La calidad de las construcciones

¿Te has fijado la cantidad de construcciones y edificios que existen a tu alrededor? Desde que los humanos habitan la Tierra han ido aflorando distintas construcciones que se han ido perfeccionando con el paso del tiempo hasta llegar a nuestros días. A lo largo de la historia se han ido aplicando procesos y métodos exitosos que han llevado hasta las tendencias que existen en nuestros días. Esto no quiere decir que métodos de diseño, construcción o logística anteriores no tengan validez en nuestro días. Pero sí es cierto que el desconocimiento de los mismos puede provocar que se pierda tiempo intentando descubrir algo que ya se había utilizado anteriormente.

Hola, mi nombre es Mónica Carrillo y trabajo en la empresa LOCOCASA (Logística y control de calidad S.A) que se dedica al control de calidad de la construcción de edificios. Al contrario de lo que muchos puedan pensar, nuestro trabajo comienza desde el primer momento en el que se va a realizar un edificio y no como una tarea posterior a la construcción. En muchas ocasiones, nos encargamos de ofrecer estrategias a los propios constructores sobre la forma de afrontar la realización de una determinada parte de la obra, de forma que se haga correctamente y no se deba intervenir posteriormente derribando el trabajo ya hecho.

¿En qué consisten esas estrategias? Pues como te comentaba al principio, llevamos siglos haciendo construcciones por todo el mundo y los métodos aplicados han sido muy variopintos. Nosotros nos hemos encargado de recopilar aquellos métodos exitosos que se aplicaron en un momento dado. Cuando en una obra nos encontramos con un  problema, recurrimos a nuestra recopilación de métodos y observamos el que mejor se puede aplicar en un momento concreto. Muchos de estos métodos datan de tiempo inmemorial. Mucho más allá del que puedas imaginar. Incluso de la construcción de cavernas se pueden obtener técnicas que nos sorprenderían.

procsilas . four (CC BY)

Recuerda por ejemplo las construcciones que se realizaron en Egipto ya que han llegado a nuestro días. Algunas de las técnicas que utilizaron ya están anticuadas, pero otras aún siguen teniendo validez para ser referenciadas y utilizadas. Te sorprendería saber cómo se pueden aplicar. Incluso algunas de ellas todavía suponen un misterio en nuestro días. Por ejemplo, para construir las pirámides, la piedra con la que se hacían los bloques se tallaba en una de las orillas del Nilo y después había que cruzarlas al otro lado. A día de hoy existen muchas dudas sobre cómo hacían esto, ya que las embarcaciones y utensilios de que disponían no permitirían hacerlo posible. Y ahí están, todavía desafiando el paso del tiempo. Ahora las construcciones parecen haberse convertido en algo más automático y sin retos, pero nada más lejos de la realidad.

Bueno, siento tener que dejarte, pero el trabajo me reclama. Espero haberte podido ayudar a conocer un poco más de la empresa en la que trabajo.

Venga, nos vemos pronto.

Licencia de Creative Commons
Matemáticas 3º E.S.O. CeDeC.

Obra publicada con Licencia Creative Commons Reconocimiento Compartir igual 4.0

Parcelando el terreno

Dennis. Rameses II at Abu Simbel (CC BY-SA)

Como ya te ha explicado Mónica, en la empresa LOCOCASA siguen utilizando distintos métodos de construcción que han demostrado su éxito a lo largo del tiempo.

En este caso nos vamos a detener en uno utilizado en Egipto. La crecida del río Nilo era, sin duda, el acontecimiento más importante en el mundo agrícola egipcio. La inundación de los terrenos próximos al cauce provocaba el depósito sobre el terreno, anteriormente empobrecido, de los minerales en suspensión que había en sus aguas. En su retirada, las aguas dejaban un terreno fértil y dispuesto para la siembra.

La inundación conllevaba otras consecuencias de orden económico. Mediante la construcción de diques y canales era posible que la acción humana extendiera los efectos beneficiosos de la crecida. Ello, sin embargo, requería la acción coordinada de muchos hombres y, consecuentemente, la necesidad de una estructura jerarquizada que garantizara tanto la construcción como el mantenimiento de estos canales. Esta fue la tarea primordial de los llamados nomarcas, jefes administrativos de los nomos (divisiones territoriales del país).

Por otro lado, la inundación acababa con los límites entre las distintas parcelas de terreno, arrastraba parte de la tierra hacia otro lugar del río (con lo que las parcelas decrecían), o bien dejaba depósitos en tierras de otro lugar (y las parcelas crecían). Dada la importancia de la extensión del terreno desde el punto de vista agrícola y, en particular, de la tierra cercana al río (la más fértil), su alteración anual obligaba a la práctica de la agrimensura (medida de los terrenos) con la que determinar las nuevas extensiones de las parcelas y, por ende, su inmediata productividad.

El triángulo perfecto o sagrado, de lados 3, 4 y 5 unidades, fue usado por los egipcios para trazar ángulos rectos. En sus papiros se observan los tenedores de cuerdas, que fijaban los límites de las parcelas después de las inundaciones del Nilo, construyendo con cuerdas triángulos rectángulos y fijando direcciones perpendiculares. Los arquitectos de algunas dinastías persas también usaron estos conocimientos para trazar los tejados de sus edificios. Los egipcios utilizaban una cuerda con 12 nudos para trazar ángulos rectos; estos triángulos sagrados, los utilizaban para medición indirecta de terrenos. Debido a las inundaciones periódicas del Nilo, que hacían desaparecer los límites de las parcelas, necesitaban hacer un nuevo reparto de las mismas .

Sabían que los triángulos cuyos lados eran 3, 4, y 5 eran un triángulo rectángulo y con la utilización de estos triángulos rectángulos sagrados, se conseguían con gran precisión, ángulos rectos en las esquinas de las parcelas. Hoy día, algunos albañiles, verifican la perpendicularidad de los marcos de las puertas, y ventanas mediante un triángulo proporcional.

Tarea

En el siguiente vídeo te explicamos cómo puedes construir uno de esos triángulos:

Construcción con cuerdas. Vídeo de mariano31415 en Youtube.
Licencia Creative Commons by

Viendo el triángulo del vídeo piensa en uno parecido que cumpla la misma propiedad. Realízalo utilizando una cuerda, tal y como se explica. Utilízalo posteriormente para comprobar las propiedades geométricas que pueda cumplir tu aula o alguna dependencia del centro.

Forma grupos y realiza posteriormente un vídeo (edítalo con Open Shot, por ejemplo) en la que expliques cómo has construido tu triángulo y las propiedades geométricas que has comprobado. Explica también en el vídeo qué otras figuras se pueden construir con la cuerda que has usado. Edita el vídeo con un título, con los cortes y transiciones adecuadas entre las diferentes tomas y un título final en el que incluyas los autores.

Sube el vídeo a Internet. Posteriormente debes crear una entrada en el blog de aula en la que incrustes el vídeo que has subido con un pequeño texto. A esta entrada debes colocarle dos etiquetas. La primera será la formada por la primera letra de tu nombre seguida de tu primer apellido y la segunda etiqueta será la palabra Egipto.

Retroalimentación

El vídeo puedes subirlo a You Tube.

Contenidos: Thales y Pitágoras

Desde la antigüedad hasta nuestros días, dada la imposibilidad de realizar las medidas de una forma directa, ha tenido gran importancia el cálculo de distancias y longitudes. Imagínate que tienes la necesidad de calcular la altura de un torreón como el de la figura en un día soleado o calcular la distancia a la que se encuentra desde un determinado punto del camino desde el que se observa.

Bueno, pues en esta unidad vamos a tratar dos teoremas de geometría de gran importancia y ya conocidos y utilizados en antiguas civilizaciones, aunque posteriormente desarrollados desde distintos puntos de vista matemático. Se trata del teorema de Thales con un gran número de aplicaciones a los triángulos semejantes y del teorema de Pitágoras aplicable a los triángulos rectángulos.

Torreón.  Arturo Mandly (CC by sa)

También vamos a tratar algunos puntos, rectas o curvas a partir de ciertas propiedades geométricas que los determinan, son los llamados lugares geométricos.

