1.- Objetivos educativos de la unidad
Esta unidad ha sido diseñada para introducir a los alumnos de las Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales del Bachillerato de Humanidades y Ciencias Sociales en el estudio de la Probabilidad.
El objetivo fundamental es familiarizar al alumno con los conceptos básicos del cálculo de probabilidades, identificando e interpretando el espacio muestral, los sucesos asociados y la asignación de probabilidades, en situaciones experimentales y en aquéllas en las que existe equiprobabilidad. Se ha incidido especialmente en las técnicas de recuento, y en la utilización de distintos diagramas, de árbol, de Venn y de tablas de contingencia. Se han incluido, además, actividades encaminadas a ayudarles a diferenciar la probabilidad condicionada y la de la intersección y a identificar las situaciones en las que debe aplicarse el Teorema de la Probabilidad Total o la Fórmula de Bayes.
Las animaciones elaboradas con Macromedia Flash y que se incluyen pretenden ser una herramienta para el profesor y el alumno.
• Para el profesor, en el sentido de que le permiten visualizar de una forma más atractiva conceptos básicos para introducir al alumno en una parte de la materia que en algunas ocasiones rechaza inicialmente. En la medida de lo posible, en las animaciones se han utilizado ejemplos de experimentos aleatorios relacionados con los juegos de azar, ya que al alumno normalmente le resultan más próximos y más sencillos de modelizar.
• Para el alumno, que puede utilizar la interactividad de las escenas para adquirir los conceptos necesarios de una manera más intuitiva.
El profesor no va a encontrar en esta unidad un desarrollo completo de todos los aspectos teóricos, sino un complemento a sus explicaciones y un material de apoyo que puede utilizar en el aula de Informática.
2.- Aspectos curriculares
Los contenidos se corresponden con el temario de las Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de 2º de Bachillerato y son:
• Vocabulario relacionado con la probabilidad y los juegos de azar en la Web.
• Breve historia de la Probabilidad.
• Algunos problemas clásicos: Problema de Galileo, Problema del Caballero de Meré, Problema de los cumpleaños y Urna de Polya.

• Inecuaciones y Sistemas de inecuaciones.
• Experimentos aleatorios. Espacio muestral y sucesos.
• Asignación de probabilidades con la Regla de Laplace.
• Relación entre probabilidad y frecuencia.
• Definición axiomática de probabilidad.
• Probabilidad condicionada. Dependencia e independencia de sucesos.
• Teorema de la Probabilidad Total y Fórmula de Bayes.
• Tipos de Diagramas: de árbol, de Venn y tablas de contingencia.
3.- Actividades propuestas
Los contenidos señalados anteriormente se han distribuido en distintas prácticas a las que se accede a través de los enlaces “Búsquedas en la red”, “Un poco de historia”, “4 problemas clásicos”, “Probabilidad fuera del aula”, y “Actividades para el alumno”.
• Búsquedas en la red: Contiene preguntas y respuestas sobre términos relacionados con distintos juegos y sobre el origen de algunas palabras relacionadas con la probabilidad. Es una propuesta de actividad que los alumnos pueden realizar utilizando la red.
• Un poco de historia y 4 problemas clásicos: En estos apartados se pretende que el alumno conozca los problemas concretos que han motivado el desarrollo de esta parte de las Matemáticas; así como la estrecha relación que existe entre su desarrollo y el de algunos problemas relacionados con el juego, como el clásico juego de los dados, el problema del Reparto de apuestas, etc. Asimismo, recoge información sobre detalles y anécdotas que pueden utilizarse en la introducción del tema.
• Probabilidad fuera del aula: Incluye comentarios sobre equívocos y errores frecuentes en la apreciación de probabilidades que se cometen en la vida diaria.
