Gráficos GrafiSA

Mariano Real. Logo de GRAFISA

¿Has observado la sección dedicada a la bolsa en algún periódico?

La información siempre va acompañada de un gráfico en el que se resume todo lo ocurrido en la bolsa en ese día. Pero ¿Será difícil construir uno de esos gráficos?

Para responder a ésta y a otras muchas preguntas nos hemos puesto en contacto con la empresa GrafiSA (GRÁficos Físicos Industriales Sociedad Anónima) que, aunque no se dedica a realizar gráficos propiamente dichos, sí se encarga de la construcción de máquinas que posteriormente van a tener que hacer gráficas de determinados sucesos.

Entre las máquinas que elabora GrafiSA; se encuentra el electroencefalógrafo, que se utiliza para la realización de electroencefalogramas. Lo que hace este aparato es medir la actividad del cerebro a lo largo del tiempo y crear un gráfico indicando en cada momento la cantidad de actividad cerebral que existe. Probablemente, hayas oído la expresión "encefalograma plano". Precisamente, esta expresión se utiliza cuando el cerebro no tiene actividad alguna. En este caso, el aparato no detecta actividad cerebral, por lo que en la gráfica sale una línea recta horizontal en la posición más baja; que indica que a lo largo del tiempo, la actividad cerebral es cero.

Otro de los aparatos que fabrica esta empresa es el electrocardiógrafo. Este aparato se utiliza para observar la actividad del corazón a lo largo del tiempo. Con él se puede observar si existe algún problema cardíaco, si el ritmo del corazón es regular o si la fuerza del mismo en cada uno de los movimientos que tiene es suficiente y está sano.

No todos los aparatos que fabrica esta empresa están destinados a la medicina, aunque sí es cierto que estos son los más delicados por las medidas que realizan.

Pero si la gráfica que realiza un aparato de los anteriores puede salvar la vida de una persona, imagina lo que puede hacer la gráfica que traza un sismógrafo. Este aparato se dedica a medir la actividad física de un determinado terreno para intentar predecir el momento en el que se puede producir un terremoto. Las zonas de mayor riesgo sísmico están vigiladas por aparatos como este que fabrica la empresa GrafiSA. En muchas ocasiones, pueden estar en juego millones de vidas humanas.

Para que nos aclare algo más sobre el funcionamiento de la empresa, hemos contactado con la persona encargada de la cadena de montaje de los sismógrafos. Se llama Víctor Sánchez.

-  Encantado Víctor. ¿Nos podría explicar el proceso que se sigue en la fabricación de los aparatos?

- Encantado de poder atenderles. Bueno, el proceso depende del tipo de aparato. Cuando se trata de un aparato como un electroencefalógrafo, ya tenemos la suficiente información recogida del suceso para saber la sensibilidad que tenemos que darle a las agujas que realizan la gráfica. Lo único que debemos hacer es ajustarlas mínimamente tras colocarlas en el engranaje del aparato de forma que realicen un gráfica fidedigna.

- Cuando se trata de realizar un aparato que mida un suceso completamente nuevo para nosotros, lo primero que debemos hacer es recoger gráficas modelos de determinados instantes de ese suceso. De forma que nos den la información suficiente para programar la nueva máquina. Por ejemplo, si quisiéramos hacer un aparato que realizase una gráfica del nivel de sonido de un determinado lugar, iríamos a ese lugar provistos de un medidor de decibelios y un graficador de forma que cuando el medidor de decibelios nos indique que el sonido es de 200db por ejemplo, programemos el graficador para que realice la marca correspondiente de la gráfica en 200.

- Gracias por atendernos.

- El placer ha sido mío. Hasta pronto.

Licencia de Creative Commons
Matemáticas 3º E.S.O. CeDeC.

Obra publicada con Licencia Creative Commons Reconocimiento Compartir igual 4.0

El velocígrafo

Tarea

Mariano Real. Logo de Grafisa

Es bastante interesante el trabajo que desarrollan en la empresa GrafiSA.

Piensa en la cantidad de vidas que se pueden salvar gracias a las gráficas que dibujan los aparatos que ellos fabrican. No solamente los relacionados con la sanidad, sino aquellos relacionados con los movimientos sísmicos.

La empresa tiene además un área de investigación e innovación cuyo gerente, Luis Antonio Becerra, necesita ayuda.

- Buenos días Luis Antonio.

- Hola Buenos días

- Nos han indicado que están tratando de crear un nuevo aparato que trace gráficas.

- Efectivamente, es un aparato que nos han solicitado desde el centro de investigaciones sociológicas para poder realizar estudios globales sobre la población.

- ¿Nos podría explicar de qué se trata?

- Según nos han pedido necesitan un aparato que realice dos tipos de gráficas distintas. Una sobre la velocidad de movimiento de las personas en cada momento. Tanto si van andando como si van montadas en algún tipo de vehículo. La otra gráfica debe indicar el espacio que se ha recorrido hasta ese momento, La verdad es que es un proyecto complicado.

- Nos han dicho que podríamos ayudarles en el estudio para la realización de dicho aparato.

- Así es. Lo primero que necesitamos para nuestra investigación son gráficas reales sobre el tema que nos solicitan. Así, nos resultaría de mucha utilidad si cada uno puede trazar una gráfica de su velocidad y otra del espacio que han recorrido.

- Pero, ¿durante todo el día?

- No hombre, no. Con una pequeña muestra es suficiente.

- Bueno pues aquí tienes a uno de nuestros alumnos. Pídele lo que necesites.

- Atento que te lo explico. Desde que sales de casa cada día hasta que llegas al instituto te vas moviendo a una velocidad distinta cada momento. Unas veces vas caminando y llevas una velocidad, otras puede que vayas en autobús y vas a otra velocidad. Quizás en tu camino te encuentres con un semáforo y ahí te paras hasta que se pone verde, etc. Lo que te pido es que redactes un texto con lo que haces durante el camino de tu casa al instituto indicando la hora a la que sales, si te paras cuanto tiempo lo haces, si en algún momento vas corriendo,... En fin, que describas el recorrido que realizas. Con arreglo a ese recorrido deberás hacer una gráfica aproximada con la velocidad a la que te desplazas en cada uno de esos momentos. Además, deberás hacer otra gráfica aproximada con el espacio que llevas recorrido en cada momento. Ten en cuenta que este espacio será mayor en cada momento. Por si te resulta de ayuda te dejo este vídeo que ha realizado mi hijo con el recorrido que hace cada mañana desde casa al instituto.

Camino del instituto. Mariano Real 

- ¿Cómo te hacemos llegar todo lo que nos has pedido?

- La verdad es que de vez en cuando me paso por este aula, por lo que me gustaría que hicieras un cartel con toda la información. En la parte de arriba coloca tu nombre. Debajo la redacción que has hecho describiendo el recorrido hasta el centro. Debajo coloca la gráfica en la que se aprecie la velocidad a la que te mueves en cada momento del recorrido y debajo la gráfica en la que se observe el espacio que llevas recorrido en cada momento. Para finalizar, coloca el cartel en alguna de las paredes del aula que ya me pasaré yo para verlo.

