Juegos que estimulan la inteligencia

Te damos la bienvenida al estimulante mundo de los juegos. Mi nombre es Alba Díaz y soy la representante en España de la empresa INGASA (Intelligent Games S.A.) que se encarga de la investigación, creación y distribución de juegos que estimulan la inteligencia. Tenemos productos para todas las edades  basados en todos los campos del conocimiento.

Nuestra empresa lleva operando desde hace más de dos siglos y seguramente habrás tenido en tus manos alguno de nuestros productos: algún ajedrez, un juego de cartas, puzzles... A lo largo de todo este tiempo cada época ha tenido sus peculiaridades que marcaban la rama de producción y las líneas de investigación de la empresa. Algunas de ellas ya han quedado como reliquias pero otros queremos que tengan un tono simpático y alegre.

Paul Reynolds. Simpsons Chess (CC BY)

Los tiempos van cambiando y ahora son las TIC las que priman sobre los juegos tradicionales. Por elllo, hemos tenido que abrir nuevas ramas en el mercado; pero sin olvidar las ya tradicionales, que siguen cosechando adeptos año tras año como así demuestran las ventas.

Una de las primeras opciones que barajamos para adaptarnos al mercado fue crear aplicaciones interactivas que supusieran llevar a un entorno informático los juegos tradicionales.

Ha sido un placer presentarte mi empresa y espero que te haya gustado. Un saludo y ya sabes dónde localizarme.

Licencia de Creative Commons
Matemáticas 3º E.S.O. CeDeC.

Obra publicada con Licencia Creative Commons Reconocimiento Compartir igual 4.0

Jugando al tangram

Uno de los juegos estrella de la empresa INGASA es el Tangram. El Tangram es un juego chino muy antiguo llamado "Chi Chiao Pan" que significa "juego de los siete elementos" o "tabla de la sabiduría". Existen varias versiones sobre el origen de la palabra Tangram, una de las más aceptadas cuenta que la palabra la inventó un inglés uniendo el vocablo cantonés "tang" que significa chino con el vocablo latino "gram" que significa escrito o gráfico. Otra versión narra que el origen del juego se remonta a los años 618 a 907 de nuestra era, época en la que reinó en China la dinastía Tang de donde se derivaría su nombre.

Nevit Dilmen. Tangram 097 Nevit (CC BY-SA)

No se sabe con certeza quien inventó el juego ni cuando, pues las primeras publicaciones chinas en las que aparece el juego datan del siglo XVIII, época para la cual el juego era ya muy conocido en varios países del mundo. En China, el Tangram era muy popular y era considerado un juego para mujeres y niños.

A partir del siglo XVIII, se publicaron en América y Europa varias traducciones de libros chinos en los que se explicaban las reglas del Tangram, el juego era llamado "el rompecabezas chino" y se volvió tan popular que lo jugaban niños y adultos, personas comunes y personalidades del mundo de las ciencias y las artes. Napoleón Bonaparte se volvió un verdadero especialista en el Tangram desde que fue exiliado en la isla de Santa Elena.

En cuanto al número de figuras que pueden realizarse con el Tangram, la mayor parte de los libros europeos copiaron las figuras chinas originales que eran tan sólo unos cientos. Para 1900 se habían inventado nuevas figuras y formas geométricas y se tenían aproximadamente 900. Actualmente se pueden realizar con el Tangram alrededor de 16.000 figuras distintas.

Hoy en día el Tangram no se usa sólo como un entretenimiento, se utiliza también en la psicología, en diseño, en filosofía y particularmente en la pedagogía. En el área de enseñanza de las matemáticas el Tangram se usa para introducir conceptos de geometría plana, y para promover el desarrollo de capacidades psicomotrices e intelectuales de los niños pues permite ligar de manera lúdica la manipulación concreta de materiales con la formación de ideas abstractas.

Tarea

¿Sabes lo que es un Tangram? En la siguiente escena puedes jugar con uno interativo.

floralbanaranjo. El Tangram. (CC by sa)

Aunque en la escena puedes ver las proporciones que deben tener las fichas de un tangram, será muy importante para realizar esta tarea que aprendas a construir el tuyo.

Carla García. Cómo hacer un TANGRAM

¡Atrévete! Construye tu propio Tangram y realiza cuatro figuras de las 16.000 posibles.

Realiza un vídeo en el que expliques cómo se construye cada una de las cuatro figuras que has seleccionado. Utiliza para la explicación el Tangram que acabas de construir. Sube el vídeo a Internet y realiza una entrada en el blog de aula en la que aparezca incrustado ese vídeo con un pequeño texto de presentación. A esta entrada debes ponerle dos etiquetas. La primera será la formada por la primera letra de tu nombre y tu primer apellido y la segunda será la palabra Tangram.

Retroalimentación

El vídeo lo puedes editar con Open Shot y subirlo a Youtube.

Contenidos: movimientos

¿A que son bonitos? Transmiten sensación de vida y belleza. Aunque parezca mentira, uno de los factores que influye en esas sensaciones que nos transmiten es la simetría, que es una parte de la geometría llamada movimientos o transformaciones isométricas.

Vicvx. Thaicats (CC BY-SA)

En la vida real, en la naturaleza o en las formas generadas por el ser humano, nos encontramos con estos tipos de movimientos. Muchos artistas se basan en ellos para generar obras de arte de gran belleza.

Desde el punto de vista tecnológico, nos encontramos, por ejemplo, con la disposición de los vagones de un tren de mercancías o de un carrusel basados en otros tipos de movimientos: traslaciones y giros.

En esta unidad vamos a estudiar esta parte de la geometría y cómo la naturaleza y el ser humano las utiliza en sus construcciones y en el arte.

Para poder tratar los movimientos en el plano necesitamos introducir el concepto de vector al que dedicamos el siguiente apartado pero con poca profundización, sólo lo necesario para esta unidad.

Vectores

Vector fijo en el plano

Un vector se puede definir como un segmento orientado que une dos puntos del plano, A (origen) y B (extremo). Se denomina vector fijo y tiene los siguientes elementos:

Módulo: distancia entre sus extremos (longitud del vector) y se representa por

Dirección: recta que contiene al vector.

Sentido: es el que marca la flecha del vector.

Los vectores se utilizan en aquellas magnitudes en las que intervienen los tres elementos anteriores, como por ejemplo la velocidad, aceleración, fuerza, etc. En esta unidad lo utilizaremos en los movimientos en el plano.

