Asesoría fiscal

Julien Jorge. Paiement euros (CC BY-SA)

Vaya, vaya. Veo que tienes algo de dinero ahorrado. Creo que has venido al lugar perfecto. Mi nombre es María José Iglesias y soy asesora fiscal en la empresa TELOINVIERTO. Supongo que estarás buscando un lugar en el que tu dinero te produzca un buen rendimiento.

Nuestra empresa lleva años asesorando a miles de personas sobre cómo deben invertir su dinero, de forma que obtengan los mayores beneficios posibles sin correr grandes riesgos.

Seguramente habrás descubierto TELOINVIERTO debido a la fama que tiene; ya que Leopoldo Abadía estuvo trabajando en ella; y la verdad es que su didáctica sobre el funcionamiento de las inversiones, la bolsa, las fluctuaciones... ha hecho escuela.

En el siguiente enlace te dejo un vídeo de los suyos en el que explica los movimientos que hay en la bolsa. Seguro que te enterarás mejor.

LeopoldoAbadia. LEOPOLDO ABADÍA EXPLICA LA BOLSA EN BUENAFUENTE

Ahora que ya conoces un poco el funcionamiento de la bolsa, habrás deducido que hay que estar muy atento a las empresas que cotizan en ella, de forma que las inversiones no corran riesgos innecesarios. Nuestro operativo de inversiones funciona a nivel internacional y, dependiendo de los riesgos que quiera asumir el cliente y de la cantidad de dinero que desee invertir, le asesoramos en una u otra dirección.

Ya veo que te hemos causado impresión. Bueno, ahora que ya nos conoces, cuando tengas clara la cantidad de dinero que quieres invertir y los riesgos que puedes asumir, vienes y te asesoramos. Gracias por haberte interesado en nuestra empresa y hasta pronto.

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Matemáticas 3º E.S.O. CeDeC.

Obra publicada con Licencia Creative Commons Reconocimiento Compartir igual 4.0

Mi primera inversión

Cuando realizaste la visita a la empresa TELOINVIERTO, te facilitaron una serie de folletos.  En ellos te aclaraban que siempre que se vaya a invertir en bolsa se debe hacer con mucha precaución, y que es mejor invertir en los valores conocidos del propio país. En este caso, los valores que te aconsejan son los que pertenecen al Ibex 35.

En la imagen siguiente puedes ver un listado de hace algunos años.

Listado de valores del IBEX 35.

Tarea

J.L. De Diego. Bolsa de Madrid edited (Dominio público)

¿Invertimos en Bolsa?

Ahora que ya te has decidido a invertir, has llamado a María José y te ha indicado que selecciones uno de los valores del listado del Ibex 35.

Para ello vas a mirar en el periódico de hoy y vas a elegir el que creas mejor de entre los que aparecen.

María José te ha informado de que TELOINVIERTO te va a cobrar una comisión fija de 10 euros por llevar toda tu inversión. Selecciona la empresa que más te guste. Como la compra de acciones la vas a realizar hoy deberás pagar por cada acción lo que te indique en la columna último.

Realiza una secuencia de números indicando lo que pagarías en total, incluyendo la comisión de TELOINVIERTO si compraras 1, 2, 3, 4 o 5 acciones de la empresa que has seleccionado.

Te surgen algunas dudas y te preguntas cuánto te costaría en total comprar 100 acciones de esa empresa.

¿Sabrías indicar cuánto te gastarías si compraras un número indeterminado de acciones?

Ya lo tienes. Finalmente te has decidido a comprar 21 acciones de esa empresa.

Mira el periódico del día siguiente y comprueba si tus acciones han subido o han bajado y calcula el dinero que has ganado o que has perdido.

Realiza una hoja de cálculo en la que aparezcan todos los datos que has tenido que utilizar y la respuesta a todas las dudas que te hemos planteado, así como el fruto de tus inversiones en la bolsa.

Utiliza la hoja para explicarle a tus compañeros la inversión que has hecho y todas las cuestiones anteriores.

Debate con tus compañeros sobre el significado y la utilidad de invertir en bolsa.

Retroalimentación

¿Te atreves a hacer gráficas con los resultados obtenidos?

Contenidos: un número detrás de otro

Si has tenido hoy más clases antes de la actual, posiblemente en alguna de ellas tu profesor o profesora habrá pasado lista.

¿Te has parado a pensar en qué consiste una lista de clase? Básicamente es un conjunto de elementos, en este caso los nombres de los que formáis el grupo, ordenados según un determinado criterio, en concreto, por una ordenación del primer apellido. En la vida cotidiana son muy corrientes las situaciones en la que existen cosas que están ordenadas. Por ejemplo, piensa en todos los lugares  en  los que hay que tomar un número para ser atendido: en los supermercados, en oficinas de Correos, en el médico de cabecera, etc.

CeDeC. Clase con portatiles (CC BY-SA)

En este tema vamos a trabajar con elementos ordenados, que en lugar de ser personas serán números. También estudiaremos reglas para saber cuáles están en cada lugar.

Curiosidad

Wikipedia. Fibonacci (CC0)

El matemático italiano Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci; desarrolló una importante labor a lo largo del Siglo XIV, introduciendo en Europa el sistema de numeración indio-arábiga que es el que utilizamos en nuestros días.

Su libro Liber Abaci (el libro del ábaco) significó una auténtica revolución en su época pues presentaba la facilidad que significaban la notación posicional para el comercio y la contabilidad, especialmente el cálculo de intereses, el cambio de monedas, los pesos y medidas, etc.

Sin embargo, lo curioso es que ha pasado a ser más conocido por el público en general, debido a uno de los problemas que propuso en su Liber Abaci estudiando una población de conejos, y que daba pie a la creación de una curiosa sucesión.

Esa sucesión, que en su honor se nombró como Sucesión de Fibonacci, se comprobó posteriormente que aparece en muchas situaciones de la naturaleza.

Aunque volveremos sobre ella, de momento te invitamos a que veas un precioso vídeo. En él se recrean por ordenador diversas situaciones de la naturaleza en las que aparece esta sucesión. Es una verdadera maravilla a la que puedes acceder desde el siguiente enlace.

Todo sigue

Reduciendo. Imagen de ppmuñoz

En alguna ocasión habrás ido por una autovía y, si el vehículo en el que ibas tomaba una salida, habrás podido observar como los límites de velocidad van disminuyendo adecuándose a las necesidades de la carretera. Primero hay una señal de 100, después una de 80, otra de 60 y, a veces, cuando la salida está en curva cerrada, hasta de 40.

Esas cantidades, 100, 80, 60, 40 forman una sucesión de números que tienen una característica particular, cada uno de ellos disminuye en 20 unidades respecto al anterior. Por lo tanto, son una serie de números ordenados que tienen una ley de formación. Eso es una sucesión.

¿Te atreves a jugar?

Antes de comenzar con las características y las propiedades que tienen las sucesiones vamos a proponerte un entretenimiento, para que comiences el tema con más ganas.

En el siguiente enlace puedes descargarte un archivo en pdf con varios pasatiempos del estilo de los que puedes encontrar en periódicos y revistas.

Todos ellos se basan en una sucesión o serie de números que tienen una determinada regla de construcción que deberás descubrir.

Escribe en tu cuaderno la solución a cada uno de los pasatiempos y, lo que es más importante, cuál ha sido el razonamiento que has seguido en cada caso para resolver el problema.

No te olvides de añadir la hoja de enunciados a tu cuaderno o copiar los pasatiempos a medida que los vayas resolviendo. 

La ley de sucesión

Paul Foot. Mens 100m finals British Champs and Olympic Trials (CC BY-SA)

En la imagen adjunta puedes ver la parrilla de salida de una carrera de 100 metros lisos. En los Campeonatos Mundiales de Atletismo de Berlín en 2009 el jamaicano Usain Bolt superó el récord del mundo establecido hasta el momento, consiguiendo la marca de 9,59 segundos.

Si observas la tabla, verás que lo primero que hay asignado a cada calle es el número del dorsal del atleta que correrá por ella. Si consideramos esos números, nos encontramos con una serie de 8 números ordenados.

Con este tipo de conjuntos numéricos es con el que vamos a trabajar en esta unidad.