Dado que en este tema se va a trabajar bastante la medida, deberás acordarte de traer los útiles de dibujo.

Thales

Thales de Mileto (Dominio público)

Thales de Mileto (630 a.c al 545 a.c.) (También se puede escribir Tales de Mileto) fue un matemático griego considerado también como el primer filósofo occidental.

Fue el primero de los Siete Sabios de Grecia y uno de los grandes matemáticos de su época. Una de estas aportaciones a la geometría es el llamado "Teorema de Thales".

En el siguiente enlace puedes ver una biografía de Thales y algunas de sus aportaciones a la geometría.

Teorema de Thales

Como puedes ver en la figura, hemos troceado el triángulo OCC' de forma que la base la hemos dividido en tres partes iguales de 2m cada una.

Trazando las verticales por cada una de las divisiones obtenemos los puntos A', B' y C' que determinan tres segmentos de igual longitud (2,5 m).

Por tanto podemos observar que se cumple una proporción entre la longitud de los distintos segmentos que podemos formar en el lado OC' del triángulo y sus correspondientes al lado OC, tal y como puedes comprobarlo en las proporciones que se indican a la derecha de la figura.

Triángulo troceado. Arturo Mandly (CC by sa)

Pues bien, esta propiedad de proporcionalidad se puede generalizar y es lo que constituye el teorema de Thales.

Importante

Teorema de Thales: Si dos rectas cualesquiera son cortadas por rectas paralelas, los segmentos que determina en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra.

Teorema de Thales. Arturo Mandly (CC by sa)

Este teorema nos permite calcular, por tanto, la longitud de un segmento si conocemos su correspondiente en la otra recta y la proporción entre ambos.

Anota en tu cuaderno el enunciado del teorema de Thales y el dibujo que hemos incluido. 

Tarea

Utilizamos la regla

Traza dos rectas r y r' cualesquiera (que no sean paralelas) y realiza las siguientes actividades:

Traza tres puntos A, B y C sobre la recta r y que estén separados 2 cm  A y B, y 3 cm B y C. 

Traza tres rectas paralelas entre sí por los puntos A, B y C, y determina los puntos de corte correspondientes en la recta r', A',  B' y C'.

Mide cuidadosamente los distintos segmentos que se forman y comprueba que se cumple el teorema de Thales.

Si trazaras un segmento de 6 cm en la recta r y trazaras dos paralelas por sus extremos a las anteriores ¿cuánto mediría el segmento que se formaría en la recta r' ?

Realiza un informe con los resultados que has obtenido y comenta los resultados con tus compañeros.

Retroalimentación

Ten en cuenta que debes medir con la mayor precisión posible, ya que en caso contrario las proporciones se diferenciarán significativamente unas de otras y parecerá que no se cumple el teorema.

Como consecuencia del teorema de Thales, la proporción entre dos de los segmentos obtenidos por las rectas paralelas en una de las rectas es la misma que sus correspondientes a las intersecciones en la otra.

En la siguiente escena puedes comprobar este resultado.

Teorema de Thales. Budigali. (CC by sa)

Comprueba lo aprendido

Pregunta

En la imagen se muestra una pared en la que hemos trazado rectas perpendiculares a su base indicado la distancia entre ellas. En la parte superior hemos colocado los puntos A, B y C.

Pared-Thales. Arturo Mandly (CC by sa)

Indica la opción correcta para las siguientes cuestiones:

¿Qué distancia hay entre los puntos A y B?

Sugerencia

Aplica el teorema de Thales

Respuestas

Opción 1

a) 2 m

Opción 2

b) 2,5 m

Opción 3

c) 2,25 m

Retroalimentación

Incorrecto. Repasa los cálculos.

Incorrecto. Repasa los cálculos.

Correcto. Aplicando el teorema de Thales tenemos que 

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Pregunta

¿Qué distancia hay entre los puntos B y C?

Sugerencia

Aplica el teorema de Thales.

Respuestas

Opción 1

a) 4,5 m

Opción 2

b) 3,75 m

Opción 3

c) 4,25 m

Retroalimentación

Incorrecto. Repasa los cálculos.

Correcto. Aplicando el teorema de Thales tenemos que

Incorrecto. Repasa los cálculos.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Pregunta

¿Qué distancia hay entre los puntos A y C?

Sugerencia

Aplica el teorema de Thales y comprueba que el resultado es la suma de las soluciones de los apartados anteriores.

Respuestas

Opción 1

a) 600 cm

Opción 2

b) 550 cm

Opción 3

c) 625 cm

Retroalimentación

Correcto. Aplicando el teorema de Thales tenemos  

Incorrecto. Repasa los cálculos.

Incorrecto. Repasa los cálculos.

Solución

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Seguir practicando

¿Serás capaz de resolver todos los ejercicios del documento adjunto? Inténtalo y comprueba si lo has conseguido.

Teorema de Thales (Ventana nueva)

Triángulos semejantes

Importante

Triángulos semejantes

Dos triángulos son semejantes si tienen los mismos ángulos.

Si hacemos coincidir los vértices de los dos triángulos que tengan el mismo ángulo, obtenemos lo que se llama posición en Thales de los triángulos semejantes.

Triángulos semejantes. Arturo Mandly. (CC by sa)

Comprueba lo aprendido

Escribe en tu cuaderno las siguientes afirmaciones e indica si son verdad o no y por qué.

Pregunta 1

Todos los triángulos isósceles son semejantes entre sí.

Sugerencia

Ten en cuenta que no tienen por qué tener el mismo ángulo que es distinto.

Verdadero Falso

Retroalimentación

Falso

Por ejemplo un triángulo isósceles puede tener por ángulos 20º, 20º y 140º , y otro 40º, 40º y 100º, y por tanto no son semejantes.

Pregunta 2

Todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí.

Sugerencia

Observa cuanto miden sus ángulos.

Verdadero Falso

Retroalimentación

Verdadero

En los triángulos equiláteros todos los ángulos son iguales a 60º y por tanto son semejantes todos entre sí.

Pregunta 3

Dos ángulos de un triángulo miden 60º y 40º; los de otro miden 80º y 40º. Por tanto, ambos triángulos son semejantes.

Sugerencia

Calcula cuanto mide el otro ángulo de cada triángulo (ten en cuenta que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180º)

Verdadero Falso

Retroalimentación

Verdadero

El ángulo que falta en el primer triángulo es 180-60-40 = 80º, y por tanto sus ángulos son 40º, 60º y 80º

El ángulo que falta en el segundo triángulo es 180-80-40 = 60º, y por tanto sus ángulos son 40º, 60º y 80º

Por tanto los dos triángulos tienen los mismos ángulos y por ello son semejantes.

Tarea

¡Pentágonos!

Dibuja en tu cuaderno un pentágono regular como el de la figura (no hace falta que sea totalmente exacto), del tamaño que tú prefieras y resuelve las siguientes cuestiones:

Determina cuánto mide el ángulo del vértice E del pentágono.

Determina si el triángulo con vértices en los puntos A,B y C es semejante al de vértices en los puntos A, B y G.

Determina si el triángulo con vértices los puntos A,B y C es semejante al de vértices en los puntos B, C y G.

Retroalimentación

Ten en cuenta que la suma de los ángulos internos de un polígono de n lados es igual a (n-2)·180º .

Por ejemplo la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es (4-2)·180 = 360º .

Importante

Como has visto cuando colocamos dos triángulos en posición de Thales, si prolongáramos todos los segmentos, obtendríamos precisamente las condiciones en las que se cumple el teorema de Thales: dos rectas cortadas a su vez por rectas paralelas entre sí.

Como consecuencia; podemos establecer que la proporción entre dos lados cualesquiera de uno de los dos triángulos, es igual a la misma proporción entre los lados correspondientes en el otro triángulo.

Esta propiedad nos va a permitir calcular un lado de un triángulo a partir de otro conocido y las medidas de los lados de otro triángulo semejante a él. En el siguiente apartado vamos a aplicarla a la resolución de problemas de cálculos de longitudes. 

Comprueba lo aprendido

Pregunta

¿Cuál es la longitud del lado  CC'?

