En
artículos relacionados con la lectura y la escritura
hemos apuntado las distintas pautas, estrategias, principios
en que se basan los correctos programas de aprendizaje de
las destrezas instrumentales. Es momento en este artículo,
al igual que hemos hecho con los anteriores, de analizar cuáles
son los fundamentos de un adecuado programa de enseñanza
de las matemáticas teniendo en cuenta las grandes dificultades
que entrañan para muchos niños (no hay que olvidar
las estadísticas de los resultados académicos)
y la importancia que el actual Sistema Educativo le otorga
a las Matemáticas como materia fundamental junto a
la Lengua.
El
artículo pretende dar a conocer, de forma básica,
los principios de un programa de enseñanza de
las Matemáticas basados en el hecho de que cuanta
más información tenga la familia más
podrá colaborar en el proceso educativo de los
hijos. Por tanto, no se trata de que las familias apliquen
un programa de enseñanza ni sustituyan a los
maestros, más bien que colaboren estrechamente
con la escuela conociendo mejor la actuación
docente. |
La
estructura de este artículo se basa en analizar el
significado de las matemáticas como materia de conocimiento
y su aportación a la formación de la persona.
Después intentamos explicar cuál es el proceso
que sigue el individuo en la construcción del conocimiento
matemático para terminar enumerando los objetivos,
fases por las que pasa, finalidad y principios que debe contar
un adecuado programa de enseñanza de las matemáticas.
En primer lugar debemos saber que las MATEMÁTICAS
son un conjunto de conocimientos en evolución con la
necesidad de resolver problemas prácticos. Su evolución
no sólo se ha producido por acumulación de conocimientos
o de campos de aplicación. Los propios conjuntos matemáticos
han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo,
ampliándolo, precisándolo o revisándolo.
Como disciplina científica, las matemáticas
tienen una ESTRUCTURA INTERNA que relaciona
y organiza sus diferentes partes, en la que destaca una componente
vertical, la que fundamenta unos conceptos en otros,
que impone una determinada secuencia temporal en el aprendizaje.
El carácter distintivo del conocimiento matemático
proviene de su gran poder como instrumento de comunicación
conciso y sin ambigüedades. Por otro lado, existe una
gran relación entre las diferentes partes del edificio
matemático de tal modo que diversas estrategias o procedimientos
generales pueden utilizarse en campos distintos y con propósitos
diferentes.
La APORTACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS
a la formación integral de la persona consiste en el
desarrollo de la capacidad de pensamiento y de reflexión
lógica y en la adquisición de un conjunto de
instrumentos para explorar la realidad, representarla, explicarla
y predecirla, en suma, para actuar en y sobre ella. De forma
más detallada veamos en qué consiste esta aportación:
Enriquecen y ayudan a utilizar un lenguaje más concreto
y conciso y progresivamente más abstracto.
Son un
poderoso instrumento de comunicación mediante el cual
es posible representar, explicar y predecir la realidad de
forma rigurosa, precisa y sin ambigüedades.
Desarrollan
el razonamiento lógico y matemático, la sensibilidad
estética y la creatividad, proporcionan y desencadenan
procesos que permiten desarrollar capacidades de carácter
general, el razonamiento deductivo e inductivo.
Educan
la percepción espacial, y estimulan la creatividad
al usar y combinar conceptos conocidos para generar otros.
Proporcionan
o desencadenan procesos que permiten desarrollar capacidades
de carácter general, ayudando a comprender y solucionar
problemas cuantitativos.
· Potenciar la memorización comprensiva y la
interiorización de procedimientos y técnicas
matemáticas no por la repetición, sino por la
comprensión significativa.
Proporciona
herramientas de aplicación a situaciones no sólo
escolares, sino también extraescolares.
De manera más sintética podemos decir que el
área de Matemáticas desempeña una labor
fundamental en el tratamiento educativo en las primeras etapas
educativas porque se entiende que su contribución es
decisiva para potenciar en el individuo las
siguientes capacidades:
Perseverancia, orden y rigor en el pensamiento.
Exploración
activa de lo que le rodea.
Búsqueda
de estrategias propias de resolución de problemas.
Sensibilidad
estética.ð Capacidad de análisis,
reflexión, conceptualización.
Procesos
de autonomía.
Imaginación,
creatividad, fantasía.
Curiosidad
e interés por lo que le rodea. |
Por
último, en relación con la aportación
de las Matemáticas, cabría apuntar el valor
funcional que poseen como conjunto de procedimientos:
- Para resolver problemas en muy diferentes campos.
- Para poner de relieve aspectos y relaciones de la realidad
no directamente observables.