Importante

Llamaremos sucesión numérica a todo conjunto ordenado de números.

A cada uno de sus elementos se le llama término y se caracteriza por un subíndice que indica el lugar que ocupa en la sucesión. De esa forma a₃ representa el tercer término y el término decimocuarto se indicará por a₁₄.

Por ejemplo, la sucesión 1, 5, 14, 30, 55, 91, 144,... que encontraste en los pasatiempos del apartado 1, tiene como tercer término a₃= 14 y 144 es el término 7º.

Al término que ocupe un lugar cualquiera lo llamaremos término enésimo y lo representamos por an.

Hay veces en que los números que se han ordenado no tienen ninguna relación con el lugar que ocupan, como pasa con los dorsales de los atletas en la carrera, pero en otras ocasiones sí la tienen. En este caso existe una ley de formación, es decir, una fórmula que nos permite conocer cuál es el número que sigue a los que conocemos o que ocupa un lugar determinado. Gracias a esta fórmula, podemos conocer cuál es el término que ocupa un lugar cualquiera n, y lo llamaremos término general de la sucesión.

Por ejemplo, en la sucesión 2, 5, 8, 11, 14, .... puedes observar una clara regla de formación: cada número se obtiene sumando 3 unidades al número anterior, es por lo tanto, muy fácil hallar el número que continúa que será el 17. El término general de la sucesión sería an = 3n-1. Puedes comprobar fácilmente que si sustituyes n por 1, 2, 3, ... vas obteniendo los términos de la sucesión.

A veces, te encontrarás sucesiones en las que no exista un término general o una ley de formación, pero en las que, sin embargo, haya una propiedad que cumplan los números y que nos permita construir la sucesión. Por ejemplo, la sucesión 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... es la formada por los números primos y la 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ... está formada por las aproximaciones del número .

Comprueba lo aprendido

Escribe el número que seguiría en cada serie de las siguientes.

1) | 1, 2, 3, 4, 5, ... | 3) | 1, 4, 9, 16, 25, ... | 5) | 3, 6, 12, 24, 48, ...
2) | -5, 5, -5, 5, -5, ... | 4) | 25, 22, 19, 16, 13, ... | 6) | 0, 2, 6, 12, 20, ...

Pista: Para la última sucesión compárala con los terminos de la primera y la tercera.

Término siguiente
Serie 1 | Serie 2 | Serie 3 | Serie 4 | Serie 5 | Serie 6
Rellenar huecos (1): JXUwMDZl | Rellenar huecos (2): JXUwMDZk | Rellenar huecos (3): JXUwMDZiJXUwMDA1 | Rellenar huecos (4): JXUwMDY5JXUwMDAx | Rellenar huecos (5): JXUwMDYxJXUwMDBm | Rellenar huecos (6): JXUwMDZiJXUwMDAz

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Para hallar el término que sigue en la sucesión 6 debes restar los que siguen en la 3 menos los de la 1.

Aprende a hacerlo

Vamos a hallar los términos generales de las sucesiones vistas en el ejercicio anterior.

Retroalimentación

1) En este caso, es muy fácil pues el valor coincide con la posición del término, por lo que el término general es .

2) Aquí tenemos el número 5 al que le cambia el signo. Es negativo en los lugares impares y positivo en los pares. Por lo tanto, basta multiplicar por una potencia de -1 conveniente. El término general sería . De esa forma, los lugares impares tendrían un signo menos y los lugares pares un signo más.

3) Aquí tenemos la sucesión de los cuadrados de los números naturales. Su término general es .

4) En cada término se resta 3 del anterior. Como para llegar al término n hemos restado 3 n-1 veces el término general sería o si operamos el paréntesis . Puedes comprobar que es el término general dando valores a n y viendo que obtienes los primeros términos de la sucesión.

5) Aquí estamos multiplicando por 2, igual que pasaba en el apartado anterior, para llegar al término n hemos tenido que multiplicar el primer término, 3, por el valor 2 un total de n-1 veces. Por tanto, el término general sería . Estos dos últimos tipos de sucesiones se estudiaran más detenidamente en los siguientes apartados.

6) La última es la más complicada, pues no es posible extraer la regla de formación a partir de los valores.a simple vista. Pero si nos fijamos en las anteriores sucesiones; podemos comprobar que, si le restamos miembro a miembro los términos de la tercera sucesión menos los de la primera, nos dan esos términos. Por tanto, su término general será

En el enlace tienes un ejemplo de patrón de construcción de figuras. Si aumentas n aparecen los siguientes términos del patrón. Al contar el número de cuadrados de cada figura y el de líneas que la forman obtenemos dos sucesiones. Tienes tres métodos diferentes para contarlos.

Consolación Ruiz Gil. Término General (forma T)

Dibuja en tu cuaderno el patrón y escribe una tabla que te indique el número de cuadrados y líneas que tiene cada término de la sucesión. Después, intenta encontrar el término general y escribe los cálculos que necesites para encontrarlo. Escribe la expresión final simplificada. Por último, pulsa en el botón de solución y comprueba si coincide con lo que has obtenido.

En la red

En el siguiente enlace accedes a una actividad del Proyecto Gauss. En ella se quiere diseñar un paseo formado por jardineras y losetas que las rodean. Enlace a web

Hay tres diseños posibles. Debes seleccionar uno de los tres y argumentar por qué has elegido ese diseño en lugar de los otros dos. Una vez que hayas elegido uno debes resolver las cinco primeras cuestiones que aparecen detrás de la ventana interactiva, pero no con el Diseño 1, si no con el que hayas elegido. Realiza la actividad en tu cuaderno.

En la red

Enlace a web Para practicar los conomientos adquiridos entra en el siguiente enlace y resuelve los dos primeros ejercicios que aparecen. Copia en tu cuaderno las soluciones que has encontrado. 

Esto es recurrente

A veces, las sucesiones se dan de forma recurrente. Por ejemplo, en la sucesión 8, 13, 18, 23, ... podemos ver que cada término se obtiene sumando 5 unidades al anterior. Podemos por tanto decir que . Pero, aún así, es fácil encontrar un término general, en concreto, . Sin embargo, hay otras sucesiones recurrentes en las que no es tan fácil encontrar el término general, por ejemplo, 1, 5, 14, 30, 55, 91, ... tiene como ley de recurrencia .

Dentro de las sucesiones recurrentes la más conocida es la Sucesión de Fibonacci, que vimos en el vídeo de la introducción. En esa sucesión, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... cada término, a partir del tercero, se calcula sumando los dos anteriores. Es decir, su ley de formación sería . Aunque puede parecer que es una sucesión extraña vamos a ver que tiene muchas aplicaciones.

Tarea

En el siguiente enlace tienes el material interactivo del programa "Fibonacci: la magia de los números" de la serie Más por menos de RTVE.

En ella encontrarás una pequeña información sobre Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, y cosas muy interesantes sobre la sucesión que lleva su nombre. Especialmente, verás como es posible encontrar esta sucesión en la naturaleza.

Te recomendamos que realices las actividades interactivas que aparecen en las tres partes en las que se divide "Fibonacci: la magia de los números"

Además, la tarea que tendrás que realizar sobre los contenidos tratados en los diferentes vídeos tiene dos partes.

En la primera parte de la tarea deberás contestar en tu cuaderno al cuestionario que encontrarás en el siguiente enlace.

La segunda parte de la tarea consistirá en que realices un informe de texto, por ejemplo en Google Docs en el que hables sobre Leonardo de Pisa y especialmente sobre su aportación a la historia de la matemática. Lo complementarás con una explicación sobre el número de oro y su aplicación en el arte y otros aspectos de la vida cotidiana.

El texto que realices debes compartirlo en la red e incrustarlo en el blog de aula añadiendo dos etiquetas: la típica de tu nombre y fibonacci como segunda etiqueta.

Retroalimentación

Es conveniente que imprimas el cuestionario que debes rellenar antes de ver el vídeo. Así podrás ir contestando a las preguntas.

Tarea

Rodolfo I Henry. Tapa del reglamento de truco (Dominio público)

¿Magia?

