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Aperitivo.

El applet Cuerpos ofrece al autor de páginas Web un botón de configuración a través del cual podrá modificar las configuraciones existentes y crear otras nuevas. Mediante un simple proceso de cortar y pegar, podrá incluir las nuevas configuraciones en sus páginas web.

Ventana de configuración con el selector de herramientas abierto.

El selector que aparece arriba a la derecha de la ventana de configuración ofrece varias herramientas para configurar cómodamente los parámetros del applet. Las herramientas son: TITULO, PARAMETROS, AUXILIARES, FUNCIONES, VARIABLES, T, V, RESULTADOS, ESPACIO, OBJETOS y CALCULOS.

Documentación técnica.

Para explicar las herramientas utilizaremos como ejemplo una configuración de Cuerpos que representa el péndulo simple.

TITULO

El TITULO es una cadena corta que describe el contenido de la aplicación. Debe escribirse en una sola línea.

PARAMETROS

Los PARAMETROS de declaran uno en cada línea asignándoles su valor inicial y, tras un ; se escribe su explicación. Por ejemplo, en el caso del péndulo:
g=9.81; aceleración de la gravedad
L=1.8; longitud de la barra anaranjada
m=1; masa de la bola roja
declara dos parámetros m y L con valores 1.5 y 3, respectivamente.

Ventana de configuración de parámetros con su ayuda.

AUXILIARES
Los AUXILIARES son expresiones que sirven para abreviar la escritura de otras expresiones. Un ejemplo útil es:
R=raíz(x^2+^2)
Los AUXILIARES pueden depender de los PARAMETROS, las VARIABLES, las FUNCIONES y de otros AUXILIARES.

FUNCIONES
Las FUNCIONES se definen con x como variable. Se pueden evaluar con cualquier argumento. Por ejemplo si definimos:
F=x*sen(x)
entonces F(x^3) es lo mismo que x^3*sen(x^3). Las funciones se pueden evaluar en cualquier argumento que dependa de los PARAMETROS, las VARIABLES, los AUXILIARES y otras FUNCIONES.

VARIABLES
Las VARIABLES se declaran una en cada línea, por ejemplo, en el caso del péndulo:
a=pi/8 a.=0; ángulo de la barra con respecto a la vertical
asignando al nombre de una variable su valor, luego se asigna al nombre de la variable seguida de un punto, la rapidez de cambio y finalmente, tras un ; una explicación.

T
T es la energía cinética. Deben escribirse los coeficientes que tiene como expresión cuadrática en las razones de cambio de las variables. El título de la ventana de ayuda de esta herramienta muestra la expresión cuadrática en términos de las variables definidas. El autor debe llenar los valores de T(i,j) cuidadosamente. Es aquí donde reside la parte más sutil e importante de las ecuaciones movimiento. En el caso del péndulo solo hay una variable, a, y la expresión de T es

T=T(1,1)*a.*a.

El único término que hay que llenar es T(1,1) y su valor es:
T(1,1)=m*L^2/2

Cuando hay una sola variable, digamos x, y ésta representa la posición de un cuerpo de masa m entonces

T=T(1,1)*x.*x.

y T(1,1)=m/2

Esta es la situación más frecuente en las aplicaciones elementales.

Para realizar aplicaciones avanzadas con coordenadas generalizadas, o sea con variables que no son coordenadas cartesianas de posición, se recomienda repasar Las Ecuaciones de Lagrange. y mirar los ejemplos del péndulo compuesto y el llamado cosa rara.

Las T(i,j) deben escribirse en términos de las VARIABLES y los PARAMETROS. Se pueden usar AUXILIARES y FUNCIONES siempre y cuando estén definidas en términos de VARIABLES y PARAMETROS.

V
V es la energía potencial. La energía potencial contiene las fuerzas que actúan sobre el sistema (F=-dV/dx). Debe escribirse como una expresión en términos de las VARIABLES y los PARAMETROS. Se pueden usar AUXILIARES y FUNCIONES siempre y cuando estén definidas en términos de VARIABLES y PARAMETROS.

En el caso del péndulo

V=m*g*L*(1-cos(a))

RESULTADOS
Son expresiones cuyo valor interesa consultar durante el movimiento. Se escribe una por línea, asignando al nombre una expresión que debe depender sólo de VARIABLES y PARAMETROS y tras un ; se puede agregar una explicación. En el caso del péndulo se han puesto estos resultados:

tiempo=t; el tiempo transcurrido
Ec=T ; Energía cinética
Ep=V ; Energía potencial
E=T+V ; Energía total

ESPACIO
Hay que escribir siempre sólo estas tres líneas:
escala=32
Ox=0
Oy=0
Los valores pueden ser otros.
escala es el número de pixeles que ocupa una unidad.
Ox y Oy son las coordenadas (en pixeles) del origen respecto al centro del dibujo.

