El supermercado de Álvaro

Tengo un compañero que trabaja en un supermercado y que se encarga de realizar funciones de gerente, aunque su puesto no está muy bien definido. Se llama Álvaro Becerra y la verdad es que realiza tareas muy diversas dentro del supermercado. Hace unos días; me envió el siguiente vídeo, en el que me presenta el lugar en el que trabaja.

Presentación del supermercado. Mariano Real 

Álvaro tiene que ser bastante creativo en todo lo que hace. Además, debe controlar la venta que se hace de cada uno de los productos, la ganancia que le supone al supermercado y un sin fin de cosas que le mantienen muy ocupado.

Yo me he ofrecido en algunas ocasiones para echarle una mano, pero me siento perdido en todo lo que lleva.

Solamente tienes que pensar cómo sería si tu tuvieras que llevar la gestión del supermercado al que sueles ir a comprar con tu familia. Cartelería, colocación de productos, tener siempre disponible varias marcas. Seguramente algunas cosas las harías estupendamente, pero otras te costaría bastante llevarlas a cabo.

Licencia de Creative Commons
Matemáticas 3º E.S.O. CeDeC.

Obra publicada con Licencia Creative Commons Reconocimiento Compartir igual 4.0

Premio a la fidelidad

Tarea

Durante este mes, una de las cosas que le han pedido a Álvaro es que estimule el consumo entre los clientes del supermercado. Para ello, tras muchas ideas y estudios, ha decidido lanzar la promoción que puedes ver en el siguiente vídeo:

Promociones en el supermercado. Mariano Real 

Los clientes están locos de contentos y deseosos de llevarse el premio. Pero los dueños del supermercado no están tan contentos, ya que ven que van a perder bastante dinero cada día con el premio que se está ofreciendo. Álvaro ya ha comprado los sacos que va a necesitar para toda la campaña, por lo que no hay marcha atrás, pero ahora su trabajo ha aumentado ya que los dueños del supermercado le han pedido un informe detallado con el coste del premio que van a tener que entregar cada día.

Álvaro está liadísimo y por este motivo te pedimos que le eches una mano. Para ello, deberás elegir tres productos distintos de los que aparecen en la promoción (cada uno de una marca distinta) y elaborar un informe en el que aparezca una tabla con varios ejemplos del coste del premio de cada día, en función de lo que sea capaz de coger el cliente afortunado. Sería una tabla por cada uno de los tres productos seleccionados. Además, deberás acompañar el informe con una gráfica en la que aparezca representado el coste del premio de cada día, en función de lo que sea capaz de coger el cliente afortunado. En la gráfica, utilizarás un color para cada producto de los que has seleccionado.

En el informe indicarás todos los datos que has tenido que recopilar para su elaboración. Al final del mismo; redactarás las conclusiones para el dueño, indicándole: cuánto puede ser el coste máximo y mínimo de la campaña promocional que ha lanzado Álvaro y los datos en los que te basas para estas conclusiones.

Redacta el informe completo y entrégaselo a tu profesor. Quédate con una copia para dársela a conocer a tus compañeros y compañeras.

Retroalimentación

Recuerda que el saco también cuesta dinero y se lo regalan al cliente.

Contenidos: en la línea recta

En Matemáticas, es corriente que elementos que hemos visto en un lugar nos vuelvan a aparecer en otro diferente. Es decir, prácticamente todo está relacionado. Por ejemplo, en la Unidad 5, cuando hablamos de las sucesiones, nos aparecieron ejemplos en los que el aumento de un término hasta el siguiente siempre se hacía añadiendo una cantidad constante. Si recuerdas el ejemplo que vimos de construcción de patrones que puedes ver en el dibujo, en él obteníamos cada figura sumando 3 cuadraditos al anterior. Como vamos a ver; si relacionamos el número de la figura con la cantidad de cuadraditos que hacen falta para construirla, nos aparecerá una función englobada dentro del tipo que vamos a ver aquí.

En el tema anterior has visto qué entendemos los matemáticos por funciones. También has comprobado que hay multitud de situaciones de la vida cotidiana en las que aparecen esas funciones. En esta unidad vamos a trabajar con unas funciones especiales. Pero, antes de empezar a desarrollar la unidad, nos gustaría que visionaras el vídeo al que te lleva el siguiente enlace. En él podrás apreciar cómo los sistemas de coordenadas y las ecuaciones en particular, y las matemáticas en general, se utilizan en campos tan inesperados como, por ejemplo, el diseño de ropa.

Cuando la función es lineal

decar66. Bottega del pane (CC BY)

Como hemos comentado en la presentación anterior, en esta unidad vamos a estudiar un caso particular de funciones. En concreto, vamos a estudiar las funciones más elementales, aquellas cuya gráfica se reduce a una línea recta.

Puedes pensar que, por el hecho de ser las funciones más simples, no tienen mucha aplicación. En realidad, sucede todo lo contrario. Son funciones muy cotidianas en nuestra vida. Piensa en el supermercado en el que trabaja nuestro amigo Álvaro. Hay cantidad de productos cuyo coste, en función de las unidades que compremos, es lineal. Por ejemplo, si vamos a comprar pan y una pieza de pan nos cuesta 35 céntimos, es decir, 0,35 €, dos nos cuestan 2·0,35 = 0,70 €, tres 3·0,35 = 1,35 € y así sucesivamente.