Sugerencia

Aplica el teorema de Thales a los dos triángulos que son semejantes.

Respuestas

Opción 1

a) 2,15 m

Opción 2

b) 2,71 m

Opción 3

c) 2,51 m

Opción 4

d) 2,81 m

Retroalimentación

Repasa el procedimiento empleado.

Repasa el procedimiento empleado.

Correcto. Al ser los triángulos ABB' y ACC' semejantes, podemos aplicar el teorema de Thales y por tanto tendremos:

Tomando dos cifras decimales tenemos CC' = 2,51 m

Repasa el procedimiento empleado.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Comprueba lo aprendido

Pregunta

¿Cuánto mide el lado AC ?

Sugerencia

Aplica el teorema de Thales a los dos triángulos semejantes.

Respuestas

Opción 1

a) 3,5 m

Opción 2

b) 2,5 m

Opción 3

c) 4,5 m

Retroalimentación

Correcto. Al ser los triángulos ABB' y ACC' semejantes, podemos aplicar el teorema de Thales y por tanto:

=> AC = 3,5 m

Incorrecto. Repasa los cálculos ¿no crees que es algo pequeño este resultado?

Incorrecto. Repasa los cálculos ¿no crees que es algo grande este resultado?

Solución

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Comprueba lo aprendido

Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Copialas y razona la respuesta en tu cuaderno.

Pregunta 1

Si construimos un triángulo equilátero cuya altura sea el doble de la de otro triángulo equilátero, su lado también medirá el doble.

Sugerencia

Puedes colocar ambos triángulos en posición de Thales.

Verdadero Falso

Retroalimentación

Falso

Ya que los dos triángulos son semejantes, la proporción entre las alturas de los dos triángulos equiláteros será la misma que entre sus lados.

Pregunta 2

Si reducimos a la mitad las diagonales de un rombo, su lado queda reducido a la cuarta parte.

Sugerencia

Divide el rombo en triángulos iguales.

Verdadero Falso

Retroalimentación

Falso

El lado se reducirá también a la mitad ya que el rombo lo podemos dividir en cuatro triángulos iguales y si reducimos a la mitad dos de sus lados el otro también queda reducido en la misma proporción.

Pregunta 3

A un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 cm y 4 cm los aumentamos 4 cm, por tanto ambos triángulos son semejantes entre sí.

Sugerencia

Calcula la proporción entre los catetos en ambos triángulos.

Verdadero Falso

Retroalimentación

Falso

La proporción de los catetos del primer triángulo es 8/4 = 2

Los nuevos catetos medirán 8+4 = 12 cm y 4+4 = 8 cm, por tanto su proporción será 12/8 = 1,5 y por tanto las proporciones son diferentes y como consecuencia los triángulos no son semejantes entre sí.

Curiosidad

Si trazamos la altura de un triángulo rectángulo tomando como base a la hipotenusa, obtenemos otros dos triángulos rectángulos que a su vez son semejantes a él.

En la red

[picture] | Si deseas ampliar información sobre los triángulos semejantes puedes visitar el siguiente enlace. 

Seguir practicando

¿Serás capaz de resolver todos los ejercicios del documento adjunto? Inténtalo y comprueba si lo has conseguido.

Teorema de Thales 2 (Ventana nueva)

Resolución de problemas

Actividad

En la resolución de problemas mediante el teorema de Thales deberás tener en cuenta las siguientes posibilidades:

Búsqueda de triángulos semejantes en la situación que se nos plantea y de algunas medidas de sus lados.

Realizar descomposiciones como la que has visto en el pentágono o en el triángulo rectángulo del apartado anterior.

Realizar un dibujo esquemático del problema que se plantea y asignar letras mayúsculas a los puntos y letras minúsculas a los segmentos.

Anotar en el dibujo que hayas realizado los datos numéricos que se faciliten en el problema.

Aprende a hacerlo

La altura de un triángulo isósceles mide 3 cm y su base que es el lado desigual mide 2 cm. Calcula la altura que tendrá otro triángulo isósceles semejante al anterior si su base mide 12 cm.

Aprende a hacerlo

Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 cm y 4 cm, y su hipotenusa 5 cm. Calcular la altura del triángulo si la base correspondiente es la hipotenusa.

Dibuja el triángulo rectángulo con la hipotenusa como base.

Traza la altura y ten en cuenta que los dos triángulos que se forman junto con el original son semejantes.

Aplica el teorema de Thales para calcular la altura.

Retroalimentación

Realizamos el correspondiente dibujo con los datos que nos dan en el enunciado.

Al ser semejante el triángulo de vértices C, E y A al de vértices C, A y B, podemos aplicar el teorema de Thales.

La altura h se corresponderá con el cateto mayor, es decir, el cateto que mide 4 cm.

El lado que mide 3 cm se corresponderá con la hipotenusa que mide 5 cm.

Por tanto aplicando el teorema de Thales tendremos:  

Solución: la altura del triángulo rectángulo mide 2,4 cm.

Comprueba lo aprendido

Pregunta

La base de un triángulo isósceles mide 6 cm y su altura 9 cm. Si aumentamos 2 cm su base de forma que los dos triángulos sigan siendo semejantes, su altura aumentará:

Sugerencia

Cálcula la nueva altura y determina cuánto ha aumentado.

Respuestas

Opción 1

a) 4 cm

Opción 2

b) 3 cm

Opción 3

c) 3,5 cm

Retroalimentación

Incorrecto. Repasa los cálculos.

Correcto. La base del nuevo triángulo medirá 6 + 2 = 8 cm y si llamamos H a su altura tendremos aplicando el teorema de Thales H/8 = 9/6 => H = 8·9/6 = 12 cm, por tanto la altura ha aumentado 12 - 9 = 3 cm.

Incorrecto. Repasa los cálculos.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Pregunta

Los lados de un triángulo rectángulo miden 3 m, 4 m y 5 m . Si aumentamos la hipotenusa 3 m de forma que los dos triángulos sean semejantes, sus catetos medirán:

Sugerencia

Realiza un dibujo de los dos triángulos y aplica el teorema de Thales.

Respuestas

Opción 1

a) 4,5 m  y 5,5 m

Opción 2

b) 5,2 m  y 6,5 m

Opción 3

b) 4,8 m  y 6,4 m

Retroalimentación

Incorrecto. Repasa los cálculos.

Incorrecto. Repasa los cálculos.

Correcto. La hipotenusa del nuevo triángulo medirá  5 + 3 = 8 m .

Si llamamos y al cateto del nuevo triángulo que se corresponda al del otro que mide 3 m, tendremos y/8 = 3/5 =>  y = 8·3/5 = 4,8 m

Si llamamos x al cateto del nuevo triángulo que se corresponda al del otro que mide 4 m, tendremos x/8 = 4/5 =>  y = 8·4/5 = 6,4 m

Por tanto los catetos medirán 4,8 m y 6,4 m .

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Pregunta

Si aumentamos 2 m los lados de un triángulo equilátero, entonces su altura:

Sugerencia

Compara la altura y el lado de un triángulo equilátero.

Respuestas

Opción 1

a) aumenta 2 m

Opción 2

b) disminuye menos de 2 m

Opción 3

c) aumenta más de 2 m

Retroalimentación

Incorrecto. Observa su altura y lado.

Correcto. La altura de un triángulo equilátero mide menos que el lado, por tanto la proporción entre la altura y el lado es menor que la unidad y la altura aumenta en menor proporción que el lado.

Incorrecto. Observa su altura y lado.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Tarea

¿Cuánto mide?

Estamos situados en un terreno llano en el que está colocado verticalmente un poste sujetado desde su extremo al suelo por un cordón.

Deseamos calcular la longitud del cordón y la altura del poste. Para ello, tenemos una cinta métrica. Es una situación que podemos resolver mediante la aplicación del teorema de Thales.

Realiza las siguientes cuestiones:

Elabora un procedimiento que nos permita calcular dichas longitudes basado en el teorema de Thales.

Realiza un gráfico (en la libreta o mediante gimp, openoffice draw, etc.) de la situación. Dibuja en él los triángulos que necesites añadir para resolver el problema y las medidas directas que creas son necesarias realizar.