- Gracias por compartir su trabajo con nosotros.

- Gracias a vosotros por colaborar en nuestra investigación.

Retroalimentación

Para realizar el cartel puedes utilizar Glogster o Gimp e incluir alguna imagen.

Contenidos: ¡Que comience la función!

net_efekt. Apples (CC BY)

Si te fijas un poco en la vida que te rodea; encontrarás con facilidad cosas que están íntimamente relacionadas con otras del mismo entorno, de tal forma que la evolución de una de ellas depende de la evolución de otras. Por ejemplo, imaginamos que tu objetivo final, además de aprender, es aprobar esta asignatura para poder seguir desarrollándote en tus estudios, pero es evidente que conseguir esa meta depende de cuáles sean tus conocimientos de cursos anteriores y de lo que trabajes esta materia durante este curso.

Hay veces en los que la relación de dependencia es más clara y además cuantificable. Por ejemplo, si el kilogramo de manzanas está a 0,65 euros y tú vas a comprar una determinada cantidad, es evidente que lo que debes pagar depende de la cantidad exacta de manzanas que vayas a comprar.

Las relaciones de dependencia entre dos elementos, especialmente aquellas que se pueden cuantificar fácilmente, son a las que nos vamos a dedicar en este tema y en el siguiente.

La relación está a la vista

No sabemos si tendrás costumbre de leer el periódico, sea generalista o deportivo, pero si vives en una gran ciudad quizás alguno de tus compañeros si suela recoger algunos de los ejemplares de prensa gratuita que reparten por las calles. Si hojeas alguno de esos periódicos, seguro que encuentras muchas matemáticas y, especialmente, cada vez es más usual encontrar información expresada mediante gráficas. El motivo es muy claro, de un solo vistazo podemos ver como se relacionan las magnitudes o elementos que aparecen reflejados en la gráfica.

Las podemos encontrar en muchas de las secciones: internacional, economía, deportes, cultura, etc... y pueden representar muchos conceptos. La evolución del precio de la gasolina en los últimos meses, la puntuación de un equipo durante un partido de baloncesto, el número de parados o de accidentes en carretera, el número de espectadores de cine español o de una determinada serie de televisión y multitud de cosas más.

La gráfica es sólo una forma de representar la relación de dependencia entre dos conceptos, pero hay más como veremos en este tema. Aunque desde luego las gráficas tienen una importancia muy clara, como puedes ver en el siguiente enlace a recursos con actividades.

La aventura del Saber. Gráficas

Antes de comenzar a tope con las funciones conviene que recordemos algo que nos va a ser fundamental para poder trabajar con las gráficas. Nos referimos al manejo de los ejes de coordenadas.

Colocando las cosas en su sitio

Hemos visto en el apartado anterior la importancia que tienen las gráficas para representar cualquier relación de nuestra vida cotidiana. Pero antes de adentrarnos más en el tema, sería conveniente que repasáramos cómo representar puntos en el plano.

Importante

Recuerda que, para representar puntos en el plano, necesitamos tener dos líneas que estén graduadas y colocadas perpendicularmente. Estas líneas reciben el nombre de ejes de coordenadas cartesianas.

Los puntos que representemos se caracterizan por dos valores, el primero se llama abscisa y se mide sobre el eje horizontal, o eje de abscisas. El segundo se llama ordenada y se mide, lógicamente, sobre el eje vertical llamado eje de ordenadas.

El orden de las coordenadas es muy importante ya que no es lo mismo escribir (3, 1) que daría lugar al punto D, que (1, 3) que obtendríamos el punto C.

En la red

En el siguiente enlace puedes acceder a un programa en el que podrás experimentar con los puntos en un sistema de ejes y repasar su definición. Podrás comprobar como se representan los puntos y practicar representando puntos a partir de sus coordenadas. 

Aprende a hacerlo

Sea el punto del plano A(3,2)

Queremos sombrear la región del plano cuyos puntos tienen ordenada mayor que la de A y dar las coordenadas de dos de esos puntos.

Retroalimentación

Reproduce la animación

Comprueba lo aprendido

Ahora prueba tú para ver si sabes colocar correctamente las coordenadas.

Debes incluir en los huecos los números de coordenadas adecuadas.

¡Ojo con el orden! 

A=( Rellenar huecos (1): JXUwMDY5 , Rellenar huecos (2): JXUwMDc1JXUwMDFm )   
B=( Rellenar huecos (3): JXUwMDc1JXUwMDFm , Rellenar huecos (4): JXUwMDY4 )   
C=( Rellenar huecos (5): JXUwMDc1JXUwMDFl , Rellenar huecos (6): JXUwMDZh )   
D=( Rellenar huecos (7): JXUwMDZi , Rellenar huecos (8): JXUwMDY4 )   
E=( Rellenar huecos (9): JXUwMDY4 , Rellenar huecos (10): JXUwMDZi ) 

F=( Rellenar huecos (11): JXUwMDc1JXUwMDFm , Rellenar huecos (12): JXUwMDc1JXUwMDFm )   
G=( Rellenar huecos (13): JXUwMDZh , Rellenar huecos (14): JXUwMDZi ) 
H=( Rellenar huecos (15): JXUwMDZh , Rellenar huecos (16): JXUwMDc1JXUwMDFj )

I=( Rellenar huecos (17): JXUwMDY4 , Rellenar huecos (18): JXUwMDc1JXUwMDFj )

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Fíjate bien en que la primera componente se mide sobre el eje horizontal y la segunda sobre el eje vertical.

Tarea

L'irlandés. Coche europcar (CC BY-SA)

¿Nos vamos de viaje?

Seguramente, ya conoces que la velocidad máxima a la que se puede circular por cada una de las carreteras depende del tipo de carretera y del tipo de vehículo con el que se pretenda circular. En este caso, te vamos a proponer una labor de investigación, pero que no sea coincidente con ninguno de tus compañeros ni compañeras. De todas las localidades que existen en España, vas a seleccionar una cuya primera letra coincida con la primera letra de tu primer apellido y que esté bastante alejada de la ciudad en la que vives. Por ejemplo, si tu nombre es Mariano Real y vives en Sevilla; puedes seleccionar Ribadeo, que se encuentra en Lugo.

Vas a organizar un viaje a esa localidad, pero antes quieres tener todo bien programado. Para ello, selecciona 10 localidades intermedias por las que debas pasar en ese viaje y realiza una tabla en la que se recojan estos datos: el nombre de la localidad, la distancia en kilómetros que hay desde tu ciudad y el tiempo que tardarías en recorrer esa distancia con el coche. Una vez que tengas esta tabla, realiza una representación gráfica en la que aparezca en el eje de abscisas los kilómetros y en el de ordenadas el tiempo en minutos. Representa mediante puntos cada una de las 10 localidades según los datos de la tabla.

