Ministerio de Educación

GeoGebra en la

Educación Primaria

Instituto de Tecnologías Educativas

2011

► Inicio

► Guía del alumno

Contenidos

En esta página se presenta la estructura de estos materiales. Es muy recomendable leerla con atención.

También es altamente recomendable crear una carpeta específica fácil de encontrar en el disco duro, donde ir guardando todos los trabajos.

Los contenidos matemáticos de los ejemplos de construcción varían mucho en cada caso, pero se pueden considerar aproximadamente ajustados a conceptos y procedimientos matemáticos que habitualmente aparecen en los dos últimos años de Educación Primaria (con alumnos de edades entre 9 y 12 años). No obstante, se debe tener en cuenta que en la mayoría de los casos el grado de dificultad no descansa tanto en la comprensión y uso de la construcción como en el tipo de preguntas que se formulen a partir de ella.

Los materiales

El diseño de los distintos módulos es eminentemente práctico, con abundantes ejemplos en los que adquirir distintos métodos de uso y aplicación de construcciones realizadas con GeoGebra. Sin embargo, el conocimiento de esos métodos sólo es el medio instrumental para un objetivo más general: conocer las nuevas posibilidades que nos ofrece GeoGebra como recurso didáctico en las clases de Matemáticas.

Estructura de los contenidos

Los contenidos se distribuyen en tres bloques: Inicio | Ayuda | Módulos. Se puede

acceder directamente a cada uno de ellos, desde cualquier página, mediante los enlaces presentes en el encabezado.

Inicio. Consta de la Portada, esta sección, una presentación de GeoGebra y el índice de los Módulos.

Ayuda. Aquí se puede encontrar información detallada sobre cada una de las herramientas, menús, operaciones, comandos... de GeoGebra.

Aconsejamos vivamente navegar un poco por ella para familiarizarse con su clasificación por apartados. La ayuda está pensada como un recurso teórico y técnico de gran utilidad para adquirir rápidamente una información concreta sobre cualquier aspecto de GeoGebra. Especialmente recomendable resulta la visita a la sección FAQ (respuestas a preguntas frecuentes) de esa ayuda.

Módulos. Forman la parte central de los contenidos. Una serie de varios capítulos que exploran distintas posibilidades de GeoGebra como ayuda en el aprendizaje y enseñanza de las matemáticas. Usaremos una

metodología de aprendizaje a través de la práctica. Propondremos ejemplos para su análisis detallado. También mostraremos modelos ya desarrollados y propondremos líneas de investigación sobre cada uno. En estos materiales podemos encontrar más de 140 ejemplos de

construcciones, de muy diversa naturaleza, realizadas con GeoGebra.

Si algún modelo de las páginas web ocupa demasiada

altura para verlo completo, podemos pulsar F11 para

dedicar toda la pantalla del navegador al applet.

Navegación

Las distintas secciones de cada uno de estos bloques formarán los menús de la parte izquierda de la pantalla. Por ejemplo, en este primer bloque de Inicio, en esa parte izquierda aparece la sección actual, Guía del alumno, y enlaces a las otras tres secciones, Portada, Presentación y Módulos.

Se puede acceder a cualquiera de los distintos Módulos desde cualquier página, al disponer cada uno de ellos de enlace propio en el encabezado. Dentro de cada Módulo, en el menú de la parte izquierda aparecerán las diferentes sesiones que lo componen.

Los contenidos presentes en los bloques de Inicio y Módulos poseen además botones de navegación (

Retroceso y Avance

). Para evitar saltos inadvertidos entre distintos

tipos de contenidos, en el bloque de Ayuda se han excluido tales botones. El bloque de Ayuda se abre en una nueva ventana.

PDF

Pulsando en el icono

, presente en todas las páginas, podemos abrir en una nueva

ventana una copia del contenido del módulo o de la página en formato PDF.

Estructura y contenido de las sesiones

Cada módulo consta de varias sesiones con diversas actividades. En ellas encontraremos modelos que nos servirán para proponer cuestiones acerca de los métodos a emplear y los posibles usos. En cualquier caso, mostraremos el modelo ya concluido y susceptible de ser incluido en nuestras clases.

Por ejemplo, una sesión puede constar de:

• Objetivos que nos proponemos al plantearla.

• Uso de herramientas u otras funcionalidades de GeoGebra.

• Observación y análisis del modelo concluido, ya realizado.

• Cuestiones y comentarios didácticos y de investigación.

Al final de cada módulo encontraremos una sesión denominada Otros modelos. Allí veremos más construcciones ya realizadas, que podemos analizar según nuestros intereses.

Se ha procurado incluir una gran variedad de conceptos matemáticos para que siempre se pueda encontrar algún modelo relacionado con cualquier tema matemático: aritmética, cálculo mental, medición, geometría, estimación y estadística.

Ayuda sobre GeoGebra

No debemos olvidarnos que cualquier pregunta sobre cómo realizar una acción determinada con GeoGebra probablemente tendrá su respuesta en la sección de Ayuda.

► Presentación

Qué es GeoGebra

GeoGebra es un Programa Dinámico para el Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas que combina elementos de Geometría, Álgebra, Análisis y Estadística. Es muy fácil de aprender a usar y se puede conseguir gratuitamente en su página oficial:

www.geogebra.org

GeoGebra es un programa realizado en Java, lo que garantiza su portabilidad (se puede ejecutar en Windows, MacOS X, Linux o Solaris). Además, las construcciones se pueden usar como applets (miniaplicaciones) integradas en páginas web.

GeoGebra está diseñado con mentalidad colaborativa. Desde la página oficial disponemos de acceso a ayudas, recursos, foros y wikis que usuarios de todo el mundo mantienen en constante renovación.