Escribe las fórmulas que permitirían calcular dichas longitudes en función de las que hayas medido.

Realiza una entrada en el blog de aula en la que debes insertar el gráfico que has realizado e indicar otra situación de la vida real que pueda resolverse de la misma forma. Colócale a la entrada dos etiquetas. La primera será la inicial de tu nombre y tu primer apellido y la segunda será la palabra Thales.

Retroalimentación

Debes buscar la forma de tener dos triángulos semejantes, uno formado por el poste, suelo y el cordón y otro de tal forma que puedas medir sus lados.

Si has hecho el gráfico en la libreta puedes sacarle una foto y subirla al blog.

Medida de distancias de puntos inasequibles

Uno de los problemas que nos podemos encontrar en la vida real es la necesidad de determinar distancias, alturas, etc. que no se pueden realizar directamente porque alguno de los puntos que intervienen son inaccesibles.

Mediante la aplicación del teorema de Thales podemos calcular estas distancias o longitudes de una forma relativamente fácil.

Teleyinex . Un puente inundado (CC BY-SA)

Así por ejemplo, si quisiéramos calcular la distancia entre las orillas del río Guadiana, tendríamos que buscar algún procedimiento de medidas y cálculo ya que sería complicado medirla directamente al no disponer , por ejemplo, de una barca o de una cinta métrica tan larga.

En este apartado veremos distintas formas de resolver este tipo de problemas basados en espejos, sombras,... o con artilugios sencillos.

Con espejos, sombras,...

Medida de alturas mediante espejos

Un método sencillo de cálculo de alturas se basa en la utilización de un pequeño espejo en el que se ve reflejado el punto más alto del objeto del que queremos determinar su altura. Las reflexiones nos permiten formar dos triángulos semejantes, tal y como puedes observar en la siguiente escena.

Miguel Martín Cano. Medición de alturas con espejos.

El material que se necesita por tanto es:

* Cinta métrica

* Espejo pequeño

* Palo de una longitud de por ejemplo 80 cm de largo o simplemente utilizamos nuestro propio cuerpo.

* Papel, lápiz y calculadora.

Tarea

Actividad para realizar por todo el grupo de la clase

Determinar, mediante el método, del espejo la altura del aula. Una vez terminada realizar las siguientes tareas:

Haz en tu cuaderno un dibujo que nos muestre el procedimiento empleado.

Anota las medidas directas y los cálculos que habéis realizado.

Reflexionar sobre los posibles errores que se pueden cometer en este procedimiento.

¿Te atreves a hacer un vídeo?

Realizad un vídeo con el procedimiento que habéis seguido para medir la altura del aula mediante el método del espejo comentando los pasos seguidos.

Retroalimentación

Necesitaréis un pequeño espejo, cinta métrica y un palo de al menos 80 cm de longitud.

También tendréis que usar papel, lápiz o bolígrafo y calculadora.

Medida de alturas mediante las sombras

Como sabemos; podemos considerar a los rayos solares paralelos, cuando inciden sobre; la Tierra debido a la gran distancia a la que se encuentra el Sol. Por tanto los ángulos que formarán dichos rayos de luz con el suelo en distancias próximas podemos considerarlos iguales.

El método para calcular la altura de un objeto se basa en esta propiedad que nos permite obtener dos triángulos rectángulos semejantes entre sí, siendo uno de ellos el que tiene por altura la del objeto a medir y de base su sombra proyectada, mientras que el otro triángulo lo obtenemos, por ejemplo, con un palo del que sabemos su altura y su sombra.

Vamos a aplicar este método al cálculo de la altura del torreón de la siguiente imagen.

Torreón y Thales trazos. Imagen de Arturo Mandly en Flickr
Licencia Creative Commons by-nc-sa

Como podemos observar los dos triángulos son semejantes y por tanto podemos aplicar el teorema de Thales.

Si llamamos h a la altura a determinar y s a la longitud de la parte sombreada, y llamamos h' a la altura del palo y s' a la longitud de su sombra, tendremos:

  despejando tendremos:   

Expresión que nos permitirá calcular la altura del torreón.

Comprueba lo aprendido

Pregunta

Una farola proyecta una sombra de 2 m. En el mismo momento una estatua de 3 m de altura proyecta una sombra de 1,5 m. La farola tiene de altura:

Sugerencia

Realiza un dibujo y aplica el teorema de Thales.

Respuestas

Opción 1

a) 3,5 m

Opción 2

b) 4,2 m

Opción 3

c) 4 m

Retroalimentación

Incorrecto. Repasa los cálculos.

Incorrecto. Repasa los cálculos.

Correcto. Si llamamos h a la altura de la farola, tendremos

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Pregunta

El campanario de una iglesia proyecta una sombra de 10 m. En el mismo momento una farola de 5 m de altura proyecta una sombra de 2,5 m. La altura del campanario es de:

Sugerencia

Realiza un dibujo del problema y aplica lo aprendido.

Respuestas

Opción 1

a) 20 m

Opción 2

b) 22,5 m

Opción 3

c) 19 m

Retroalimentación

Correcto. Si llamamos h a la altura del campanario, tendremos

Incorrecto. Repasa los cálculos.

Incorrecto. Repasa los cálculos.

Solución

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Pregunta

Una persona cuya distancia de sus ojos al suelo es de 1,6 m observa a través de un espejo colocado a 0,8 m de él el alero de un tejado que está sobre una pared que dista 5 m del espejo. La altura a la que está el alero del tejado es:

Sugerencia

Realiza un dibujo del problema y aplica el teorema de Thales.

Respuestas

Opción 1

a) 12 m

Opción 2

b) 10 m

Opción 3

c) 11 m

Retroalimentación

Incorrecto. Repasa los cálculos.

Correcto. Si llamamos h a la altura a la que está el alero del tejado, tendremos

Incorrecto. Repasa los cálculos.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Curiosidad

El matemático griego Eratóstenes, basándose en las sombras proyectadas por los rayos de luz, ideó un procedimiento que le permitió calcular el radio de la Tierra.

Puedes visitar el siguiente vídeo para ver el procedimiento que empleó Eratóstenes.

Pitágoras

Pitágoras de Samos (582 a.c al 507 a.c.) fue un matemático y filósofo griego que perteneció a la escuela pitagórica en la que se afirmaba que "Todo es número". Los pitagóricos atribuían sus descubrimientos a Pitágoras, por lo que no se puede saber exactamente cuáles fueron sus descubrimientos propios  y cuáles de sus discípulos.

Biografía de Pitágoras. Vídeo de Mariano Real en Youtube
Licencia Creative Commons by 

El teorema más importante debido a él es el "Teorema de Pitágoras", basado en los triángulos rectángulos. En realidad, este teorema ya era conocido por los babilonios y él aportó la primera demostración formal con fundamento matemático.

El teorema de Pitágoras, junto con el teorema de Thales, permite resolver infinidad de problemas geométricos y llevar a cabo el cálculo de longitudes en situaciones reales.

Dada la gran importancia de estos teoremas, es muy necesario que los entiendas y que aprendas a aplicarlos correctamente ya que los vas a tener que utilizar en múltiples ocasiones, tanto en matemáticas como en otras áreas o en situaciones de la vida real.

Teorema de Pitágoras

Enlosado cuadrangular. Arturo Mandly . (CC by sa)

En alguna ocasión te has podido encontrar con un suelo enlosado de forma análoga a la de la parte derecha de la siguiente imagen.

Hemos sombreado algunas de las zonas del enlosado pudiendo observar un triángulo rectángulo y en cada uno de sus lados un cuadrado. Como se puede apreciar, el cuadrado mayor está formado por tantas piezas triangulares como los que hay entre los otros dos juntos. Esto nos lleva a la conclusión de que el área del cuadrado sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos.

Pues bien, esta propiedad no es exclusiva de los rectángulos isósceles, como los de este caso, sino que se puede generalizar a cualquier tipo de triángulo rectángulo. Esto es lo que constituye el "Teorema de Pitágoras".