- Para permitir anticipar y predecir hechos, situaciones o
resultados antes de que se produzcan o se observen empíricamente.
Por todo lo anterior está justificada una adecuada
CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO
basada en un correcto programa de aprendizaje de las matemáticas
fundamentado en unos objetivos, fases, principios, etc. que
más adelante veremos. Pero ahora es momento para plantearnos
una serie de preguntas de interés cuyas respuestas
nos pueden ayudar a entender mejor los periodos por los que
pasa todo niño en su conocimiento matemático.
¿Cómo construye un niño la matemática?,
¿de qué forma se inicia en el mundo de los números?
Para responder a estas preguntas, PIAGET (dentro del marco
de la psicología cognitiva) considera que el desarrollo
de la inteligencia de los niños es una adaptación
del individuo al mundo que lo rodea. Nos viene a decir que
el proceso comienza con una forma de pensar (estructura) propia
de un nivel de desarrollo madurativo. Después debemos
saber que algunos cambios externos crean conflicto y desequilibrio.
El niño (como toda persona) intenta compensar esa confusión
y resuelve el conflicto mediante su propia actividad intelectual.
Y ¿saben?, de todo esto resulta una forma distinta
de pensar y estructurar las cosas, en definitiva, un nuevo
estado de equilibrio.
Todos sabemos que la inteligencia se desarrolla a través
de un proceso de maduración y aprendizaje. De acuerdo
con PIAGET, la inteligencia se desarrolla en cada persona
a través de determinados estadios que son parte de
un proceso continuo, en el cual una característica
del pensamiento infantil se cambia gradualmente en un tiempo
determinado y se integra en formas mejores de pensamiento.
No es momento de recordar los distintos estadios psicoevolutivos
por los que según PIAGET pasa el individuo; tan solo
citamos el estadio sensoriomotor (de 0 a 2 años), el
periodo preoperacional (de 2 a 7 años), el periodo
operacional concreto (de 7 a 11-12 años) y el estadio
de operaciones formales (de 11-12 a 14-15 años).
De todo lo anterior y según los principios en que se
basa todo programa de enseñanza de las matemáticas,
hay que saber que el proceso de construcción
del conocimiento matemático debe estar fundamentado
en la actividad real de los niños, para lo cual es
imprescindible conocer, en cada edad, su manera característica
de razonamiento y los tipos de tareas que los individuos pueden
hacer. De ahí la necesaria preparación en psicología
evolutiva del docente. Siguiendo los distintos estadios de
desarrollo cognitivo planteados anteriormente y sabiendo que
las edades cronológicas son orientativas, pues es el
orden de sucesión de estadios lo que permanece invariante,
podemos afirmar lo siguiente (COLLIS, 1980 de acuerdo con
los trabajos de PIAGET):
En
el estadio temprano de operaciones concretas (7
a 9 años), los niños son capaces
de trabajar con operaciones simples sobre elementos
concretos. Ambos, elementos y operaciones, deben estar
relacionados con objetos físicos y con operaciones
realizables experimentalmente. |
Por
ejemplo, en este nivel las cuatro operaciones de la
aritmética elemental son significativas cuando
se las utiliza por separado con números pequeños
dentro de la experiencia del niño. Los niños
no tienen aún capacidad para construir un sistema
matemático en cuanto tal, pero ya comienzan
a preparar sus cimientos en forma de estructuras elementales
concretas. |
 |
El
estadio final de operaciones concretas (10 a 12 años)
se caracteriza por la capacidad del niño para trabajar
con cierto número de operaciones en secuencia si los
números con pequeños, y con números grandes
si forman parte de operaciones simples. En conclusión,
el niño comienza a desarrollar sistemas matemáticos
simples y representa un nivel de desarrollo en el que ya puede
comenzar a usar las matemáticas como tales. Empieza
a desarrollar una estructura concreta de experiencias que
puede ir construyéndose año tras año
para formar un sistema lógico concreto.
En
el estadio de generalización concreta (13 a 15 años),
los niños pueden usar un cierto número de operaciones,
no asequibles físicamente. Pueden utilizar elementos
generalizados (cifras grandes y letras en sustitución
de números) Así, el chico es capaz de desarrollar
una estructura matemática compleja en la medida en
que tenga un fundamento concreto.
Por último, en el estadio de operaciones formales
(16 años en adelante), el alumno no tiene necesidad
de relacionar elementos, operaciones o la combinación
de ellos con modelos análogos físicos, y puede
tomar como realidad un sistema abstracto bien determinado
con sus definiciones, relaciones y reglas. Se enfrenta con
variables en cuanto tales, porque puede evitar sacar la conclusión
final hasta haber considerado las diversas posibilidades.