Busca información sobre la localidad de destino y, con todo lo anterior, realiza una hoja de cálculo en la que aparezcan los siguientes datos: Información sobre el nombre de la localidad de destino y dónde se encuentra, información de interés turístico sobre la localidad de destino, la tabla que has elaborado con las localidades intermedias, la distancia en kilómetros y el tiempo que tardarías en llegar a cada una de ellas en coche y, para finalizar, la gráfica que te hemos pedido.

Realiza una entrada en el blog de aula en la que aparezca tu documento. A esta entrada deberás colocarle dos etiquetas, la primera será la formada por la primera letra de tu nombre y tu primer apellido  y la segunda será la palabra viaje.

Retroalimentación

Existen varias páginas webs en las que puedes localizar la información sobre el número de kilómetros y el tiempo en llegar a cada localidad.

Curiosidad

Frans Hals - Portret van René Descartes (CC0)

Existen muchos matemáticos relacionados con la creación de las gráficas y en concreto de los sistemas de ejes de coordenadas. Entre ellos podemos citar a Galileo Galilei, Pierre de Fermat y, especialmente, a Descartes.

René Descartes fue un matemático y filósofo francés del siglo XVII que es considerado como el padre de la filosofía moderna. Su principal obra fue "El Discurso del Método" aparecido en 1637 y que se presentó como una introducción a tres ensayos científicos. Entre los ensayos merece la pena destacar uno sobre las leyes de refracción de la luz y otro sobre la Geometría Analítica, donde se presentan la estructura habitual de los ejes coordenados. En su honor los ejes de coordenadas reciben el nombre de cartesianos.

Sin embargo, la representación gráfica en un sistema de coordenadas se puede considerar que es muy anterior al siglo XVII. ¿Sabes que en el techo de la tumba del faraón Ramses VII (en el año 1.100 a.C.) ya aparece una representación del cielo que se puede considerar como un sistema de ejes?

Si quieres comprobar lo anterior y saber más cosas curiosas sobre las invenciones de las gráficas, no dejes de leer la apasionante conferencia impartida por la profesora italiana Emma Castellnuovo.  Puedes bajarte en pdf desde el siguiente enlace.

Ahora sin manos

Eduardo. uff, que ganas tenía de salir y respirar (CC BY-SA)

Reconocemos que el título de esta sección es una broma. Debería llamarse ahora sin números, pues vas a comprobar que la capacidad visual de una representación gráfica es tan potente que se puede obtener información aunque los ejes de coordenadas no estén graduados, es decir, no se sepa qué valores exactos le corresponden a los puntos que haya representados.

¿Cómo puede ser esto?, quizás te preguntes, pues aquí estamos nosotros para contestarte. La explicación es muy fácil y seguro que no eres consciente de lo que ya sabes. Si en una gráfica un punto está situado más a la derecha que otro, quiere decir que su primera componente (la que se mide sobre el eje horizontal) es más grande. Mientras que si el punto está más arriba que otro quiere decir que su ordenada (que se mide sobre el eje vertical) es mayor.

Estamos seguros de que, aún sin darte cuenta, sabes más de lo que crees. Compruébalo resolviendo las siguientes cuestiones.

Comprueba lo aprendido

Cinco amigos están hablando de los paseos que tuvieron que realizar el día antes, comparando el tiempo que tardaron en llegar y la distancia que tuvieron que recorrer. En la gráfica aparecen representados los datos de cada uno.

1. Juan y María quedaron en el parque que se encuentra a la misma distancia de sus casas. Pero Juan se acercó caminando mientras María se desplazó en bicicleta.

2. Felipe recorrió más distancia que ellos y lo hizo en taxi.

3. Sandra y Pablo fueron los que recorrieron más distancia, Pablo viajó en autobús mientras que Sandra prefirió hacerlo en metro.

Indica que letra corresponde a cada uno de los amigos.

Felipe:

Rellenar huecos (1): JXUwMDNi

Juan:

Rellenar huecos (2): JXUwMDNh

María:

Rellenar huecos (3): JXUwMDM5

Pablo:

Rellenar huecos (4): JXUwMDNk

Sandra:

Rellenar huecos (5): JXUwMDNj

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Fíjate bien donde se miden cada uno de los conceptos.

Comprueba lo aprendido

En la gráfica, aparece representada la relación entre los tiempos que han dedicado a sus consultas en el día de hoy una serie de médicos y el número de pacientes que han podido ver en ese tiempo.

Indica si son verdaderas o falsas las siguientes frases.

Pregunta 1

1) Ninguno de los médicos vio al mismo número de pacientes.

Verdadero Falso

Retroalimentación

Falso

Pregunta 2

2) Quién estuvo más tiempo en la consulta fue el doctor López.

Verdadero Falso

Retroalimentación

Verdadero

Pregunta 3

3) La doctora Díaz vio a más pacientes que la doctora Ramirez, pero en menos tiempo.

Verdadero Falso

Retroalimentación

Verdadero

Pregunta 4

4) La doctora Díaz le dedicó, por termino medio, el mismo tiempo a cada uno de sus pacientes que el doctor Pérez.

Verdadero Falso

Retroalimentación

Verdadero

Pregunta 5

5) El doctor Sánchez fue quien le dedicó más tiempo a su consulta.

Verdadero Falso

Retroalimentación

Falso

Tarea

SABET. No me des la lata (CC BY)

Debes visitar un supermercado y elegir algún producto que venga enlatado (atún, guisantes, espárragos, champiñones, etc.) y del que se puedan encontrar envases de distinto tamaño. Debes elegir al menos dos marcas distintas para comparar.

Con esos datos debes dibujar una gráfica de puntos, como las que hemos visto en los casos anteriores. En la gráfica debes relacionar la cantidad de producto envasado con el precio, colocando referencias a las distintas marcas. Deben aparecer al menos cinco puntos.

Una vez dibujada la gráfica, debes hacer una entrada en el blog de aula en la que incluyas el dibujo y, al menos, cuatro preguntas relacionadas con lo que aparece en el dibujo. Los ejemplos anteriores pueden servirte de idea sobre qué preguntar.

Retroalimentación

Recuerda añadir dos etiquetas a tu entrada. La primera formada por la inicial de tu nombre y tu primer apellido y la segunda será conservas. Tus compañeros de aula deberán contestar al menos a tres entradas de blog.

¿Qué es una función?

Ya te hemos llamado la atención en los apartados anteriores sobre elementos que están relacionados entre sí en el mundo que nos rodea. En muchas de esas situaciones el valor que está relacionado con un elemento es único. Por ejemplo, el número de pacientes que está en un momento determinado del día en la consulta de un médico es una cantidad fija, que va fluctuando a lo largo de la consulta pero que siempre es única. De igual forma el tiempo que tardas en ir al instituto es único, no puede ser que tardes desde tu casa veinte minutos y a la vez tardes treinta y cinco minutos el mismo día y en el mismo viaje.