Hay varios trucos de magia matemática que se basan en una sucesión con la misma construcción que la de Fibonacci. Vamos a ver un par de ellos:

1. Se pide a un espectador que seleccione dos números cualesquiera de dos cifras. A continuación, debe crear una sucesión de forma que cada término sea la suma de los dos anteriores. En total debe escribir 20 términos. Por último, debe dividir el término 20 entre el 19. El mago ya tendrá un papel en la que figurará el número 1,61803... que son las primeras cifras del número de oro y que coincidirá con lo obtenido en la división.

Comprueba este truco. Para ello toma una hoja de cálculo y a partir de los dos primeros términos halla los 20 primeros  de la sucesión y comprueba que realizando la división indicada, se obtienen las cifras anteriores. Indica en tu cuaderno los dos números de los que has partido inicialmente y a partir de qué término se obtiene la primera cifra decimal del número de oro, a partir de qué término se obtienen las dos primeras cifras decimales exactas, cuándo ocurre con las tres primeras y así hasta las 5 que hemos indicado.

2. El segundo truco consiste en la misma sucesión. Partimos de dos números cualesquiera, se le pide al espectador que comience a construir la sucesión hasta el término 10. Cuando el espectador haya escrito el 7º término el mago puede hacer ya una predicción del valor que se va a obtener al final, escribiéndolo en un cuaderno.

Una vez que se escriban los 10 términos se suman y el valor de la suma coincide con el número que había previsto el mago.

Lo que queremos que hagas es que utilices las expresiones algebraicas para estudiar que relación existe entre el valor de la suma y el 7º término de la sucesión. Escribe en tu cuaderno todo el proceso que has seguido y la explicación sobre el truco que utiliza el mago para hallar el valor.

Retroalimentación

Debes partir de un par de números genéricos, por ejemplo, a₁=a y a₂=b. A partir de ellos comienzas a aplicar la ley de recurrencia de Fibonacci y obtienes a₃=a+b y a₄=a+2b. De esa manera se obtienen todos los términos y la suma son expresiones algebraicas que dependen de a y de b. Encontrarás fácilmente la relación entre el término 7º y la suma de los diez primeros términos.

Suma que te suma

Pill. Geburtstagskuchen (CC BY-SA)

Una amiga nuestra, Marina, sigue una tradición común en su familia. El día de su cumpleaños mide su altura y anota en un papel ese dato para llevar una constancia de la evolución de la misma. De esa manera, tiene en su registro dos sucesiones, la que corresponde a los años que cumple y la que corresponde a su altura. La segunda es una sucesión que seguramente no tendrá una regla de formación, ya que la altura de un año no tiene por qué guardar relación con la del siguiente. Pero la primera, la de los años que cumple, sí es una sucesión particular: cada término es una unidad más que el anterior.

En este apartado vamos a trabajar con unas sucesiones particulares en las que cada término se obtiene al sumarle al anterior  una cantidad fija, son lo que se llaman progresiones aritméticas.

En la red

Antes de que comencemos a trabajar con las progresiones, te aconsejamos que visiones el vídeo al que accedes desde el siguiente enlace.

En él se habla de sucesiones.Aunque volverás a encontrarte de nuevo con Fibonacci, verás ejemplos de los dos tipos de progresiones que vamos a estudiar en este curso.

Escribe en tu cuaderno un ejemplo que te inventes y que consideres de tu entorno cotidiano, en el que aparezca una progresión de cada uno de los tipos de los que se habla en el vídeo.

Lo general de la progresión aritmética

Ministrillo. Biblioteca de la Academia de Artillería - Estantería 64 (CC BY-SA)

En casa de mi tío hay varias estanterías de libros que están repletas. Los estantes de esas estanterías, están separados de forma periódica. La inferior está a 7 centímetros del suelo y las restantes a 34 centímetros cada una de la anterior. Si escribimos la altura a la que están los estantes, obtenemos la siguiente sucesión 7, 41, 75, 109, 143, 177, 211.

Las sucesiones que, como la anterior, tienen la característica de que cada término se obtiene del anterior sumándole una cantidad constante reciben el nombre de progresiones aritméticas.

Al valor constante que se suma a cada término para obtener el siguiente se le llama diferencia y suele representarse por la letra d. En el caso del ejemplo de la estantería la diferencia sería 34.

En general, en una progresión aritmética se cumple que para cualquier n a partir de 2.

Es muy fácil ver si una sucesión es una progresión aritmética. Basta restar pares de términos consecutivos;  si se obtiene siempre el mismo valor, tenemos una progresión aritmética.

Por ejemplo, la sucesión 6, 10, 14, 18, 22, ... es progresión aritmética ya que se cumple:

Una forma simple de verlo es hallar la diferencia entre los dos primeros términos y comprobar si sumando siempre ese valor se obtienen los demás.

Comprueba lo aprendido

Pregunta

Señala todas las sucesiones que son progresiones aritméticas.

Respuestas

Opción 1

4, 7, 10, 13, 16, 19, ...

Opción 2

1, 2, 3, 5, 8, 13, .....

Opción 3

2; 3.5; 5; 6.5; 8; 9.5; ....

Opción 4

29, 25, 21, 17, 13, 9, ....

Opción 5

1, 2, 4, 8, 16, 32, .....

Retroalimentación

Aplica la regla que has visto antes.

Solución

Correcto

Incorrecto

Correcto

Correcto

Incorrecto

Si consideramos la ley de formación de una progresión aritmética, nos podemos encontrar con lo siguiente:

Basta fijarse para encontrar rápidamente cuál es la ley de formación: cualquier término es igual al primero más la diferencia multiplicada por una unidad menos que el lugar que ocupa el término.

Es decir, el término general de una progresión aritmética, cuyo primer término es a₁ y su diferencia es d, sería:

A partir de lo anterior, si tenemos un par de términos cualesquiera y , si restamos ambos podemos encontrar la fórmula para hallar un término en función de otro cualquiera.

Gracias a las expresiones anteriores, conociendo un término y la diferencia o dos términos cualesquiera es posible hallar todos los términos de la progresión aritmética. Veámoslo en el siguiente ejercicio resuelto.

Aprende a hacerlo

Queremos hallar las siguientes sucesiones:

En una progresión aritmética el término 5º es 21 y la diferencia 3, halla el primer término y el término 10º.

Halla el término general de una progresión aritmética cuyo tercer término es 18 y su término 6º es 3.

Retroalimentación

1. A partir de la diferencia y del 5º término podemos hallar el primero, pues se verifica lo siguiente:

Y conociendo el primer término y la diferencia podemos hallar cualquier término, en concreto, el décimo:

También podría haberse obtenido el término 10º a partir del 5º:

2. Lo primero es encontrar el valor de la diferencia, algo que podemos hacer incluso directamente. La distancia que hay en el término 3 y 6 es de . Como para pasar del término 3 al 6 hay que sumar tres veces la diferencia, bastaría dividir el valor anterior entre 3 y obtendríamos como diferencia -5. Es lo mismo que hacer el proceso:

El siguiente paso es hallar el primer término, igual que hemos hecho en el apartado anterior:

Por tanto el término general de esta progresión aritmética es:

En la red

En el siguiente enlace encontrarás ejercicios interactivos autoevaluables para practicar la suma de los primeros términos de progresiones aritméticas.

Justo en el medio

Es corriente que en las autovías aparezcan determinados elementos colocados de forma periódica. Por ejemplo, los avisos de los kilómetros que quedan hasta determinados destinos o los antiguos postes de avisos para accidentes.

Si queremos saber qué distancia hay entre estos postes de forma que estén a la misma distancia unos de otros, podemos ayudarnos de lo aprendido en las sucesiones.

A veces, tenemos dos números y nos interesa encontrar números entre ellos, separados uniformemente de manera que formen todos una progresión aritmética.

Este proceso recibe el nombre de interpolación. En la siguiente presentación puedes ver cómo se hace. Pulsa sobre la ventana cada vez que quieras cambiar de pantalla.

Interpolación aritmética. Montaje de José Muñoz Santonja.
Licencia Creative Commons by-sa

En el enlace puedes practicar ejemplos de interpolación aritmética. Debes tener cuidado ya que se alterna la interpolación artitmética y la geométrica, que veremos en el apartado 3.