Importante

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre sus catetos es igual al área del cuadrado construido sobre su hipotenusa.

Como consecuencia de que el área del cuadrado es igual al lado al cuadrado, tenemos que: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, que es otra de las formas en que se expresa dicho teorema.

Si llamamos por tanto b y c a la longitud de los catetos y a al de la hipotenusa, tenemos entonces la fórmula:

a² = b² + c²

Puedes ver una demostración del teorema denominada "demostración geométrica 26 de Loomis". (desplaza el deslizador)

Teorema de Pitágoras demostración geométrica 26 de Loomis. daniel.fernan. (CC by sa)

Importante

Como consecuencia del teorema de Pitágoras si conocemos dos lados de un triángulo rectángulo podemos calcular el otro.

Dado que a² = b² + c2 tendremos:   o 

Anota estas fórmulas y dibuja un triángulo rectángulo en tu cuaderno y memorízalas, pero sin olvidar como se obtienen.

Aprende a hacerlo

Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que sus catetos miden 3 m y 4 m.

Retroalimentación

Si llamamos a a la hipotenusa y b y c a sus catetos, aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que

Por tanto la hipotenusa mide 5 m.

Calcular lo que mide el cateto de un triángulo rectángulo sabiendo que el otro mide 8 m y la hipotenusa 10 m.

Retroalimentación

Si llamamos b al cateto que queremos calcular, aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que

Por tanto el cateto mide 6 m.

Comprueba lo aprendido

Pregunta

Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 cm y 8 cm , ¿cuál de las siguientes opciones nos da la medida de la hipotenusa?

Sugerencia

Aplica correctamente el teorema de Pitágoras.

Respuestas

Opción 1

a) 7 cm

Opción 2

b) 10 m

Opción 3

c) 10 cm

Retroalimentación

Ten en cuenta que la hipotenusa debe ser mayor que los catetos.

Observa bien las unidades de medida.

Correcto, ya que 6²+8²=36+64=100 y su raíz cuadrada es 10, como la unidad de medida es el cm, la hipotenusa mide 10 cm.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Pregunta

El ancho de un jardín de forma rectangular mide 40 m y su diagonal 60 m, ¿cuál de las siguientes opciones nos indica la medida del largo del jardín con dos decimales?

Sugerencia

Aplica correctamente el teorema de Pitágoras.

Respuestas

Opción 1

a) 44,72 m

Opción 2

b) 44,55 m

Opción 3

c) 30,45 m

Retroalimentación

Correcto, ya que 60²-40² = 3600-1600=2000 y su raíz cuadrada es 44,72135.., lo cual nos indica que su medida con dos decimales es 44,72 m

Incorrecto, o te has equivocado en los cálculos o has realizado un mal redondeo.

Incorrecto, repasa los cálculos.

Solución

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Seguir practicando

Realiza los siguientes ejercicios en tu cuaderno. ¿Los has hecho todos bien? Comprueba las soluciones

Problemas del Teorema de Pitágoras (Ventana nueva)

Tarea

¡Buscamos rectángulos!

Busca dos rectángulos que aparezcan en situaciones reales y que estén a tu alcance, como mesas, bancos, pañuelos, folios, etc. y realiza las siguientes actividades.

Mide el lado y la diagonal de cada uno de los objetos que hayas elegido.

Realiza un dibujo de cada uno y anota las medidas que has realizado.

Calcula mediante el teorema de Pitágoras la diagonal de uno de ellos y compara con la medición que has realizado.

Calcula mediante el teorema de Pitágoras uno de los lados del otro rectángulo y compara con la medición que has realizado.

Indica las causas por las que se ha podido producir cierta diferencia entre los valores calculados y el de tus medidas.

Comenta con tus compañeros por qué se produce este tipo de errores.

Retroalimentación

Realiza las mediciones lo mejor posible.

Aplica correctamente el teorema de Pitágoras.

Curiosidad

Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene que la diagonal d de un cuadrado en función de su lado l, se puede calcular por la fórmula:

Ten en cuenta que en el cuadrado tendremos d² = l² + l² = 2 l² . Sacando la raíz cuadrada obtenemos dicha fórmula.

Resolución de problemas

Son numerosos los problemas que podemos resolver aplicado el teorema de Pitágoras. En muchas ocasiones son partes de los cálculos que tenemos que realizar para resolver un problema de mayor complejidad.

Por ello tendrás, a menudo necesidad  de calcular la altura de un triángulo equilátero, el lado de un rombo a partir de sus diagonales, la altura de un trapecio isósceles conocidos sus lados, la diagonal de un cuadrado o de un ortoedro, etc.

Vamos a ver algunos de estos problemas.

Aprende a hacerlo

Los siguientes problemas se basan en obtener triángulos rectángulos al trazar la altura y por tanto poder aplicar el teorema de Pitágoras.

Calcular la altura de un triángulo equilátero de 8 m de lado.

Retroalimentación

Triángulo equilátero. Imagen de Arturo Mandly en Flickr

Licencia Creative Commons by-nc-sa

El lado del triángulo rectángulo sombreado es la mitad del lado del triángulo equilátero, por tanto 4 m. Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que:

Por tanto la altura del triángulo mide 6,93 m.

Calcular la altura de un trapecio isósceles sabiendo que su base mayor mide 14 cm, la menor 8 cm y sus otros dos lados 5 cm.

Retroalimentación

Trapecio isósceles. Imagen de Arturo Mandly en Flickr

Licencia Creative Commons by-nc-sa

El lado del triángulo rectángulo sombreado tendrá de base la mitad de la diferencia entre las bases del trapecio, por tanto será (14 - 8)/2 = 6/2 = 3 cm. Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que: 

Por tanto la altura del trapecio mide 4 cm

Seguir practicando

Observa en la siguiente escena la relación que existe entre el tipo de triángulo y las áreas de sus lados. Puedes pinchar sobre sus vértices para modificar el triángulo.

TEOREMA DE PITAGORAS. Imber. (CC by sa)

Teniéndolo en cuenta, realiza los siguientes ejercicios en tu cuaderno. ¿Los has hecho todos bien? Comprueba las soluciones

Problemas del Teorema de Pitágoras II (Ventana nueva)

En la red

[picture] | Visita el siguiente enlace y realiza los cinco ejercicios

[picture] | Visita el siguiente enlace y realiza los cinco ejercicios

Teoremas basados en los triángulos rectángulos

Además del teorema de Pitágoras, existen tres teoremas importantes sobre los triángulos rectángulos que permiten resolver ciertos problemas geométricos de una forma rápida. Estos teoremas son los siguientes:

Triángulo rectángulo proyecciones. Imagen de Arturo Mandly en Flickr

Licencia Creative Commons by-nc-sa

Teorema del cateto: relaciona los catetos (b y c) con la hipotenusa (a) y las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (m y n).

Teorema de la altura: relaciona la altura (h) con las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (m y n) 

Teorema sobre la altura y la hipotenusa: relaciona la hipotenusa (a) y altura (h) con los catetos (b y c).

La demostración de estos teoremas es sencilla; ya que se basan en aplicar el teorema de Thales o el cálculo del área del triángulo rectángulo de dos formas diferentes e igualar ambas expresiones.

Importante

Teorema del cateto

El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

Como consecuencia tenemos las siguientes fórmulas:

b² = m·a

c² = n·a

siendo a = m + n  y  m la proyección del cateto b sobre la hipotenusa y n la del cateto c, tal y como se puede observar en el triángulo anterior.

La media proporcional (o geométrica) de dos números es la raíz cuadrada de su producto. Esto nos indica que; si extraemos la raíz cuadrada a cada término de las dos expresiones, tenemos que los catetos son la media proporcional de sus proyecciones y la hipotenusa.

Estas fórmulas nos permiten calcular los catetos, conocidas sus proyecciones o bien calcular un cateto conocida su proyección y la hipotenusa.

En el siguiente ejemplo puedes desplazar el vértice C y comprobar que se verifica la fórmula del teorema del cateto.

Teorema del Cateto. Basado en Demostración del Teorema de Pitágoras por semejanza Compartida por José Manuel Infante Infante  CC by sa

Importante

Teorema de la altura

El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual al producto de las proyecciones de sus catetos sobre la hipotenusa.