Este tipo de relaciones en la que a un determinado valor sólo le puede corresponder un único valor, como el peso o la estatura a una persona, reciben un nombre determinado: se llaman función. A lo largo de este tema vamos a caracterizar este tipo de relaciones.

Curiosidad

Gottfried Wilhelm von Leibniz (Dominio público)

Muchos autores consideran que la primera persona que utilizó la palabra función dentro del contexto de las matemáticas fue el filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716). Dentro del mundo de la filosofía, tuvo tanta importancia que se le llamó "El último genio universal".

En el mundo de las matemáticas es especialmente reconocido por haber descubierto el cálculo Infinitesimal de forma independiente de Ser Isaac Newton. Su descubrimiento del análisis fue posterior a Newton, pero fue publicado antes. Al considerar Newton que había copiado sus ideas se creó una gran discusión entre los matemáticos de la época que se dividieron en dos grupos para apoyar a cada uno de ellos. Lo que si es claro es que la escritura que utilizaba Leibniz para representar el cálculo infinitesimal era más clara y útil y es la que actualmente se utiliza.

Lo fundamental

Importante

Se llama función a toda relación entre dos conjuntos de números, de forma que a todos y cada uno de los elementos del primer conjunto le hacemos corresponder un solo elemento del segundo conjunto.

Por ejemplo, la relación entre el número de portal de una casa y el número de personas que viven en ella, o entre el número de latas de refresco que compramos y el coste de la compra.

No es función

Observa la siguiente escena. Al desplazar el punto x, vemos que tiene dos imágenes. 

Esta gráfica NO ES UNA FUNCIÓN. Fíjate, a los elementos X no les hacemos corresponder un solo elemento de la gráfica.

Comprueba lo aprendido

Indica si es verdadero o falso que las siguientes relaciones representen una función.

Pregunta 1

1) La relación entre el número de caballos que tiene el motor de un coche nuevo y su precio.

Sugerencia

¿Todo coche con la misma potencia de motor vale lo mismo?

Verdadero Falso

Retroalimentación

Falso

No es una función porque coches con la misma potencia pueden tener precios diferentes, ya que el precio no depende sólo de los caballos de potencia que tenga el motor.

Pregunta 2

2) La relación de la edad de una persona y su estatura.

Sugerencia

¿Todos tus compañeros de clase, que más o menos tienen tu edad, miden lo mismo que tú?

Verdadero Falso

Retroalimentación

Falso

Tampoco es función ya que personas con la misma edad tienen distinta estatura.

Pregunta 3

3) La relación entre el número de libros impresos en una tirada y la cantidad de papel utilizado.

Sugerencia

¿Para imprimir 100 ejemplares de una misma edición de un libro se puede utilizar distinta cantidad de papel?

Verdadero Falso

Retroalimentación

Verdadero

Está claro que si es una función ya que a una determinada cantidad de libros solo puede corresponder una cantidad de papel concreta.

Pregunta 4

4) La relación entre el número de personas que viaja en un vagón de un tren de cercanías y el dinero recogido por la venta de entradas.

Sugerencia

¿En un tren todos pagan lo mismo siempre?

Verdadero Falso

Retroalimentación

Falso

No es función porque si van muujeres con niños pequeños, estos se consideran pero no pagan. Y si son menores que una edad pagan menos que si son mayores.

Pregunta 5

5) La relación entre el tiempo que lleva una planta sembrada en una maceta y su altura.

Verdadero Falso

Retroalimentación

Verdadero

Si es una función porque en cada día la altura de la planta es única.

Importante

exclamaciónEn una función se relacionan siempre dos números. El primero recibe el nombre de variable independiente, ya que puede tomar cualquier valor, y suele representarse por la letra x. Al segundo valor, que depende del valor que tuviese el nombre, se le llama variable dependiente y se le suele representar por la letra y.

Por ejemplo, la recaudación de un cine, una determinada tarde, depende del número de espectadores que hayan entrado al cine. El número de espectadores sería la variable independiente y la cantidad recaudada la dependiente.

Las funciones suelen representarse por una letra minúscula siendo las más utilizas la f y siguientes. Para representar que un valor y depende de x se escribe lo que se lee y es función de x. Es corriente también decir que y es la imagen de x mediante la función f, y que x es la antiimagen o antecedente de y.

Por costumbre, a la variable independiente se le llama solo variable y a la variable dependiente se le llama función.

En la red

En el siguiente enlace puedes practicar calculando gráficamente imágenes y antiimágenes de distintos valores. Practica ejemplos diversos, de forma que no siempre la función sea una línea recta. 

Enlace a web

Tarea

¿Buscamos funciones?

Busca, en tu vida cotidiana, cinco ejemplos de relaciones que sean funciones. Escríbelas en tu cuaderno y añade las indicaciones, en cada caso, de quién sería la variable independiente y quién la variable dependiente.

Retroalimentación

Puedes buscar ejemplos en la economía diaria, en las actividades de ocio, en el mundo empresarial (si tu familia tiene relación con algún tipo de empresa), etc.

Busca los ejemplos en actividades distintas, es decir, no escribas, por ejemplo los cinco ejemplos sobre compras.

Importante

Para poder tener definida perfectamente una función necesitamos conocer tres elementos:

El conjunto original al que se le aplica la función.

El conjunto final de valores que están relacionados con el anterior.

La regla que nos permite relacionar un elemento del primer conjunto con un elemento del segundo.

Al conjunto de valores a los que se aplica la función, es decir, al conjunto de valores que toma la variable independiente, se le llama dominio de definición de la función o simplemente dominio de la función; suele representarse por D. Por su parte, al conjunto de números que son imagen de los valores del dominio se le llama recorrido de la función; suele representarse por R.

Por ejemplo; si se está midiendo la estatura de un bebe mes a mes durante el primer año de vida, el dominio serían los valores enteros comprendidos entre 0 (momento del nacimiento) y 12. El recorrido serían los valores comprendidos entre la medida al nacer, por ejemplo 55 cm. y su estatura a los 12 meses, por ejemplo 69 cm.

Hay un tercer elemento que es fundamental para tener definida una función. Nos referimos a la regla que nos permite saber qué valor debemos hacer corresponder al obtenido por la variable independiente. A ese aspecto dedicaremos el siguiente apartado.

Muchas formas de ver lo mismo

José Muñoz. Ilusión óptica. 

Hay veces que estamos viendo la misma cosa y sin embargo nos parece distinta. Un ejemplo concreto lo podemos encontrar en las ilusiones ópticas como la que puedes ver en el dibujo. A simple vista parece que las líneas a y b miden distinto, pero en realidad miden lo mismo.

Hay bastantes ocasiones en las que estamos hablando de lo mismo y sin embargo lo expresamos de distinta forma. Eso, precisamente, es lo que vamos a hacer en este apartado con las reglas que definen las funciones.