Geo + Gebra

Además de la gratuidad y la facilidad de aprendizaje, la característica más destacable de GeoGebra es la doble percepción de los objetos, ya que cada objeto tiene dos representaciones, una en la Vista Gráfica (Geometría) y otra en la Vista Algebraica (ÁlGebra). De esta forma, se establece una permanente conexión entre los símbolos algebraicos, los valores numéricos y las gráficas geométricas.

GeoGebra visualiza a la vez un punto en el plano cartesiano y sus coordenadas numéricas, una recta y su ecuación, un segmento y la medida de su longitud, etc.

GeoGebra es un programa innovador. Posee características propias de los programas de Geometría Dinámica pero también de los programas de Cálculo Simbólico. Incorpora su propia Hoja de Cálculo, un sistema de distribución de los objetos por capas y la posibilidad de animar manual o automáticamente los objetos.

Formas de usar GeoGebra

GeoGebra puede servir de ayuda tanto al estudiante como al profesor.

• Herramienta del estudiante: para realizar construcciones desde cero o para explorar en construcciones ya realizadas.

• Herramienta del profesor: para realizar materiales educativos estáticos (imágenes) o dinámicos (applets en páginas web).

En cualquier caso, sirve de ayuda para que los estudiantes puedan:

• Visualizar conceptos abstractos y relaciones entre objetos.

• Representar conexiones conceptuales.

• Experimentar con las matemáticas.

En los tres apartados siguientes podemos ver algunos ejemplos de applets realizados con GeoGebra.

► Visualizar

Ejemplo de uso. Visualizar conceptos abstractos

Suma de enteros

Construcción para ayudar a entender ("ver", "visualizar") el resultado de la adición de dos números enteros.

Clic en la imagen para abrir el applet de GeoGebra

► Representar

Ejemplo de uso. Representar conexiones conceptuales

Volumen y sección

Construcción para ayudar a relacionar sección y volumen de un cuerpo sólido, modificando cuerpos de revolución de una forma muy similar a como trabaja un alfarero.

Clic en la imagen para abrir el applet de GeoGebra

► Experimentar

Ejemplo de uso. Experimentar con las matemáticas

Matemáticas y mundo físico

La posibilidad de incluir imágenes reales en la escena permite, por una parte, analizar las relaciones matemáticas que se puedan observar, y por otra, mostrar las diferencias entre un modelo ideal y uno real, así como la influencia del punto de vista fotográfico o pictórico.

Clic en la imagen para abrir el applet de GeoGebra

► Módulos

Índice de los módulos

1. La interfaz de GeoGebra. Exploración de la interfaz y procedimientos básicos.

Introducción • Instalación • Zonas • Contexto • Elige • Propiedades • Mueve • Borra • Zoom

• Renombra • Redefine • Anima • Capas • Un truco • Un ejemplo

2. Applets en páginas web. Compartir construcciones en la red.

Introducción • Usar applets • Crear applets • Propiedades

Otros modelos: Cuentas • Eclipse • Ecolocalización • Poliominós • Círculo • Caminata • Azulejos

• Geoplano • Eratóstenes • Arcos • Milimetrado • Centro (de salud) • Carreras • Montecarlo

• Cerillas

3. Uso de construcciones. Cómo aprovecharnos de construcciones ya realizadas.

Introducción • Moverlo todo • Controles • Inspección

Otros modelos: Sombrilla • Rotaciones • Kirigami • Bisectriz • Poliestrellas • Poe • Desigualdad

• Altura • Tríada • Excavadora • Áreas • Pirámides • Paralelas • Balanza • Ábaco • Omnipoliedro •

Fracciones

4. Los ítem didácticos. Libertad de acciones orientada hacia objetivos, generales y concretos.

Introducción • Contexto y uso • Las preguntas • Conexiones

Otros modelos: Suma • Eje • Sus + y sus - • 4x4 • Monosabio • Tri-ángulo • Arco iris • Cuadrado

• Divisores • Grand Prix • Regla rota • Mediana • Semáforo • Volumen • Escuadras • Cerezas

5. Creación de materiales estáticos. GeoGebra como editor gráfico.

Introducción • Polígonos • Tableros • Imágenes

Otros modelos: Ajedrez • Go-moku • Nim • Damas • Parchís • Panal • Tres en raya

• Pentominós • Tangram • Necker • Vueltas • Coordenadas • Estrella • Media

• Perímetro • Diagonal • Cuadriláteros • Coordenadas • Axial

6. Propuestas sencillas de construcción. Algunos métodos sencillos y potentes.

Introducción • Marcas • Colores • Problemas

Otros modelos: Dos puntos • Circunferencia • Tres puntos • Cuatro puntos • Napoleón

• Equidistancia • Vuelo • Ciclos • Doblez • Sincronía • Tesorombo • Pi • Graduaciones

► 1. La interfaz de GeoGebra

► 1.1 Introducción

Introducción

Con esta guía sobre el Uso de GeoGebra se pretende familiarizar al usuario con el entorno visual propio de GeoGebra. Esta aplicación gratuita destaca, entre otras cosas, por su entorno intuitivo y la extrema facilidad de aprendizaje de uso. Sin embargo, siempre es interesante conocer algunas acciones o posibilidades alternativas de interacción que pueden ahorrarnos tiempo y molestias.