La proporcionalidad hecha función

Moyan_Brenn. Kiwi fruit (CC BY)

La situación que has visto en el apartado anterior con las piezas de pan es muy corriente. Por ejemplo, si en una frutería vemos el kilogramo de kiwis a 1,20, es muy fácil calcular cuánto vale cualquier otra cantidad; ya que el medio kilo valdrá 60 céntimos de euro y kilo y cuarto nos costará 1,50 euros. Es decir, basta multiplicar la cantidad de kilogramos que compremos por el precio del kilo y obtenemos el valor de nuestra compra.

Dos magnitudes que se relacionan de esa forma (es decir, que una siempre se obtiene multiplicando la otra por un valor constante) reciben el nombre de magnitudes directamente proporcionales. Recuerda que dos magnitudes tienen una proporcionalidad directa, cuando al variar una de ellas, la otra varía en la misma proporción. Es decir, si una se duplica, la otra también; si una se reduce a la tercera parte, la otra se reduce en la misma proporción. En las magnitudes directamente proporcionales; tenemos la peculiaridad de que, si dividimos una entre otra, siempre se obtiene un valor fijo que se llama constante de proporcionalidad.

En este apartado vamos a estudiar las funciones que relacionan sus variables de esta misma forma.

Importante

Se llama función de proporcionalidad directa a toda aquella en la que la variable dependiente (y) se obtiene multiplicando la independiente (x) por un valor constante. Este tipo de función recibe más corrientemente el título de función lineal y tiene una expresión de la forma:

Toda función lineal tiene por gráfica una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. Algo evidente; ya que, si en la expresión anterior le diéramos a x, el valor 0, la y también valdría 0, por lo que siempre se obtiene el par (0,0) como punto de la gráfica de este tipo de funciones.

Al valor m se le suele llamar pendiente de la recta y representa la inclinación de la recta respecto al eje de abscisas.

Tarea

PincasPhoto. Migas con Naranja (CC BY)

¿Comida y funciones?

Hace unas semanas estuvimos en un cortijo en el campo y para comer se prepararon migas. Para ello se necesitaron bastantes cosas, ya que aparte de los condimentos y material en sí, como agua, sal, pan, chorizos, pancetas, etc.. hubo varias personas preparando la comida, con un perol bastante grande y un buen fuego.

Queremos que nos indiques varias funciones que relacionen esos elementos con el número de comensales. Por ejemplo, la cantidad de pan, el número de platos necesarios, la cantidad de tiempo que se tarda en fregar todo lo ensuciado, el radio del perol según la cantidad de personas que van a comer, etc.

Describe al menos cuatro de esas relaciones e indica en cuál de ellas se trata de una relación funcional lineal y en cuáles no.

Retroalimentación

Escribe en tu cuaderno las cuatro relaciones indicando qué elemento depende del número de comensales y de qué forma. En algunos casos intenta escribir la expresión, si es posible. Por ejemplo, investiga cuánta cantidad de pan se necesita por comensal y construye con ello una función.

Comprueba lo aprendido

En la siguiente escena puedes ver una función lineal.

Si mueves el deslizador m representarás otra función lineal con distinta pendiente

Si mueves el punto P por la recta observarás que se verifica que el cociente entre la ordenada del punto y la abscisa es siempre el valor de la pendiente de la función lineal.

En particular, puedes observar que la pendiente es el valor que aumenta la y cuando la x aumenta una unidad.

Utiliza la ventana para poder contestar a la siguiente cuestión.

Como vimos en el tema anterior las gráficas de una función pueden ser (A) crecientes o (B) decrecientes, siempre que no sean constantes. En el caso de las funciones lineales esta característica depende del signo que tenga su constante de proporcionalidad. Rellena los huecos siguientes con A o B según corresponda:

pendiente m mayor que cero

Rellenar huecos (1): JXUwMDE5

pendiente m menor que cero

Rellenar huecos (2): JXUwMDFh

Habilitar JavaScript

En la función lineal se verifica que si m>0 entonces la función es creciente y si m<0 entonces es decreciente.

En la red

Tal como has visto en el applet de Geogebra que has manipulado antes, la pendiente en una función lineal es muy fácil de calcular. Basta tomar cualquier punto de la recta y dividir su segunda componente entre la primera. Como son variables directamente proporcionales, este cociente da siempre un valor fijo que es el valor de la pendiente.

Para practicar, puedes acceder a los ejercicios resueltos que aparecen en la página a la que te lleva el siguiente enlace Practica con ellos y copia en tu cuaderno cuatro ejemplos de los que aparecen, dos de función creciente y otros dos decrecientes.

Comprueba lo aprendido

Las siguientes imágenes son la gráfica de cuatro funciones lineales cuyas ecuaciones son las siguientes:

a)
b)
c)
d)

Coloca en cada casilla la letra que corresponde a la gráfica.

: Rellenar huecos (1): JXUwMDNh | : Rellenar huecos (2): JXUwMDNi
:  Rellenar huecos (3): JXUwMDM5 | :  Rellenar huecos (4): JXUwMDNj

Habilitar JavaScript

Tarea

Siempremolinicos. Autobús Urbano de Albacete (CC BY-SA)

¿Cuánto nos cuesta el autobús?

Como hemos comentado desde el principio del tema, las funciones lineales son relaciones muy corrientes en nuestra vida cotidiana. Queremos que investigues un caso en el que aparece la relación entre, el número de viajes que realizamos en autobús urbano al mes y el coste que nos suponen esos desplazamientos.