La regla que define a una función puede venir expresada de distintas maneras:

José Muñoz. Oferta.

1) Por una frase o un enunciado.

Por ejemplo, si nos indican que la capacidad de un camión cisterna para transporte de leche es de 15.000 litros, tenemos perfectamente determinada la relación entre el número de camiones cisterna que puede salir de una cooperativa lechera y la cantidad total de leche que se transporta.

Otro ejemplo lo podemos ver en la imagen. Si nos dicen que el kilo de melva está a 3,60 euros podemos determinar sin problemas cuánto habrá que pagar por cualquier cantidad.

José Muñoz. Alquiler. 

2) Por una tabla de valores

Otra forma de expresar una función es escribir los pares de valores que están relacionados, es decir, indicar que número le corresponde a cada uno de los valores que toma la variable independiente.

Por ejemplo, en la imagen adjunta puedes observar cómo aparece una tabla en la del alquiler de un hidropedal,  relacionando el número de horas que se quiere usar con el precio que nos costará ese alquiler.

3) A través de una expresión algebraica

Esta suele ser la forma que más trabajarás en matemáticas a partir de ahora. Tendremos una expresión en la que se relacionará la variable dependiente en función de la variable dependiente.

Por ejemplo, en una determinada ciudad las tarifas que tienen fijadas para el año 2011 son 1,22 € de bajada de bandera (es decir, por el mero hecho de subirte al taxi) más 0,85 € por kilómetro recorrido. Si queremos expresar entonces el coste de un viaje (y) en función de los kilómetros recorridos (x), la expresión que nos lo indica es .

4) Mediante una gráfica.

La última forma de representar una función es mediante una gráfica. En este caso los puntos (x,y) que aparecen dibujados en la gráfica corresponden a los valores que están relacionados mediante la función. Es decir, si el punto (x,y) pertenece a la gráfica dibujada es porque .

En la gráfica adjunta aparece dibujada la gráfica que nos indica la misma relación anterior entre los kilómetros recorridos y el coste del trayecto en taxi.

Curiosidad

Oresme-Nicole (Dominio público)

Se toma como válido que la primera persona que realizó un dibujo para representar una función fue el obispo francés, nacido en Normandía, Nicolás de Oresme (1323 - 1382). Fue un personaje peculiar que, entre otras cosas, fue matemático, físico, astrónomo, filósofo, teólogo y musicólogo.

En su obra Tractatus de latitudinibus formarum (Tratado sobre la anchura de las formas) plantea una cantidad que cambia de forma continua como una recta. De esa forma comenzó a representar sobre un plano la evolución de movimientos celeste y otros fenómenos físicos.

Si quieres saber más sobre este curioso personaje puedes consultar unas breves notas en el siguiente enlace.

Importante

Debes tener cuidado porque no toda gráfica representa una función.

Recuerda que para que la relación sea función es necesario que a un valor de x le corresponda un único valor de y. Eso quiere decir que si en una gráfica vemos que al levantar una recta vertical, en algún punto ésta corta más de una vez a la gráfica, entonces lo que está representado no es una función.

En la imagen puedes ver un ejemplo de gráfica que no representa a una función.

Comprueba lo aprendido

En el siguiente applet tienes varias gráficas para deducir si representan o no a funciones.

José Muñoz Santonja. ¿Función o no?. (CC by sa)

Moviendo el deslizador rojo puedes hacer aparecer siete gráficas distintas.

Basta que muevas la recta verde y la pases sobre la función para comprobar si corta en un solo punto o en más.

De las gráficas anteriores indica cuales representan a una función (SI) y cuáles no representan una función (NO).

g1 
Rellenar huecos (1): JXUwMDBiJXUwMDFh  
    g2

Rellenar huecos (2): JXUwMDBiJXUwMDFh  
    g3

Rellenar huecos (3): JXUwMDE2JXUwMDAx  
    g4

Rellenar huecos (4): JXUwMDBiJXUwMDFh  
    g5

Rellenar huecos (5): JXUwMDE2JXUwMDAx  
    g6

Rellenar huecos (6): JXUwMDBiJXUwMDFh  
    g7

Rellenar huecos (7): JXUwMDE2JXUwMDAx  

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¡Qué cosas más curiosas!

Montecruz. Joaquin y sus 9 meses (CC BY-SA)

En las relaciones entre elementos que podemos encontrar en nuestra vida cotidiana, hay multitud de cosas que son fácilmente apreciables y que son importantes para estudiar la relación concreta que nos interesa. Por ejemplo, el peso de los bebes suele ir aumentando constantemente en los primeros meses de vida. Si en algún momento disminuye, es señal de que hay algún problema sanitario o alimenticio. Por eso; cuando la variación aumenta o disminuye, obtenemos información sobre si el proceso de crecimiento está siendo normal.

Imaginemos que estamos observando un electrocardiograma. La línea que representa la actividad del corazón debe ser una línea que no se pare en ningún momento. Nos interesa, por tanto, que sea continua. Si hay un fragmento en el que no haya línea o movimiento, nos encontramos ante un problema.

Has realizado algunas compras que tenías pendientes y tus ahorros están a cero. Eso quiere decir que si compras algo más el estado de tu cuenta se va a ver en números rojos, es decir, en números negativos. Por tanto, el haber alcanzado el cero es importante por lo que significa de paso límite de una situación boyante a una deficiente.

Ves que son ejemplos corrientes que en este apartado vamos a ver que también influyen en las funciones y, por tanto, es conveniente estudiarlas.

De un solo trazo

echiner1. Uno menos (CC BY-SA)

Hay ocasiones en que los valores que pueden tomar la variable independiente que estemos trabajando son aislados. Por ejemplo, si estudiamos la relación que hay entre el número de personas que están en una sala de cine viendo una película y la recaudación de las entradas, está claro que el número de personas puede ser 26 o 27, pero entre esos dos valores no hay valores intermedios posibles. Cuando a la variable independiente le ocurre esto decimos que es discreta.

Por el contrario, si nos fijamos en los pesos que tienen los pollos en un supermercado relacionándolos con su precio, es evidente que entre pesar 3 o 4 kilos hay muchos otros resultados posibles, por lo tanto, la variable independiente toma muchos valores intermedios y recibe el nombre de continua.

Comprueba lo aprendido

En las siguientes relaciones indica si la variable independiente es continua o discreta.

Situación

Tipo de variable

La relación entre la distancia recorrida por un vehículo y la gasolina consumida.
Rellenar huecos (1): JXUwMDFiJXUwMDJjJXUwMDAxJXUwMDFhJXUwMDFkJXUwMDA3JXUwMDFiJXUwMDE0

La relación entre el número de viajes que realiza un camión y la cantidad de mercancía trasladada.

Rellenar huecos (2): JXUwMDFjJXUwMDJkJXUwMDFhJXUwMDEwJXUwMDExJXUwMDE3JXUwMDExJXUwMDE1

La relación entre el día del mes y la temperatura máxima alcanzada en una determinada ciudad.