No se trata de memorizar todos y cada uno de los procedimientos que aparecen en este módulo sobre la Interfaz, ya que, como decimos, GeoGebra es sencillo de usar. Si aparecen muchos apartados minuciosamente detallados es porque se pretende dar respuesta a cualquier circunstancia que pueda sobrevenir. Este primer módulo es, por tanto, más que nada un módulo de consulta posterior. Sin embargo, un recorrido completo del mismo seguramente nos evitará más de un problema. Por ello, recomendamos su lectura incluso a aquellos usuarios que ya posean alguna experiencia en el manejo de GeoGebra.

Para profundizar en GeoGebra, conocer su desarrollo, consultar foros y wikis, etc., lo mejor es dirigirse a la página oficial:

geogebra.org

Además, existen otros sitios web con muchas construcciones realizadas con GeoGebra, clasificadas temáticamente y listas para usar en nuestras clases. Uno de los más destacados, en español, es geometriadinamica.es, cuyos autores pertenecen al

Instituto GeoGebra de Cantabria, a su vez vinculado al International GeoGebra Institute:

geogebra.es

GeoGebra permite trabajar con objetos de geometría, álgebra, análisis y estadística. Se trata de un programa premiado en numerosas ocasiones. Podemos construir de modo muy simple puntos, segmentos, polígonos, rectas, vectores, cónicas, gráficas de funciones, curvas paramétricas y diagramas estadísticos. Todo ello dinámicamente, de forma que cualquier objeto puede sufrir modificaciones con un simple deslizamiento del ratón.

GeoGebra también admite expresiones como:

r: 3x + 4y = 7

c: (x – 2)²+ (y – 3)²= 25

y ofrece una amplia variedad de comandos entre los que cabe destacar el comando Secuencia.

Ayuda

Las sección Ayuda proporciona información puntual sobre cualquier funcionalidad de GeoGebra. Además, con conexión a Internet, desde la propia ventana de GeoGebra (menú Ayuda) se puede acceder al manual de ayuda online, al foro y a la wiki de GeoGebra.

► 1.2 Instalación

Instalación de Java

GeoGebra es un programa desarrollado en lenguaje Java, compuesto por varios archivos de extensión "jar", cuyo archivo principal es "geogebra.jar". Para poder ser ejecutado (en local o en red) necesita que el ordenador tenga la plataforma de Java (versión 1.4 o superior) instalada. Si no se tiene, se puede descargar aquí: www.java.com

Incluso si se tiene, recomendamos usar siempre la versión más actual de Java, versión 1.6 o superior.

Si queremos usar las Hojas Dinámicas (nuestras o de otros) en una red local escolar, debemos pedir al administrador de la red que instale Java en los equipos.

Instalación de GeoGebra

Para instalar la versión GeoGebra más reciente, una vez instalado Java, bajaremos el

instalador (pulsa aquí) de la página oficial de descarga de GeoGebra (offline).

Otras posibilidades de instalación y notas técnicas.

Ejecución de GeoGebra

Para abrir GeoGebra haremos doble clic en el icono correspondiente en el Escritorio: Alternativamente, como hemos visto, también podemos hacer doble clic sobre el archivo "geogebra.jar", si conocemos su localización en nuestro disco duro u otro soporte. Si al intentar abrir "geogebra.jar" se abre otra aplicación, deberemos asociar la extensión JAR al ejecutable de Java (java.exe).

Si disponemos de conexión a Internet, podemos ejecutar GeoGebra incluso sin haberlo instalado. Basta abrir la página web que contiene un applet en blanco en la dirección:

www.geogebra.org/webstart/geogebra.html

► Notas sobre la instalación

Otras posibilidades de instalación

Para "instalar" la última versión estable de GeoGebra (mejor dicho: "copiar"; ver la nota técnica más abajo), una vez instalado Java, basta descargarlo desde la página oficial:

www.geogebra.org. Recomendamos esta alternativa para futuros usos de GeoGebra, pero no para el seguimiento de estos materiales (ver apartado anterior).

Si vamos a disponer con seguridad de conexión a Internet, recomendamos elegir la opción WebStart-Teleinicio. Esta opción permite trabajar con GeoGebra fuera de línea,

pero además incluye un proceso de actualización automática que mantiene el programa

actualizado en el caso de disponer de conexión a Internet.

La ejecución de WebStart-Teleinicio debe realizarse bajo el perfil de usuario del equipo donde se produce la instalación (no como administrador del equipo, a menos que sea el mismo) pues crea un icono de acceso en el escritorio de ese usuario.

Sin embargo, en el caso de que no se vaya a disponer de conexión a Internet (aunque sea temporalmente), la opción WebStart puede hacer que el programa se vuelva lento debido a los diversos intentos periódicos de establecer conexión. Además, la opción WebStart necesita conexión para acceder al documento de Ayuda de GeoGebra. Por eso, en tal caso, es mejor descargar desde la web de GeoGebra la instalación

correspondiente a nuestro sistema operativo (Windows, Linux, Mac OS X u

otro).

Alternativamente, podemos ejecutar directamente el archivo

geogebra.jar situado en la carpeta "jar".

Nota técnica

GeoGebra, en realidad, no precisa de ninguna instalación, sólo es necesario descargar los archivos que la plataforma Java necesita abrir. Lo que nuestro ordenador ejecuta es la plataforma Java, y GeoGebra es simplemente un archivo que se abre con esa plataforma.

Veamos una analogía. Si copiásemos en nuestro disco duro un documento de Word con nombre de archivo "geogebra.doc", sería el programa ejecutable Word el que debe estar instalado para poder abrir el documento. Pues bien, si copiamos en nuestro disco duro el archivo "geogebra.jar", es la plataforma Java la que se encarga de abrirlo (interpretar sus instrucciones en lenguaje Java). Puesto que no sería correcto decir que "instalamos"

el archivo "geogebra.doc" tampoco lo es decir que "instalamos" el archivo

"geogebra.jar", sino que simplemente lo copiamos.