Para ello, debes enterarte de cuál es el valor del viaje en el autobús urbano de tu ciudad o lugar de referencia. Después tendrás que construir la función lineal que relaciona el número de viajes con el coste total por esos desplazamientos.

Escribe en tu cuaderno la expresión de esa función lineal, construye una tabla de valores y dibuja la gráfica que corresponde a esa función.

Retroalimentación

Si por casualidad en tu lugar de residencia no existiese el servicio de autobuses urbanos, investiga en una localidad cercana o en la capital de tu provincia.

Seguimos recto

Balaverde. Contador (CC BY-SA)

Si te paras a pensar, encontrarás multitud de situaciones en las que hay funciones lineales en tu entorno diario. Sin embargo, no siempre podemos encontrar este tipo de relación aunque se represente también mediante una línea recta. Por ejemplo, si en casa tienes contador de agua, al mirar la factura podrás encontrar que, aparte de la cantidad de agua que se ha gastado ese mes nos aparece una cantidad fija correspondiente al alquiler de los contadores y el servicio que se nos suministra. Por lo tanto, lo que hay que pagar ya no es directamente proporcional al gasto de agua. Esta misma situación se repite en muchos otros servicios del hogar, como en la luz o en el teléfono fijo.

Recuerda el ejemplo que pusimos en el apartado 1 de la compra del pan. Ya comentamos que cada pieza de pan valía 0,35 euros, por ello la función que relacionaba el número de piezas compradas con el gasto de la compra era . Pero imagínate que tienes que comprar muchas piezas, como para llevarlas en la mano, y se te ha olvidado llevar una bolsa de casa. Por tanto, tienes que comprar allí una bolsa, pues ya sabrás que desde hace tiempo ya no regalan las bolsas si no, que hay que comprarlas. Por la bolsa te piden 0.05 euros. En ese caso la función cambia y lo que debes pagar se convierte en , que está claro que ya no es una función de proporcionalidad directa.

La forma más fácil de verlo es tener en cuenta que; en este tipo de funciones, si hacemos 0 la variable independiente x, la variable dependiente ya no vale cero. En este caso, desde el momento en que pedimos la bolsa, ya le debemos a la panadera 5 céntimos, independientemente del número de piezas de pan que compremos.

Importante

Una función lineal a la que se le suma o resta una constante, que no depende de la variable, se convierte en una función afín; cuya expresión general es de la forma:

Toda función afín lleva asociada una gráfica que es una línea recta, pero que no pasa ya por el origen de coordenadas.

El coeficiente de la x (m) sigue siendo la pendiente de la recta.

Si en esa función hacemos x cero, el valor que le corresponde será n y, por tanto, la gráfica de la función pasará por el punto (0,n). Este punto es donde la gráfica de la función corta al eje vertical, por eso n recibe el nombre de ordenada en el origen.

En la siguiente escena puedes ver una función afín.

Si mueves los deslizadores m y n representarás otra función afín. Puedes observar que el término independiente de la expresión de la función siempre coincide con el valor del punto de corte con el eje vertical.

Si mueves los puntos P y Q por la recta observarás que se verifica que el cociente entre la diferencia entre las ordenadas del punto P y Q y la diferencia de las abscisas correspondientes es siempre el valor de la pendiente de la función lineal.

En particular, puedes observar que la pendiente es el valor que aumenta la y cuando la x aumenta una unidad.

Para saber más

Para practicar como hallar la expresión de la función afín a partir de su gráfica puedes trabajar con los ejemplos a los que accedes desde el siguiente enlace. 

Observa algunos ejemplos y copia en tu cuaderno el desarrollo de dos ejemplos de función afín crecientes y otras dos decrecientes.

Comprueba lo aprendido

Las gráficas que aparecen se corresponden con cuatro funciones afines. Cada una de ellas corresponde a una de las siguientes expresiones algebraicas.

a)
b)
c)
d)

Coloca en cada casilla la letra que corresponde a cada función.

: Rellenar huecos (1): JXUwMDM5      | : Rellenar huecos (2): JXUwMDNh     
:   Rellenar huecos (3): JXUwMDNi     | :  Rellenar huecos (4): JXUwMDNj

Habilitar JavaScript

Sin variación

José Muñoz. Carrusel.  

Hay situaciones cotidianas en las que también nos encontramos con funciones cuya representación es una línea recta, pero que son un caso particular de las funciones lineales o afines que hemos visto en los apartados anteriores. Te ponemos un ejemplo. Si eres aficionado a asistir a las fiestas y ferias tradicionales de tu población, seguramente te gustará montarte en las atracciones de feria que hayan traído para esa celebración. Si suponemos que todas las atracciones tienen el mismo coste, la función que te da lo que te gastas en función del número de atracciones que visitas es una función lineal. Sin embargo, si asistes a un parque temático, la entrada tiene precio único y con ella puedes montarte en todas las atracciones que quieras, por lo que la función que te da la relación anterior es una constante.

Algo parecido pasa con las líneas de teléfono. No es lo mismo tener un contrato en el que pagas por minutos hablado que una tarifa plana que pagas lo mismo al mes hayas hablado la cantidad de minutos que sea.

Sobre esos valores constantes vamos a tratar en este apartado. Antes de seguir es conveniente que vuelves al apartado anterior y manipules la ventana de Geogebra que tenías. ¿Qué ocurre con la gráfica de la función si la pendiente se hace cero?

