1 Objetivos educativos que se pretenden
El nippe Superficies pretende servir a los profesores de matemáticas de todos los niveles educativos para crear lecciones interactivas para sus alumnos sobre geometría en tres dimensiones y funciones de varias variables y ofrecerlas a otros profesores y a otros alumnos a través de internet.
Como no se trata de un producto final sino de una herramienta, los objetivos educativos serán diferentes para cada aplicación. En los ejemplos que se presentan en la Web mencionada en la sección 2, y que no representan más que una pequeña muestra de lo que se puede hacer con la herramienta, se explican los objetivos educativos específicos de cada ejemplo.
Al profesor de matemáticas se le propone crear nuevas aplicaciones, es decir, escribir páginas web sobre geometría de superficies en tres dimensiones explicando sus lecciones e insertar en ellas algunas configuraciones del nippe (Superficies) para ilustrar el contenido de esas lecciones con presentaciones interactivas de las superficies.
En los ejemplos que se presentan en el capítulo 6 se proponen actividades específicas a los alumnos que les llevarán a comprender mejor algunos temas de la geometría tridimensional.
3 Aspectos curriculares en los que se incide
El área a la que está dirigida el nippe Superficies es la de
Matemáticas.
La etapa educativa a la que el programa está dirigido es a la
Enseñanza Secundaria.
Más específicamente, al Segundo ciclo (3º de ESO y 4º de ESO) y al
Bachillerato (1º y 2º).
El applet Superficies ofrece al autor de páginas Web una cuadro de diálogo de configuración (ver Figura 2) al que se accede haciendo un clic derecho en la página Web con el cursor de ratón sobre el área ocupada por el applet. También se puede abrir esta ventana si se da un doble clic sobre el applet, y en este caso además la rotación se detiene y la superficie se coloca en su posición inicial, lo cual resulta más cómodo si se desea modificar las superficies. Mediante un simple proceso de cortar y pegar, podrá incluir las nuevas configuraciones en sus páginas Web.
La Figura 3 muestra la ventana que se abre cuando se pulsa el botón applet de la ventana de configuración de Superficies. El texto que se ve es el código HTML que debe ponerse en una página Web para colocar en ella un applet Superficies con la presente configuración . Por lo tanto, para incluir el applet en una página Web basta marcar el texto, copiar (por ejemplo con Ctrl-C) y pegarlo dentro del código HTML de la página Web en el lugar donde se desee colocarlo.
Figura 3.
El resto de esta sección se dedicará a explicar cómo crear una configuración específica para después utilizar el procedimiento explicado en el párrafo anterior para incluirla en una página Web.
A la izquierda de la ventana de configuración aparece la lista de superficies. Los nombres que aparecen en la lista son nombres que el creador de la configuración dio a las superficies, son nombres arbitrarios, aunque en general conviene dar nombres que ayudan a distinguir la superficie por su nombre. Al hacer un clic sobre un elemento de la lista se actualizan todos los controles del panel mostrando los valores de los parámetros y las ecuaciones que definen a la superficie seleccionada. Un doble clic sobre un elemento de la lista produce el mismo efecto que el botón RENOMBRAR que e explica abajo.
Abajo de la lista hay tres botones: RENOMBRAR, AGREGAR y ELIMINAR.
Este botón (lo mismo que un doble clic en la lista) abre una pequeña ventana que permite cambiar el nombre de la superficie (ver Figura 4).
Figura 4
Si el nombre elegido ya existe en la lista el programa no realiza el cambio. Se sugiere siempre utilizar nombres descriptivos.
El botón agregar abre una pequeña ventana de diálogo (Ver Figura 5) que pide al usuario elegir el tipo de superficie y dar nombre a la nueva superficie.
Figura 5.
Los tipos posibles son:
Polígono
Paralelepípedo
Cono
Cilindro
Tetraedro
Cubo
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
Esfera
Elipsoide
Paramétrica
Una vez elegido el tipo hay que dar un nombre a la nueva superficie que no esté ya en la lista pues de otra manera al aceptar el programa dará un sonido de error y no creará la nueva superficie.
Figura 6. Tres superficies sobrepuestas.
Si el nombre es correcto (es decir, no vacío y diferente a los que hay en la lista) entonces se crea una superficie del tipo elegido y aparece el nuevo elemento en la lista. La nueva superficie se sobrepone a las ya existentes pudiendo producirse imágenes como la de la Figura 6. Eliminando las otras superficies se puede aislar la nueva superficie para que aparezca sola si eso es lo que se desea, o bien modificando sus dimensiones (ancho, largo y alto) (y sus ecuaciones si es de tipo "paramétrica" y modificando su orientación (rx,ry,rz) y su posición (px,py,pz), se puede colocar exactamente cómo y donde se desee.
En la Figura 6 se pueden apreciar la limitaciones del algoritmo para ocultar superficies que es rápido pero imperfecto.
Figura 7.
Un clic sobre el botón eliminar hace desaparecer inmediatamente la superficie seleccionada, a menos que sea la última que hay en la lista. El programa no permite que la lista de superficies quede vacía por lo que si se desea tener una sola superficie es necesario agregar primero y luego eliminar la anterior (ver Figuras 6, 7 y 8).