Esto permite entender mejor por qué podemos usar GeoGebra desde una página web que contenga una construcción como la siguiente incluso aunque no hayamos descargado en nuestro ordenador el archivo "geogebra.jar": Simplemente, la página web no llama a ningún archivo "geogebra.jar" presente en nuestro ordenador, sino al archivo "geogebra.jar" presente en un servidor. Nuestro ordenador lo que realmente hace es ejecutar la plataforma Java que tenemos instalada para poder leer el archivo "geogebra.jar" del servidor y, siguiendo sus instrucciones, interpretar la construcción (extensión ggb) del pentágono azul, construcción que también se encuentra presente en ese u otro servidor. De la misma forma, es posible trasladar todos los archivos (jar, ggb, html) a otro soporte independiente, como un CD, un DVD o una memoria USB. El usuario sólo necesita la plataforma Java.

Incluso, si así se desea, también se puede trasladar Java a otro soporte para su instalación o ejecución desde allí. Por ejemplo, el siguiente enlace permite descargar un archivo que contiene todo lo necesario para ejecutar GeoGebra desde una memoria USB, sin necesidad de que haya nada instalado en el ordenador: GeoGebra Portable.

Si se desea la última versión de GeoGebra, la versión actualizada del archivo geogebra.jar y los demás archivos jar se pueden bajar, para su uso fuera de línea, en las siguientes direcciones:

www.geogebra.org/webstart/dev/unpacked/ (versiones más recientes,

de preestreno)

www.geogebra.org/webstart/unsigned/unpacked/

(última

versión

estable, en modo rápido -sin firmar-)

www.geogebra.org/webstart/unpacked/ (última versión estable) Si al bajar los archivos JAR el navegador cambia esta extensión por ZIP, basta volver a renombrar esos archivos como JAR antes de abrir

"geogebra.jar".

► 1.3 Zonas

Zonas de la pantalla de GeoGebra

La pantalla de GeoGebra se divide en seis zonas:

• En la parte superior se encuentran los Menús y las Herramientas (barra de botones).

• En la parte central, la Vista Algebraica a la izquierda, la gran Vista Gráfica central y la Hoja de Cálculo a la derecha (oculta por defecto).

• En la parte inferior, la barra de Entrada de teclado (comandos y operaciones de ingreso directo), compuesta, de izquierda a derecha, por el botón de Ayuda a la Entrada, el campo de Entrada y tres listas desplegables con operadores y funciones, letras griegas y comandos.

La parte central, con sus tres vistas (Algebraica, Gráfica y Hoja de Cálculo), permite la visualización de tres diferentes representaciones de un objeto (representación gráfica, algebraica y tabular). Estas tres representaciones responden al unísono y dinámicamente a cualquier cambio de valor en el objeto, sin importar cómo se haya creado éste.

Menús

Los Menús ocupan la parte superior de la ventana de GeoGebra. Se despliegan al hacer clic sobre ellos.

El apartado Menús de la sección Ayuda dispone de información detallada.

Herramientas

Las Herramientas (también llamadas Modos) ocupan la parte superior de la ventana de GeoGebra, justo debajo de los menús. Corresponden a los objetos y operaciones gráficas más usuales. Se accede a ellas mediante los botones. Cada botón visible es activable haciendo clic sobre él, e incluye una flechita en su esquina inferior derecha que al ser activada con un clic despliega todos los botones disponibles relacionados con el visible.

Alternativamente, también se puede desplegar el panel de botones relacionados haciendo doble clic.

El apartado Herramientas de la sección Ayuda dispone de información detallada. Los botones se encuentran clasificados según la naturaleza del objeto resultante. En el apartado Herramientas: Tablas podemos observar que corresponden, de izquierda a derecha, a las clases General, Puntos, Direcciones, Lugares, Polígonos, Circulares, Cónicas, Mediciones, Transformaciones, Interacciones y Escenario.

La barra de herramientas se puede personalizar a través de la opción "Personalizar Barra de Herramientas" del menú Herramientas, de forma que sólo aparezcan las herramientas que deseemos. También podemos reagrupar y alterar el orden. Para restaurar la barra completa, en el orden predefinido, basta pulsar el botón "Restablecer Barra de Herramientas Original" visible en esa misma opción.

Vista Gráfica

La Vista Gráfica ocupa la parte central. En ella aparecen los objetos gráficos. Por defecto, ocupa la mayor parte de la pantalla. No se puede ocultar, aunque sí se puede reducir ampliando la Vista Algebraica o la Hoja de Cálculo.

Sobre la Vista Gráfica se pueden representar directamente objetos geométricos eligiendo la Herramienta deseada con el ratón. Es aconsejable, mientras no se domine cada herramienta, atender al texto de ayuda que aparece en la barra de herramientas.

Cualquier objeto geométrico (no se incluyen, por tanto, textos e imágenes) creado en la Vista Gráfica tendrá su representación algebraica en la Vista Algebraica.

Podemos mover cualquier objeto por la Vista Gráfica simplemente arrastrándolo con el ratón, siempre que el objeto sea desplazable (algunos objetos no se pueden mover porque están fijos por construcción o porque así lo hemos decidido). Al tiempo que

movemos un objeto, podemos observar la actualización inmediata de su valor en la Vista Algebraica.

También podemos ocultar o mostrar cualquier objeto en la Vista Gráfica, usando la herramienta

Oculta-Objeto (en el último panel de botones, el correspondiente a Escenario) o bien mediante el menú contextual (haciendo clic derecho sobre el objeto).

También se pueden ocultar y mostrar objetos a voluntad creando una Casilla de control.