El niño está preparado para trabajar con el
sistema formal abstracto que, para el matemático, constituye
la esencia de las matemáticas.
Los PRINCIPALES OBJETIVOS que se persiguen
en la ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
se concretan en dos:
1.
Desarrollar la capacidad de los escolares para la
realización de las operaciones aritméticas
y el uso inteligente de los números.
2. Desarrollar la aptitud para aplicar eficazmente
los conocimientos aritméticos en situaciones
de la vida real (lo que llamamos en educación
contenidos funcionales). |
Estos
dos objetivos se traducen en DOS FASES
claramente diferenciadas en todo programa de enseñanza
de aritmética: |
|
La fase puramente matemática: donde el maestro se plantea
objetivos como la comprensión inicial del número
y de las relaciones del sistema numeral; el conocimiento de
los hechos numéricos básicos de las cuatro operaciones
fundamentales y de sus relaciones; comprensión del
significado de las diferentes operaciones; destreza en cálculo,
etc.
La fase social con objetivos como alcanzar destreza en el
uso de medidas y artificios de medida; aptitud para leer e
interpretar datos cuantitativos en tablas, cartas, gráficos,
mapas, etc.
En casa deben saber que en función del nivel educativo
en que se encuentre el niño, estará en una fase
o en otra y por tanto podrá presentar unos problemas
u otros porque estos problemas están asociados al tipo
de actividad que se pretende. Por ejemplo, un niño
puede saber calcular muy bien en la operación que sea
(fase matemática) y sin embargo presentar dificultades
para la resolución de problemas relacionados con la
vida cotidiana (fase social).
Por tanto, la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas
se caracteriza porque ha de tener como FINALIDAD:
el establecimiento de destrezas cognitivas de
carácter general, que puedan ser utilizadas
en casos particulares.
su aplicación funcional, facilitando que los
alumnos apliquen los conocimientos matemáticos
fuera del ámbito escolar.
su valor instrumental, creciente a medida que el alumno
progresa hacia tramos superiores de la educación. |
Para
una información más completa, los padres deben
conocer los PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA ENSEÑANZA
DE LAS MATEMÁTICAS que son el comienzo para
alcanzar los objetivos propuestos a través de las fases
enumeradas. Estos principios son los siguientes:
1.
El programa será funcional, previendo la aplicación
de las destrezas matemáticas en una amplia
gama de situaciones sociales de tal forma que despierte
en los niños un genuino interés por
la materia y el deseo de dominar las operaciones numéricas.
2. El significado matemático de las operaciones
deberá ser claro para los niños, de
modo que éstos lleguen a comprender los procesos
mecánicos que han de dominar y se esfuercen
en ello.
3. El descubrimiento por el niño de hecho,
significados, generalizaciones y relaciones a través
de un proceso empírico que implica primero
la manipulación de objetos concretos, después
el análisis de las distintas fases de las operaciones,
visualmente representadas en diagramas e ilustraciones
de toda índole y, finalmente, el estudio de
los procedimientos abstractos, tal como vienen explicados
en los textos, conduce a la comprensión de
las operaciones y, por consiguiente, facilita su retención.
4. El aprendizaje aritmético es un proceso
de crecimiento gradual que requiere adecuada dirección
y guía. Cada etapa del aprendizaje debe ir
precedida por la aplicación de pruebas para
determinar la preparación del niño para
el nuevo trabajo. La organización y graduación
del programa tendrá en cuenta diferencias de
ritmo entre los individuos.
5. El diagnóstico es un elemento esencial en
la enseñanza de la aritmética y su aplicación
continua en el curso del aprendizaje, permitirá
al maestro descubrir y corregir, en el momento oportuno,
las dificultades de los alumnos.
6. Debe darse al niño la oportunidad de enriquecer
y ampliar significados mediante actividades interesantes,
vitales, realistas y variadas. La práctica
sistemática de las operaciones aritméticas
es necesaria para asegurar la eficiencia operativa,
pero este entrenamiento debe ir precedido de la comprensión
de los pasos del proceso y del significado de la operación. |
BIBLIOGRAFÍA RELACIONADA CON EL TEMA:
BRIALES, F.J. y JIMÉNEZ, M.: “Matemática
viva. Biblioteca de recursos didácticos” ALHAMBRA.
Madrid, 1988.
CALABRIA GARCIA, M.: “Juegos matemáticos.
El Mochuelo Pensativo” AKAL. Madrid, 1990.
CHAMORRO, CARMEN: “El aprendizaje significativo
en el área de las Matemáticas” ALHAMBRA
LONGMAN. Madrid, 1991.
DE GUZMÁN, M.: “Para pensar mejor”
LABOR. Barcelona, 1991.
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