OBJETOS
Los OBJETOS se dibujan en la ventana principal del applet Cuerpos para representar las componentes de algún sistema mecánico. Hay 9 tipos de OBJETOS:
círculo
barra
bloque
muelle
flecha
segmento
triángulo
curva
arco
Cada objeto se define en una línea que comienza con el tipo del objeto, un espacio y el nombre que se le da. Luego, tras un ; deben aparecer los parámetros que lo definen.

En el caso del péndulo la configuración de OBJETOS es:

barra barra; color=naranja largo=L ancho=0.02 X=0 Y=L/2 A=a-pi/2
círculo bola; color=rojo radio=0.1 X=barra.xf Y=barra.yf

Todos los objetos tienen en común cuatro parámetros: el color, fijo , X e Y. El significado de color es evidente y hay estos nombres para los colores:

blanco, grisClaro, gris, grisObscuro, negro, rojo, verde, azul, amarillo, naranja, turquesa, magenta y rosa.

También se pueden escribir los colores con expresiones hexadecimales como 4488aa que representan las cantidades de rojo, verde y azul que el color contiene, desde 00 hasta ff.

fijo es igual a false por defecto. Por razones de eficiencia conviene escribir fijo=true cuando un objeto no se va a mover nunca.

X e Y son las coordenadas de algún punto específico del objeto, por lo cual su significado de aclarará para cada tipo.

A continuación se da una lista con el significado de X e Y en cada tipo y los parámetros adicionales que definen a sus objetos:

tipo | parámetros | significado
círculo | X,Y radio | coordenadas del centro el radio
barra | X,Y largo ancho A | coordenadas del extremo inicial la longitud el grueso el ángulo respecto a la horizontal
bloque | X,Y ancho alto A | coordenadas del centro la anchura la altura el ángulo respecto a la horizontal
muelle | X,Y Xf,Yf ciclos ancho | coordenadas de un extremo coordenadas del otro extremo número de vueltas (16 por defecto) diámetro del muelle
flecha | X,Y Xf,Yf ancho | coordenadas de la base coordenadas de la punta ancho de la flecha
segmento | X,Y Xf,Yf | coordenadas de un extremo coordenadas del otro extremo
triángulo | X,Y Xm,Ym Xf,Yf | coordenadas del primer vértice coordenadas del segundo vértice coordenadas del tercer vértice
curva | param u.i u.f u.N X,Y | nombre del parámetro (se supone u) valor inicial de param valor final de param número de particiones de param (50 por defecto) expresiones paramétricas de la curva
arco | X,Y A dA radio | coordenadas del "centro" ángulo inicial ángulo comprendido por el arco el "radio"

Todos lo ángulos se expresan en radianes.

Algunos objetos tiene resultados que son números que se calculan internamente y pueden ser utilizados en la definición de otros objetos como se explica más adelante. He aquí una tabla de los resultados de los objetos:

tipo | resultado | significado
barra | xf,yf | coordenadas del extremo final
muelle | e | la elongación (valor absoluto)
flecha | L | la longitud de la flecha
segmento | L | la longitud del segmento

Los parámetros de los objetos pueden expresarse en términos de los PARAMETROS, las VARIABLES, los AUXILIARES y las FUNCIONES. También se pueden utilizar para definirlos los parámetros y los resultados de otros objetos o del mismo objeto. En este caso, para referirse por ejemplo al parámetro Xf de un muelle, es necesario precederlo del nombre del muelle y un punto. Si el muelle se llama r entonces r.Xf es la expresión a utilizar, aún si se desea utilizar para definir otro parámetro del mismo muelle r.

En el ejemplo del péndulo la posición de la bola se define utilizando resultados de la barra:

círculo bola; color=rojo radio=0.1 X=barra.xf Y=barra.yf

CALCULOS
Aquí sólo hay que escribir estas dos líneas:
método=RungeKutta
precisión=30
El método puede tomar sólo estos tres valores:
Euler, LeapFrog o RungeKutta.
Se trata de los diversos métodos numéricos que se emplean en la solución de las ecuaciones de movimiento. El autor debe probar cual de los método le conviene más. En general LeapFrog es mejor en ordenadores lentos pues se puede usar con poca precisión y compensa los errores a la larga. RungeKutta es más preciso pero también es más lento. El método de Euler es tan rápido como el LeapFrog pero tiende a dar errores que hacen ganar energía al sistema, en realidad se incluye solo por razones históricas.

La precisión es el número de cálculos que se realizan cada 60 milésimas de segundo (aprox). Si la precisión es muy alta la simulación puede ser muy lenta. Si la precisión es baja, puede haber errores numéricos considerables.

En el caso del péndulo la configuración de CALCULOS es:

método=LeapFrog
precisión=20

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