Un doble clic de la herramienta Oculta-Objeto sobre la Vista Gráfica dejará visibles todos los objetos.

Para ajustar la parte visible de la Vista Gráfica disponemos de varios recursos:

• Las herramientas Acercamiento y Alejamiento (la posición del puntero en el momento de hacer clic determina el centro del zoom).

• La rueda del ratón.

• Atajos de teclado: Ctrl + y Ctrl -

• Usando el menú contextual de la Vista Gráfica (clic derecho sobre una zona libre de ella).

• Enmarcando una región de la Vista Gráfica mediante el arrastre del ratón mientras se mantiene pulsada la tecla derecha del ratón.

También podemos mostrar u ocultar los ejes de coordenadas y la cuadrícula usando el menú Vista o el menú contextual de la Vista Gráfica.

Vista Algebraica

La Vista Algebraica ocupa la parte central izquierda. Se puede ocultar o mostrar desde el menú Vista. Por defecto, se encuentra visible. En ella aparecen los valores numéricos de los objetos.

En la Vista Algebraica hay tres carpetas, aunque la carpeta de Objetos Auxiliares pueda encontrarse oculta (en tal caso, se puede hacer visible desde el menú Vista). Cada carpeta puede desplegarse o replegarse haciendo doble clic en su nombre. El icono a la izquierda de cada objeto informa sobre su actual estado de visibilidad ( expuesto, oculto). Basta hacer clic sobre este icono para cambiar este estado.

Los objetos aparecen con el mismo color que tienen en la Vista Gráfica. Por defecto, los puntos libres aparecen con color azul intenso, los puntos semilibres en azul pálido, los ángulos y listas en verde oscuro, y el resto de objetos en negro o gris oscuro.

• En la carpeta "Objetos Libres" se sitúan los objetos que no dependen de ningún otro valor, es decir, los puntos libres y cualquier objeto definido directamente (sin usar objetos ya construidos).

• En la carpeta "Objetos Dependientes" se sitúan el resto de los objetos, incluso aunque sean desplazables (pero no independientes, no libres) o sean puntos semilibres, que son aquellos que se pueden mover libremente en otro objeto geométrico (segmento, recta, circunferencia...). Por ejemplo, la recta "s" de la figura anterior depende de A y B, pero incluso así se puede desplazar con el ratón, moviendo consigo los puntos libres A y B.

• En la carpeta "Objetos Auxiliares" podemos resituar cualquier objeto, libre o dependiente, que queramos apartar, ya sea porque no pertenece a la línea principal de la construcción o por cualquier otra razón. En la figura anterior hemos apartado el punto libre O. Esta carpeta se puede mostrar u ocultar (estado predefinido) desde el menú Vista.

Podemos otorgar a cualquier objeto la propiedad de fijo. Un objeto fijo no se puede mover, incluso aunque sea libre o semilibre. Tampoco se puede modificar, redefinir o eliminar, al menos hasta que no se modifique esa propiedad.

Podemos elegir la forma de expresar en la Vista Algebraica cada objeto creado con una herramienta o comando. Hay tres tipos diferentes de expresión (menú Opciones > Álgebra): Valor (por defecto), Definición (muy recomendable para los más jóvenes) y Comando (muy útil como ayuda para comprender la sintaxis de los comandos).

Hoja de Cálculo

La Hoja de Cálculo ocupa la parte central derecha. Se puede ocultar o mostrar desde el menú Vista. Por defecto, se encuentra oculta. Es una potente herramienta auxiliar que permite crear e interactuar con los objetos gráficos de forma tabular, o pegar y copiar tablas.

Cada celda de la Hoja de Cálculo posee un nombre único (A1, C4,...) que sirve de vínculo automático con el objeto que posea el mismo nombre. Ese nombre puede usarse en expresiones y comandos como referencia al valor que contenga cada celda.

Cada celda admite cualquier comando, expresión u operación aceptada por GeoGebra. El objeto creado en una celda tomará el nombre de ella y su representación gráfica se visualizará en la Vista Gráfica. De forma predefinida, los objetos creados en la Hoja de Cálculo se clasifican como Objetos Auxiliares.

Barra de Entrada

La barra de Entrada ocupa la parte inferior. Se puede ocultar o mostrar desde el menú Vista. Por defecto, se encuentra visible. Permite introducir directamente desde el teclado números, operaciones, coordenadas, ecuaciones y comandos.

Basta hacer un clic sobre el campo de Entrada para posicionar el cursor en él y comenzar a teclear. Para aplicar el texto introducido se pulsa la tecla Intro.

Una vez aplicada, esa representación algebraica se hará visible en la Vista Algebraica mientras que en la Vista Gráfica aparecerá la gráfica correspondiente (naturalmente, si tal gráfica se posiciona fuera de los límites de la Vista Gráfica, habrá que realizar un zoom de alejamiento para poderla visualizar).

Si optamos por introducir un comando, ya sea tecleando su nombre o eligiéndolo de la lista desplegable, podemos pulsar la tecla F1 para conocer su sintaxis.

Ver el apartado Entrada de la sección Ayuda para más información.

Práctica 1 [videoclip]

• En el menú Archivo, elegir Nuevo (sólo si es necesario; se pretende vaciar cualquier contenido anterior). [Si aparece el mensaje que invita a guardar la construcción, elegir "No guardar".]

• Clic sobre el Campo de Entrada (parte blanca, vacía). Aparecerá el parpadeante cursor de introducción de texto.

• Escribir (3, 1) Pulsar la tecla Intro (Enter) y observar el resultado.

• Escribir 2 A Pulsar la tecla Intro y observar el resultado.