• Actividades para el alumno: A través de este enlace se accede a los contenidos más curriculares, a la unidad propiamente dicha. Los materiales están agrupados en distintos apartados, numerados del 1 al 9. Cada uno de ellos contiene tres partes bien diferenciadas. Una introducción al contenido, y dos subapartados (a los que se accede a través de dos botones situados en la parte inferior derecha de la página) denominados Lecturas y Actividades. En Lecturas aparecen contenidos para completar y profundizar y en Actividades ejercicios para reforzar lo aprendido. Es importante que el alumno lea el apartado Lecturas antes de realizar las Actividades. Así mismo, se ha incluido una colección de ejercicios de Selectividad para ayudar a revisar y sintetizar lo aprendido.

4.- Experimentación
La unidad, con un formato ligeramente diferente, ha sido experimentada durante dos cursos consecutivos con alumnos de segundo de Bachillerato de Ciencias Sociales. Además, parte de los materiales han sido utilizados este curso con alumnos de 4º ESO, de la Opción A.
Asimismo, algunas de las animaciones sirvieron como punto de partida para iniciar unas sesiones de debate en un curso, organizado por el CFIE de Cuéllar (Segovia), sobre Didáctica de la probabilidad.
A continuación describimos algunos detalles de las experiencias:
• Organización del aula y materiales:
Hemos utilizado una de las dos aulas de Informática del centro que dispone de 11 ordenadores. El aula está bien dotada, conectada en red y la instalación de la unidad y el desarrollo material de la misma no ha supuesto ningún problema. De hecho, este aula se utiliza con frecuencia para realizar actividades con Descartes. Los alumnos han trabajado en grupos de dos.
Además del material usual (libro, fotocopias, etc.) se ha utilizado la unidad. Cada grupo de alumnos disponía de una copia impresa de los ejercicios propuestos en la unidad, que iban resolviendo después de observar los contenidos.
• Tiempo utilizado:
2º Bachillerato
El grupo de alumnos acudió al aula de Informática durante cuatro sesiones. Tanto en el aula de clase como en la de Informática usamos en alguna ocasión un cañón y un ordenador portátil. El tiempo total de desarrollo de la unidad y de realización de una prueba escrita fue de tres semanas. La actividad de Búsquedas en la red y el lanzamiento de tabas y dados de Rol las realizaron los alumnos en sus casas o por las tardes en el Aula de Informática, que permaneció abierta algunas tardes para ello.
4º de ESO.- Opción A
Este grupo, era muy poco numeroso, por lo que fue posible que todas las sesiones dedicadas a este tema se pudieran realizar en el aula de Informática. Se alternaron las habituales explicaciones en la pizarra, con actividades como lanzamiento de dados o tabas y con el uso de algunas de las animaciones. El tiempo total fue de dos semanas,
• Descripción del desarrollo:
Aula de Informática:
La primera dificultad con la que nos encontramos la conoce cualquier profesor que haya acudido al Aula de Informática a realizar una práctica. Los alumnos piensan que van a “jugar”, realizan las prácticas superficialmente y de manera desordenada y están convencidos de que lo que se explica en este aula no es materia de examen. El problema ha sido especialmente importante con los alumnos de 4º, a los que había que controlar de cerca mientras realizaban las prácticas.
El hecho de disponer de los ejercicios en fotocopias que los alumnos iban rellenando ha permitido controlar el trabajo de cada grupo en todo momento y les ha obligado a trabajar con más seriedad. Los alumnos de Bachillerato que durante su primer curso acudieron con frecuencia al Aula de Informática para utilizar Hoja de Cálculo y el programa Derive han realizado las prácticas con más atención.
Se detectó cierta dificultad por parte de los alumnos para seguir las prácticas en el orden adecuado, por lo que he numerado los apartados. También, resultó necesario utilizar el cañón para mostrarles, al comienzo de cada sesión, qué actividades tenían que realizar, y en qué forma debían usarlas.
Aula de clase:
El material se utilizó como apoyo a la clase normal, con las habituales explicaciones teóricas y la resolución en la pizarra de algunos ejercicios para que los alumnos observaran un desarrollo más pormenorizado.
