Una vez que tengamos esa información, necesitaremos resolver el sistema, por cualquiera de los métodos que hemos visto anteriormente. Recuerda que siempre es conveniente comprobar que los valores que nos han dado verifican las condiciones del enunciado del problema. No hay que limitarse, pues, a verificar solo las ecuaciones en las que puede haberse colado algún error.

Aprende a hacerlo

Esetena. Parque eólico Chinchilla (CC BY-SA)

Una de las principales energías renovables de nuestro país es, sin duda, la energía eólica. Existen cada vez más zonas en las que podemos encontrar los típicos molinos en el horizonte.

La empresa Corporación Energía Hidroeléctrica de Navarra, consiguió en 2003 la concesión de dos parques eólicos en la provincia de Huelva: El Jaral y Guillimona. El parque de El Jaral posee generadores de 2,25 MW de potencia mientras que Guillimona los almacena de 0,85 MW.

Si sabemos que entre los dos parques eólicos (P.E.) tienen un total de 64 generadores y que en total generan 75,40 MW calcula cuántos generadores de cada tipo están instalados.

Retroalimentación

Vamos a llamar x al número de generadores del P.E. El Jaral y representar por y al del P.E. Guillimona. En ese caso las ecuaciones que se forman son las siguientes:

Aplicamos el método de sustitución, para ello despejamos en la primera ecuación y sustituimos en la segunda.

Si sustituimos ahora en la variable despejada en el primer paso obtenemos

.

Por tanto la solución es que en El Jaral hay 15 generadores y en Guillimona 49.

Para terminar vamos a comprobar la solución. En primer lugar es evidente que hay generadores en total que generan un total de

.

Comprueba lo aprendido

El pasado fin de semana estuve en un parque de atracciones con mi familia. Iba con mi mujer, mis tres niños y un amiguito de la escuela y pagué un total de 150€. Casualmente, allí me encontré con mi cuñado; que iba acompañado de su mujer, su hija mayor y los dos pequeños que son gemelos. Resulta que ellos habían pagado 133 euros.

Si llamamos x al precio de las entradas de adultos y representamos por y el de las entradas de niño, el sistema que organiza los datos anteriores es:

Rellenar huecos (1): JXUwMDZh  x+  Rellenar huecos (2): JXUwMDZj  y=150

Rellenar huecos (3): JXUwMDZi  x+  Rellenar huecos (4): JXUwMDZh  y=  Rellenar huecos (5): JXUwMDY5JXUwMDAyJXUwMDAw  

Y entonces los precios de las entradas son: adultos =  Rellenar huecos (6): JXUwMDZhJXUwMDBi  €

niño =  Rellenar huecos (7): JXUwMDZhJXUwMDAx  €

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En la red

Icono de enlace a webEn el siguiente enlace se te plantean una serie de problemas de sistemas de ecuaciones y se te pide que averigües las soluciones. Una vez resueltos, puedes comprobar si los has realizado correctamente.

Tarea

José Antonio Gil Martínez. Atún en Vigo (CC BY)

¿Va de vitaminas?

Un amigo nuestro estuvo el otro día en el médico y este le indicó que estaba bajo de vitaminas. En concreto, que necesitaba vitaminas B3 y B6. Le aconsejó que tomara atún fresco y cereales, que son ricos en ambas. La dieta de nuestro amigo debe contener un total de 124,46 mg de vitamina B3 y 10,68 mg de vitaminas B6.

Busca en Internet la concentración de cada vitamina en cada uno de los alimentos y halla la cantidad de gramos que necesitará ingerir para conseguir esas cantidades. Realiza una presentación en la que expongas: la concentración de vitaminas que has encontrado de cada alimento, el sistema que has planteado y la solución a la que has llegado. Súbela a tu SlideShare y coloca un enlace a ella en el blog de aula con las etiquetas vitamina y la usual de tu nombre.

Retroalimentación

Existen muchas páginas de nutrición en las que encontrar la concentración de vitaminas en los alimentos. Una de ellas sería la de zonadiet.

Tarea

Tarea

Andrés Moreno . Fuego olimpico (CC BY)

¿Ayudamos al C.O.I.?

El comité olímpico internacional está buscando nuevas fórmulas para establecer el medallero olímpico. Han recibido la queja de numerosos países que indican que, a pesar de tener más medallas que otros, aparecen en el medallero en posiciones más bajas.

Para que no exista este desajuste, el COI ha decidido dar una puntuación a cada tipo de medalla; es decir, otorgar un valor a la medalla de oro, otro a la de plata y otro a la de bronce. Así, cada país se situará en el medallero según la puntuación total que tenga. Esto no quiere hacerlo de forma aislada, sino que le gustaría contar con la colaboración de todos los países.

Cada uno podrá hacer una propuesta sobre la valoración que haría de una medalla de oro, la que haría de una de plata y la que haría de una de bronce. El COI tan solo ha puesto dos condiciones que son: que cada medalla de plata sea valorada el doble que una de bronce y que en caso de empate la posición la determine el orden alfabético del nombre del país en español.