Si tenemos una función afín en la que la pendiente se anula, habrás observado que la gráfica de la función se convierte en una línea horizontal, es decir, paralela al eje de abscisas. Cuando ocurre esto decimos que la función es constante ya que para todo valor que se le dé a la variable independiente x se obtiene siempre el mismo valor.

La función constante tiene la expresión:

Esa función tiene la característica de que para cualquier valor su correspondiente asociado es n. Por tanto, la gráfica está formada por todos los puntos cuya segunda componente es n.

Dentro de las líneas rectas hay una en particular que guarda cierto parecido con la función constante. Nos referimos a una línea recta que sea vertical, es decir, paralela al eje de ordenadas. Este tipo de líneas será bastante habitual en los próximos cursos que tengas de matemáticas.

Si te fijas en la figura, la recta que aparece representada tiene la característica de que todos sus puntos tienen como primera componente el valor x = 3, por ello se indica que su ecuación es precisamente x=3.

Sí debes tener siempre presente que esa línea no representa a una función, ya que en una función no puede haber más de un valor distinto para el mismo valor de la variable independiente.

Para ver si tienes clara la diferencia entre los cuatro tipos de gráficas representadas por líneas rectas, realiza la siguiente actividad.

Please install Java 1.4 (or later) to use this page.

Lo mismo de distinta manera

¡Hola!, ¿cómo va la unidad? Espero que todo te haya quedado muy claro hasta el momento. Aquí me tienes jugando a construir cosas que me salen de la imaginación utilizando siempre las mismas piezas. Yo he sido siempre muy aficionado a los juegos en los que los mismos elementos permiten construir cosas que, a simple vista, son distintas.

Y en este apartado vas a ver precisamente eso, formas distintas de expresar lo mismo. En concreto vamos a ver que existen muchas formas de expresar la ecuación de una recta que ya has visto que es la gráfica de una función lineal, afín o constante.

Pero antes de empezar con el trabajo queremos que te entretengas con un vídeo muy curioso. ¿Por casualidad conoces el cubo de Rubik? Es un entretenimiento muy adictivo y nada fácil en el que hay que colocar, girando, todas las caras del mismo color, quizás lo recuerdes. En este caso no es ese cubo el que vamos a ver, pero si vamos a partir de un cubo y, con los mismos elementos que lo forman, vas a ver multitud de figuras distintas que se pueden construir. Puedes acceder desde el siguiente enlace.

Distintas expresiones para la ecuación de una recta

Ya hemos visto que la expresión representa una función cuya gráfica es una línea recta. Esa ecuación, por lo tanto, representa la ecuación de una recta. Como veremos en este apartado, existen otras expresiones equivalentes. La expresión anterior recibe el nombre de forma explicita de la ecuación de la recta.

Conocemos ya varias formas de hallar esa ecuación. En particular, hemos visto que el método más simple puede aplicarse cuando conocemos la pendiente y la ordenada en el origen. En el caso de que conociéramos dos puntos por donde pasa, también hemos estudiado cómo hallar su pendiente. En concreto, si la recta pasa por los puntos y , la forma de hallar la pendiente es muy fácil; ya que basta dividir la variación que hay en la ordenada, al pasar de un punto a otro, entre la variación de la abscisa. Es decir, la pendiente sería:

Da lo mismo el orden en que se elijan los puntos, pero debe ser el mismo en los dos miembros de la fracción. En el siguiente ejercicio resuelto puedes ver cómo calcular la ecuación de la recta que pasa por dos puntos de diversas maneras.

Aprende a hacerlo

Halla la ecuación de la recta que pasa por los siguientes puntos:

a) (2,5), (0,1)

b) (-1,5), (3,1)

Retroalimentación

a) En el primer caso, los puntos que conocemos son (2,5) y (0,1). Como el segundo punto es el que pertenece al eje de ordenadas, su segunda componente es la ordenada en el origen. Por lo tanto, ya conocemos que n=1. Nos basta ahora hallar la pendiente para conocer la ecuación. Hallamos el cociente de las variaciones de sus componentes y obtenemos:

Por tanto, la ecuación de la recta es .

Ten presente que siempre puedes comprobar fácilmente que lo obtenido es lo correcto. Como esa ecuación debe ser la de una recta que pasa por los dos puntos anteriores, se debe verificar si yo sustituyo los dos puntos en esa expresión. Vamos a comprobarlo.

b) En este segundo caso vamos a ver que hay dos métodos para encontrar la ecuación de la recta.

Primer método: 

En primer lugar hallamos la pendiente de la recta, que será  . Por tanto, la ecuación que buscamos es  . Para encontrar la ordenada en el origen, basta con que sustituyamos cualquiera de los dos puntos en la ecuación y hallemos el valor buscado. Si sustituimos, por ejemplo, el segundo punto se verifica:

  de donde obtenemos 

Por tanto, la ecuación buscada es .

Para asegurarte de que es correcta, basta que sustituyas el otro punto y lo compruebes. que es cierto.

Segundo método:

Lo que hemos hecho para encontrar n lo podríamos haber hecho para hallar los dos parámetros. Basta sustituir los dos puntos en la ecuación y obtenemos el sistema siguiente:

    que se convierte en el sistema        y resolviéndolo se obtiene  .

Se obtiene la misma ecuación .