Pincha en cualquiera de los vértices para transformar el vector. ¿Varía su longitud o módulo?

Vectores fijos equipolentes

Se dice que dos vectores fijos son equipolentes si tienen la misma dirección, módulo y sentido.

Desde el punto de vista matemático no interesa que esos dos vectores (y los que como ellos tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo) sean distintos, por lo que se introduce el concepto de vector libre.

Pincha en los vértices A o B y modifica el vector ¿El resto de los vectores (equipolentes) mantienen la misma dirección, módulo y sentido?

Vectores libres

Se llama vector libre al conjunto de todos los vectores que son equipolentes entre sí.

Se suelen denotar con letra minúscula y la flecha como símbolo de vector (por ejemplo ).

El conjunto de todos los vectores libres del plano se denomina V².

También podemos decir que cualquier vector libre puede ser representado mediante un vector fijo que tenga su origen o su extremo en un punto cualquiera del plano.

Comprueba lo aprendido

Pregunta

Compara los vectores que determinan los vértices del cuadrado de la ilustración.

¿Qué vectores tienen el mismo módulo?

Sugerencia

Observa el paralelismo entre sus lados.

Respuestas

Opción 1

a) Ninguno

Opción 2

b) Todos

Opción 3

c) Dos a dos de ellos.

Retroalimentación

Incorrecto, ten en cuenta que el módulo de un vector es igual a su longitud.

Correcto. Los lados de un cuadrado miden lo mismo y el módulo de un vector representa su longitud.

Incorrecto, ten en cuenta que el módulo de un vector es igual a su longitud.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Pregunta

¿Qué vectores son equipolentes entre sí?

Sugerencia

Observa que lados son paralelos entre sí y qué vectores tienen el mismo sentido.

Respuestas

Opción 1

a) Todos

Opción 2

b) Ninguno

Opción 3

c) Los vectores

Opción 4

d) Los vectores .

Retroalimentación

Incorrecto, fíjate bien.

Incorrecto, fíjate bien.

Incorrecto, fíjate bien.

Correcto. Tienen el mismo módulo, direcciones paralelas y el mismo sentido.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Pregunta

¿Qué vectores son opuestos entre sí?

Sugerencia

Fíjate bien en las direcciones, módulos y sentidos de los distintos vectores.

Respuestas

Opción 1

a) Todos entre sí.

Opción 2

b)

Opción 3

c) Ninguno.

Retroalimentación

Incorrecto, fíjate bien.

Correcto. Tienen el mismo módulo, direcciones paralelas y sentido opuesto.

Incorrecto, fíjate bien.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Coordenadas y operaciones

Anota en tu cuaderno las siguientes definiciones y ejercicios de este apartado.

Si representamos un vector en un sistema de coordenadas cartesianas de tal forma que su origen se haga coincidir con el del sistema, podemos asignarle las coordenadas del extremo del vector. A estas coordenadas también se les llama componentes del vector.

Desplaza el vértice A del vector para observar el cambio de las componentes del vector

Las componentes del vector de extremos  A (a,b) y B (a',b'); las podemos obtener restando a las coordenadas del punto B las del A.

Pincha en A o B y modifica el vector. Observa cómo varían y la forma de hacerlo de sus componentes

Aprende a hacerlo

Dados los puntos:

A (2,4)

B (1,5)

C (0,-2)

Calcular las componentes de los vectores

Retroalimentación

Suma de dos vectores

Geométricamente se realiza haciendo coincidir el extremo del primero con el origen del segundo, siendo el vector suma el obtenido al unir el origen del primero con el extremo del segundo.

Si los vectores vienen dados por sus componentes, basta sumarlas:

Modifica los vectores u y v y observa cómo cambia el vector suma w

Aprende a hacerlo

Dados los vectores:

Calcular el vector:

Retroalimentación

Calcular el vector:

Retroalimentación

Vector opuesto

Es aquel que tiene el mismo módulo, dirección y sentido opuesto. Sus componentes son las del vector dado cambiadas de signo.

Pincha sobre A o B para transformar el vector

Observa el comportamiento de su opuesto

Aprende a hacerlo

Dados los vectores:

Obtener el vector opuesto de cada uno de ellos.

Retroalimentación

El opuesto del vector es:

El opuesto del vector es:

Movimientos en el plano

Importante

Arturo Manly. Rombos

Movimientos o isometrías son aquellas transformaciones que mantienen las mismas distancias y ángulos en la figura original y en la transformada (llamada homóloga).

Por tanto podemos decir que estas transformaciones dejan la figura de la misma forma e igual tamaño.

En la red

Enlace a vídeo. Abre en ventana nuevaApunta en tu cuaderno la definición anterior y las de los siguientes subapartados.

En este apartado vamos a estudiar los distintos tipos de movimientos en el plano: traslaciones, giros y simetrías.

En el siguiente enlace puedes ver una breve introducción a los movimientos en el plano y diferentes actividades.

Traslaciones

Importante

Traslación

Se define traslación producida por un vector libre a la transformación que hace corresponder a todo punto P del plano otro punto P' de tal forma que

Para obtener las coordenadas del punto P' basta con sumarle a las de P las componentes del vector 

En la siguiente escena puedes obtener la traslación del segmento de extremos los puntos P y Q producida por el vector de extremos los puntos A y B. Mueve los puntos A y B para cambiar el vector que produce la traslación, o los puntos P y Q para modificar el segmento a transformar.

Comprueba como ambos segmentos se mantienen siempre paralelos y con la misma longitud.

En la siguiente escena puedes obtener la traslación de un objeto real.

Modifica el vector como en la escena anterior y observa cómo se transforma CeDeC.

Coloca el origen del vector encima de un punto de CeDeC y comprueba que el extremo está en el mismo punto del otro CeDeC.

Aprende a hacerlo

Dado el vector determinar las coordenadas de los puntos obtenidos por traslación mediante dicho vector de los siguientes puntos:

a) P(1,4)

Retroalimentación

Las coordenadas del punto P' se obtendrán sumando a las coordenadas del punto P las componentes del vector.

(1+2,4+3)=(3,7), por tanto el punto obtenido es P'(3,7)

b) Q(-2,0)

Retroalimentación

Las coordenadas del punto Q' se obtendrán sumando a las coordenadas del punto Q las componentes del vector.(-2+2,0+3)=(0,3), por tanto el punto obtenido es P'(0,3)

c) M(-1,-2) tras haberle aplicado previamente una traslación de vector

Retroalimentación

Al tratarse de la aplicación de dos traslaciones, calculamos primero el vector de la traslación que será la suma de ambos vectores.