• Mover A y observar el resultado.

• Seguir meticulosamente el siguiente proceso:

o Escribir seg Aparecerá segmento[]

o Pulsar Intro. Aparecerá Segmento[]

o Escribir A,B Aparecerá Segmento[A,B]

o Pulsar Intro.

Cuando introducimos un comando en el campo de Entrada, basta pulsar F1 para conocer su sintaxis.

Observemos que GeoGebra admite operaciones con puntos, como si fueran vectores de posición. En general, las mayúsculas rotulan puntos y las minúsculas, vectores. Los puntos y vectores pueden ingresarse en coordenadas cartesianas (separadas por coma) o polares (separadas por punto y coma). En este último caso, si no introducimos el símbolo de grados, GeoGebra entenderá que el ángulo se encuentra expresado en radianes.

Podemos redefinir cualquier objeto, por ejemplo el punto B, en cualquier momento sin tener que volver a reiniciar toda la construcción.

Por ejemplo, al final de la Práctica 1 podemos escribir en el Campo de Entrada: B = 3A y todo se reajustará a la nueva definición de B. Ahora bien, esto supone que debemos ser especialmente cuidadosos a la hora de escribir el nombre de un nuevo objeto al crearlo desde el Campo de Entrada, pues si ese objeto ya existía GeoGebra no creará uno nuevo sino que redefinirá el que ya existe. Si no tenemos experiencia suficiente, lo mejor, al menos al principio, es dejar que GeoGebra asigne nombres automáticamente a los nuevos objetos introducidos mediante el Campo de Entrada, y, posteriormente, renombrarlos si así lo deseamos.

► 1.4 Contexto

Menú contextual de objeto

Al hacer clic derecho sobre un objeto se muestra ese menú contextual, en el que se pueden elegir algunas de las opciones más frecuentes. Todas ellas se encuentran incluidas en el cuadro de diálogo de Propiedades del objeto, salvo la opción "Copia en Campo de Entrada".

Usaremos la expresión "clic derecho" para referirnos a un clic realizado con el botón derecho del ratón (por "clic", sin más, entenderemos "clic izquierdo"). También daremos por supuesto que los usuarios de MacOS

entienden que deben hacer Ctrl + clic cada vez que en el texto aparezca la expresión clic derecho.

Las primeras opciones son específicas del tipo de objeto, se refieren a su formato algebraico y sólo se muestran cuando la Vista Algebraica permanece visible. El resto de las opciones son más generales, aunque no todas aparecen para todos los objetos.

Seleccionando Propiedades se abre un cuadro de diálogo donde podemos cambiar las propiedades del objeto (subtítulo, color, tamaño, grosor, estilo, sombreado, visibilidad, capa, etc.).

El apartado Objeto de la sección Ayuda dispone de información más detallada.

Práctica 2 [videoclip]

• En el menú Archivo, elegir Nuevo (sólo si es necesario; se pretende vaciar cualquier contenido anterior).

• Añadir una Recta y una Circunferencia.

• Cambiar la forma de expresar sus ecuaciones.

• Cambiar la forma de expresar las coordenadas de alguno de los puntos.

Menú contextual de vista gráfica

Al hacer un clic derecho sobre cualquier parte vacía de la Vista Gráfica se abre el menú contextual de visualización.

El apartado Vista Gráfica de la sección Ayuda dispone de información más detallada.

► 1.5 Elige

Uso del ratón: la herramienta Elige y Mueve

El ratón tiene un papel decisivo en GeoGebra. Muchas de las acciones las realizaremos con su ayuda. Todas las acciones que vamos a describir suponen que tenemos elegida la herramienta fundamental de GeoGebra: Elige-y-Mueve.

Para volver a esa herramienta, desde cualquier otra, basta pulsar sobre el botón Elige-y-Mueve o la tecla Esc.

Selección de un objeto

Cuando nos aproximamos suficientemente al objeto, se resalta. En ese momento, basta un clic (con la herramienta Elige-y-Mueve) para marcarlo o seleccionarlo.

Si, al intentar elegir un objeto en la Vista Gráfica, varios objetos coinciden aproximadamente en la misma posición señalada, GeoGebra nos invitará a deshacer la ambigüedad mediante un pequeño cuadro de diálogo en donde mostrará los objetos próximos. En tal caso, sólo tenemos que elegir el deseado:

Muchas veces resulta más cómodo seleccionar los objetos en la Vista Algebraica, particularmente cuando los objetos geométricos están muy próximos entre sí, son muy pequeños o se encuentran superpuestos. Un doble clic nos permite una redefinición directa del objeto. Las teclas F3, F4

y F5 copian, respectivamente, la definición, el valor y el nombre del objeto en el Campo de Entrada.

Antes de hacer clic, debemos asegurarnos de que realmente hemos enfocado (señalado) el punto o el objeto deseado, prestando atención a la forma del puntero. Cuando no enfocamos ningún objeto (aunque creamos que sí porque se encuentra muy próximo) el puntero tiene forma de cruz. Es muy importante que los alumnos observen y

atiendan esta indicación en todo momento para evitar que

involuntariamente añadan puntos indeseados al usar una herramienta.

En cambio, cuando hemos conseguido enfocar el objeto, el puntero toma la forma de flecha y el objeto señalado aparece ligeramente resaltado: Naturalmente, el botón izquierdo del ratón también nos permite seleccionar las herramientas y opciones de menús, señalar un punto de la Vista Gráfica o introducirnos en el campo de Entrada.

Los botones Deshace y Rehace son muy útiles para devolver la construcción a un estado anterior.

Selección de varios objetos

Si cuando elegimos los objetos mantenemos pulsada la tecla de control (Ctrl), podremos elegir varios a la vez.

