Algunos problemas clásicos

Problema de Galileo


El Príncipe de Toscana, muy aficionado al juego de los dados, preguntó a Galileo (1564- 1642) por qué al tirar tres dados y sumar sus resultados era más frecuente obtener 10 puntos que 9, a pesar de que en ambos casos hay seis formas distintas de obtener dichas sumas:


10 = 6+3+1 = 6+2+2 = 5+4+1= 5+3+2 = 4+2+2 = 4+3+3
9= 6+2+1 = 5+3+1 = 5+2+2 = 4+4+1 = 4+3+2 = 3+3+3.

Para resolver el problema Galileo construyó la siguiente tabla:

Si lanzamos sólo dos dados podemos visualizar los resultados posibles en la siguiente animación o con el siguiente diagrama de árbol:

 

Problema del Caballero de Meré

 En 1654, Antoine Gombauld, conocido como Caballero de Méré planteó al matemático Blaise Pascal (1623- 1662) el problema de cómo repartir la apuesta realizada en un juego de azar cuando éste se ve interrumpido por algún motivo y, en ese momento, uno de los jugadores lleva ventaja sobre el otro. Más concretamente:
Dos jugadores depositan cada uno una apuesta de 32 pistolas (moneda francesa del siglo XVII), lanzan repetidamente una moneda, el primero gana si sale cara y el segundo si sale cruz. Han decidido que el primero que gane seis veces (consecutivas o no) se llevará el total de la apuesta. En un momento dado han salido (en cualquier orden) cinco caras y tres cruces y el juego debe ser interrumpido. ¿Cómo deben repartirse la apuesta?

A lo largo de la historia se fueron buscando distintas soluciones a este problema. Muchas de ellas fueron incorrectas, porque se basaban en los puntos acumulados que los jugadores tenían cuando se interrumpe el juego. Por ejemplo, Luca Pacioli propone en este caso que el primero debería tomar los 5/8 de la apuesta y el segundo los 3/8 restantes. El siguiente diagrama de árbol nos va a convencer de que ésta no es la respuesta correcta.

Si contabilizas los casos en los que gana el primer jugador se corresponden con 7/8 de los casos frente a 1/8 del segundo, en consecuencia la apuesta debe repartirse en la proporción 7 a 1.

Problema de los cumpleaños

Otro problema clásico, es el llamado de los cumpleaños: Se trata de calcular qué probabilidad existe de que en un grupo de personas dos de ellas o más hayan nacido el mismo día del año. ¿Qué probabilidad crees tú que existe, si el grupo está formado por 23 personas?
Otro probabilidad similar que nos podemos plantear es la siguiente: si elegimos un alumno de la clase al azar, ¿qué probabilidad existe de que otro de la clase haya nacido el mismo día?

Primero vamos a intentar resolver el problema en un caso más sencillo, nos vamos a plantear la probabilidad del suceso , consistente en que entre cuatro personas haya dos o más que que hayan nacido en la misma estación, suponiendo que es igual de probable nacer en una cualquiera de ellas. Curiosamente este problema es difícil de resolver de una manera directa y, sin embargo, es más fácil resolver su contrario, , es decir calcular la probabilidad de que entre cuatro personas elegidas al azar, no haya dos que hayan nacido en la misma estación. En el siguiente diagrama de árbol aparecen representadas todos los casos en los que se verifica el suceso . Observa que este árbol tiene
4·3·2·1=24 ramas.

Con paciencia podrías realizar un diagrama de árbol que contuviera todos las formas posibles de distribuir los cuatro nacimientos en las cuatro estaciones. Si piensas un poco este árbol tendría 4·4·4·4=256 ramas.

En consecuencia y .

De forma similar podrías resolver el problema general del cumpleaños. En este caso si el número de personas es n, y denotamos por el suceso consistente en que dos de ellas, o más, hayan nacido el mismo día, tenemos que:

.

En el caso de que n=23, ayudándote de tu ordenador, puedes comprobar tú que y .

Pendiente: Urna de Polya

Sentencia y probabilidad