Durante estos días están llegando las propuestas de distintos países:

Según la propuesta de Francia, aplicándose a los resultados de los juegos olímpicos de Pekín de 2008, España habría obtenido 48 puntos y Jamaica 38. Con lo que España ya se situaría por encima de Jamaica. Además, los franceses indican que con su propuesta ellos habrían obtenido 58 puntos.

Según la propuesta de Italia, aplicándose también a los juegos olímpicos de Pekín de 2008, Francia habría obtenido 147 puntos y Noruega 45. Además, añaden los italianos, con su propuesta Italia habría obtenido 124 puntos.

Otra de las propuestas que ha llegado ha sido la española. Según la valoración que ellos han hecho de cada medalla, en los juegos olímpicos de Pekín de 2008 Dinamarca habría obtenido 41 puntos  empatando con Nueva Zelanda. Los españoles indican que con esta valoración ellos habrían obtenido 119 puntos.

En ningún caso ha trascendido la valoración que cada país hace de cada una de las medallas, pero los medios de comunicación se han empeñado en averiguarlo. En este caso debes realizar un documento con el procesador de textos en el que indiques la valoración que ha hecho cada país de cada una de las medallas. Además, deberás investigar si la puntuación que se otorgan ellos mismos en los juegos olímpicos de 2008 es real o están falseando los datos.

Posteriormente, elabora un nuevo medallero de los últimos juegos olímpicos que se celebraron con la propuesta que hace España, ordenando los países según esa propuesta. Esto lo realizarás utilizando una hoja de cálculo. Esa hoja de cálculo la compartirás con tu profesor o profesora como documento compartido.

Retroalimentación

Realiza en tu cuaderno los cálculos necesarios y anota los datos que necesites y los resultados obtenidos.

La hoja de cálculo la puedes compartir a través de Google docs.

Ampliación

En la red

Te indicamos algunos enlaces para que profundices en los contenidos del tema.

Enlace a web | Recopilación de actividades de GeoGebra para practicar los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Enlace a web | Realiza la siguiente autoevaluación. Comprueba si manejas adecuadamente los contenidos de la Unidad.
Enlace a web | Resuelve sistemas de ecuaciones que no vienen dados en su forma general. Tienes primero una explicación sobre cómo resolver los sistemas, y después una serie de ejercicios propuestos para que practiques. Anota en tu cuaderno los ejercicios y la resolución de los mismos.
Enlace a web | Plantea y resuelve problemas mediante sistemas de ecuaciones. Encontrarás una serie de enunciados y unas ventanas para escribir la solución. Tras comprobar si son correctas, podrás realizar otros problemas. Anota en tu cuaderno los ejercicios y la resolución de los mismos.
Enlace a web | Problemas de edades. Se explica cómo se resuelven este tipo de problemas y se plantean tres ejercicios diferentes para comprobar lo aprendido. Anota en tu cuaderno los ejercicios y la resolución de los mismos.
Enlace a web. | Problemas de mezclas y aleaciones. Enunciado de problema en la línea de PISA. Si pulsas sobre el botón que pone mezclas, accedes a otro enunciado distinto.

Tarea

Tarea

El profesor de matemáticas Mariano Real intentó durante muchos años buscar relaciones numéricas que lo ligaran a algún científico conocido. Incansablemente lo intentó durante mucho tiempo hasta que su insistencia tuvo recompensa.

Mariano RealMariano Real Pérez. Imagen de Mariano Real.

Hizo con los números auténticos malabarismos, un laberinto casi imposible. Pero al fín lo había conseguido. Según sus cálculos, si invertía el orden de las cifras de su año de nacimiento, obtenía un número que correspondía a un año en el que habían nacido un famoso inventor y un famóso físico-químico ya fallecidos.

Se sorprendió al comprobar que la diferencia entre ambos años era igual al número de grados de medio giro y que la suma de las cifras de su año de nacimiento era 18, su número favorito. Otro aspecto que también le llamó la atención de su año de nacimiento fue que si a la cifra de las centenas le restaba la de las decenas resultaba el primer número primo. Y los números primos son muy importantes en matemáticas.

gandalf 3.0 . Laberinto (CC BY)

Además, pudo comprobar que el doble de sumar la cifra de las decenas con la de las unidades de millar y la de las unidades resultaba ser 10. Lo que le conducía al sistema decimal.

Siempre las relaciones encontradas eran entre números, pero queda un gran enigma por resolver. ¿Quiénes fueron el famoso inventor y el famoso físico-químico? ¿Tan importantes fueron? ¿Cuáles fueron sus trabajo?

Resuelve el enigma y realiza una presentación en la que expliques; cómo lo has resuelto, quién es el inventor y qué inventó, quién es el físico-químico y qué contribuciones hizo a la ciencia.

Utiliza la presentación para explicar en clase a tus compañeros la resolución de esta parte de la tarea.

Utiliza ahora tu año de nacimiento o el de algún familiar para realizar un enunciado parecido al de esta tarea. Crea una entrada en el blog de aula con el enunciado que has creado incluyendo alguna imagen. A esta entrada debes colocarle dos etiquetas. La primera será la primera letra de tu nombre seguida de tu primer apellido y la segunda será la palabra científico.