También se pueden seleccionar varios objetos en la Vista Gráfica. Para ello basta un clic (con la herramienta Elige-y-Mueve) en la posición que ocupará una esquina del rectángulo que enmarcará a los objetos, y manteniendo el botón del ratón pulsado,

arrastrarlo; todos los objetos que se encuentren completamente en el interior del rectángulo enmarcado (rectángulo de selección) quedarán seleccionados.

El rectángulo de selección también resulta especialmente útil para elegir una zona de la Vista Gráfica antes de exportarla como Hoja Dinámica o como imagen.

► 1.6 Propiedades

Propiedades

Podemos acceder al cuadro de diálogo de Propiedades de un objeto de varias maneras:

• Haciendo clic derecho sobre el objeto

• Haciendo doble clic sobre el objeto en la Vista Gráfica

• Haciendo doble clic sobre el objeto en la Vista Algebraica, siempre que no sea un objeto libre (en cuyo caso esta acción abriría la edición inmediata)

• Seleccionando el objeto y pulsando posteriormente la opción Propiedades del menú Edita

Los objetos fijos deben liberarse primero para poder ser modificados.

Los botones Deshace y Rehace son muy útiles para devolver la construcción a un estado anterior.

Cambio colectivo de propiedades

Dentro del cuadro de diálogo, a la izquierda, se muestra una lista con todos los objetos agrupados por tipo.

El icono a la izquierda de cada objeto informa sobre su actual estado de visibilidad (

expuesto, oculto). Basta hacer clic sobre este icono para cambiar este estado.

En esa lista, podemos usar el ratón (clic izquierdo) para seleccionar varios objetos dispersos con ayuda de la tecla Ctrl o todo un grupo continuo de objetos con la tecla Mayúsculas. También podemos hacer clic sobre el nombre del tipo de objeto (por ejemplo, Punto) para que todos los objetos de ese tipo queden elegidos para su modificación. Este procedimiento ahorra mucho tiempo cuando queremos dotar de la misma propiedad o estilo a varios objetos a la vez.

Práctica 3 [videoclip]

• En el menú Archivo, elegir Nuevo (sólo si es necesario; se pretende vaciar cualquier contenido anterior).

• Introducir varios puntos, ocho como mínimo.

• Clic derecho sobre uno de ellos y acceder al cuadro de diálogo Propiedades.

• Con ayuda de las teclas Ctrl o Mayúsculas, o haciendo clic sobre el nombre del tipo de objeto, probar a seleccionar varios a la vez en la lista de la izquierda.

• Modificar alguna propiedad de los puntos seleccionados. En particular, convertir en fijo algún punto y comprobar que no se puede ni modificar ni eliminar mientras mantenga esa propiedad.

► 1.7 Mueve

Uso del ratón: la herramienta Elige y Mueve

El ratón tiene un papel decisivo en GeoGebra. Muchas de las acciones las realizaremos con su ayuda. Todas las acciones que vamos a describir suponen que tenemos elegida la herramienta fundamental de GeoGebra: Elige-y-Mueve.

Para volver a esa herramienta, desde cualquier otra, basta pulsar sobre el botón Elige-y-Mueve o la tecla Esc.

Los botones Deshace y Rehace son muy útiles para devolver la construcción a un estado anterior.

Desplazar uno o varios objetos

Una vez seleccionados uno o más objetos, hacemos clic izquierdo sobre uno de ellos y sin dejar de pulsar el botón izquierdo del ratón lo desplazamos (junto al resto, si hay más de un objeto marcado). Al arrastrar, el icono del puntero pasa ser una mano. La siguiente imagen muestra un arrastre de los puntos A y B. Obsérvese que ambos están resaltados (seleccionados), no así el C.

Si habíamos seleccionado varios objetos, hay que soltar la tecla Ctrl para proceder a su arrastre. En caso contrario, arrastraríamos todos los objetos (visibles y ocultos).

Los objetos fijos deben liberarse primero para poder ser desplazados.

Práctica 4 [videoclip]

• En el menú Archivo, elegir Nuevo (sólo si es necesario; se pretende vaciar cualquier contenido anterior).

• Introducir varios puntos, ocho como mínimo.

• Probar a seleccionar varios a la vez, tanto en la Vista Algebraica como en la Vista Gráfica.

• Probar a desplazar varios a la vez.

• Probar a arrastrar la Vista Gráfica haciendo uso de la tecla Ctrl.

Objetos fijos

Podemos hacer que un objeto se mantenga fijo, activando esa propiedad en el cuadro de diálogo Propiedades.

Desplazar la Vista Gráfica

Si mantenemos pulsada la tecla de control (Ctrl) y movemos el ratón sobre la Vista Gráfica, toda ella se desplazará. El puntero cambia, mostrando una imagen de cuatro flechas (brújula). Esta acción es equivalente a usar Desplazar-Vista.

► 1.8 Borra

Borra

Elimina el objeto u objetos seleccionados y todos los que dependan de ellos. Equivale a usar la tecla Supr.

Los objetos fijos deben liberarse primero para poder ser borrados.

Los botones Deshace y Rehace son muy útiles para devolver la construcción a un estado anterior.

Práctica 5 [videoclip]

• En el menú Archivo, elegir Nuevo (sólo si es necesario; se pretende vaciar cualquier contenido anterior).

• Elegir el Punto (clic sobre ese botón) y colocar varios puntos en la Vista Gráfica.

• Desplegar los botones relacionados con ese botón, elegir Centro y añadir algunos puntos medios (marcando un par de puntos para cada nuevo punto medio).