Es decir que h² = m·n

Este teorema nos permite calcular la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo si conocemos las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

También nos dice que la altura es la media proporcional (o geométrica) de las proyecciones.

En el siguiente ejemplo puedes desplazar el vértice C y comprobar que se cumple el teorema de la altura.

Teorema de la altura. Basado en Demostración del Teorema de Pitágoras por semejanza Compartida por José Manuel Infante Infante  CC by sa

Importante

Teorema sobre la hipotenusa y la altura

En todo triángulo rectángulo el producto de la hipotenusa por la altura es igual al producto de los dos catetos.

Podemos expresarlo mediante la fórmula a·h = b·c y nos permitirá calcular la altura de un triángulo rectángulo en función de la hipotenusa y sus catetos.

Si dividimos ambos miembros de la fórmula anterior por 2, puedes observar que cada miembro representa el área del triángulo rectángulo.

Comprueba lo aprendido

Pregunta

Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo miden 2 m y 8 m ¿cuánto mide la altura sobre la hipotenusa?

Sugerencia

Es un caso sencillo de aplicación del teorema de la altura

Respuestas

Opción 1

a) 4 m

Opción 2

b) 10 m

Retroalimentación

Correcto. Aplicando el teorema de la altura h² = 2·8=16, por tanto h = 4 m

Incorrecto. Repasa los cálculos y comprueba que estás aplicando el teorema adecuado.

Solución

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Pregunta

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 m y la proyección de uno de sus catetos mide 4 m ¿cuánto mide dicho cateto?

Sugerencia

Mira cuál de los teoremas que hemos dado es el más adecuado.

Respuestas

Opción 1

a) 8 m

Opción 2

b) 3 m

Opción 3

c) 10 m

Retroalimentación

Incorrecto. Repasa los calculos

Incorrecto. El cateto no puede medir menos que su proyección.

Correcto. Aplicando el teorema del cateto b²=4·20=100, por tanto extrayendo la raíz cuadrada tenemos que b=10 m.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Pregunta

Los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 m y 3 m, por tanto su hipotenusa obtenida a partir del teorema de Pitágoras es 5 m ¿cuánto mide la altura sobre la hipotenusa?

Sugerencia

Aplica el último teorema que hemos desarrollado en este subapartado.

Respuestas

Opción 1

a) 6 m

Opción 2

b) 2,4 m

Opción 3

c) 2 m

Retroalimentación

Incorrecto. La altura no puede ser mayor que la hipotenusa.

Correcto. Aplicando el teorema que nos dice que a·h = b·c tenemos que 5h = 3·4 = 12, despejando h tenemos que h = 12/5 = 2,4 m

Incorrecto. Repasa los cálculos y aplica el teorema adecuado.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Lugares geométricos

Arturo Manly. Rueda de bicicleta (CC BY-SA)

En la vida real nos encontramos con figuras geométricas, pueden ser planas o espaciales. Detrás de cada una se esconden propiedades que las determinan y diferencian a unas de otras. Este tipo de propiedades pueden referirse a distancias, ángulos, áreas, etc.

En este apartado, vamos a desarrollar una visión de figuras que ya conoces y otras nuevas a partir de sus propiedades geométricas.

Para comenzar te propongo que realices antes la siguiente reflexión:

Observa la rueda de la bicicleta y busca qué propiedad geométrica consideras que es la que nos permite definir a una circunferencia.

Comentar entre todos los compañeros del grupo las propiedades que habéis considerado.

Importante

InterroganteLugar geométrico

Es el conjunto de puntos que verifican una misma propiedad geométrica.

Cuando se define un determinado lugar geométrico, tenemos que especificar si nos referimos al plano o al espacio. Pueden darse casos como estos:

"El lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una misma distancia de un punto (llamado centro)  nos determina una circunferencia".

Sin embargo,

"El lugar geométrico de los puntos del espacio que se encuentran a una misma distancia de un punto (llamado centro)  nos determina una superficie esférica".

Puntos y rectas

Importante

Uno de los lugares geométricos más sencillos, y que tendrás que utilizar en muchas ocasiones, es el conocido como punto medio de un segmento.

Se define como el punto de un segmento que se encuentra a la misma distancia (equidistante) de sus extremos.

En la siguiente escena, desplazando el deslizador, puedes observar la forma de determinar el punto medio de un segmento usando regla y compás. ¿Te atreves a hacerlo en la libreta?

Punto medio de un segmento. Antonio Monje. (CC by sa)

Este tipo de puntos lo puedes encontrar, por ejemplo, en la intersección de las diagonales de un rectángulo.

Tarea

Busca otros tipos de figuras de la vida real en las que puedas encontrar un punto medio de algunos de sus elementos, lados, diagonales, etc.

Escribe en tu cuaderno los resultados obtenidos y comenta en clase todos los que habéis encontrado.

Retroalimentación

Fíjate en el ejemplo anterior.

Importante

Mediatriz de un segmento: es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento.

Desplaza el punto F y observa que la distancia de F a A es igual que la distancia de F a B. La recta de puntos que se forma corresponde a la Mediatriz.

Mediatriz de un segmento. Antonio Monje. (CC by sa)

Un mismo lugar geométrico puede a veces definirse de otras formas. En este caso podríamos dar también la siguiente definición.

Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular por su punto medio.

Importante

Bisectrices. Imagen de Arturo Mandly en Flickr

Licencia Creative Commons by-nc-sa

Bisectrices de dos rectas: es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidista de dos rectas.

Dicho lugar está formado -en el caso de que las rectas no sean paralelas- por dos rectas perpendiculares.

También podemos definir las bisectrices de dos rectas no paralelas como las rectas que dividen a cada uno de los ángulos que forman en dos partes iguales.

Observa paso a paso cómo se construye la bisectriz de un ángulo con un compás.

Construcción de la bisectriz. José Manuel Infante. (CC by sa)

Pulsa en el botón "Reproduce".

Cónicas

Dado que podemos expresar infinitas propiedades geométricas, existen infinitos lugares geométricos diferentes.

Algunos de los lugares geométricos que aparecen en la vida real son las llamadas cónicas (son las secciones de un cono producidas por un plano. Las puedes ver en la imagen.

Cónicas. Arturo Mandly. (CC by sa)

Circunferencia: el plano es perpendicular al eje del cono.

Elipse: el plano forma un ángulo con el eje del cono superior al que forma la generatriz con el eje, y es inferior a 90º.

Parábola: cuando el plano es paralelo a una generatriz del cono.

Hipérbola: cuando el ángulo que forma el plano con el eje del cono es inferior al que forma la generatriz con dicho eje.

Cónicas degeneradas: son el caso en que el plano corta al cono en un punto o una o dos rectas.

Arturo Manly. Elipse

Una cónica es también la forma de la sombra que proyecta sobre un plano un foco de luz que ilumina a una esfera apoyada en él (suelo).

En la red

[picture] | En el siguiente enlace puedes ir generando las distintas cónicas en función del ángulo que forma el plano con el eje del cono.

Importante

La elipse también se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a dos puntos (llamados focos) es constante (a dicho valor se le representa por 2a).

Elipse. Arturo Mandly

El valor de a es igual a la longitud del semieje mayor y b la del semieje menor. La distancia de los focos al centro de la elipse se la representa por la letra c. El valor de la excentricidad (e = c/a) es un valor comprendido entre 0 y 1, de forma que cuanto más pequeño más se acercará a una circunferencia y cuanto mayor sea más achatada es.

Curiosidad

Postre. Imagen de Arturo Mandly

Cuando miramos un objeto con forma de circunferencia desde una cierta distancia fuera de la vertical que pasa por su centro, lo observamos como si fuera una elipse.

Las trayectorias de los planetas alrededor del Sol tienen forma de elipse.

Anota en tu cuaderno casos de la vida real en los que al mirar objetos de forma circular los observes como elipses. Comenta posteriormente con tus compañeros este tipo de situaciones.

Importante

La Hipérbola también se pude definir como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia en valor absoluto de las distancias a dos puntos fijos del plano (llamados focos) es constante.