Retroalimentación

En la segunda parte de la tarea, debes estar atento a que el ejercicio que propongas en el blog se pueda resolver con los datos que proporciones.

Refuerzo

En la red

Algunos enlaces que te recomendamos para repasar los contenidos de la unidad son:

Enlace a web | Repaso de los conceptos de sistemas de ecuaciones y los métodos de resolución. Anota en tu cuaderno los ejercicios y la resolución de los mismos.
Enlace a web | Repaso de los contenidos y métodos de resolución mediante applets de Descartes. Repasa los contenidos correspondientes a ecuaciones lineales con dos incógnitas y a sistemas de ecuaciones. Anota en tu cuaderno los ejercicios y la resolución de los mismos.
Enlace a web | Sistemas resueltos paso a paso. Intenta resolverlos y comprueba posteriormente la solución que has obtenido. Anota en tu cuaderno los ejercicios y la resolución de los mismos.
Enlace a web | Problemas de enunciado de resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones lineales, en este caso, ambientados en compras y devoluciones. Se indican pistas sobre cómo plantearlos y resolverlos.
Enlace a web | Autoevaluación para comprobar si dominas el tema. Realiza los ejercicios en tu cuaderno y comprueba el resultado.

Tarea

Tarea

La Federación Española de Fútbol quiere fomentar el espectáculo en este deporte. Para ello ha decidido apostar por potenciar que los equipos intenten marcar un mayor número de goles en cada partido.

Gvlowatch. Copa Presidente FEF de 1947 (Dominio público)

A medida que avanza la liga de fútbol, cada equipo obtiene sus puntos según el número de partidos ganados, empatados y perdidos. Si embargo, el número de goles que el equipo marca, o los que le marcan, solamente se tienen en cuenta en caso de empate en el número de puntos conseguidos.

Basándose en la clasificación final de la liga 2002/2003, la Federación está manejando dos posibles formas de puntuar los goles marcados por un equipo y los goles que le han marcado, de forma que esos puntos también se sumen a los que obtenga por ganar, empatar o perder el partido.

Según la primera forma de puntuar, en la liga 2002/2003 el Real Madrid habría acabado con 382 puntos y el RCD Español con 121.

Según la segunda forma de puntuar, en la liga 2002/2003 el Real Madrid habría acabado con 384 puntos y el RCD Español con 61.

Actualmente se está jugando la liga española y existe una clasificación provisional de los equipos con arreglo a la forma tradicional de otorgar puntos a los equipos. En este caso te pedimos que realices una hoja de cálculo en la que aparezca la clasificación actual de la liga con los partidos jugados, ganados, empatados y perdidos y los goles a favor y en contra, además de los puntos de cada equipo. También debe aparecer la clasificación de la liga con los datos anteriores pero utilizando la primera forma de puntuar que maneja la Federación. Por otra parte debe aparecer la clasificación de la liga con los datos anteriores pero utilizando la segunda forma de puntuar que maneja la Federación.

¿Se han producido cambios en la clasificación con la primera o la segunda forma? ¿Crees que se favorece el espectáculo con alguno de estos sistemas de puntuar o con ambos? ¿Qué crees que se debería hacer para favorecer el espectáculo? Utiliza la hoja de cálculo realizada para exponer a tus compañeros tu forma de pensar respecto a las preguntas anteriores y defender tus ideas.

Para ayudarte a argumentar aún mejor aplica la primera forma de puntuar y la segunda a la clasificación de la liga 2002/2003. ¿Observas algún cambio?

Retroalimentación

Explica a tus compañeros los cálculos que hayas tenido que realizar.

Anota en tu cuaderno todos los cálculos y tu posición respecto a las preguntas que te planteamos.

Cuestionarios

Cuestionarios

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Licencia de Creative Commons
Matemáticas 3º E.S.O. CeDeC.

- Ficha técnica y descarga -

Ficha técnica

Título

Con una sola ecuación no tenemos bastante

Materia

Matemáticas

Nivel educativo

3º ESO

Contenidos

Ecuación de dos variables, interpretación gráfica. Sistema de ecuaciones. Método de reducción, método de sustitución, método de igualación.

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Este recurso tiene licencia CC BY-SA, por lo se puede utilizar, descargar, modificar y adaptar sin ningún problema, siempre que se reconozca la autoría del mismo y, en caso de modificarlo y publicar una nueva versión, se licencie con la misma licencia CC BY-SA. 

Para reconocer la autoría de recurso se puede utilizar el siguiente texto:

Este material es una adaptación del recurso original "Con una sola ecuación no tenemos bastante" del Proyecto EDIA de Cedec.

A continuación ofrecemos el archivo fuente (recurso original) para realizar las modificaciones necesarias con eXeLearning, herramienta de autor gratuita y disponible para cualquier sistema operativo.

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Créditos

Proyecto EDIA. Con una sola ecuación no tenemos bastante. Cedec

Autores: Mariano Real Pérez, Arturo Mandly, Manso José Muñoz Santoja

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