, aplicando dicho vector al punto M(-1,-2) obtenemos (-1+1,-2+5)=(0,3)

Por tanto el homólogo del punto M es el punto M'(0,3)

Tarea

Traza en tu cuaderno un sistema de coordenadas cartesianas y realiza las siguientes actividades:

a) Dibuja la letra E en el segundo cuadrante con trazos rectos y sus extremos en puntos de coordenadas enteras.

b) Escribe las coordenadas de cada uno de los puntos extremos que determinan dicha letra.

c) Calcula las coordenadas de los puntos obtenidos al aplicarles una traslación de vector

d) Dibuja los puntos del apartado anterior.

e) ¿Qué se obtiene al unir dichos puntos de la misma forma que lo están en los originales?

Retroalimentación

Aplica lo aprendido en el ejemplo anterior. Debes tener cuidado porque, si te equivocas en algún punto, no te darás cuenta cuando los dibujes en el sistema de coordenadas.

Comprueba lo aprendido

Pregunta

¿Cuáles de los siguientes puntos es el homólogo del punto P(3,-2) al aplicarle una traslación de vector ?

Sugerencia

Aplica lo aprendido anteriormente.

Respuestas

Opción 1

a) P'(2,-6)

Opción 2

b) P'(2,2)

Opción 3

c) P'(0,2)

Retroalimentación

Incorrecto, comprueba las operaciones.

Correcto. El homólogo tendrá de coordenadas (3+(-1) ,-2+4)=(2,2), por tanto P'(2,2)

Incorrecto. Repasa los cálculos.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Pregunta

¿Cuáles de los siguientes puntos es el homólogo del punto A(1,-1) al aplicarle las dos traslaciones de vectores ?

Sugerencia

Aplica lo que has aprendido sobre la suma de vectores.

Respuestas

Opción 1

a) A'(3,7)

Opción 2

b) A'(0,0)

Opción 3

c) A'(3,5)

Retroalimentación

Incorrecto. Calcula bien el vector suma y calcula posteriormente las coordenadas del homólogo.

Incorrecto. Te has equivocado mucho en los cálculos.

Correcto. El vector de la traslación es , y por tanto las coordenadas del homólogo serán (1+2,-1+6)=(3,5)

Por tanto el homólogo es el punto A'(3,5)

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Simetrías

Importante

Simetría central

Se definine simetría central respecto a un punto O a la transformación que hace corresponder a cada punto P del plano otro punto P' tal que los vectores son opuestos entre sí, es decir . 

En la siguiente escena se representa la simetría central de un objeto real.

Observa cómo el vector que une los puntos O y P es opuesto al que une O y P' (su homólogo), para ello puedes mover el vector w.

Mueve el punto P para mover la oca y observar cómo se obtiene su simétrica.

Mueve los puntos O para modificar el centro de simetría.

Importante

Simetría axial 

Se define simetría axial respecto a una recta r (llamada eje de simetría) a la transformación que hace corresponder a todo punto P del plano otro punto P'; de tal forma que, r  es la mediatriz del segmento PP', es decir que la distancia de P y P' a la recta r es la misma.

En la siguiente animación puedes ver el procedimiento para obtener el simétrico de un punto respecto a una recta.

Reproduce la animación

En la siguiente escena se representa la simetría axial de un objeto real.

Observa cómo los puntos simétricos están a la misma distancia del eje de simetría.

Mueve el punto P para mover la oca y observar cómo se obtiene su simétrica.

Mueve los puntos A y B para modificar el eje de simetría.

¿Dónde tendría que estar situado el punto P para que coincida con su homólogo P'?.

¿Se puede conseguir que las dos ocas coincidan?

Tarea

ConstruyendoTraza en tu cuaderno un sistema de coordenadas cartesianas y realiza las siguientes actividades:

a) Dibuja la letra M con cierta inclinación  en el tercer cuadrante con trazos rectos y sus extremos en puntos de coordenadas enteras.

b) Escribe las coordenadas de cada uno de los puntos extremos que determinan dicha letra.

c) Dibuja la imagen simétrica de dicha letra respecto a la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante.

d) Anota las coordenadas de los puntos simétricos que te han permitido obtener la imagen simétrica.

Retroalimentación

Debes utilizar correctamente la escuadra o cartabón o bien fíjate en donde debes colocar los puntos simétricos.

Comprueba lo aprendido

Pregunta

¿Cuál de los siguientes puntos es el simétrico del punto A(-3,4) respecto al eje OY?

Sugerencia

El eje OY es la recta vertical que pasa por el origen de coordenadas cartesianas.

Respuestas

Opción 1

a) (-3,-4)

Opción 2

b) (3,4)

Opción 3

c) (4,-3)

Retroalimentación

Incorrecto. Dibuja los puntos si es necesario.

Muy bien. El punto A está la izquierda del eje OY mientras que su simétrico está a la derecha.

Incorrecto.  Dibuja los puntos si es necesario.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Pregunta

¿Cuál de los siguientes puntos es el simétrico del punto B(3,-2) respecto al eje OX?

Sugerencia

El eje OX es la recta horizontal que pasa por el origen de coordenadas cartesianas.

Respuestas

Opción 1

a) (-3,2)

Opción 2

b) (-3,-2)

Opción 3

c) (3,2)

Retroalimentación

Incorrecto. Dibuja los puntos si es necesario.

Incorrecto. Dibuja los puntos si es necesario.

Correcto. El punto B está por debajo del eje OX y su simétrico por encima.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Curiosidad

En el siguiente enlace tienes un vídeo en el que puedes ver la generación de figuras simétricas a partir de espejos.

¿Sabías que la altura mínima que debe tener un espejo para que una persona se vea totalmente en él debe ser la mitad de su altura?

Giros

Importante

Giro 

Se llama giro con respecto a un punto O y de ángulo α a la transformación geométrica que hace corresponder a todo punto P del plano otro P' a igual distancia de O y siendo el ángulo formado por POP' igual a  α.

Si él ángulo de giro es igual 180º coincide con una simetría central respecto al punto O.

En la siguiente escena se representa el giro de un objeto real.