• Resultados y valoración:
Al finalizar la experiencia se realizó una prueba similar a la de cursos anteriores. Comparando los resultados con los de otros años y grupos similares el balance es bueno, hemos avanzado más rápido y los alumnos se sentían más seguros y con conceptos mejor asentados. Evidentemente ésta es una valoración personal.
Pienso que este tipo de prácticas deben de alternarse con las clases normales. No se trata tanto de desarrollar la unidad completa y de forma continua con el ordenador, sino, en mi opinión, alternar los dos tipos de actividades, esto es, el profesor introduce los conceptos básicos en el aula de clase, acude más tarde al aula de Informática y luego, de vuelta al aula normal, se sintetizan los resultados.
La valoración global de los alumnos es positiva, la actividad les ha resultado amena y diferente y, por lo tanto, ha captado su atención. Este hecho me parece relevante, ya que buena parte de los alumnos del Bachillerato de Ciencias Sociales y, especialmente los de la opción A de 4º, tienen dificultades y se encuentran desmotivados en Matemáticas. Curiosamente, además, el tema de Probabilidad es un tema que inicialmente les desconcierta y que con cierta frecuencia rechazan.
Hay dos actividades que quisiera resaltar, el lanzamiento de tabas, dados y otros objetos como los llamados gogos con una la puesta en común de los resultados (disponíamos de una colección de tabas cuyos resultados no eran homogéneos, lo que lo hizo más interesante) y las búsquedas en la red les han resultado atractivas por la novedad que suponían.
En cuanto a las sesiones con el grupo de profesores de Cuéllar, resultó positivo valorar conjuntamente las distintas formas de abordar este tema, con la ya clásica discusión sobre la disyuntiva entre combinatoria o diagramas de árbol y la reflexión sobre el por qué muchos profesores de Secundaria prefieren no impartir los temas de Estadística y Probabilidad.

5.- Materiales utilizados para la elaboración de la unidad
Como material de base para seleccionar los contenidos, he utilizado los libros de esta materia de J. Colera, Mª J. Oliveira y S. Fernández publicados por la Editorial Anaya y el “Curso práctico de Matemáticas.- COU II” de F. González y J. Villanova del antiguo sistema educativo, publicado por la Editorial Edunsa.
La colección de ejercicios de selectividad, y muchos otros más, puede encontrarse en la página: http://www.profes.net/ de la Editorial SM.
Así mismo, para elaborar la pequeña introducción histórica he utilizado distintos libros y ponencias, que figuran a continuación. Personalmente, recomiendo a los profesores interesados en el tema la lectura de alguno de ellos, especialmente el de Maistrov.
Bibliografía
• Campbell, S.K. (1993) Equívocos y falacias en la interpretación de estadísticas. Limusa, México.
• Colera, J. García, R. y Oliveira, M.J. “Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II”, Anaya Educación, Madrid.
• Feller, W. (1973) Introducción a la Teoría de Probabilidades y sus aplicaciones, Vol. 1.- Limusa Wiley, México
? Franco Rodríguez y otros (2003) “La teoría de los juegos de azar en el siglo XVIII. La participación del matemático francés Francoise Nicole”.- Ponencia presentada en el II Congreso Internacional de Historia de la Estadística y la Probabilidad de España, Actas del Congreso
• García Secades, M. (2002) “Los primeros Cálculos Probabilísticos”. Ponencia presentada en el X Congreso de la Asociación Española de Profesores Universitarios de Matemáticas para la Economía y la Empresa
• González, F. y Villanova, J.(1990) “Curso práctico de Matemáticas COU II”, Edunsa.
• Hacking, I. (1995) La domesticación del azar. Ed. Gedisa, Barcelona
Mora Charles, M. (1989) Los inicios de la teoría de la probabilidad.- Siglos XVI y XVII Servicio editorial de la Universidad del País Vasco, Bilbao
• Rohatgi, V.K. (1976) An Introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics. John Wiley and Sons, New York
• Vega Amaya, O. (2002) “Surgimiento de la Teoría de la Probabilidad” Apuntes de Historia de las matemáticas VOL 1, Nº 1, Universidad de Sonora, México