Elige cinco ejemplos de interpolación aritmética, escribe los enunciados en tu cuaderno e intenta resolverlos. Una vez conseguido, pulsa en el botón solución para comprobar si es correcto lo que has obtenido.

Comprueba lo aprendido

Poste de avisos. Imagen de ppmuñoz en Flickr.
Licencia Creative Commons by-nc-sa

En un trozo de autovía hemos contado un total de 13 postes de avisos para incidencias.

El primero lo hemos encontrado en el kilómetro 3 y el último en el 24.

Si sabemos que están a la misma distancia entre dos consecutivos, responde a las siguientes cuestiones (utiliza como separador la coma decimal):

Cada poste se encuentra a Rellenar huecos (1): JXUwMDY5JXUwMDFkJXUwMDFiJXUwMDAy kilómetros del anterior.

Los kilómetros donde están situados los postes que hemos pasado son los siguientes:

3 ; Rellenar huecos (2): JXUwMDZjJXUwMDE4JXUwMDFiJXUwMDAy ; Rellenar huecos (3): JXUwMDZlJXUwMDFhJXUwMDE5 ; Rellenar huecos (4): JXUwMDYwJXUwMDE0JXUwMDFlJXUwMDA3 ; Rellenar huecos (5): JXUwMDYx ; Rellenar huecos (6): JXUwMDY5JXUwMDAxJXUwMDFjJXUwMDFiJXUwMDAy ; Rellenar huecos (7): JXUwMDY5JXUwMDAzJXUwMDFlJXUwMDE5 ; Rellenar huecos (8): JXUwMDY5JXUwMDA1JXUwMDE4JXUwMDFlJXUwMDA3 ; Rellenar huecos (9): JXUwMDY5JXUwMDA3 ; Rellenar huecos (10): JXUwMDY5JXUwMDA2JXUwMDFiJXUwMDFiJXUwMDAy ; Rellenar huecos (11): JXUwMDY5JXUwMDA4JXUwMDE1JXUwMDE5 ; Rellenar huecos (12): JXUwMDZhJXUwMDAzJXUwMDFkJXUwMDFlJXUwMDA3 ; 23

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Agrupando términos

En la presentación que has encontrado al principio del apartado anterior, se planteaba el ejemplo de un corredor que cada día aumentaba de forma constante el número de metros que entrenaba para prepararse para una carrera.

Si quisiéramos saber el número total de metros que ha corrido en toda la semana, bastaría sumar los siete números y tendríamos el total. Pero si el atleta sigue entrenándose durante un mes, costaría más trabajo hallar el total. La ventaja que tenemos en las progresiones es que es muy fácil encontrar una fórmula para hallar esa suma a partir de pocos datos.

Hasta un niño puede encontrar dicha fórmula, aunque debe ser un niño muy especial. Puedes verlo en el corte que hemos seleccionado del episodio dedicado a Gauss, de la serie Universo Matemático.

Gauss. Material didáctico de la aventura del saber. INTEF y RTVE. Licencia CC by-nc-sa

Si quieres saber más sobre la apasionante vida de quien recibió el título de "Príncipe de los Matemáticos", te aconsejamos que consultes el siguiente enlace en donde podrás hacer multitud de actividades interactivas

Si ahora trabajamos en general con el método seguido por Gauss, verás como es muy fácil hallar la fórmula que nos da la suma de n términos de una progresión aritmética. Basta que sigas la presentación:

 Suma de progresión aritmética. Montaje de José Muñoz Santonja.
Licencia Creative Commons by-sa

En el siguiente applet se visualizan los términos de una progresión aritmética de diferencia positiva y puedes hallar la suma de sus términos. Puedes seleccionar el primer término, la diferencia y el número de términos entre 2 y 20.

Si mueves el deslizador Suma, verás de forma geométrica el cálculo de la suma de los términos, repitiendo la progresión y convirtiéndola en un rectángulo. Debajo puedes encontrar el valor de la suma.

Progresión aritmética. Applet de José Muñoz Santonja sobre un taller del Grupo Xeodin.

Licencia Creative Commons by-sa.

Comprueba lo aprendido

Utiliza el applet anterior para responder a las siguientes cuestiones y copia en tu cuaderno la expresión y el valor de las sumas pedidas:

1) La suma de los 15 primeros términos de la sucesión 3,1 ; 3,5 ; 3,9 ; ... vale Rellenar huecos (1): JXUwMDYwJXUwMDAwJXUwMDE0JXUwMDE5 .

2) Todos los números múltiplos de 3 que son menores que 50 suman Rellenar huecos (2): JXUwMDZjJXUwMDA0JXUwMDA4 .

3) El valor 312 es la suma de los Rellenar huecos (3): JXUwMDY5JXUwMDAz primeros múltiplos de 4.

4) Los 15 primeros términos de una progresión aritmética cuyo primer término es 2,5 y tiene de diferencia Rellenar huecos (4): JXUwMDY5JXUwMDFkJXUwMDE5 suman 195.

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En la red

Puedes practicar la suma de términos de una progresión aritmética en el applet que encontrarás en el siguiente enlace.

Encontrarás ejercicios variados. En algunos te pedirán sumar una serie de múltiplos de un número; n otros, te darán el término general de una progresión 7, y en otros te darán dos términos.

Debes hacer varios para practicar y copiar en tu cuaderno los enunciados de cuatro ejercicios de distinto tipo (es decir, no valen todos del tipo en el que den el término general, por ejemplo).

Una vez que lo hayas resuelto, escribe el desarrollo completo. Comprueba si es correcto pulsando en el botón de solución.

Tarea

Sube. ppmuñoz.  (CC by sa)

¿Te conviertes en diseñador?

Hoy en día se utilizan en muchos diseños bombillas tipo leeds por su ahorro de energía. Podemos encontrarlas en semáforos, luces de vehículos y muchos otros lugares como por ejemplo en ascensores.

En la imagen vemos cómo se utiliza una pirámide de luces para indicar hacia donde se dirige el ascensor. Si te fijas, puedes apreciar que la imagen está formada por una progresión aritmética.

Ahora te pedimos que te conviertas en diseñador.

Una empresa quiere crear una figura hecha con luces leeds para la fachada de su oficina principal. Tú vas a ser el encargado de crear ese diseño. La figura debe estar formada por dos progresiones aritméticas similares a la de la imagen, pero de distinta diferencia. Puedes organizarlas como quieras, una tras otra o mezclándolas entre sí. El espacio a rellenar tiene un metro de largo.

Debes indicar cuántos términos de las sucesiones puedes incluir (los mismos en cada progresión), cuántas bombillas necesitarás y cuál será el coste final del proyecto.

Crea un montaje, con cartulina por ejemplo, en el que presentes tu diseño y los datos completos. Adorna el aula, fotografíalo y escribe una entrada en el blog de aula incrustando la imagen. Utiliza las etiquetas leeds y tu etiqueta representiva habitual.

Retroalimentación

Debes dejar bien claras las características de las dos progresiones.

Más de lo mismo

XicoOfficial. I just got this #toy!... (CC BY-SA)

Un amigo nuestro es muy aficionado a jugar a la ruleta. Dice que tiene un método infalible. Comienza haciendo una apuesta y si pierde, repite la apuesta duplicando lo apostado. De esa forma, va duplicando la cantidad apostada mientras sigue perdiendo, hasta que consigue ganar.

Este es uno de los métodos de jugar a la ruleta más conocidos  y suele llamarse Método Martingala. Nosotros no estamos a favor de juegos que se basan en apostar dinero. En Internet se puede encontrar la justificación de por qué con ese método es imposible hacerse rico, pero nos interesa el método en sí.

Si se comienza apostando, por ejemplo 3 euros; mientras se continúe perdiendo se obtiene la siguiente sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, ...

Podemos apreciar que cada término se obtiene del anterior multiplicado por una cantidad constante. Ese tipo de sucesión, que encontraremos en otras situaciones cotidianas, recibe el nombre de progresión geométrica.

Curiosidad

D'Alembert. Imagen de contenido libre alojada en Wikipedia.
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Existe un método similar al anterior, aunque se basa en la idea opuesta. Es conocido como el Método D'Alembert. Consiste en aumentar la apuesta mientras se va ganando y en disminuir la apuesta cuando se pierde.