Figura 8.
Cada superficie se puede orientar como el autor desee, para ello debe dar valores a
rx, ry y rz usando los controles provistos. Estos valores se expresan en grados y son rotaciones alrededor de los ejes x, y y z respectivamente. Cabe aclarar que el eje x apunta hacia el observador, el eje y a la derecha y el eje z hacia arriba, siguiendo una convención tan común como arbitraria. Las rotaciones se realizan en el orden x-y-z, es decir, primero la rotación de rx grados alrededor del eje x, después la de ry grados alrededor del eje y y finalmente la de rz grados alrededor del eje z.La posición inicial se expresa en unidades que, cuando la escala es 1 corresponden aproximadamente a la tercera parte del ancho del applet (en realidad la unidad cuando la escala es 1 es igual a la sexta parte de la suma del ancho y el alto del applet). Los números px, py y pz representan desplazamientos en las direcciones de los ejes correspondientes realizados después de las rotaciones rx, ry y rz.
Figura 9.
Las Figuras 9 y 10 representan un paralelepípedo primero en la posición que tiene al crearse y después en la que adquiere con rx=0, ry=30, rz=45, px=0, py=0, pz=0.5.
Figura 10.
Bajo los controles de posición y orientación hay un área de texto donde aparecen n las ecuaciones que definen a las superficies y, en el caso de las superficies paramétricas, esta área de texto es editable y el usuario puede modificar las ecuaciones a su antojo. En el caso del polígono, el paralelepípedo y los poliedros regulares (Tetraedro, Cubo, Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro), no aparecen ecuaciones que los definan. Por lo tanto esta zona es útil sólo cuando la superficie es de tipo "Paramétrica ", que por otro lado se trata precisamente del tipo más flexible y de mayor interés matemático.
Las ecuaciones que definen una superficie paramétrica tienen 2 constantes y 8 variables reservadas. Las constantes son
pi=3.14159... (el número pi, por supuesto) y e=2.7182818... (la base de los logaritmos neperianos). Las variables reservadas son:u, v, x, y, z, ancho, largo
y altoLas primeras dos
u y v son los parámetros y ambas recorren el intervalo [0,1] para generar la superficie. Las variables x, y, z son las coordenadas del vector que genera la superficie cuando u y v recorren el intervalo [0,1] . x, y, z deben expresarse como funciones de las dos variables u y v . Finalmente ancho, largo y alto son tres variables que el usuario puede determinar usando los controles que aparecen bajo el área de texto de las ecuaciones. Estas variables se utilizan en las definiciones de las diversas superficies predefinidas, incluyendo los poliedros regulares, pero también pueden utilizarse como parámetros en las ecuaciones de cualquier superficie.Las ecuaciones que representan una superficie paramétrica deben definir
x, y y z como funciones u y v, y para ello pueden utilizar las los parámetros ancho, largo y alto y tantas variables auxiliares como se desee, para lo cual basta definirlas inmediatamente antes de las ecuaciones. Cada ecuación debe definirse en una línea diferente y es importante tomar en cuenta que en el momento de la evaluación, cuando las superficies se calculan, las variables se van evaluando en el orden en que fueron definidas, y al final se evalúan las coordenadas x, y y z.Por ejemplo, la superficie de la Figura 11:
Figura 11. Un paraboloide hiperbólico
Se genera con las ecuaciones (y el resto de la configuración) que aparecen en la Figura 12.
Figura 12. Ecuaciones del paraboloide hiperbólico.
Figura 13. Una banda de Moebius.
Obsérvese la rotación de 30 grados alrededor del eje z que se realiza debido al valor rz=30 que aparece en la configuración.
Las Figuras 13 y 14 muestran un ejemplo más elaborado, una banda de Moebius, en donde se ha utilizado el parámetro
ancho y además se han definido dos variables auxiliares teta y r.
Figura 14 Ecuaciones de la banda de Moebius.
9 DIMENSIONES (ancho, largo y alto).
Las variables
ancho, largo y alto representan, por convención, las "dimensiones" de la superficie. Estas variables se utilizan en las definiciones de las superficies predefinidas, más o menos con el significado indicado por sus nombres. Por ejemplo en el paralelepípedo representan precisamente el ancho, largo y alto del mismo, en el elipsoide representan el tamaño de sus tres ejes, los poliedros regulares son los poliedros inscritos en la esfera de radio ancho/2, etc...La Figura 15 muestra un paralelepípedo y un elipsoide con la mismas dimensiones:
Figura 15. Paralelepípedo y elipsoide con las mismas "dimensiones".
En la configuración de la Figura 15 se ha elegido la opción sólo aristas para el paralelepípedo con el objeto de que ambas superficies puedan observarse claramente.