Hipérbola. Imagen de Arturo Mandly

La trayectoria que siguen dos partículas con carga eléctrica del mismo signo (por ejemplo dos electrones); cuando están sometidas exclusivamente a sus fuerzas eléctricas de repulsión, es una hipérbola.

Importante

Parábola: Lugar geométrico de los puntos cuya distancia a una recta (llamada directriz) es igual a la distancia a un punto fijo del plano (llamado foco).

Parábola. Imagen de Arturo Mandly

En la vida real la forma de un chorro de agua es el de una parábola.

Busca otros ejemplos de la vida real cuya forma sea una parábola. Anótalos en tu cuaderno y coméntalos en clase.

En la red

[picture] | Utiliza el siguiente enlace para dibujar las distintas cónicas moviendo con el cursor el punto P de cada figura. En dicho enlace también podrás ver las ecuaciones matemáticas asociadas a las cónicas, pero este contenido no es de este curso.

Puntos y rectas en los triángulos

En tu vida cotidiana estás acostumbrado a encontrarte con una gran variedad de objetos en los que aparecen distintos triángulos, pero probablemente no habrás observado las propiedades que tienen en cuanto a puntos, rectas y circunferencias que se pueden estudiar de ellos aparte de sus vértices y lados.

En este apartado vamos a tratar precisamente de esos lugares geométricos basados en el triángulo, llamados puntos y rectas notables.

Medianas y baricentro

Desplaza el deslizador para ver la construcción de las medianas y el baricentro. Observa la propiedad que se enuncia.

Antonio Monje. Medianas y baricentro. (CC by sa)

Al final puedes pinchar en cualquier vértice y modificar el triángulo

¿Está el baricentro o centro de gravedad siempre en el interior del triángulo?

¿Es posible determinar el baricentro trazando solamente una mediana? Explica el procedimiento.

Tarea

Con la siguiente tarea queremos comprobar que el baricentro es el centro de gravedad del triángulo. Para ello realiza las siguientes actividades:

Dibuja un triángulo que no sea pequeño en un folio, en una cartulina o en un trozo de cartón.

Recorta el triángulo.

Traza las medianas y marca con un punto que se note bien el baricentro.

Coloca el triángulo en distintas posiciones al lado del borde de la mesa y observa que sucede cuando el baricentro sobresale de la mesa o se encuentra encima de la mesa.

¿Qué conclusión sacas?

Anota en tu cuaderno las conclusiones que has sacado.

Comprueba en el grupo de la clase  que en todos los triángulos que has realizado se cumplen las conclusiones que habéis obtenido.

Retroalimentación

Procura que el triángulo no sea equilátero ya que en dicho caso es evidente que se cumple la propiedad que queremos comprobar.

Mediatrices y circuncentro

La mediatriz de un segmento, es la recta perpendicular al segmento en su punto medio.

Se llaman mediatrices del triángulo a las mediatrices de cada uno de sus lados.

El punto de corte de las tres mediatrices se denomina circuncentro.

Haz clic en las casillas una a una y en orden para observar cómo se determina el circuncentro de un triángulo.

Basado en Construcción del circuncentro de un triángulo Compartida por Elizabeth Geogebra. (CC by sa)

Responde a las siguientes preguntas modificando en la escena el triángulo.

Si el triángulo es acutángulo (todos sus ángulos menores de 90º ) ¿Dónde se encuentra el circuncentro?

¿Cuándo está en el exterior del triángulo?

Intenta, moviendo alguno de los vértices, que el triángulo sea rectángulo. ¿Dónde está en este caso el circuncentro?

Alturas y ortocentro

Reproduce la siguiente escena antes de contestar a las preguntas.

Antonio Monje. Alturas y ortocentro. (CC by sa)

La Rellenar huecos (1):

en un vértice

ortocentro

obtuso

altura

recto

agudo

dentro

fuera

JXUwMDM5JXUwMDBkJXUwMDE4JXUwMDAxJXUwMDA3JXUwMDEz de un triángulo es el segmento que une un vértice con el lado opuesto o su prolongación formando ángulo Rellenar huecos (2):

en un vértice

ortocentro

obtuso

altura

recto

agudo

dentro

fuera

JXUwMDJhJXUwMDE3JXUwMDA2JXUwMDE3JXUwMDFi .

Las tres alturas de un triángulo, o sus prolongaciones, se cortan en un punto que se llama Rellenar huecos (3):

en un vértice

ortocentro

obtuso

altura

recto

agudo

dentro

fuera

JXUwMDM3JXUwMDFkJXUwMDA2JXUwMDFiJXUwMDBjJXUwMDA2JXUwMDBiJXUwMDFhJXUwMDA2JXUwMDFk .

En un triángulo acutángulo el ortocentro se encuentra Rellenar huecos (4):

en un vértice

ortocentro

obtuso

altura

recto

agudo

dentro

fuera

JXUwMDNjJXUwMDAxJXUwMDBiJXUwMDFhJXUwMDA2JXUwMDFk del triángulo.

En un triángulo rectángulo el ortocentro se encuentra Rellenar huecos (5):

en un vértice

ortocentro

obtuso

altura

recto

agudo

dentro

fuera

JXUwMDNkJXUwMDBiJXUwMDRlJXUwMDU1JXUwMDFiJXUwMDRlJXUwMDU2JXUwMDlmJXUwMDliJXUwMDA2JXUwMDFkJXUwMDBhJXUwMDA2 del triángulo

En un triángulo obtusángulo el ortocentro se encuentra Rellenar huecos (6):

en un vértice

ortocentro

obtuso

altura

recto

agudo

dentro

fuera

JXUwMDNlJXUwMDEzJXUwMDEwJXUwMDE3JXUwMDEz del triángulo

Habilitar JavaScript

Observa bien la escena y pinchando sobre los vértices del triángulo, cambia su forma.

Curiosidad

El baricentro, ortocentro y circuncentro de un triángulo están siempre alineados. La línea que determinan se denomina recta de Euler.

Visita el siguiente enlace y observa el comportamiento de la recta. ¿De verdad están siempre alineados? Transforma el triángulo.

Bisectriz, incentro y circunferencia inscrita.

Reproduce la siguiente escena:

Antonio Monje. Bisectriz e incentro. (CC by sa)

¿Podrías asegurar que el incentro equidista de los tres lados? Razona tu respuesta

Tarea

Tarea

Por fin hemos terminado todos los contenidos de esta unidad y como has visto hemos estudiado dos teoremas, el  de Thales y el de Pitágoras, importantísimos para poder resolver una multitud de problemas geométricos que se pueden dar tanto en situaciones reales como puramente matemáticas.

También hemos visto el concepto de lugar geométrico y algunos ejemplos de ellos como son las cónicas y otros relacionados con los triángulos.

Para tener bien estructurado todo lo tratado en la unidad, vas a realizar un esquema de los contenidos tratados en la unidad.

Retroalimentación

Con el grupo clase, completad los esquemas realizados.

Tarea

Luistlatoani. Parque ecológico (CC BY-SA)

En el parque

En el parque más cercano de tu casa o del I.E.S. seguro que encontrarás situaciones en las que podemos aplicar los teoremas que hemos visto en esta unidad.

Resuelve las siguientes actividades y elabora un documento con el tratamiento de texto Writer con los resultados obtenidos. Realiza las fotografías que veas necesarias para documentar el trabajo y que no incluyan a personas.

1. Busca una farola, árbol o mástil y realiza una estimación de cuál puede ser su altura aproximádamente. Diseña un procedimiento basado en el teorema de Thales y utilízalo para calcular su altura. Compara la estimación realizada con los obtenidos al aplicar el procedimiento que has diseñado.

2. Busca alguna zona de jardín, de juego, base de alguna estatua, banco, etc que tenga forma rectangular y mide sus lados. Realiza una estimación de la diagonal, aplica el teorema de Pitágoras para calcularla, y si es posible, mídela. Compara las tres medidas ¿cuál se acerca más a la que has medido, la estimada o la calculada?