Observa cómo cada punto está a la misma distancia del centro de giro que su homólogo.

Mueve el deslizador para variar el ángulo de giro.

Tarea

Traza en tu cuaderno un sistema de coordenadas cartesianas y realiza las siguientes actividades:

a) Dibuja la letra P en el primer cuadrante con trazos rectos y sus extremos en puntos de coordenadas enteras.

b) Escribe las coordenadas de cada uno de los puntos extremos que determinan dicha letra.

c) Dibuja la imagen de la letra P al aplicarle un giro de 90º respecto del origen de coordenadas y anota las coordenadas de los puntos homólogos.

d) Dibuja la imagen de la letra P al aplicarle un giro de 180º respecto del origen de coordenadas y anota las coordenadas de los puntos homólogos.

e) Dibuja la imagen de la letra P al aplicarle un giro de 180º respecto al punto más bajo de la letra P.

Comentar en grupo las conclusiones de lo que sucede cuando se realiza un giro de 180º.

Retroalimentación

Utiliza la escuadra o el cartabón para realizar los giros ya que se trata de ángulos múltiplos de 90º.

Comprueba lo aprendido

Pregunta

¿Cuáles son las coordenadas del homólogo del punto A(4,0) si se le aplica un giro de centro el punto B(1,0) y de 90º?

Sugerencia

Repasa el concepto de giro y dibuja un sistema de coordenadas cartesianas si es necesario.

Respuestas

Opción 1

a) (0,4)

Opción 2

b) (1,-3)

Opción 3

c) (1,3)

Retroalimentación

Incorrecto. Ten en cuenta que el centro de giro no es el origen de coordenadas.

Incorrecto. Ten en cuenta que el giro se realiza en sentido antihorario.

Correcto. El radio de giro será 4-1=3 y al rotar un ángulo de 90º nos da que las coordenadas serán (1,3)

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Pregunta

¿Cuáles son las coordenadas del homólogo del punto A(0,3) si se le aplica un giro de centro el punto B(0,-1) y de 180º?

Sugerencia

Repasa el concepto de giro y dibuja un sistema de coordenadas cartesianas si es necesario.

Respuestas

Opción 1

a) (0,-3)

Opción 2

b) (0,-5)

Opción 3

c) (0,6)

Retroalimentación

Incorrecto. Ten en cuenta que el centro de giro no es el origen de coordenadas.

Correcto. El radio de giro es 3-(-1) = 4 y al ser el ángulo 180º las coordenadas del punto son (0,-5)

Incorrecto. Fíjate bien en las coordenadas de los puntos que intervienen y del ángulo de giro.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

En la red

En el siguiente enlace puedes ver cómo se construye el giro de una figura utilizando regla, compás y un semicírculo graduado. 

Curiosidad

pensativoSi a una figura le aplicamos consecutivamente dos simetrías de ejes no paralelos, esto equivale a aplicarle un giro de centro el punto de corte de los dos ejes y de ángulo el doble del que forman.

Si a una figura le aplicamos consecutivamente dos simetrías consecutivas de ejes paralelos, es equivalente a una traslación de longitud el doble de la distancia que hay entre los dos ejes.

Realiza en tu cuaderno un ejemplo de cada uno de estos casos.

Generación de figuras

Ya has visto en los apartados anteriores en que consisten los distintos movimientos. Ahora nos toca ver cómo aparecen en distintas figuras geométricas y cómo permiten generar figuras de gran belleza como la de la imagen creada mediante un libro de espejos.

Figura por espejos. Arturo Mandly

Cuando se aplican repetidamente estas transformaciones sobre una misma figura nos permiten obtener multitud de diseños que son empleados en nuestra vida cotidiana tanto para fines decorativos como para fines funcionales.

En el siguiente enlace a un vídeo puedes ver algunas aplicaciones de los movimientos basándose en la utilización de espejos y cómo se utilizan para hacer trucos de magia. 

Lugares geométricos

Arturo Mandly. Plano mediador

Dos lugares geométricos sencillos y que están relacionados con los movimientos son:

Punto medio de un segmento: los extremos de dicho segmento son simétricos respecto de él (simetría central).

Plano mediador: es el plano perpendicular por el punto medio de un segmento. Por tanto los extremos de dicho segmento son simétricos respecto a dicho plano. Todo punto del plano equidista de los extremos del segmento.

Importante

Arturo Mandly. rombos

Si una figura geométrica tiene algún eje de simetría podremos obtenerla mediante reflexión a partir de su mitad.

Si una figura geométrica tiene un centro de giro de tal forma que al rotar mediante un determinado ángulo se obtiene ella misma, se podrá generar mediante giros sucesivos de dicho ángulo. Se dice que el orden de dicha figura es n si en un giro de 360º coincide n veces la misma figura, y 360º/n representa el primer ángulo de giro que deja igual la figura. Así, por ejemplo, el orden de un cuadrado es 4, por tanto el primer ángulo de giro será 360º/4 = 90º.

Basándonos en estas propiedades podemos generar dichas figuras mediante un espejo o el llamado "libro de espejos" (formado por dos espejos unidos por un lado y por el cual pueden girar).

En la siguiente imagen puedes observar la obtención de un cuadrado mediante el libro de espejos, para lo cual los dos espejos forman un ángulo de 90º.

Arturo Mandly. Cuadrado libro de espejos. 

Comprueba lo aprendido

Pregunta

¿Qué ángulos deben formar los espejos para formar un pentágono regular?

Sugerencia

Aplica un razonamiento parecido al del cuadrado.

Respuestas

Opción 1

a) 32º

Opción 2

b) 54º

Opción 3

c) 72º

Retroalimentación

Incorrecto. Ten en cuenta el número de lados.

Incorrecto. Ten en cuenta el número de lados.

Correcto, 360º/5 = 72º

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Pregunta

¿Qué polígono regular podemos generar con un libro de espejos con un ángulo de abertura de 60º?

Sugerencia

Ten en cuenta que el ángulo que abarca la circunferencia completa es 360º

Respuestas

Opción 1

a) Un triángulo equilátero

Opción 2

b) Un exágono

Opción 3

c) Un heptágono

Retroalimentación

Incorrecto. revisa los cálculos.

Correcto. 360º/36º = 6, por tanto el número de lados es 6, es decir un exágono (también se puede escribir hexágono).

Incorrecto. Respasa los cálculos.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

En la red

Realiza la actividad sobre simetrías que se te propone en el siguiente enlace. 