Rellenar huecos (3): JXUwMDFjJXUwMDJkJXUwMDFhJXUwMDEwJXUwMDExJXUwMDE3JXUwMDExJXUwMDE1

La relación entre la cantidad de cerezas a granel (no empaquetadas) que compramos y su precio.
Rellenar huecos (4): JXUwMDFiJXUwMDJjJXUwMDAxJXUwMDFhJXUwMDFkJXUwMDA3JXUwMDFiJXUwMDE0

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Importante

Las funciones también pueden variar tomando todos los puntos intermedios o a saltos. Por ejemplo; si estudiamos la evolución del nivel de aguas de un pantano, es evidente que la cantidad de agua pasa por todos sus estados; es decir, no puede pasar de 100 hm³ a 99 hm³ sin pasar por los valores intermedios. Cuando ocurre esto, se dice que la función es continua. Suele decirse también que una función es continua, cuando su gráfica puede dibujarse de un solo trazo.

La función es discontinua en dos casos: cuando hay trozos de la variable dependiente que no se pueden obtener por la función o cuando o al dibujar la gráfica debemos levantar nuestro instrumento de dibujo para seguir dibujándola.

En la gráfica puedes ver un ejemplo de función discontinua. Tienes la evolución del precio del gasóleo A durante unos meses del año 2011. Cuando cambia el precio del gasóleo lo hace bruscamente, es decir, no cambia necesariamente céntimo a céntimo.

Comprueba lo aprendido

Vamos a considerar tres situaciones cotidianas.

a) La evolución del precio de franqueo de una carta (valor del sello) en función del peso.

b) Evolución del gasto energético a lo largo de un día laborable en una gran ciudad.

c) Número de espectadores de un cine en los doce meses de un año.

Estas situaciones corresponden a funciones en las que hay las siguientes posibilidades:

Variable independiente discreta.

Variable independiente continua y función discontinua.

Variable independiente continua y función continua.

Y debe corresponderle una de las siguientes gráficas:

f

g

h

Completa las huecos en blanco:

Situación

Función

Gráfica

a

Rellenar huecos (1): JXUwMDZh
Rellenar huecos (2): JXUwMDNl

b

Rellenar huecos (3): JXUwMDZi
Rellenar huecos (4): JXUwMDMw

c

Rellenar huecos (5): JXUwMDY5
Rellenar huecos (6): JXUwMDNm

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Tarea

¿Buscamos gráficas?

En los medios de comunicación es muy corriente que aparezcan gráficas lineales que no están bien dibujadas. Por ejemplo, es usual que se unan, mediante líneas, puntos que corresponden a variables discretas, es decir, que entre los dos valores que se presentan no hay valores intermedios. También es corriente que los ejes no estén correctamente divididos (no todas las divisiones son proporcionales) o se unan trozos verticalmente, no lo que no representa una función.

En esta tarea te vamos a pedir que busques dos gráficas de los medios de comunicación, una bien construida y la otra no. Debes escanear las imágenes y colocarlas en una entrada en el blog de aula indicando de qué medio las has tomado, que tipo de variable y función es (discreta, continua o discontinua) y qué error has localizado en la que no es correcta.

Retroalimentación

Como siempre añade dos etiquetas, la primera formada por tu inicial y tu primer apellido y la segunda que sea grafmed. Exponed y debatid los resultados obtenidos.

La montaña rusa de las funciones

Daniel Dionne. Flu (CC BY-SA)

De las constantes numéricas que manejamos a diario en multitud de aspectos de nuestra vida, hay muy pocas que se mantengan constantes a lo largo de su evolución. Por ejemplo, es verdad que el número de portal de nuestra casa, nuestro DNI, nuestro número de móvil, el número de amigos cercanos, etc, puede que no cambien (al menos el DNI nunca); pero hay otros aspectos que si cambian con facilidad: nuestro peso, la estatura, el saldo de nuestros ahorros, etc.

Si pensamos en un enfermo que se encuentra hospitalizado y al que regularmente se le toma la temperatura, está claro que lo normal es que la temperatura suba y baje a lo largo del día.

Vamos por tanto a tratar en este apartado los aspectos de crecimiento y de decrecimiento de una función.

Importante

Diremos que una función es creciente sí a medida que aumenta el valor de la variable también aumenta el valor de la función. Puedes ver un ejemplo en la imagen siguiente.

De forma análoga diremos que la función es decreciente si al aumentar la variable disminuye la función.

Función creciente

Función decreciente

Diremos que en el punto x = a se alcanza un máximo relativo si en los alrededores de dicho punto la función siempre toma valores menores que en el mismo punto. Como puedes apreciar por la imagen de abajo, en los puntos en los que existe un máximo la función pasa de ser creciente a ser decreciente.

A su vez, se tendrá un mínimo relativo en el punto a cuando en sus alrededores la función siempre vale más que en el punto a. En este tipo de puntos, la función pasa de ser decreciente a ser creciente.

Máximo relativo

Mínimo relativo

Lo normal es que una función tenga varios intervalos de crecimiento y de decrecimiento a lo largo de su recorrido y también varios máximos y mínimos relativos. No debemos confundir estos extremos relativos con el máximo absoluto, que es el mayor valor que toma la función en todo su dominio o el mínimo absoluto que es el mínimo valor que toma la función donde está definida.

En la siguiente escena podrás comprobarlo.

Desplaza x y observa el comportamiento de la función.

Para saber más

En el vídeo, al que accedes desde el siguiente enlace, puedes ver repasados con humor los conceptos que hemos presentado en este apartado. A lo largo del vídeo se habla de unas líneas llamadas asíntotas, pero no es necesario que las tengas en cuenta pues son conceptos que no veremos en este curso. 

Comprueba lo aprendido

En la siguiente gráfica hemos representado la función que nos da la temperatura de un enfermo a lo largo de todo un día. Toma información de la gráfica para responder a las siguientes cuestiones.

1) El máximo absoluto se tuvo a las Rellenar huecos (1): JXUwMDZhJXUwMDAw horas.

2) La temperatura estuvo bajando desde las 3 hasta las Rellenar huecos (2): JXUwMDY5JXUwMDAx horas.

3) La temperatura se mantuvo constante en los 36,5º entre las Rellenar huecos (3): JXUwMDY5JXUwMDA1 y las Rellenar huecos (4): JXUwMDY5JXUwMDA2 horas.

4) La temperatura más baja la tuvo a las Rellenar huecos (5): JXUwMDY5JXUwMDAx horas y fue de Rellenar huecos (6): JXUwMDZiJXUwMDA2JXUwMDE5JXUwMDE5 º.

5) La temperatura del paciente tuvo un máximo relativo a las Rellenar huecos (7): JXUwMDZi de la madrugada tomando una temperatura de Rellenar huecos (8): JXUwMDZiJXUwMDBi º.