3. Busca lugares geométricos de los que has estudiado en esta unidad e indica cómo se llaman.

Anota todos los cálculos que hayas realizado en tu cuaderno y elabora el documento de texto que te hemos comentado.

Coloca el texto en Internet mediante Google Docs con el título formado por dos partes, la primera será la inicial de tu nombre y tu primer apellido y la segunda será EnElParque. Utiliza dicho documento para realizar una exposición a tus compañeros para explicar la resolución de una de las dos actividades.

Retroalimentación

Debes tener en cuenta que tienes que realizar dibujos y asignar letras mayúsculas a los puntos que veas necesarios y minúsculas a las  longitudes. Indica en cada caso en tu cuaderno las distintas fórmulas que hayas empleado.

Ampliación

En la red

Algunos enlaces que te recomendamos para repasar los contenidos de la unidad son:

[picture] | Problemas de enunciado interactivos para resolver aplicando el Teorema de Pitágoras. Incluye explicaciones paso a paso de su resolución.
[picture] | Estudio de las cónicas. Aquí puedes estudiar las cónicas y distintas formas de construirlas. Ten en cuenta que las ecuaciones de las cónicas no corresponden a los contenidos de este curso.
[picture] | Cicloides y trocoides. Aquí puedes ver otros lugares geométricos basados en el movimiento de un punto de una circunferencia que se mueve sobre una recta, sobre otra circunferencia, etc.

Tarea

Tarea

Envases 

Hoy en día la mayoría de los objetos que necesitamos para vivir solemos encontrarlos envasados, embalados, recogidos, etc en distintos tipos de recipientes que toman una gran variedad de formas geométricas. Una gran parte de estos envases suelen tener forma de ortoedro (paralelepípedo de seis caras rectangulares cuyos ángulos diedros son rectos) como el tetrabrik de la figura, las cajas de zapatos, envases de medicamentos, etc.

Te proponemos que busques distintos envases cuya forma sea la de un ortoedro, siendo al menos una de ellas un tetrabrik y otra una caja de cartón. Realiza fotografías de estos envases y realiza las siguientes cuestiones:

1. Mide las aristas de un tetrabrik y calcula su diagonal y las diagonales de cada cara. Mide las diagonales de las caras y compáralas con los resultados obtenidos en tus cálculos. Si encuentras una gran diferencia entre las medidas y los cálculos deberás repasar el procedimiento, las medidas y los cálculos para saber en qué te has equivocado.

2. ¿Qué medidas tendría que tener un tetrabrik con las mismas proporciones que el anterior si queremos que su altura mida 45 cm?

3. Busca un procedimiento que te permita medir de forma directa la diagonal del envase anterior sin necesidad de abrirlo ni atravesarlo.

4. Mide las aristas de una de las cajas que has elegido y realiza un dibujo de ella e indica las medidas que hayas realizado.

Caja de cartón. Arturo Mandly

5. Supongamos que una araña quiere ir desde un vértice de la caja hasta el vértice opuesto (como puedes ver en la figura, de A a B) moviéndose por las caras de la caja ¿cuál será la trayectoria más corta y su longitud para ir de un vértice al otro? Como ayuda te proponemos que realices un dibujo del desarrollo de la caja en el plano.

6. Observa en los envases que has seleccionado si hay algunos de los lugares geométricos que has estudiado e indica sus nombres en cada uno de ellos.

Una vez que tengas la respuesta a todas las anteriores cuestiones, realiza una presentación (con Impress o Google Docs) que recoja el procedimiento empleado para resolverlas y los resultados obtenidos. Comparte el archivo y realiza una entrada en el blog de aula con el titulo formado por dos partes, la primera será la inicial de tu nombre y tu primer apellido (Por ejemplo, de Rosa García será rgarcia y la segunda será envases).

Utiliza dicho documento para realizar una exposición a tus compañeros para explicar la resolución de una de las cuestiones.

Retroalimentación

Recuerda el teorema de Thales y de Pitágoras y los lugares geométricos.

Refuerzo

En la red

Algunos enlaces que te recomendamos para repasar los contenidos de la unidad son:

[picture] | Semejanza. En este enlace puedes repasar el concepto de semejanza entre figuras geométricas. Realiza las actividades que se proponen.
[picture] | Semejanza de triángulos. En este enlace puedes repasar la semejanza de triángulos y la aplicación del teorema de Thales a la resolución de problemas. Realiza las actividades que se proponen relativas al cálculo de longitudes.
[picture] | Dos demostraciones sencillas del Teorema de Pitágoras, que podremos hacer también nosotros de manera interactiva en el ordenador o a mano con materiales manipulativos.
[picture] | Aplicaciones del teorema de Pitágoras. Realiza las actividades que se proponen en este enlace.
[picture] | Lugares geométricos. En este enlace puedes repasar el concepto de lugar geométrico y en particular las cónicas. Realiza las actividades interactivas que se proponen.
[picture] | Elementos notables de un triángulo. En este enlace puedes repasar los contenidos relativos a los elementos notables de un triángulo y en el apartado practicar puedes resolver la actividad que se propone.

Tarea

Tarea

Baldosas

En las baldoas de la figura puedes comprobar que el triángulo de vértices los puntos A, B y C, práticamente es un triángulo rectángulo, para lo cual basta que coloques el vértice un folio en el punto B y hacer coincidir sus lados. Este corte de las baldosas muchas veces se realiza para poder adaptarse a los distintos niveles del suelo como sucede por ejemplo en las rampas.

Baldosas. Imagen de Arturo Mandly

También es común encontrar distintos diseños decorativos en las baldosas que pueden estar basados en los lugares geométricos que hemos estudiado en esta unidad.

Queremos que realices las siguientes cuestiones basadas en las baldosas que puedas encontrar en tu casa, calles, paseos, etc, para lo cual realizarás previamente fotografías de ellas que luego incluirás en la presentación final de esta tarea. Las cuestiones son las siguientes:

1. Busca baldosas de forma rectangular y calcula como tendríamos que cortarlas para poder formar un triángulo rectángulo parecido al de la figura. Realiza un dibujo en donde debes indicar las distintas medidas.

2. Busca una baldosa que sea cuadrangular y otra rectangular, mide sus lados y calcula mediante el teorema de Pitágoras lo que miden sus diagonales y luego compara los resultados con la medida directa de ellas. Repasa las medidas y los cálculos si ves que hay una diferencia significativa entre ellas.

3. Busca baldosas en las que aparezcan distintos lugares geométricos de los que hemos estudiado en esta unidad e indica su nombre.

Una vez que tengas la respuesta a todas las anteriores cuestiones realiza un presentación con Impress o Google Docs que recoja las distintas imágenes y los distintos movimientos que la generan. Comparte el archivo y realiza una entrada en el blog de aula con el titulo formado por dos partes, la primera será la incial de tu nombre y tu primer apellido (Por ejemplo, de Rosa García será rgarcia y la segunda será baldosas).

Utiliza dicho documento para realizar una exposición a tus compañeros para explicar algunas de las cuestiones realizadas.

Retroalimentación

Ten en cuenta que en una misma cuestión puedes aplicar tanto el teorema de Thales como el de Pitágoras.

Cuestionarios

Cuestionarios

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Licencia de Creative Commons
Matemáticas 3º E.S.O. CeDeC.

- Ficha técnica y descarga -

Ficha técnica

Título | Thales y Pitágoras
Materia | Matemáticas
Nivel educativo | 3º ESO
Contenidos | Teorema de Thales, triángulos semejantes. Medidas de distancias d epuntos inasequibles. Teorema de Pitágoras. Lugares geométricos: puntos, rectas, cónicas.

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Para reconocer la autoría de recurso se puede utilizar el siguiente texto:

Este material es una adaptación del recurso original "Thales y Pitágoras" del Proyecto EDIA de Cedec.

A continuación ofrecemos el archivo fuente (recurso original) para realizar las modificaciones necesarias con eXeLearning, herramienta de autor gratuita y disponible para cualquier sistema operativo.

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Créditos

Proyecto EDIA. Thales y Pitágoras. Cedec

Autores: Mariano Real Pérez, Arturo Mandly, Manso José Muñoz Santoja

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