Realiza la actividad sobre giros y simetrías que se te propone en el siguiente enlace. 

Curiosidad

Arturo Mandly. Polígonos estrellados

Los polígonos regulares estrellados pueden generarse por aplicación sucesiva de giros. En la figura puedes ver un polígono estrellado generado con el libro de espejos.

Este tipo de polígonos se obtienen cuando la recta que los origina no forma un triángulo isósceles con los espejos del libro.

Caleidoscópios

Un caleidoscopio es un artilugio generador de imágenes simétricas basado en las reflexiones por espejos. Los más sencillos como el de la figura, están formados por tres espejos iguales de forma rectangular, dispuestos en forma de prisma triangular y encerrados en un tubo.

Arturo Mandly. Caleidoscopio. 

En uno de los extremos del tubo se suelen colocar cuentas de colores; de forma que, al girar el tubo, estas toman distintas posiciones y  se obtenga una figura diferente.

En la imagen se observan tres figuras distintas generadas con el mismo caleidoscopio.

Existen otros caleidoscopios, que son variantes de este, basados en fluidos con partículas de distintos colores en suspensión.

Otros caleidoscopios están basados en los poliedros regulares y los estudiaremos en el siguiente apartado.

Los caleidoscopios los podéis fabricar fácilmente bien con espejos de cristal (el inconveniente que tiene es que son muy frágiles) o con espejos de plástico (normalmente de polimir en color plateado), aunque en el mercado (generalmente jugueterías o librerías) los encontraréis a precios asequibles.

En la red

En el siguiente enlace tienes un caleidoscopio virtual con el que puedes generar distintas figuras. Debes pulsar en el botón still para añadir cuentas y en los botones rotate para hacer girar el caleidoscopio.

En el siguiente enlace tienes otro caleidoscopio virtual. Debes arrastras las figuras que están debajo del sector en movimiento y colocarlas en dicho círculo, las figuras se generarán en el círculo de la derecha.

Tarea

En el siguiente enlace tienes un caleidoscopio virtual con el que puedes generar distintas figuras como la de la imagen. Selecciona un "petal styles", al que puedes cambiar de color, y mueve el ratón en la zona central. Verás cómo se va formando la imagen. Puedes seleccionar en el panel de la derecha la forma de la figura.  

Realiza las siguientes actividades a partir de dicho enlace:

Crea seis figuras diferentes.

Captura las figuras, recórtalas con gimp y guárdalas en tu carpeta personal.

Crea una presentación con Impress o Google Docs con las seis imágenes.

Selecciona la que más te guste.

Realiza una entrada en el blog en la que debes dar tu opinión sobre estos tipos de figuras e incrusta la imagen que has seleccionado. Colócale a la entrada dos etiquetas. La primera será la inicial de tu nombre y tu primer apellido y la segunda será la palabra caleidoscopio.

Presentar en grupo las distintas presentaciones.

Como sugerencia, se pueden imprimir las imágenes y colocarlas como exposición en el aula.

Retroalimentación

Realiza distintas pruebas modificando las diferentes opciones que te da el enlace.

Frisos y mosaicos

Importante

Un friso es la aplicación sucesiva de una traslación a una misma figura. También reciben el nombre de cenefas.

Piscina. Imagen de Arturo Mandly en Flickr

Licencia Creative Commons by-nc-sa

Si las traslaciones se realizan tanto en horizontal como en  vertical, por ejemplo con una baldosa, obtenemos un embaldosado. Se suelen utilizar con fines decorativos como el que aparece en la piscina.

Normalmente la figura que se transforma suele ser simétrica.

Observa la escena. Corresponde a la construcción de un Friso sobre la Fotografía de una cenefa, observando las sucesivas Traslaciones del motivo mínimo

Gabriel. Construcción de un FRISO a partir de una Fotografía. (CC by sa)

En la red

En el siguiente enlace puedes realizar varios embaldosados.

Podrás observar que si eliges la opción orden aleatorio el embaldosado no estará basado en traslaciones.

Realiza al menos cuatro embaldosados en dicho enlace.

Importante

Un mosaico es todo recubrimiento del plano mediante piezas (teselas) que no pueden superponerse ni pueden dejar huecos. Existe una infinidad de tipos de mosaicos, pero los más simples son los basados en un único tipo de pieza, aunque esta pueda tomar diferentes colores o matices.

anne lazarevitch. Sin título (CC BY-SA)

Se suelen utilizar con fines decorativos, así por ejemplo son de gran belleza los que se encuentran en la Alhambra de Granada. Se les denomina mosaicos nazaríes.

En este apartado vamos a ver algunas formas de crearlos.

En la red

En el siguiente enlace, puedes ver qué tipos de polígonos regulares pueden formar por su repetición periódica, mosaicos basados en un solo tipo de pieza. Este tipo de mosaicos se llaman regulares.

Anota en tu cuaderno los nombres de estos polígonos regulares y por qué son sólo estos los que permiten generar este tipo de mosaicos.

Ovserva este mosaico de la Alhambra denominado "aviones"

José Manuel Infante Infante. Mosaico Alhambra "aviones". (CC by sa)

Estudia cómo se construye la pieza mínima.
Observa los movimientos necesarios para construir el mosaico.

En la red

En el siguiente enlace puedes ver cómo se genera uno de los mosaicos nazaríes mediante el procedimiento de modificar un triángulo equilátero. Este mismo procedimiento se puede aplicar al cuadrado o al hexágono.

En la práctica, se dibuja primero una trama isométrica (trama formada a partir de triángulos, cuadrados o hexágonos) y en ella se crea el módulo generador del mosaico que posteriormente mediante giros permite rellenar el plano. 

Copia en tu cuaderno esta técnica de construcción de mosaicos.

Tarea

En la imagen puedes observar seis mosaicos realizados por alumnos de E.S.O. sobre tramas isométricas cuadrangulares.

Arturo Mandly. Mosaicos. 

Realiza las siguientes actividades.

Dibuja en tu cuaderno el módulo (pieza genera el mosaico) de cada uno de los mosaicos.

Utilizando el programa gimp u OpenOffice Draw crea un módulo a partir de un cuadrado y a partir de él confecciona un mosaico parecido a los anteriores.

Guarda la imagen anterior en tu carpeta personal.

Busca ejemplos de la vida real basados en mosaicos.