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En la red

En el siguiente enlace tienes ejemplo de funciones dadas a partir de su gráfica. Se indican cuáles son sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como sus extremos relativos. Realiza varios ejemplos y copia en tu cuaderno dos de ellos; dibujando, aproximadamente, la gráfica e indicando los intervalos y los extremos. 

Enlace a web

Tarea

¿Buscamos funciones?

Localiza en cualquier periódico o revista una gráfica que tenga varios intervalos de crecimiento y decrecimiento. Pégala o cópiala en tu cuaderno e indica entre qué valores es creciente, entre cuáles decreciente y señala los extremos relativos y/o absolutos que tenga la función.

Retroalimentación

Indica claramente de qué medio has tomado la gráfica, en qué fecha y sobre qué trata la noticia y, por consiguiente, los datos que has tomado.

¡Toma corte!

Observa la gráfica que tienes al lado. En ella está representada la situación financiera de una empresa en los primeros años de vida.

Lo que nos interesa que observes es la evolución de la gráfica y, sobre todo, el significado que tienen los puntos que están situados sobre los ejes de coordenadas. En primer lugar, parte del punto situado sobre el eje vertical en la que la variable tiempo  (x) vale cero. Es lógico ya que se empieza a contar desde el momento en que se crea la empresa.

Al principio, el estado financiero es negativo; por los gastos necesarios para montar la empresa. Poco a poco, va aumentando y llega un momento en el que el estado financiero deja de ser negativo y se hace cero (y); que es cuando se ha recuperado el dinero invertido y, a partir de ahí, se comienza a ganar dinero.

Como has visto, los lugares en los que la variable o la función se hacen cero son importantes para saber la evolución de la relación presentada por la función.

Importante

El punto de corte de la función con el eje vertical, el de ordenadas, es aquel en el que la variable se hace cero. Por lo tanto, basta anular la variable en la función para obtener la ordenada del punto de corte. Es decir, en la función y=f(x) será un punto de la forma (0,f(0)).

Por su parte, el corte de la gráfica de la función con el eje de abscisas, el horizontal, corresponderá a un valor de x que anule la función. Es decir, si se verifica que f(a) = 0, entonces el punto de corte con el eje horizontal será (a,0).

Aprende a hacerlo

Calcula los punto de corte con los ejes de las siguientes rectas:

a) y=x+3

Retroalimentación

Corte con el eje de las ordenadas:

x=0 ; y=3

A(0, 3)

Corte con el eje de las abscisas

y=0 ; 0= x+3 ; x= -3

B(-3, 0)

b) y=x-3

Retroalimentación

Corte con el eje de las ordenadas:

x=0 ; y=-3

A(0, -3)

Corte con el eje de las abscisas

y=0 ; 0= x-3 ; x= 3

B(3, 0)

c) y=2x+3

Retroalimentación

Corte con el eje de las ordenadas:

x=0 ; y=3

A(0, 3)

Corte con el eje de las abscisas

y=0 ; 0= 2x+3 ; 2x= -3 ; x= -3/2

B(-3/2, 0)

d) y=2x-3

Retroalimentación

Corte con el eje de las ordenadas:

x=0 ; y=-3

A(0, -3)

Corte con el eje de las abscisas

y=0 ; 0= 2x-3 ; 2x= 3 ; x= 3/2

B(3/2, 0)

e) x=2

Retroalimentación

Corte con el eje de las ordenadas:

x =0; y=2

B(0, 2)

Corte con el eje de las abscisas

y=0 ; 0= 2 

No tiene soluciones

Comprueba lo aprendido

Desde el balcón de mi casa, le he lanzado una pelota de béisbol a mi hermano que estaba jugando en los jardines que hay junto al bloque.

En la gráfica aparece la relación entre la altura a la que está la pelota y la distancia que recorre en horizontal.

Responde a las siguientes cuestiones.

1) La altura a la que está el balcón de mi casa es de Rellenar huecos (1): JXUwMDZh metros.

2) Al caer al suelo la pelota se ha desplazado un total de Rellenar huecos (2): JXUwMDZl metros.

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Tarea

Tarea

Angel Torres. Vuelta ciclista (CC BY)

Diseñamos una etapa ciclista

Quizás recuerdes el vídeo que viste al principio del tema. En él se hablaba de que las gráficas se encontraban en muchas situaciones cotidianas y en concreto se utilizan a menudo en el mundo de deporte.

Existen muchos deportes en los que son muy importantes las gráficas, por ejemplo, el baloncesto. Pero hoy vamos a trabajar con otro deporte en el que es usual ver gráficas constantemente. Nos estamos refiriendo al ciclismo. 

Aunque no seas aficionado a ese deporte, seguro que alguna vez habrás observado alguna gráfica en la que se representa el perfil de una etapa. En ella aparecen: los kilómetros, las alturas que alcanzar, las metas volantes, etc.  

La tarea que te proponemos hoy es sobre una de esas etapas. Debes buscar en los medios de comunicación, bien en Internet o en cualquier medio impreso, un perfil de una etapa ciclista, que tenga al menos dos puertos de montaña, aunque sean de distinta categoría y sobre ella contestar a las siguientes cuestiones:

¿Que valores son los que se relacionan mediante esa gráfica? Debes especificar cuáles serían las variables dependiente e independiente.

Señala el dominio y el recorrido de esa función.

Independientemente de como esté dibujada, razona si la función que está representada es una función continua o no.

Escribe los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función.

Señala los extremos relativos.

Indica los extremos absolutos de la función y justifica qué representan esos valores en el recorrido de la etapa.

Para acabar la tarea, vas a ser tú quien diseñe una etapa. Tendrás que hacerlo comparándola con la que has analizado. El primer tercio discurrirá por debajo de la etapa original. El tercio central se desarrollará como en la etapa anterior y por último, en el tercer final del recorrido, la etapa recorrerá valores superiores a los que tenía la etapa inicial. Procura no hacerla muy complicada para los ciclistas.

Retroalimentación

No te olvides incluir en tu cuaderno una copia de la imagen correspondiente al perfil inicial con el que has trabajado.

Ampliación

En la red

Algunos enlaces que te recomendamos para profundizar en los contenidos de la unidad son:

| Comprueba si has adquirido todos los contenidos del tema enfrentándote al test que encontrarás en el siguiente enlace. Realiza las seis primeras actividades que te vas a encontrar.
| En el siguiente enlace podrás encontrar una prueba en la que tendrás que relacionar un recipiente con la gráfica que se obtendría al medir la altura del líquido a medida que lo llenamos. Cada vez que pulses "Inicio", podrás realizar la prueba con otro recipiente.
| Explora las diferentes transformaciones elementales que podemos realizar a una función. Observa que, al sumar un número, la gráfica se desplaza arriba o abajo ese número. ¿Qué ocurrirá con otras transformaciones?
Enlace a vídeo | En el siguiente enlace encontrarás un vídeo en el que se aplicarán las funciones al estudio de una población marina. Podrás repasar los conceptos de crecimiento y decrecimiento en un contexto cotidiano.