Este método recibe el nombre de su inventor, el matemático francés D'Alembert , uno de los principales matemáticos franceses del siglo XVIII. Jean Le Rond D'Alembert (Paris , 1717 - 1783) fue matemático, filósofo y astrónomo. Trabajó muchos campos de las Matemáticas y varios de ellos aplicados a la Física, como el estudio de trayectorias o los sistemas de vibración con aplicaciones musicales, así como estudios astronómicos aplicados a las estaciones. Dentro del mundo de la dinámica presentó el que se conoce, en su honor, como Principio de D'Alembert en el que establece que el sistema de fuerzas que actúa sobre un cuerpo está en equilibrio.

Pero su mayor fama procede de haber participado, junto con Diderot, en el diseño y la elaboración de la Enciclopedia, una magna obra que pretendía recopilar todos los saberes de su época. Su influencia es innegable en los matemáticos de esa época.

En el siguiente vídeo, de la serie  "Universo Matemático" puedes observar algunos aspectos de su importante labor. El vídeo está dedicado a los matemáticos de la Revolución Francesa, aunque D'Alembert murió unos años antes de que comenzara.

Uno cualquiera

Importante

Se llama progresión geométrica a toda sucesión en la que un término se obtiene del anterior multiplicado por un valor constante, r, que se llama razón. Es decir, se verifica la igualdad:

Si y , cada término es mayor que el anterior, por lo tanto, la progresión es una sucesión creciente. Por ejemplo, 3, 6, 12, 24, 48, ....

Si y , cada término es menor que el anterior, por lo tanto, la progresión es una sucesión decreciente. Por ejemplo, -1, -5, -25, -125, -625, ....

Si , todos los términos son iguales y la sucesión es constante. Por ejemplo, 3, 3, 3, 3, .....

En; si el primer término es positivo, la sucesión es decreciente, por ejemplo, 32, 16, 8, 4, 2, ...; mientras que si el primer término es negativo, la sucesión es creciente, por ejemplo, -81, -27, -9, -3, -1, ...

Si , unos términos de la sucesión son positivos y los otros negativos, por lo que la progresión es oscilante y suelen llamarse progresiones alternadas.

Como en la progresión aritmética, es muy fácil comprobar si una sucesión es una progresión geométrica: basta dividir un término entre el anterior.

Si siempre se obtiene el mismo resultado, entonces lo es.

Por ejemplo, en la sucesión 32, 16, 8, 4, 2, 1, ... se cumple:

Si dividimos entre sí los dos primeros términos, basta ver si, multiplicando por ese valor, se obtienen los restantes términos.

Comprueba lo aprendido

Indica si cada una de las progresiones geométricas siguientes son o no crecientes o decrecientes y la razón correspondiente:

Nota: En cada casilla de creciente o decreciente debes escribir SÍ o NO. En los casos necesarios escribe la razón como fracción (por ejemplo 1/2) o con coma decimal.

Progresión | Creciente | Decreciente | Razón
1, 4, 16, 64, 256, .... | Rellenar huecos (1): JXUwMDBiJXUwMDFh | Rellenar huecos (2): JXUwMDE2JXUwMDAx | Rellenar huecos (3): JXUwMDZj
0,2; 0,02; 0,002; 0,0002; .... | Rellenar huecos (4): JXUwMDE2JXUwMDAx | Rellenar huecos (5): JXUwMDBiJXUwMDFh | Rellenar huecos (6): JXUwMDY4JXUwMDFjJXUwMDFk
-7776, -1296, -216; -36; ... | Rellenar huecos (7): JXUwMDBiJXUwMDFh | Rellenar huecos (8): JXUwMDE2JXUwMDAx | Rellenar huecos (9): JXUwMDY5JXUwMDFlJXUwMDE5
2, -10, 50, -250, .... | Rellenar huecos (10): JXUwMDE2JXUwMDAx | Rellenar huecos (11): JXUwMDE2JXUwMDAx | Rellenar huecos (12): JXUwMDc1JXUwMDE4
-4, -12, -36, -108, .... | Rellenar huecos (13): JXUwMDE2JXUwMDAx | Rellenar huecos (14): JXUwMDBiJXUwMDFh | Rellenar huecos (15): JXUwMDc1JXUwMDFl

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Aquí también es muy fácil encontrar el término general de la progresión. Basta seguir la ley de formación y escribir todos los términos en función del primero.

Luego el término general de una progresión geométrica es:

Y si dividimos dos términos cualesquiera entre sí, podemos hallar la fórmula que nos da un término en función de cualquier otro de la progresión y de la razón.

Aprende a hacerlo

Resuelve las siguientes cuestiones:

El término general de la progresión geométrica de la que se conocen los términos y .

En una progresión geométrica de razón r=2 el término cuarto es 40. Hallar el primer término y el séptimo.

Retroalimentación

1. Escribiendo un término en función del otro, tendríamos:

También tenemos que hallar el primer término.

Luego el término general de la progresión será:

2. A partir del cuarto término hallamos el primero:

El término séptimo podemos hallarlo a partir del primero o del cuarto:

En la red

En el siguiente enlace, encontrarás una actividad del Proyecto Gauss en la que deberás practicar dos aspectos:  el cálculo de la razón y el de un término determinado, conociendo dos términos de una progresión geométrica.

Lee las instrucciones y después realiza tres ejercicios distintos que deberás resolver en tu cuaderno, después de haber copiado el enunciado. Por último, comprueba la solución en la propia ventana.

El relleno del sandwich

Igual que vimos en el apartado 2 para las progresiones aritméticas, también podemos buscar cómo incluir una serie de elementos entre dos números dados, de forma que la sucesión obtenida sea una progresión geométrica.

Este proceso se llama interpolación geométrica.

En la siguiente presentación puedes ver el proceso para conseguirlo con algunos ejemplos.

Interpolación geométrica. Montaje de José Muñoz Santonja.
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Tarea

En el apartado 2.2 tenías una ventana de Descartes en la que aparecían ejemplos de interpolación, tanto aritmética como geométrica.

Utiliza el mismo applet para elegir tres ejercicios de interpolación geométrica. Debes escribir en tu cuaderno el enunciado y resolverlos.

Posteriormente, comprueba en la propia ventana si has obtenido el resultado correcto.

Para completar la tarea debes inventarte dos ejercicios de interpolación en los que las razones de la progresión sean: una mayor que 1 y la otra menor. Al menos una de ellas debe estar presentada dentro de un contexto (como el de la presentación anterior respecto a la cuota de socio).

Retroalimentación

Como siempre, utiliza dos etiquetas en tu aportación al blog. La primera, tu etiqueta personal y la segunda, la etiqueta intergeo.

La suma de una parte

Como en las progresiones aritméticas, es muy fácil encontrar el valor de una serie de términos de una progresión geométrica sin necesidad de sumarlos uno a uno. Para ello, podemos encontrar una fórmula para obtener la suma a partir del primer término y de la razón.

En la siguiente presentación puedes ver cómo se consigue la fórmula y un ejemplo de aplicación. Recuerda que basta con que pulses sobre la pantalla para pasar a la siguiente diapositiva.

 Suma de progresión geométrica. Montaje de José Muñoz Santonja.
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Comprueba lo aprendido

Consideramos la progresión geométrica formada por las potencias de 3, comenzando en la potencia de exponente cero, es decir, en .

La suma de las 15 primeras potencias de 3 vale Rellenar huecos (1): JXUwMDZmJXUwMDA2JXUwMDA2JXUwMDAzJXUwMDAwJXUwMDAxJXUwMDA2 .

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Aplicando la fórmula vista basta calcular el valor de

En enlace tienes ejemplos resueltos de cálculo de la suma de n términos de una progresión geométrica.

Debes copiar en tu cuaderno cuatro ejercicios, uno de cada uno de los tipos diferentes que aparecen. Los tipos son: calcular la suma cuando se conoce el término general, un término y la razón, dos términos, o los primeros términos de la sucesión.

A medida que copies el enunciado debes resolver los ejercicios y, posteriormente, comprobar la solución en el applet. Si tienes algún error, repasa los cálculos; de forma que en el cuaderno quede la resolución correcta, aunque no siga el mismo proceso que en el applet.