Realiza una entrada en el blog en la que debes dar tu opinión sobre los mosaicos y los ejemplos que has encontrado en la vida real. Incrusta la imagen que has seleccionado. Colócale a la entrada dos etiquetas. La primera será la inicial de tu nombre y tu primer apellido (Por ejemplo, de Rosa García será rgarcia) y la segunda será la palabra mosaicos.

Presentar en grupo los distintos mosaicos que habéis realizado y los ejemplos en los que aparecen en la vida real.

Retroalimentación

Fíjate en lo que has aprendido en el enlace anterior. Presa atención a la trama isométrica sobre la que se han construido los mosaicos del ejemplo.

Comprueba lo aprendido

Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

Pregunta 1

Un friso está basado en la aplicación sucesiva de giros a una figura.

Sugerencia

Recuerda como son los frisos y piensa en qué tipo de movimientos están basados.

Verdadero Falso

Retroalimentación

Falso

Los frisos están basados en la aplicación sucesiva de una misma traslación a una figura.

Pregunta 2

Un mosaico regular se puede formar con pentágonos.

Sugerencia

Recuerda que con la unión de ellos debe formarse un ángulo de 360º

Verdadero Falso

Retroalimentación

Falso

Los únicos polígonos que pueden formar un mosaico regular son el triángulo equilátero, cuadrado y exágono regular.

Pregunta 3

Los mosaicos rellenan completamente el plano sin dejar huecos y sin superponerse las teselas.

Sugerencia

Piensa en los mosaicos que has visto en este apartado.

Verdadero Falso

Retroalimentación

Verdadero

Efectivamente. No pueden producirse huecos ni superponerse las teselas.

Poliedros: planos de simetría

Carlos Calvimontes Rojas. ICOSAEDRO TRUNCADO POR LEONARDO DA VINCI (CC BY-SA)

Un poliedro es un cuerpo geométrico cuyas caras son polígonos y no necesariamente todas sus caras tienen que ser iguales. Así por ejemplo, el poliedro de la figura está formado por hexágonos y pentágonos regulares y es un icosaedro truncado (se obtiene seccionando un icosaedro por un plano en las proximidades de cada uno de sus vértices).

Algunos poliedros tienen la propiedad de ser simétricos respecto a uno o varios planos (llamados planos de simetría), es decir; que si cortáramos al poliedro por dicho plano y lo pusiéramos pegado a un espejo por el plano de corte, obtendríamos el poliedro completo.

En la red

Antes de comenzar a estudiar los planos de simetría de los poliedros, realiza un repaso de ellos mediante el siguiente enlace.

Ortoedro, prismas y pirámides

Importante

Arturo Mnadly. Planos de simetría de un ortoedro. 

Un ortoedro es un poliedro formado por seis caras rectangulares iguales dos a dos, siendo sus ángulos diedros rectos (ángulo formado por dos caras unidas por una misma arista igual a 90º).

Un ortoedro, es por tanto un paralelepípedo (caras paralelas dos a dos). Las dimensiones de un ortoedro están constituidas por la longitud de sus aristas: ancho, largo y alto.

Si las tres dimensiones del ortoedro son diferentes, tiene tres planos de simetría (como se puede observar en la imagen) y forman un ángulo diedro recto entre cada dos de ellos.

En el caso de que dos de las dimensiones sean iguales, se trata de un prisma cuadrangular (dos caras son cuadrados iguales y generalmente se las considera como las bases) y tiene dos planos más de simetría, que pasan por las diagonales de los cuadrados. En este caso, tiene seis planos de simetría.

En el caso de ser todas sus caras iguales se trata de un cubo, el cual es un poliedro regular y tiene un total de nueve planos de simetría.

Este tipo de figura la encontramos por ejemplo en las cajas de zapato, envases de leche, tomate frito, etc.

Importante

Arturo Mandly. Prismas rectos regulares.

Un prisma es un poliedro con dos caras iguales paralelas (llamadas bases), siendo sus caras laterales paralelogramos.

Si la base es un polígono regular y sus caras laterales son rectángulos, se dice que es un prisma recto regular.

Estos prismas tienen un plano de simetría, que es el plano mediador de su altura, y tantos planos de simetría más como ejes de simetría tenga el polígono que forma su base.

Aprende a hacerlo

Fíjate en el prisma hexagonal de la figura anterior ¿Cuántos planos de simetría tiene?

Determina primero cuántos ejes de simetría tiene su base.

Retroalimentación

Arturo Mandly. Ejes de simetría de un exágono.

Tiene un total de 7 planos de simetría: 1, que es el plano perpendicular a su altura por su punto medio y 6, que es el número de ejes de simetría de un exágono regular.

En la red

En el siguiente enlace puedes estudiar la clasificación de los distintos tipos de prismas. Escribe en un tu cuaderno los distintos tipos de prismas y determina el número de planos de simetría del prisma triangular que aparece. Indica varios objetos de la vida real que tengan forma de prisma. 

Importante

Arturo Mandly. Pirámides.

Una pirámide es un poliedro cuya base es un polígono y sus caras laterales son triángulos con un vértice común.

Si la base es un polígono regular y las caras laterales son iguales, se trata de una pirámide regular. El número de planos de simetría es igual al número de ejes de simetría del polígono de la base.

Aprende a hacerlo

¿Cuántos planos de simetría tiene una pirámide cuadrangular regular?

Fíjate en la imagen anterior y determina el número de ejes de simetrías de la base de la pirámide cuadrangular.

Retroalimentación

Arturo Mandly. Ejes de simetría de un cuadrado. 

Un cuadrado tiene 4 ejes de simetrías, por tanto el número de planos de simetría es también 4.

En la red

En el siguiente enlace puedes estudiar la clasificación de los distintos tipos de pirámides. Escribe en un tu cuaderno los distintos tipos de pirámides y determina el número de planos de simetría de la pirámide pentagonal que aparece. Indica varios objetos de la vida real que tengan forma de pirámide. 

Comprueba lo aprendido

Pregunta

¿Qué número de planos de simetría tiene un prisma pentagonal regular y recto?

Sugerencia

Determina primero el número de ejes de simetría de un pentagono regular.

Respuestas

Opción 1

a) 5

Opción 2

b) 6

Opción 3

c) 7

Retroalimentación

Incorrecto. Ten en cuenta que es un prisma.

Muy bien. Son 5 correspondientes al pentágono más 1 correspondiente al plano perpendicular por el punto medio de su altura.