Sin embargo, si conocemos dos puntos de la recta podemos hallar la ecuación de una forma directa. Para ello vamos a utilizar la semejanza de triángulos.

Vamos a suponer que tenemos dos puntos de la recta que son conocidos, y . Además vamos a considerar un punto genérico que representará a todos los puntos de la recta.

Si te fijas en la imagen, verás que hay una razón de semejanza entre los cambios para pasar del punto A al B y los cambios para pasar del punto A al P. Imponiendo que existe una proporción entre esas cantidades, llegamos a la expresión siguiente:

Esta expresión de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos suele recibir el nombre de forma continua de la ecuación de la recta. Si operamos en esa expresión y despejamos la incógnita, llegamos a la forma explícita que hemos visto hasta el momento.

Aprende a hacerlo

Queremos encontrar la recta que pasa por los puntos A(4,-2) y B(1,2).

Halla primero la forma continua de la recta y, a partir de ella, la forma explícita.

Retroalimentación

Basta que sustituyamos en la expresión que hemos visto antes. .  Por tanto la forma continua es:

Ahora multiplicamos en cruz para quitar denominadores:     y operamos   .

Nos queda entonces, despejando el término en el que aparece la y:        y dividiendo por 3 queda     .

Comprueba ahora tú que esa ecuación y la otra son verdaderas sustituyendo los dos puntos y comprobando que queda una igualdad.

En la red

En el siguiente enlace puedes encontrar más ejemplos de cálculo de la expresión continua de una recta (para pasar a continuación a su forma explícita y hallar su pendiente y su ordenada en el origen).

Copia en tu cuaderno un ejemplo resuelto de función con pendiente positiva, otra negativa y uno de ecuación de una recta que no representa a una función.

En el ejercicio resuelto anterior habíamos llegado a una expresión de la forma . Si multiplicamos por 3 estábamos en la expresión .

Si en la expresión anterior, pasamos todos los sumandos al primer término, obtenemos una expresión equivalente a la primera que es . Como podemos ver es una expresión en la que todos los términos están mezclados en el primer miembro, es decir, no hay ninguna variable despejada como ocurría en la forma explícita.

Se llama forma implícita o general de la recta a una expresión de la forma: .

En la expresión anterior a, b y c son números cualesquiera.

En la red

Para practicar todas estas expresiones distintas de la ecuación de una recta, puedes ir al siguiente enlace. En él encontrarás ejercicios resueltos de tres tipos distintos:

Dado un punto y la pendiente se pide hallar la expresión general de la recta.

Dados dos puntos por donde pasa la recta, hallar su ecuación general.

Dada la ecuación general de una recta determinar su pendiente.

Copia en tu cuaderno al menos uno de cada tipo.

Tarea

¿Relacionamos?

Ahora vas a hacer matemáticas como si tu fueses el profesor. Vas a aplicar todo lo que aprendiste en la parte de álgebra para deducir lo siguiente: que relación existe entre la pendiente y la ordenada en el origen de la ecuación de una recta y las constantes a, b y c de su expresión general.

Es decir, debes partir de la expresión y, tras despejar el valor de y, escribir m y n en función de a, b y c.

Retroalimentación

No olvides escribir en tu cuaderno todos los razonamientos que haces en cada paso.

En el ejercicio resuelto que has trabajado antes, has visto cómo era posible encontrar la ecuación de una recta a partir de dos puntos: hallando primero la pendiente y después, con uno cualquiera de los puntos, encontrando el valor de la ordenada en el origen.

Pero en el caso de que tengamos un punto por donde pasa la gráfica de la función y la pendiente, hay una forma más rápida de encontrar otra expresión de la ecuación.

El razonamiento es muy parecido a lo que hemos visto anteriormente. Supongamos que tenemos un punto Q(a,b) y un punto genérico de la recta P(x,y) y además sabemos que la pendiente es m. Como ya has aprendido antes, teniendo dos puntos podemos sacar fácilmente la pendiente, luego con P y Q podemos hallar la pendiente que será:

Si en la expresión anterior despejamos, obtenemos dos expresiones equivalentes que se conocen como la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta.

Comprueba lo aprendido

Pregunta

En la imagen adjunta tienes una recta en la que conoces un punto por donde pasa y datos para hallar su pendiente. Indica cuáles de las siguientes expresiones pueden corresponder a la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta.

Respuestas

Opción 1

Opción 2

Opción 3

Opción 4

Opción 5

Retroalimentación

Solución

Correcto

Incorrecto

Incorrecto

Correcto

Incorrecto

El punto de encuentro

Muchas veces en nuestra vida tenemos que tomar decisiones. Debemos comparar elementos y escoger entre distintas opciones. Por ejemplo, en verano tenemos que elegir, si podemos, entre ir a veranear a la playa o a la montaña. Si salimos con los amigos de cena, tendremos que escoger entre ir a una hamburguesería, a una pizzería, o quizás a un chino... Y así en gran cantidad de situaciones. 

José Muñoz. Estación de metro.

A veces, esas comparaciones hay que hacerlas entre elementos que pueden relacionarse mediante una función. Te ponemos un ejemplo. Si en tu ciudad hay metro y tú lo coges de vez en cuando, quizás debes decidir entre sacar un billete individual cada vez que lo vayas a utilizar o sacar un abono de viajes o mensual. Como es lógico, dependerá del número de viajes que realices a la semana o al mes, pero el estudio para decidirlo se basa en funciones lineales y constantes.