Tarea

Heradiom. Miguel Ángel Moyà Rumbo (CC BY-SA)

Después de unas semanas de vacaciones, los profesionales del futbol comienzan a entrenar para preparar la nueva temporada. El entrenador ha encargado al portero que entrene los saques de puerta con el pie. En uno de los primeros intentos consigue que el balón se desplace 50 metros. Dado que no hay ningún jugador que lo frene y por las condiciones del césped y del balón después de botar, el balón sigue avanzando. No obstante, después de cada bote avanza, aproximadamente, dos quintas partes de los  metros recorridos en el anterior bote.

Calcula cuánto habrá avanzado después de cinco botes. ¿Y después de cinco botes más?

¿Alcanzará el balón la portería contraria en esos 10 botes?

Si lo anterior no se consigue, encuentra cuánto debe desplazarse el balón en el primer salto para que llegue a la portería contraria.

Haz los mismos cálculos si suponemos que el portero es de fútbol sala. Ten presente que en este caso debe sacar con la mano, por lo que debes estimar cuánto puede desplazarse el balón en el primer desplazamiento.

Copia el enunciado en tu cuaderno y contesta a las cuestiones.

Retroalimentación

Busca los datos que necesites para resolver el problema e inclúyelos en el desarrollo de la tarea.

Comprueba lo aprendido

Javier Rodríguez. Ciclista (CC BY-SA)

Dos ciclistas se están preparando para una competición. Fernando comienza entrenando 1000 m. el primer día y aumenta 1000 m. más por cada día de entrenamiento.

Manolo, por su parte, comienza corriendo 60 m. el primer día pero después, durante cada uno de los 10 días de entrenamiento, duplica la cantidad del día anterior.

Queremos saber cuántos metros corren cada uno el décimo día, y cuántos metros han entrenado en los diez días de preparación.

Escribe las cantidades con el punto para indicar las unidades de millar.

Metros el día 10º

Metros totales en los 10 días

Fernando
Rellenar huecos (1): JXUwMDY5JXUwMDAxJXUwMDFlJXUwMDFlJXUwMDAwJXUwMDAw
Rellenar huecos (2): JXUwMDZkJXUwMDAwJXUwMDFiJXUwMDFlJXUwMDAwJXUwMDAw

Manolo
Rellenar huecos (3): JXUwMDZiJXUwMDAzJXUwMDFlJXUwMDE5JXUwMDA1JXUwMDAy
Rellenar huecos (4): JXUwMDZlJXUwMDA3JXUwMDFmJXUwMDFkJXUwMDBiJXUwMDA4

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Lo queremos todo

Siempre que vamos sumando los términos de una progresión, el valor de la suma va aumentando; de forma positiva o negativa según el signo de los términos. En muchos casos, cuando se añade un número indeterminado de términos, la suma va haciéndose infinita, Pero  ¿ocurre esto siempre?

La respuesta es no. Piensa en la tarea que has resuelto en el apartado anterior. Habrás comprobado que el balón, en los primeros cinco botes recorre una gran parte del campo, pero en los siguientes cinco avanza muy poco (y avanzará menos si sigue menguando la distancia recorrida en cada bote). En general, cuando tenemos una progresión geométrica en la que la razón es menor que la unidad, los términos de la progresión se van haciendo cada vez más pequeños. Veamos el siguiente ejemplo:

Es evidente que podemos considerar que a partir de un determinado momento los términos valen prácticamente cero.

Por ello, en las progresiones geométricas podemos hallar la suma de todos los términos de la progresión. Basta considerar en la fórmula que dedujimos en el apartado anterior que para un valor n suficientemente grande, an=0. De esa forma, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón menor de la unidad viene dada por la fórmula:

Aprende a hacerlo

En el primer tema estudiaste cómo convertir un decimal en fracción. Vamos a utilizar la suma infinita de una progresión geométrica para demostrar que 

Retroalimentación

El número decimal   puede considerarse como la suma de los términos de una progresión geométrica cuyo primer término es 0,9 y la razón 0,1:

En la red

En el siguiente enlace puedes apreciar que la suma de infinitos términos de una progresión geométrica de razón 1/2 no es infinita, como podría pensarse, sino finita.

Encontrarás un applet de Geogebra en el que podrás estudiar de forma geométrica la construcción de la progresión y el cálculo de su suma.

Tras el applet hay una serie de cuestiones para contestar en tu cuaderno.

Curiosidad

Zenon de Elea. Imagen de dominio público alojada en Wikipedia.
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El suponer que la suma de infinitos términos siempre da infinito es un pensamiento muy corriente desde la antigüedad.

En la antigua Grecia dio lugar a que algunos filósofos idearan razonamientos que intentaban comprobar que utilizando las reglas matemáticas, se llegaba a negar lo evidente. Es lo que se conoció como paradojas, en cuyo desarrollo fue un maestro Zenón.

El filósofo griego del siglo V a.C., Zenón de Elea, era discípulo de Parménides y se dedicó a atacar todo planteamiento que no siguiese la escuela filosófica a la que pertenecía. Por ello, elaboró una serie de razonamientos que han sido muy famosos a lo largo de muchísimos años.

Todos se basan en suponer que una suma de infinitos términos se hace tan grande como se quiera y que un proceso indefinido nunca tiene limitación, aunque los términos se vayan haciendo cada vez más pequeños. 

En una de sus paradojas planteaba que si un arquero debía lanzar una flecha a una diana, antes de recorrer toda la distancia hasta la diana la flecha tendría que recorrer la mitad del espacio, y antes de eso la mitad de esa primera parte, y para ello primero debería surcar la mitad de la parte anterior, y antes la mitad de esa mitad.

Siguiendo así el razonamiento indefinidamente la conclusión era que la flecha no se movía.

Pero quizás la paradoja más conocida sea la de Aquiles y la Tortuga que puedes conocer en el siguiente enlace.

Actividad de Lectura

Enlace a web
En el siguiente enlace puedes leer un párrafo del libro Matemáticas, ¿estás ahí? del profesor argentino Adrián Paenza, gran divulgador de la matemática a través de sus libros y sus apariciones en televisión de las que existen muchos ejemplos en YouTube. 

El apartado que queremos que leas lleva por título "¿Cuántas veces se puede doblar un papel?". Una vez que leas esa obra , debes hacer un resumen de entre 5 y 10 líneas en el que expliques las ideas fundamentales que se desarrollan. Piensa que le estás contando a un amigo  lo que has leído y quieres indicarle lo más importante.

Además, debes contestar a las siguientes cuestiones:

Si suponemos que el papel que se utiliza para doblar es lo suficientemente grande para conseguirlo,

¿Cuántas veces deberíamos doblarlo para alcanzar la distancia de la Tierra a la Luna?

¿Y la distancia de la Tierra al Sol?

Retroalimentación

Haz el resumen y responde a las cuestiones en tu cuaderno después de buscar los datos que necesites para resolverlas.

Progresiones cotidianas

Dinev25. Tenis sport (CC0)

Aunque a simple vista podemos pensar que las sucesiones en general, y las progresiones en particular, solo consisten en una serie de números que no tienen ninguna aplicación práctica, lo cierto es que podemos encontrar aplicaciones de ellas en muchas ocasiones de la vida cotidiana.

Por ejemplo, piensa en una competición de tenis. Hay siempre un ganador que sale de la competición final en la que han participado los dos finalistas. Para llegar ahí, se han celebrado unas semifinales en las que han participado 4 jugadores. En la etapa anterior han competido 8 tenistas y así sucesivamente, ya que en cada etapa de la competición siempre se clasifican para la siguiente la mitad. Luego el número de participantes en cada etapa siempre será la mitad que en la etapa anterior pues en cada partido se elimina uno de los jugadores.

Es decir, tenemos una progresión geométrica de razón 1/2.

En una competición con 32 participantes bastarían 5 rondas para conseguir un ganador. Lo curioso es que bastarían 26 rondas para que pudiesen participar en una competición de tenis todos los habitantes de España y sobrarían puestos casi para Portugal.

Vamos a ver en este último apartado algunos ejemplos de progresiones relacionadas con la vida cotidiana.