Quizás la aplicación más común de nippe Superficies sea la representación de gráficas de funciones de dos variables. Para representar la gráfica de una función de dos variables basta usar las ecuaciones paramétricas:
x=2*u-1
y=2*v-1
z=f(x,y)
.Donde
f es cualquier función de x e y. Esto se hizo en el ejemplo del paraboloide hiperbólico (Figuras 11 y 12) y se hace en los ejemplos de la sección 6.2 sobre gráficas de funciones de dos variables. Tales ecuaciones definen una superficie para x en el intervalo [-1,1] e y también en el intervalo [-1,1]. Si se desea obtener la gráfica de f para x en [a,b] e y en [c,d] se pueden utilizar las siguientes parametrizaciones de x e y:x=a+(b-a)*u
y=c+(d-c)*v
Frecuentemente resulta conveniente también utilizar parametrizaciones para representar variables auxiliares como ángulos. Por ejemplo, para definir el elipsoide de la Figura 15 se utilizan las ecuaciones paramétricas:
U=pi*u
V=2*pi*v
x=(ancho/2)*sen(U)*cos(V)
y=(largo/2)*sen(U)*sin(V)
z=(alto/2)*cos(U)
donde
U y V representan los ángulos cenital y azimutal y recorren los intervalos [0,pi] y [0,2*pi] respectivamente cuando u y v recorren el intervalo [0,1].
El nippe Superficies realiza las representaciones paramétricas de superficies calculando un número finito de sus puntos, como no podría ser de otra manera, e interpolando linealmente los valores en los intervalos definidos por esos puntos. La representación es más fiel cuando se utilizan muchos puntos, los cálculos necesarios para la representación pueden resultar excesivamente lentos si se utilizan demasiados puntos.
Superficies divide [0,1] en:
Nu
intervalos iguales para dar valores a u y enNv
intervalos iguales para dar valores a v.El valor mínimo de Nu y Nv es 1 y el valor máximo permitido en ambos casos es de 128, pero una representación con 128x128=16384 puntos puede tardar casi un minuto en realizarse, además de que requiere de grandes cantidades de memoria RAM para almacenar la información de la superficie, con lo cual en ordenadores de no mucha memoria puede llegar a agotarse la memoria disponible, así que... ¡no hay que abusar de la precisión!
El autor, al crear una superficie paramétrica, debe buscar un equilibrio entre la calidad de la representación y la rapidez de los cálculos. Si se desea que la superficie gire con agilidad es necesario renunciar a una representación muy fina, en cambio cuando se quiere una imagen estática, por ejemplo para copiarla e incluirla en una ilustración, se puede uno dar el lujo de realizar una representación más fina. Las Figuras 16 y 17 muestran el elipsoide de la figura 15 con poca y mucha precisión.
Figura 16.
Nu=8, Nv=16
Figura 17. Nu=32, Nv=6
La primera configuración permite que el elipsoide gire ágilmente mientras que con la segunda es sufren largas esperas entre una posición y la siguiente.
Esta opción que se activa y desactiva con un simple clic hace que la superficie se presente sólo dibujando sus aristas en color gris. Es la opción utilizada para el paralelepípedo que aparece en las Figuras 15, 16 y 17. Es de utilidad especialmente en los paralelepípedos para usarlos como marcos de referencia para otras superficies, como las mismas Figuras 15, 16 y 17 muestran.
Nota. A veces parte de los marcos no se ven debido a que el algoritmo para eliminar superficies oculta que se utiliza en el programa es rápido pero imperfecto.
12 COLORES. (anverso y reverso)
Cada superficie tiene dos lados o caras que llamamos anverso y reverso. A cada superficie se le puede asignar un color para su anverso y uno para su reverso, lo cual se hace con el cuadro de diálogo que se abre al pulsar los botones correspondientes. (ver Figura 18).
Figura 18. Cuadro de diálogo para elegir colores.
El color se puede elegir por nombre de los elementos que aparecen en el selector de colores o determinando su contenido de rojo verde y azul moviendo las barras de desplazamiento. Los campos de texto indican la cantidad de rojo verde y azul expresada en sistema hexadecimal con valores entre
00 y ff (0 y 255).El anverso es el lado positivo (según la regla de la mano derecha) recorriendo la superficie con los valores
(u,v) en el orden (0,0)->(1,0)->(1,1)->(0,1)->(0,0). (El reverso es el otro lado, por supuesto.) Las superficies cerradas como la esfera, el elipsoide y los poliedros regulares sólo muestran una de sus caras y por convención ésta debe ser el anverso, pero para ello es necesario elegir correctamente la ecuaciones paramétricas pues bien puede acabar viéndose el reverso en lugar del anverso.
Figura 19. Anverso del toroide
La Figura 19 muestra una superficie cerrada (un toro o superficie toroidal) con anverso verde y reverso rojo. La Figura 20. Muestra las ecuaciones paramétricas correspondientes con la que resulta que la superficie exterior y visible es precisamente el anverso.
Figura 20. Ecuaciones para la Figura 19.
Figura 21. Reverso del toroide
En cambio las Figuras 21 y 22 muestran la misma superficie toroidal y sus ecuaciones paramétricas en las que se ha invertido el papel de u y v con lo cual se logra que la superficie exterior o visible sea el reverso.
Figura 22. Ecuaciones para la Figura 21.