En este último apartado vamos precisamente a aprender a relacionar unas funciones con otras.

Cuando dos rectas se encuentran o no

En la siguiente escena, tienes representadas dos rectas que pueden corresponder a dos funciones lineales o afines.

Manipula los deslizadores y podrás representar las gráficas de distintas funciones. En concreto, construye los siguientes pares de funciones y anota en tu cuaderno qué efecto tienen sobre las gráficas.

a)         b)         c)         d)         e)

Importante

Si tenemos dos líneas rectas en el plano que representan a funciones lineales, afines o constantes; podemos encontrar tres casos al comparar sus gráficas:

Las dos líneas se cortan en un punto, esto ocurre cuando las dos rectas tienen distinta pendiente.

Las dos líneas son paralelas. En este caso, las funciones tienen la misma pendiente pero distinta ordenada en el origen.

Las dos rectas coinciden, en cuyo caso las funciones tienen los mismos coeficientes, tanto para la pendiente como para la ordenada en el origen.

Hay veces en que el punto de corte de las dos funciones es fácil de observar al representar las dos gráficas. Así pasa en el apartado a) que has aplicado antes en el applet de Geogebra. Pero, otras veces, no es tan evidente; sobre todo cuando el punto de corte no tiene coordenadas enteras, como ocurre en el apartado b).

En estos casos, lo que debemos hacer es hallar el punto de corte por métodos algebraicos. La ventaja para ti es que es algo que ya has aprendido hace meses. Para saber cuál es el punto de corte, basta con que resuelvas el sistema formado por las dos ecuaciones que representan a cada función; algo que aprendiste en la Unidad 4 (cuando trabajaste los sistemas de ecuaciones).

Según la expresión que tengamos en las funciones, se puede utilizar uno u otro método de resolución. Si las funciones están en forma explícita, lo mejor es utilizar el método de igualación. Si están en forma implícita, el método más adecuado es el de reducción.

Ten presente siempre que la solución del sistema es un par de valores que verifican las dos ecuaciones a la vez.

Comprueba lo aprendido

Pregunta

El punto comun a las dos funciones siguientes es:

Respuestas

Opción 1

a)

Opción 2

b)

Opción 3

c)

Retroalimentación

Correcto. Muy bien.

Este punto pertenece a la gráfica de la primera función, pero no a la segunda, por lo que no es común a las dos.

Este punto no pertenece a ninguna de las gráficas de las dos funciones

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Pregunta

Las rectas, dadas por la ecuaciones implícitas , tienen como punto de corte.

Respuestas

Opción 1

a)

Opción 2

b)

Opción 3

c)

Retroalimentación

Este punto cumple la primera ecuación, pero no la segunda, luego no es solución del sistema.

Creo que te has confundido al despejar para hallar el valor de y. Repasa los cálculos.

Esta es la opción correcta. Enhorabuena.

Solución

Incorrecto (Retroalimentación)

Incorrecto (Retroalimentación)

Opción correcta (Retroalimentación)

Tarea

Bunsen burner (Dominio público)

En el mundo de la ciencia es muy corriente encontrar expresiones funcionales en casi cualquier situación. No sabemos si habrás visitado alguna vez un laboratorio de física o química y habrás hecho algún experimento, pero es corriente que la relación entre los productos que se manipulan y la energía que necesitamos para modificar esos elementos sean relaciones lineales. Vamos a trabajar con una de ellas en esta ocasión.

La energía térmica, o calorífica, de cada cuerpo depende del movimiento de sus partículas y podemos medirla a través de su temperatura. Si queremos modificar, aumentando, por ejemplo, esa energía térmica, necesitamos aplicar una cierta energía que depende de la cantidad de masa que estemos utilizando y de una constante llamada calor específico que depende del material con que esté hecho el cuerpo al que le queremos modificar su temperatura.

Supongamos que vamos a realizar un experimento. Tenemos dos varillas de 100 g cada una. La primera es de plomo y la segunda es de hierro. La varilla de plomo la tenemos a 20ºC y la de hierro a 50ºC y comenzamos a calentar ambas varillas. Queremos que ambas alcancen la misma temperatura.

Investiga cuál es el momento en que tienen la misma temperatura y cuánta energía hemos necesitado para llevar ambos materiales a la misma temperatura final.

Retroalimentación

Debes localizar la fórmula que te da la cantidad de energía necesaria para aumentar desde las temperaturas iniciales a una final, que queremos que sean la misma en ambas varillas. Debes encontrar también el valor del calor específico del hierro y del plomo.

Tarea

Tarea

José Muñoz. Correos

¿Cuánto cuesta enviar un telegrama?

Como hemos comentado a lo largo del tema, existen muchas situaciones  en las que aparecen las funciones lineales y afines. Quizás a simple vista no nos demos cuenta pero, en cuanto especificamos la relación que existe entre determinados elementos, enseguida nos aparece una expresión conocida.

En esta tarea vas a trabajar con una de esas situaciones. En concreto, vas a investigar el coste de enviar un telegrama.

Debes localizar en cualquier oficina de Correos (o a través de Internet) cuáles son los precios por enviar un telegrama.  Con ellos construirás una función en la que obtengas el coste de enviar un mensaje en función de su número de palabras.

Como te aparecerá una función afín, lo primero que debes hacer es una representación gráfica aproximada.