Tarea

Eschericia Coli. Imagen de dominio público alojada en Wikipedia.
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En el mundo microscópico existen multitud de seres que  influyen en nuestra vida.

Unos de esos seres son las bacterias.

En concreto, podemos referirnos a la bacteria Eschericia Coli, más conocida en los medios de comunicación como E. Coli. Esta  provocó la muerte de algunas personas en Alemania, y en un primer momento se indicó que habían aparecido en los pepinos españoles exportados a dicho país.

Aunque después se demostró que no era cierto; las primeras declaraciones de los responsables alemanes provocaron un gran revuelo, que ocasionó grandes pérdidas a la exportación de frutas y verduras de nuestro país y hasta pudo provocar un conflicto diplomático.

Las bacterias tienen la característica de que se reproducen por bipartición. Es decir, una bacteria se divide en dos pasado un determinado tiempo.

Investiga en concreto la bacteria E. Coli e indica qué ha ocurrido en una disolución en la que exista, de entrada, una sola bacteria una vez pasadas 24 horas.

¿Te atreves a hacer una stop motion?

Utiliza los medios que consideres oportunos para hacer una stop motion descriptiva del proceso. Súbela a Internet y compártela con tus compañeros y compañeras.

Retroalimentación

Escribe los datos necesarios y la contestación a la cuestión planteada en tu cuaderno, indicando también qué cuestión estás resolviendo.

Todo por el interés

Todo por el interés. ppmuñoz(CC by sa)

Una de las cosas más corrientes en nuestro mundo son las relaciones financieras con los bancos. Rara es la familia que no tiene algún tipo de cuenta en un banco, bien porque se tenga algún dinero invertido o algún plan de pensiones, o bien, como ocurre en muchos casos, porque se haya pedido un préstamo para adquirir una vivienda, algún vehículo o incluso afrontar un gasto extra como una boda o un viaje. Lo cierto es que prácticamente todo el mundo sabe lo que es un interés bancario y, casualmente, esos intereses tienen mucho que ver con las progresiones.

En general, cuando una cantidad monetaria cambia de manos mediante un préstamo o imposición, es necesario devolver la cantidad inicial mas otra cantidad que corresponde a los beneficios que quiere obtener el que presta el dinero. Esa cantidad se llama interés, y suele darse en tanto por ciento.

Hay dos tipos de interés: el que se recoge año a año, que recibe el nombre de interés simple, y otro que se va incorporando a la cantidad inicial y sólo se recoge al final (por lo que esa cantidad también incrementa, cada año, la cantidad inicial). Este segundo tipo recibe el nombre de interés compuesto.

Veamos un ejemplo numérico. Consideremos que ingresamos 12.000 euros en una entidad bancaria y nos dicen que nos van a dar un 4% de interés. Veamos cómo varía la cantidad que tenemos según el tipo de interés. Representamos por Ci el capital inicial que tenemos al principio del año y por Cf la cantidad final que tenemos en un determinado momento.

| Interés simple | Interés compuesto
Año | Ci | Interés | Cf | Ci | Interés | Cf
1 | 12.000 | 480 | 12.480 | 12.000 | 480 | 12.480
2 | 12.000 | 480 | 12.960 | 12.480 | 499,20 | 12.979,20
3 | 12.000 | 480 | 13.440 | 12.979,20 | 519,17 | 13.498,37
4 | 12.000 | 480 | 13.920 | 13.498,37 | 539,93 | 14.038,30

Si representamos por r el tanto por ciento que nos ofrecen de interés, podemos apreciar que en el primer caso nos encontramos con una progresión aritmética cuya diferencia es 480, equivalente a . En el caso del interés compuesto, cada año se multiplica por 1,04 (ya que se haya el 4% de la cantidad inicial en ese año). Luego tenemos una progresión geométrica donde la razón es .

Por eso, las fórmulas para los distintos intereses suponiendo que tenemos un capital invertido al r% durante t años son:

En el siguiente enlace (¿Capitalización de intereses?), tienes un estudio comparativo sobre lo que se consigue poniendo una cierta cantidad al 4%, según se haya colocado con interés simple (sin amortización) o compuesto (con amortización).

Puedes modificar el número de años que se tiene invertido para que compruebes que cuántos más años, mayor es la diferencia.

Comprueba lo aprendido

Vamos a ingresar  en un banco 10.000 euros por los que nos van a dar un 3% anual durante 10 años.

Indica la cantidad que tendremos después de los 10 años en los dos casos:

Interés simple: Rellenar huecos (1): JXUwMDY5JXUwMDAyJXUwMDFkJXUwMDFlJXUwMDAwJXUwMDAw euros.

Interés compuesto: Rellenar huecos (2): JXUwMDY5JXUwMDAyJXUwMDFkJXUwMDFhJXUwMDA3JXUwMDBhJXUwMDE1JXUwMDFkJXUwMDA3 euros.

Atención: Utiliza el punto para las unidades de millar y escribe dos cifras decimales cuando la cantidad no sea entera.

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Las cuentas a realizar serían:

Interés simple:

Interés compuesto:

Comprueba lo aprendido

Utiliza el applet anterior para contestar a la siguiente cuestión.

El mínimo número de años que se necesita para invertir  100.000 euros y que se consiga más de 3.000 euros de diferencia en el interés compuesto frente a lo que se obtiene en interés simple es de Rellenar huecos (1): JXUwMDZm años.

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Bs1126. Motos dakar (CC BY)

¿Qué moto te gusta?

Vamos a suponer que deseas continuar tus estudios para hacer estudios superiores. Una vez que acabes la ESO y el Bachillerato, pensarás si estudiar en una Universidad o hacer un módulo superior de Formación Profesional.

Como en ambos casos es casi seguro que estudiarás lejos de casa, estás pensando en comprarte una moto cuando termines tus estudios en el instituto, para poder desplazarte con tranquilidad.

La tarea que te proponemos es la siguiente. Debes elegir qué modelo de moto te gustaría comprarte y localizar su precio. Vamos a suponer que, dentro de cuatro años, el precio es el mismo y que para, poder comprarla, vas a invertir en un banco dinero ahora mismo para que este te produzca la cantidad necesaria.

Debes, por tanto, buscar una entidad bancaria que te ofrezca el mejor interés y estudiar qué cantidad debes ingresar ahora mismo, a interés compuesto, para que cuando recuperes tu dinero dentro de cuatro años puedas pagar la moto.

Realiza una presentación en la que muestres todos los datos y cálculos que has utilizado: tipo de moto, precio, entidad bancaria seleccionada, tipo de interés, etc.

Retroalimentación

Comparte la presentación en el aula y explícala oralmente.

Ampliación

En la red

Algunos enlaces que te recomendamos para profundizar en los contenidos de la unidad son:

Comprueba si has adquirido todos los contenidos del tema, enfrentándote al test que encontrarás en el siguiente enlace. Tendrás que relacionar elementos y te encontrarás varios problemas.

En el siguiente enlace encontrarás un repaso de los conceptos sobre sucesiones y varios applets para resolver ejercicios de sucesiones. Alguno de ellos ya los has encontrado en los contenidos, por tanto repasa el resto. Vas a encontrar también reproducida la paradoja de la Tortuga y Aquiles.

La suma de los términos de una progresión aritmética puedes aplicarla para resolver el problema de PISA que encontrarás en el siguiente enlace. Si pulsas en el botón Inicio se cambian los datos de la pregunta.

En el siguiente enlace tienes varios ejemplos de sumas de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón menor que la unidad. La suma se realiza geométricamente mediante un applet manipulativo. Tienes también la deducción de la fórmula para la suma de esos términos. Aunque la página está en francés los applets son muy intuitivos.

Los fractales están bastante relacionados con las progresiones. En el siguiente enlace encontrarás el desarrollo del fractal que se conoce como El Copo de Nieve de Koch. Puedes ver las primeras interacciones. Si pulsas en el botón ¿Por qué? accedes a unos recursos en los que encontrarás un enlace con el nombre Preguntas de exploración en el que se te plantea un cuestionario que debes resolver en la ventana interactiva.

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Bloque de pisos. ppmuñoz. (CC by sa)

A lo largo de los contenidos has tenido que estudiar las mejores ventajas para realizar alguna compra pendiente, pero ahora vas a hacerlo a lo grande. En esta tarea programarás algo que, seguramente, más pronto o más tarde, vas a tener que afrontar: la compra de un piso.