Tarea

Tarea

André Gustavo Stumpf. Ambulância (CC BY)

Seguramente, en más de una ocasión has oído venir una ambulancia con las sirenas conectadas. El sonido se habrá ido haciendo más agudo a medida que la ambulancia se ha acercado hacia donde tú estabas. Después, se ha convertido en más grave a medida que se iba alejando. Lo mismo ocurre, si alguna vez has visto en directo una carrera automovilística, con el sonido que realizan los coches al pasar a gran velocidad por tu posición.

Este cambio de sonido es debido al efecto Doppler. Para que conozcas algo más sobre él te proponemos que visiones el siguiente vídeo. También puedes practicar en esta página.

Como has visto en el vídeo, este efecto no se aplica solo a los movimientos del coche. Por ejemplo, cuando se mide el nivel de ruido de un establecimiento para ver si puede molestar a los vecinos, también nos encontramos con este efecto. Sobre este efecto irá en esta ocasión la tarea.

Deberás buscar información sobre este efecto y localizar las ecuaciones que dan la relación entre los elementos básicos, como la velocidad y la intensidad del sonido. Después deberás escoger una situación y dar valores para hallar una gráfica que represente este efecto; hallando cuál será la intensidad del sonido que recibes desde antes hasta después de haber superado el centro de la emisión del sonido. Si tu centro posee un medidor de intensidad de sonido, puedes hacer el estudio midiendo la intensidad en determinados lugares. Por ejemplo, en el patio a la hora de recreo, en un bar... especialmente en los que tienen mesas en la calle donde se acumula la gente, estudiando la llegada o partida de ambulancia si vives cerca de un hospital, etc.

Debes preparar una presentación en la que expliques brevemente y con tus palabras en qué consiste el Efecto Doppler, incluyendo qué fórmulas se aplican en su estudio, qué situación has elegido para comprobarlo y los resultados del estudio.

Para finalizar, sube la presentación a Internet y realiza una entrada en el blog de aula en la que aparezca incrustada la presentación. Colócale a la entrada dos etiquetas. La primera será la primera letra de tu nombre seguida del primer apellido y la segunda etiqueta es la palabra Doppler.

Queremos que comiences la tarea con una sonrisa, por eso te aconsejamos que visiones el vídeo que encontrarás en el siguiente enlace en el que se bromea con el Efecto Doppler proponiéndolo como disfraz.

Retroalimentación

Para subir la presentación a Internet puedes utilizar Slideshare.

Refuerzo

En la red

Algunos enlaces que te recomendamos para repasar los contenidos de la unidad son:

Coordenadas cartesianas. En el menú superior de esta página, selecciona la sección "Ejercicios", y debajo el número 4. Sigue las instrucciones y realiza los necesarios hasta superar, sin ningún fallo, dos ejercicios consecutivos.

Repaso de los conceptos básicos de función. Aquí puedes repasar que és una función, y todos los aspectos relacionados con ella: tipos de variable, dominio, recorrido, gráfica, etc.

Formas de expresar una función. Una función podemos expresarla mediante una tabla, una fórmula, una gráfica o un enunciado. Repasa esas formas en este enlace.

Ejercicios sobre funciones. En esta actividad de Jclic puedes realizar algunas actividades para comprobar si has asimilado los conceptos que se te pedían.

Enlace a vídeo
Vídeo explicativo de la diferencia entre funciones crecientes y decrecientes con ejemplos cotidianos.

Tarea

Tarea

¿Densidad y peso?

Como hemos visto en la unidad, en la vida cotidiana existen multitud de ocasiones en la que nos aparecen elementos que están relacionados mediante una función. A veces, esas relaciones se reducen a una serie de valores sueltos. Otras veces, podemos volcar esa información en una gráfica. En otras ocasiones, podemos escribir una fórmula que nos permite relacionar una variable con otra. Vamos a ver en esta tarea un ejemplo de función tomando elementos cotidianos.

En esta ocasión, te vamos a proponer una tarea para que te conviertas en investigador. Todo lo que necesitas seguramente lo tendrás en la cocina de tu casa, por lo que suponemos que te resultará fácil obtener los datos que te planteamos.

Líquidos. Imagen de ppmuñoz 

Queremos que estudies cómo influye la densidad de un líquido en su peso. Para ello debes utilizar un recipiente cualquiera, por ejemplo un vaso, en el que irás echando un determinado volumen medido con un medidor de los que suele haber en las cocinas. Debes pesar ese volumen en un peso también de los que puedes encontrar en las cocinas para pesar los alimentos de las recetas. No te olvides de pesar primero el recipiente vacío para restarle ese peso a lo que obtengas.

Realiza el peso con distintos volúmenes y construye una tabla en la que relaciones el volumen que has utilizado con el peso obtenido.

Pero queremos algo más. La idea de la tarea es estudiar como influye la densidad de un líquido en su peso. Para investigar este dato debes hacer lo que te hemos propuesto utilizando líquidos, de los que podemos encontrar en la cocina, con distinta densidad. Por ejemplo, realiza una tabla para aceite y después compara con otros líquidos que tú elijas, por ejemplo, agua, zumo, leche, vino, vinagre, etc... No tomes bebidas con gas pues eso pude alterarte el resultado. Te aconsejamos que elijas líquidos con densidad bastante diferente para que salga mejor el estudio.

Debes asimismo localizar cuál es la densidad de los líquidos que utilices y hacer un estudio comparativo. A partir de ese estudio explica si la densidad de un líquido influye en el peso para volúmenes iguales.

Haz una presentación de diapositivas en la que comentes todos los aspectos de la investigación que has realizado: líquidos usados, densidad de los mismos, gráficas obtenidas, etc.. y tu razonamiento sobre la influencia o no de la densidad en el peso de un líquido para el mismo volumen.

Retroalimentación

Puedes subir la presentación a Slideshare. Coloca en el blog de aula un enlace a dicha presentación con la etiqueta volúmenes y la que corresponde a tu usuario.

Cuestionarios

Cuestionarios

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Licencia de Creative Commons
Matemáticas 3º E.S.O. CeDeC.

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Ficha técnica

Título

Que comience la función

Materia

Matemáticas

Nivel educativo

3º ESO

Contenidos

Funciones. Coordenadas cartesianas. Asíntotas. Variables dependientes e independientes.

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Para reconocer la autoría de recurso se puede utilizar el siguiente texto:

Este material es una adaptación del recurso original "Que comience la función" del Proyecto EDIA de Cedec.

A continuación ofrecemos el archivo fuente (recurso original) para realizar las modificaciones necesarias con eXeLearning, herramienta de autor gratuita y disponible para cualquier sistema operativo.

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Créditos

Proyecto EDIA. Que comience la función. Cedec

Autores: Mariano Real Pérez, Arturo Mandly, Manso José Muñoz Santoja

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