Escribe ahora un mensaje que quieras enviar a algún amigo o familiar con el que no puedes conectar por teléfono, y calcula cuánto te costaría enviarlo. A la hora de redactar el mensaje ten presente que debe ser escueto pero entendible por quien lo reciba.

Por último, si el telegrama nos va a costar 25 €, indica cuál podría ser su extensión.

Realiza una Hoja de cálculo con Google Docs en la que des a conocer los frutos de tu investigación, además de la gráfica de la función que te ha resultado. Incluye en la hoja: el texto que has decidido para tu telegrama y el coste que tendrá el mismo.

Comparte la hoja con tus compañero. Comentadla en el aula.

Retroalimentación

Recuerda reflejar también en tu cuaderno los cálculos que has necesitado para dar cada una de las respuestas.

Tarea

Joaomartinho63. Teatro da Ópera (CC BY-SA)

En las ciudades y pueblos de nuestro país existen multitud de ofertas culturales. Dependiendo de lo grande que sea la ciudad puede haber más o menos espectáculos y algunos especiales que no se pueden representar en ciudades pequeñas, porque necesitan mucho público que sea aficionado a esa manifestación cultural concreta.

Hoy nos vamos a referir a una de ellas: la ópera. No sabemos si has visto alguna vez una ópera, pero sí sabrás que en las grandes ciudades suele haber teatros especiales dedicados a ellas y temporadas en la que se programa toda una serie de espectáculos de este tipo.

Vamos a imaginar que eres un forofo de este tipo de representación y que quieres estudiar qué es lo que más te conviene a la hora de sacar entradas.

Para ello debes estudiar, en algún teatro en el que se programen óperas, cuánto vale el abono para toda la temporada anual de espectáculos y cuánto vale, por término medio, asistir a cada una de las representaciones. Construye con esa información dos funciones; una lineal y otra constante; y representa en los mismos ejes las dos funciones.

Deduce, por los medios que creas más adecuados, cuál sería el número mínimo de representaciones operísticas a las que deberías asistir para que te resulte más rentable conseguir un abono para toda la temporada.

Elabora una presentación oral, apoyándote con documentación, en la que expliques a tus compañeros  el fruto de tus investigaciones. 

Retroalimentación

Incluye en el cuaderno los cálculos necesarios e indica también cómo has conseguido la información necesaria para realizar la tarea.

Ampliación

En la red

Algunos enlaces que te recomendamos para profundizar en los contenidos de la unidad son:

| Repasa y practica los contenidos del tema. Encontrarás una serie de ejercicios para practicar con todos los tipos de funciones cuyas gráficas son rectas.
| Aplica lo aprendido para resolver un problema. En este caso, estudiarás las variaciones que nos encontramos en las relaciones con una escalera.
| Encuentra funciones a partir de patrones. A partir de construir figuras ampliando el número de piezas que las componen, deberás extraer la relación que hay entre el orden de la figura y el número de piezas que la forman.
| Realiza en siguiente test de funciones. Comprueba tus conocimientos.
Enlace a web | Compara dos funciones y elige la mejor opción. A partir de dos cuentas de ahorros, debes elegir cuál te resultara más rentable.

Tarea

Tarea

José Muñoz. Móviles. 

Unos de los elementos más cotidianos hoy en día son los teléfonos móviles. Hay pocas familias en la que no haya varios teléfonos. Incluso hay personas que manejan distintos teléfonos móviles, personales o de la empresa en que trabajan. Seguramente, tú y/o algún miembro de tu familia dispongáis de móvil.

Las compañías de teléfono están constantemente presentando nuevas ofertas y modelos para atraer a nuevos clientes. Si vamos a adquirir un nuevo teléfono o cambiar de compañía, es importante hacer un estudio de qué oferta se adapta más a nuestras necesidades y cuál nos resulta más ventajosa.

En esta tarea queremos que hagas un estudio de este tipo.

Debes escoger tres compañías y comparar las ofertas que plantean. Para ello, vamos a seleccionar una misma opción en las tres compañías.

Aunque hay muchas compañías en las que ya te ofrecen tarifas planas (cuyo coste no varía en función del tiempo que hables), en este caso vamos a investigar la opción en la que te cobran según lo que has hablado. Debes elegir una de las ofertas en las que te indiquen cuál es el establecimiento de llamada y cuánto te cobran por minuto hablado. De esa forma, podrás construir una función afín que te indique: cuánto te costará la llamada en función del tiempo que este hablando.

Para estudiar cuál de las compañías tiene una oferta más ventajosa, representa en el mismo sistema de ejes las tres funciones y calcula algebraicamente los puntos de corte de las funciones. A partir de esa información, tienes que deducir cuándo conviene más una compañía u otra.

Realiza una presentación de diapositivas en la que expliques: las compañías que has elegido, las ofertas que has recogido, las funciones afines obtenidas a partir de ellas y el estudio completo para deducir cuál compañía tiene la mejor oferta.

Retroalimentación

Para subir la presentación a Internet puedes utilizar Slideshare. Una vez subida, coloca un enlace en el blog de aula con las dos etiquetas correspondientes, la tuya de usuario (recuerda mreal para Mariano Real) y tárifas.

Refuerzo

En la red

Algunos enlaces que te recomendamos para repasar los contenidos de la unidad son:

Funciones lineales. Repasa los conceptos de funciones lineales y practica con los ejercicios que se incluyen.