Antes de plantearte la tarea queremos que le eches un vistazo al vídeo al que puedes acceder desde el siguiente enlace. En él te explican algunas de las cosas que hay que tener en cuenta a la hora de afrontar una hipoteca de un piso.

Para esta tarea vas a trabajar en grupo. Debes seleccionar a otros dos compañeros o compañeras de la clase. Juntos  vais a programar la compra de un piso de vuestra elección.

De entrada se os ha dado un cheque por 30.000 euros, que equivaldría al dinero que podíais tener ahorrado antes de afrontar la compra. También, vuestro profesor o profesora habrá sorteado un sueldo para ti y otro para tu pareja dentro de unos límites razonables.

Partiendo de esos elementos, debéis realizar la siguiente tarea:

A partir del sueldo que os ha correspondido, estimad en qué tipo de profesión desarrolláis vuestra actividad cada uno de los miembros de la pareja y en qué zona de vuestra ciudad podéis trabajar.

Elegid un piso en vuestra ciudad que se pueda ajustar a vuestras expectativas. Tened en cuenta la situación (si lo queréis cerca del trabajo o no importa), el número de habitaciones, la extensión, complementos, si os da igual que sea de primera o segunda mano, etc.

Una vez seleccionado el piso, y elegida la agencia en la que vais a adquirirlo (a menos que lo gestionéis directamente con el vendedor); tenéis que gestionar con una entidad bancaria el préstamo que necesitáis, estudiando qué parte de vuestro sueldo podéis dedicar a pagar la amortización del préstamo.

Tened en cuenta que toda compra de un piso lleva aparejados una serie de gastos (de notaria, impuestos, etc...) que hay que considerar para que no se nos vaya de la mano nuestra compra.

Por si te puede servir de ayuda, en el siguiente enlace tienes un simulador de amortizaciones de préstamos bancarios con el que puedes probar distintas opciones.

Para terminar la tarea, preparad una presentación de manera colaborativa en la que expongáis a todos los compañeros y compañeras vuestro trabajo. Debéis plantear los sueldos que os han correspondido y a qué trabajos creéis que pueden corresponder,

qué piso habéis elegido y en que situación,

qué entidad bancaria os ha ofrecido mejor interés según vuestras características,

qué cantidad habéis necesitado pedir prestada, 

algunos datos acerca de el préstamo:  cuántos años necesitaréis para devolverlo, a qué interés comenzáis y que revalorización lleva el tipo de interés atendiendo a las fluctuaciones económicas. 

Para finalizar, realizad una entrada en el blog de aula, en la que aparezca incrustada la presentación, con la que expliquéis las dificultades encontradas a la hora de realizar esta tarea. Colocadle a la entrada dos etiquetas. La primera serán las primeras letras de vuestros nombres seguidas del primer apellido y la segunda etiqueta es la palabra piso.

Retroalimentación

Después de realizado el estudio, debatid según los datos económicos obtenidos, si es mejor el alquiler o la compra de vivienda.

Refuerzo

Objetivos

Algunos enlaces que te recomendamos para repasar los contenidos de la unidad son:

Progresiones aritméticas. Repasa las progresiones aritméticas utilizando patrones geométricos.

Repaso de sucesiones y progresiones. En la siguiente página puedes repasar todo lo que hemos visto sobre sucesiones y progresiones. Incluye una serie de ejercicios para practicar todos los conceptos.

Comprobador de progresiones. En la siguiente página tienes cuatro applets de Geogebra para comprobar las progresiones aritméticas y geométricas. Puedes modificar las condiciones iniciales y hallar cualquier término y la suma de ellos.

Test sobre progresiones. Puede servirte para comprobar los conocimientos adquiridos y saber qué debes repasar de los contenidos antes de realizar la tarea.

Video explicativo con un ejemplo de interpolación aritmética de términos.

Tarea

Tarea

¿Qué es la geometría fractal?

Suele ser corriente pensar que los elementos que componen las matemáticas son conocidos desde hace mucho tiempo y sus aplicaciones están claras y fundamentadas, pero eso no es cierto. La matemática es una ciencia en constante evolución y suelen encontrarse elementos nuevos con relativa frecuencia.

Hoy vamos a hablar de una de las partes más recientes y que sin embargo está más de actualidad: la geometría fractal. El término fractal fue acuñado por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975. Se aplica a aquellos elementos que tienen la característica de no poder ser descritos mediante las estructuras geométricas tradicionales, que tienen una ley de formación recursiva y que son autosemejantes. Esto último quiere decir que si cogemos un trozo, se puede comprobar que es igual al total pero a diferente escala. Es decir, ambos son semejantes.

Núria. Coliflor (CC BY-SA)

Lo realmente asombroso es que después de su creación, se descubrió que muchos elementos de la naturaleza se rigen por esa geometría fractal. Las nubes, las costas, los relámpagos, los cristales de hielo, el sistema circulatorio humano, los helechos, o la coliflor de la imagen son elementos fractales.

En esta tarea vamos a tratar con fractales geométricos. Es decir, aquellas figuras que se forman a partir de un elemento geométrico al que se le aplica una regla de formación que se repite indefinidamente , dando lugar al objeto fractal. No debe extrañarte este concepto pues ya en este curso has trabajado con uno de esos elementos. Recordarás que en la primera unidad te presentamos el Triángulo de Sierpinski, que es un ejemplo típico. Pero existen muchos más: el copo de nieve, las curvas de Hilbert, la curva de Koch, el conjunto de Cantor, la alfombra de Sierpinski, la esponja de Menger, etc...

La primera parte de esta tarea consistirá en que realices una presentación en PHOTOPEACH en la que expliques qué es un elemento fractal, des ejemplos de fractales en la naturaleza (incluyendo fotografías y explicaciones) y, por último, incluyas tres ejemplos de construcciones fractales, al menos una de ellas en tres dimensiones. ¿Cómo utilizar Photopeach?

Además, vamos a trabajar con el triángulo de Sierpinski que encontraste en la Unidad 1. Este objeto fractal tiene una propiedad muy curiosa, mientras que su área tiende a cero a medida que se avanza en la iteración, su perímetro tiende a infinito. Para comprobarlo, vas a escribir en tu cuaderno dos progresiones:

La primera corresponderá a su área, es decir, la parte rellena de cada figura. (Partiremos de que el área del triángulo inicial vale 1).

En el segundo caso, vamos a considerar que el perímetro del triángulo inicial vale 1. Queremos hallar la suma de los perímetros de todos los triángulos que forman la figura en cada una de las iteraciones.

Para ayudarte, vamos a reproducir las primeras fases de la iteración consistente en dividir el lado por la mitad y construir los triángulos sobre esos puntos medios. Básicamente, dividimos cada triángulo en cuatro partes iguales y desechamos la parte interior.

Retroalimentación

Incrusta en el blog de aula tu presentación con la etiqueta fractal y la que corresponde a tu usuario habitual. Comenta alguna entrada de tus compañeros.

Galería de imágenes

Sierspinski 1Sierspinski 1

Sierspinski 2Sierspinski 2

Sierspinski 3Sierspinski 3

Sierspinski 4Sierspinski 4

Cuestionarios

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Licencia de Creative Commons
Matemáticas 3º E.S.O. CeDeC.

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Ficha técnica

Título

Un número detrás del otro

Materia

Matemáticas

Nivel educativo

3º ESO

Contenidos

Sucesiones, ley de sucesión. Progresiones aritméticas, agrupación de términos. Prograsiones cotidianas.

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Este recurso tiene licencia CC BY-SA, por lo se puede utilizar, descargar, modificar y adaptar sin ningún problema, siempre que se reconozca la autoría del mismo y, en caso de modificarlo y publicar una nueva versión, se licencie con la misma licencia CC BY-SA. 

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Este material es una adaptación del recurso original "Un número detrás del otro" del Proyecto EDIA de Cedec.

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Créditos

Proyecto EDIA. Un número detrás del otro. Cedec

Autores: Mariano Real Pérez, Arturo Mandly, Manso José Muñoz Santoja

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