Incorrecto. Revisa los planos.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Pregunta

¿Qué número de planos de simetría tiene una pirámide hexagonal regular?

Sugerencia

Determina el número de ejes de simetría de su base.

Respuestas

Opción 1

a) 6

Opción 2

b) 7

Opción 3

c) 8

Retroalimentación

Correcto. El número de planos de simetría coincide con el número de ejes de simetría de la base que en caso del exágono es 6.

Incorrecto. Revisa los planos de simetría.

Incorrecto. Revisa los planos de simetría.

Solución

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Poliedros regulares

Importante

Los poliedros regulares son aquellos que tienen sus caras y ángulos iguales. Sólo existen cinco poliedros regulares: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Borja Fernandez. Calendario dodecaedrico (CC BY-SA)

Sus caras son polígonos regulares: triángulos equiláteros (en el tetraedro, octaedro e icosaedro), cuadrados (en el cubo) y pentágonos (en el dodecaedro).

En la red

Antes de proceder a estudiar los planos de simetría de estos poliedros mira en el siguiente enlace algunas aplicaciones, usos artísticos y cómo aparecen en la naturaleza.

Anota en tu cuaderno algunas de las partes del vídeo relativas a los poliedros regulares que te han resultado interesantes.

Importante

Anota la siguiente tabla en tu cuaderno. En ella se recogen los distintos tipos de planos de simetría que tienen los poliedros regulares y el número de ellos.

Arturo Mandly. Planos de simetría de los poliedros regulares. 

Tarea

Vamos a comprobar uno de los planos de simetría del cubo, para lo cual debes realizar las siguientes actividades:

Construye con cartulina la mitad de un cubo obtenido por la sección de un plano que pasa por las diagonales de dos caras opuestas. Dibuja en  tu cuaderno dicha pieza y su desarrollo. Hazle una fotografía y guárdala en tu carpeta personal.

Coloca dicha pieza pegada a un espejo por la cara obtenida al seccionar el cubo por el plano ¿qué figura se obtiene? ¿qué tipo de plano es el que hemos utilizado para seccionar el cubo?

¿Qué figuras se obtienen si el espejo se coloca en las otras caras?

Realiza una entrada en el blog en la que recojas las respuestas a las cuestiones formuladas e incrusta la fotografía que has realizado. Colócale a la entrada dos etiquetas. La primera será la inicial de tu nombre y tu primer apellido y la segunda será la palabra cubo.

Retroalimentación

Utiliza un objeto real que tenga forma de cubo para, a partir de él, hacerte una idea de la pieza a construir.

Curiosidad

Los poliedros regulares pueden obtenerse mediante los llamados caleidoscopios poliédricos consistentes en pirámides construidas con espejos.

En el siguiente vídeo se presenta una visión general sobre este tipo de caleidoscopios.

Caleidoscopios poliédricos.  Arturo Mandly  (CC by)

Tarea

Tarea

¿Resumimos?

Por fin hemos terminado todos los contenidos de esta unidad y como has visto hemos estudiado las transformaciones isométricas, que aparecen en situaciones reales tanto propias de la naturaleza como en creaciones humanas de tipo artístico o funcional. También hemos visto cómo las simetrías aparecen en los poliedros y cómo mediante los caleidoscopios poliédricos podemos generar los poliedros regulares y relacionarlos entre sí.

Para tener bien estructurado todo lo tratado en la unidad; vas a realizar una presentación (con Impress o Google Docs) con un esquema de los contenidos tratados en la unidad.

La presentación deberá tener entre 5 y 8 diapositivas, dos de ellas como mínimo debes dedicarlas a los movimientos en el plano, otra a los caleidoscopios, otra a los mosaicos y otra a los poliedros.

Posteriormente, comparte la presentación y realiza una entrada en el blog de aula en la que aparezca incrustada. Para esta entrada deberás utilizar dos etiquetas. La primera será la inicial de tu nombre seguida de tu primer apellido (por ejemplo, de Rosa García será rgarcia). Y la segunda etiqueta será la palabra unidad7.

Observa también alguna de las presentaciones que han colocado tus compañeros en el blog. Selecciona una de ellas en cuya entrada realizarás un comentario sobre el contenido o indicarás a tu compañero algún aspecto que no haya tenido en cuenta.

Retroalimentación

Para subir la presentación a Internet, si la haces con Impress puedes recurrir a algún espacio como Slideshare

Tarea

Arturo Mandly. Calle. 

¿Buscamos transformaciones isométricas?

En tu calle, plaza o en cualquier espacio público encontrarás situaciones en las que podrás observar objetos o construcciones relacionadas con las transformaciones isométricas.

Resuelve las siguientes actividades. Elabora después un documento con el procesador de texto (Writer o con Google Docs) con los resultados obtenidos. Realiza las fotografías que creas que son necesarias para documentar el trabajo y que no incluyan a personas.

1. Busca objetos o construcciones en las que aparezcan traslaciones, giros o simetrías, bien solas o composiciones de ellas.

2. Busca una zona de la calle o plaza en la que tú pondrías un mosaico. Diseña un mosaico basado en una sola pieza, aunque puedes utilizar distintos colores, para la zona que has elegido. Indica qué tipo de movimientos has empleado en el diseño del mosaico. Realiza con gimp o openoffice draw un dibujo de él y guárdalo para el documento final.

3. Busca animales, plantas, etc, que estén basados en movimientos, indica cuáles son y hazles fotografías.

Anota todas las observaciones que hayas realizado en tu cuaderno y elabora el documento de texto que te hemos comentado.

Comparte el archivo de texto en Internet mediante Google Docs con el título formado por dos partes, la primera será la inicial de tu nombre y tu primer apellido y la segunda será EnLaCalle. Utiliza dicho documento para realizar una exposición a tus compañeros en donde expliques la resolución de una de las dos actividades.

Retroalimentación

Debes de tener en cuenta que debes realizar dibujos lo mejor posible y dibujar correctamente los ejes o planos de simetrías que aparezcan.

Ampliación

Objetivos

Algunos enlaces que te recomendamos para repasar los contenidos de la unidad son:

Movimientos en el plano. En este enlace puedes realizar un repaso y ampliar los contenidos relativos a las transformaciones isométricas en el plano.

Los movimientos en el plano.

Aquí puedes profundizar sobre la composición de movimientos en el plano  y ver algunas de sus aplicaciones al arte.