Función afín. Repasa y practica con los ejercicios de funciones afines.

Repaso de funciones lineales y afines. Comprueba lo que has aprendido en los siguientes juegos. Repasa el apartado correspondiente a 3º de ESO.

Ejercicios sobre funciones lineales. En esta actividad debes hallar la relación entre la cuerda que das a un juguete y la distancia que recorre. Hay varias fases en las que utilizas uno o varios juguetes para relacionarlos.

Estudia la relación entre dos funciones. Ahora tenemos un estudio comparativo entre dos tarifas de móviles. Con la ayuda de una ventana de Geogebra, podrás estudiar cuando interesa más una opción y cuando otra.

Enlace a web
Construye funciones a partir de patrones. Puedes seleccionar diversas representaciones y estudiar la expresión que da el número de elementos que la forman a partir de la figura correspondiente.

Tarea

Tarea

José Muñoz. Factura.

La factura de la luz

Hoy en día es corriente que en todos los hogares haya una gran dependencia de la electricidad. Casi toda nuestra vida hogareña depende de ella. La necesitamos en todos los electrodomésticos, que nos permiten tener una vida más reposada. La lavadora, el televisor, el frigorífico, el lavavajillas, el microondas, la cocina eléctrica, y muchos más para combatir las inclemencias del tiempo, o para dejar la ropa presentable, etc..

Como es evidente, todo ese gasto de electricidad, que solemos usar casi sin ser conscientes que estamos utilizando, hay que abonarlo a la empresa que nos surte de ese ya imprescindible servicio.

En esta tarea, queremos que trabajes sobre la factura de la luz que recibís en tu casa.

En la factura de la luz existe mucha información, pero nosotros nos vamos a dedicar exclusivamente a la parte correspondiente a la facturación. Aunque en ese apartado aparecen muchos conceptos; ya que hay varios impuestos así como el coste de alquiler de los equipos que tenemos en casa, nosotros nos vamos a dedicar exclusivamente a dos aspectos: la potencia contratada y el consumo de electricidad. Sobre la suma de estos dos aspectos es sobre los que se aplican los otros conceptos, que aquí no vamos a tener en cuenta.

La potencia contratada es una estimación de la potencia que vais a necesitar como máximo. Es una cantidad fija que no varía de un mes para otro. Esta cantidad se mide en kilovatios. Por su parte, el consumo de electricidad es la medida exacta, sobre el contador, de los kilovatios-hora consumidos durante el tiempo que cubre la factura.

Con la factura que tengas en casa, vas a construir una función afín en la que se sume el término de potencia (que será una cantidad fija todos los meses dependiendo de la potencia contratada) y el coste del consumo, en el que tendrás que considerar en función de los kWh consumidos (que será la variable independiente x) cuando tendrías que abonar por ese coste. En la factura aparece el término de potencia y a cuánto hay que pagar el kilovatio-hora.

Habrás obtenido una función afín sobre la que queremos que nos contestes a distintas preguntas:

¿Qué representa la pendiente de esa función?

¿Y la ordenada en el origen?

Representa gráficamente la función de forma aproximada.

Si hubiésemos gastado 342 kWh, ¿cuánto tendríamos que haber pagado por esos dos conceptos?

Si hemos tenido que pagar 65 € por esos dos conceptos, ¿cuántos kWh hemos consumido?

Con toda esta información, haz una presentación en la que indiques: la empresa con qué tenéis contratado el servicio, la potencia que tenéis contratada y cuánto os cuesta  el kW contratado y el consumido. Escribe la función que se solicita, indicando los cálculos que has necesitado para hallarla y contesta a las preguntas anteriores.

Retroalimentación

Puedes subir la presentación a Slideshare. Coloca en el blog de aula un enlace a dicha presentación con la etiqueta electricidad y la que corresponde a tu usuario usual.

Cuestionarios

Cuestionarios

Realiza los siguientes cuestionarios

Preguntas .odt (Ventana nueva)

Preguntas .pdf (Ventana nueva)

Licencia de Creative Commons
Matemáticas 3º E.S.O. CeDeC.

- Ficha técnica y descarga -

Ficha técnica

Título

En la línea recta

Materia

Matemáticas

Nivel educativo

3º ESO

Contenidos

Función lineal. Constante de proporcionalidad. Relación entre funciones.

Descargar el archivo original de eXeLearning

Este recurso tiene licencia CC BY-SA, por lo se puede utilizar, descargar, modificar y adaptar sin ningún problema, siempre que se reconozca la autoría del mismo y, en caso de modificarlo y publicar una nueva versión, se licencie con la misma licencia CC BY-SA. 

Para reconocer la autoría de recurso se puede utilizar el siguiente texto:

Este material es una adaptación del recurso original "En la línea recta" del Proyecto EDIA de Cedec.

A continuación ofrecemos el archivo fuente (recurso original) para realizar las modificaciones necesarias con eXeLearning, herramienta de autor gratuita y disponible para cualquier sistema operativo.

Descargar el fichero .elp

Créditos

Proyecto EDIA. En la línea recta. Cedec

Autores: Mariano Real Pérez, Arturo Mandly, Manso José Muñoz Santoja

- Opina sobre el recurso -

Ayúdanos a mejorar este recurso contestando al cuestionario de opinión sobre REA del proyecto EDIA. Muchas gracias por tu colaboración.

Obra publicada con Licencia Creative Commons Reconocimiento Compartir igual 4.0