M.C. Escher the official website. Esta es la página oficial de M.C. Escher en donde podrás ver su biografía y obras. En particular debes visitar en el apartado Picture Gallery el enlace Symmetry en el que verás una gran variedad de mosaicos artísticos.

Caleidoscopios. Aquí puedes profundizar sobre los distintos tipos de caleidoscopios y como construirlos. En la parte de simulaciones puedes ver distintas figuras caleidoscopias generadas con los distintos tipos.

Planos de simetría. Aquí pudes profundizar sobre los planos de simetrías en los poliedros. Realiza el test que aparece en este enlace.

Tarea

Tarea

Señales de tráfico

En las señales de tráfico, de seguridad, de indicación en tu I.E.S., verás que aparecen multitud de situaciones en las que podrás observar diseños relacionados con las transformaciones isométricas.

No parking sign (Dominio público)

Forma grupos, resolved las siguientes actividades y elaborad un documento de texto colaborativo en Writer o Google Docs. Realizad las fotografías necesarias para documentar el trabajo y que no incluyan a personas.

1. Buscad señales en las que aparezcan traslaciones, giros o simetrías, bien sólas o composiciones de ellas.

2. Diseñad una señal con dos objetos iguales que cumplan estos requisitos: que uno que se obtenga a partir del otro mediante un giro de 90º y una simetría axial. Realizad con gimp o openoffice draw un dibujo de ella y guárdala para el documento final, donde se expliquen los movimientos que habéis realizado y qué indica la señal.

3. Buscad una señal en la que, al aplicarle una simetría o un giro, ésta indique otra información. Fotografíadla. Aplícádle el movimiento mediante gimp y formad la nueva señal.

Anotad todas las observaciones que hayáis realizado en el cuaderno y elaborad el documento de texto que os hemos comentado.

Compartid el documento de textos en Google Docs con el título formado por dos partes, la primera será el nombre de vuestro grupo y el segundo Señales. Utilizad dicho documento para explicar la resolución de una de las actividades a vuestros compañeros.

Retroalimentación

Recordad los distintos tipos de transformaciones isométricas.

Refuerzo

En la red

Algunos enlaces que te recomendamos para repasar los contenidos de la unidad son:

Movimientos y transformaciones en el plano. Realiza las actividades que se proponen.

El retablo de Calzadilla de los Barros. Movimientos en el retablo. Realiza las actividades que se proponen.

En este enlace puedes analizar algunas teselaciones basadas en el método de "la mitad del cuadrado" y ensayar otras nuevas

Altura de una persona. En este enlace puedes comprobar la altura mínima que tiene que tener un espejo para que se vea enteramente reflejada una persona. Aleja y acerca a la persona al espejo para comprobarlo.

Mosaicos tipo Escher. En este enlace puedes ver como se construyen algunos de los mosaicos de M.C. Escher.

Fabrícate un caleidoscopio. En este enlace puedes crear magníficas figuras caleidoscópicas. Genera algunas y observa como se multiplican las figuras por la aplicación de giros.

Poliedros. En este enlace puedes generar algunos polígonos regulares y poliedros. Realiza las siguientes actividades:

Observa si tienen planos de simetría.

Genera los distintos poliedros regulares y muévelos para verlos desde distintos puntos de vista.

Tarea

Tarea

Arturo Mandly. Rueda.

¿Ruedas tuning?

Observando la rueda de este coche, nos damos cuenta que se trata de una figura que se puede obtener mediante giros, siendo de orden 5.

Queremos crear una colección de imágenes de ruedas de coches o de motos que estén basadas en isometrías. Para ello debes realizar las siguientes actividades tomando las fotografías que sean necesarias:

1. Busca, al menos, una rueda que tenga elementos que se obtengan mediante giros y de orden 3. 

2. Busca, al menos, una rueda que tenga elementos que se obtengan mediante giros y de orden 4. 

3. Busca, al menos, una rueda que tenga elementos que se obtengan mediante giros y de orden 5.

4. Busca, al menos, una rueda que tenga elementos que se obtenga mediante giros de orden superior a 5.

5. Observa en las imágenes que has buscado qué otros tipos de movimientos aparecen en algunos de sus elementos.

Una vez que tengas la respuesta a todas las preguntas, haz una presentación en PhotoPeach que recoja las distintas imágenes y añádale la música de tu gusto. Comparte la presentación y realiza una entrada en el blog de aula en donde la incrustes.  Comenta las diferentes isometrías que se observan. El título de la entrada tendrá dos partes: la primera será la incial de tu nombre y tu primer apellido y la segunda será ruedas.

Utiliza dicha presentación para realizar una exposición a tus compañeros en donde expliques las distintas isometrías que aparecen en las ruedas que has seleccionado.

Retroalimentación

Recuerda lo aprendido sobre los distintos tipos de movimientos. Ten en cuenta que en una rueda pueden aparecer varios de ellos ya que están compuestas por distintos elementos.

Cuestionarios

Cuestionarios

Realiza los cuestionarios.

Preguntas .odt (Ventana nueva)

Preguntas .pdf (Ventana nueva)

Licencia de Creative Commons
Matemáticas 3º E.S.O. CeDeC.

- Ficha técnica y descarga -

Ficha técnica

Título

Movimientos

Materia

Matemáticas

Nivel educativo

3º ESO

Contenidos

Movimientos, vectores, traslaciones, simetrías, giros. GEneración de figuras. lugares geométricos, caleidoscopios, frisos y mosaicos. Poliedros, planso de simetría, ortoedros, prismas y pirámides, poliedros regulares.

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Este recurso tiene licencia CC BY-SA, por lo se puede utilizar, descargar, modificar y adaptar sin ningún problema, siempre que se reconozca la autoría del mismo y, en caso de modificarlo y publicar una nueva versión, se licencie con la misma licencia CC BY-SA. 

Para reconocer la autoría de recurso se puede utilizar el siguiente texto:

Este material es una adaptación del recurso original "Movimientos" del Proyecto EDIA de Cedec.

A continuación ofrecemos el archivo fuente (recurso original) para realizar las modificaciones necesarias con eXeLearning, herramienta de autor gratuita y disponible para cualquier sistema operativo.

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Créditos

Proyecto EDIA. Movimientos. Cedec

Autores: Mariano Real Pérez, Arturo Mandly, Manso José Muñoz Santoja

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