Debemos asegurarnos de marcar correctamente

los puntos, esperando a que el puntero con forma de

cruz se transforme en flecha antes de hacer cada

clic.

• Volver a la herramienta fundamental: Elige-y-Mueve.

• Observar en la Vista Algebraica que los primeros puntos son objetos libres, mientras que los puntos medios son dependientes.

• Explorar las posibilidades de modificación de la apariencia de los puntos haciendo clic derecho sobre ellos.

• Clic derecho sobre una parte vacía de la Vista Gráfica y explorar las posibilidades que ofrece el menú contextual.

• Borrar todos los objetos creados.

► 1.9 Zoom

Zoom

Si hacemos clic derecho sobre un punto vacío de la Vista Gráfica y sin dejar de pulsar el botón derecho del ratón lo desplazamos, al arrastrar y soltar, se hará una ampliación (zoom de acercamiento) de la región rectangular que quede enmarcada.

Esta ampliación conservará la relación entre los ejes X e Y, pues el rectángulo siempre será semejante al que enmarca la Vista Gráfica. Sin embargo, se puede evitar esto, forzando una nueva escala entre ejes, si mantenemos pulsada la tecla Mayúsculas.

La rueda del ratón permite hacer un zoom de la Vista Gráfica, de ampliación o reducción según el sentido de giro. El centro de la homotecia (el único punto de la Vista que permanecerá fijo) será la posición del puntero del ratón en la Vista Gráfica. Por lo tanto, si deseamos aproximarnos a un punto particular lo mejor es señalarlo con el puntero y luego usar la rueda del ratón.

Práctica 6 [videoclip]

• En el menú Archivo, elegir Nuevo (sólo si es necesario; se pretende vaciar cualquier contenido anterior).

• Añadir un nuevo punto situándolo sobre el eje de las abscisas (herramienta Punto, clic sobre el eje X). Asegurarse de que el punto sólo se puede mover en ese eje.

• Probar a realizar algunos acercamientos y alejamientos mediante los procedimientos anteriormente indicados.

• Abrir el menú contextual de la Vista Gráfica (clic derecho sobre una parte vacía de ella) y elegir la opción "Vista Estándar".

► 1.10 Renombra

Renombra

Abre el cuadro de diálogo que permite renombrar al objeto. Si el nuevo nombre ya existía para otro objeto, éste cambiará también de nombre (normalmente, GeoGebra le añade el subíndice 1).

Otro procedimiento, más directo, para renombrar cualquier objeto consiste simplemente en marcarlo (clic) y comenzar a escribir el nuevo nombre. En el caso de haber marcado más de un objeto, se asume que el objeto a renombrar es el último creado. Un objeto recién creado conserva focalizada la atención sobre él, de forma que basta escribir inmediatamente su nuevo nombre con el teclado.

En el cuadro de Propiedades del objeto, se puede poner un subtítulo o alias (otro nombre o expresión) y hacerlo visible como rótulo en vez del nombre. Esto permite repetir rótulos, colocar espacios o símbolos, etc.

► 1.11 Redefine

Uso del ratón: la herramienta Elige y Mueve

El ratón tiene un papel decisivo en GeoGebra. Muchas de las acciones las realizaremos con su ayuda. Todas las acciones que vamos a describir suponen que tenemos elegida la herramienta fundamental de GeoGebra: Elige-y-Mueve.

Para volver a esa herramienta, desde cualquier otra, basta pulsar sobre el botón Elige-y-Mueve o la tecla Esc.

Los botones Deshace y Rehace son muy útiles para devolver la construcción a un estado anterior.

Redefinir objeto

Al hacer un doble clic sobre un objeto, podemos redefinirlo. También tenemos posibilidad de editar sus Propiedades. Otra alternativa, es seleccionarlo y pulsar F3.

Al pulsar F3, después de elegir un objeto, se traslada su definición al campo de Entrada. Este procedimiento es particularmente útil cuando:

• la definición del objeto es una expresión larga,

• queremos hacer uso de la lista desplegable de comandos

• o queremos copiar la definición de un objeto en otro, sea de nueva creación o ya creado.

Otras teclas prácticas son F4 (traslada valor) y F5 (traslada nombre).

Si el objeto es libre y hacemos el doble clic sobre la Vista Algebraica pasaremos a editarlo (asignarle un nuevo valor) en vez de redefinirlo. Si queremos realmente redefinirlo, haremos el doble clic en la Vista Gráfica (o, alternativamente, clic derecho para usar el menú contextual, Propiedades).

Los objetos fijos deben liberarse primero para poder ser redefinidos.

Este procedimiento es particularmente útil, pues nos permite liberar o relacionar los objetos ya definidos sin necesidad de reiniciar toda la construcción. El resto de los

objetos se acomodarán automáticamente a la nueva definición. Todo ello es sumamente versátil para una modificación retrospectiva de lo construido. Conviene tener en cuenta que también es posible cambiar el orden de las etapas de construcción dentro del Protocolo de la Construcción.

Ejemplos:

• Para ubicar un punto semilibre A sobre una recta a, hacemos doble clic sobre el punto A en la Vista Gráfica e ingresamos el comando Punto[a] en el campo correspondiente de la caja de diálogo emergente. Para "liberar" (de la recta) el punto nuevamente, se lo redefine volviendo a hacer doble clic sobre él y escribiendo dos coordenadas libres cualesquiera, como por ejemplo (2, 2).

Al redefinir un punto para obligarle a moverse sobre un

nuevo objeto (recta, circunferencia...) con el comando

Punto[objeto], ocupará en primera instancia la posición del

objeto más cercana al origen de coordenadas (salvo en

parábolas, elipses, hipérbolas y funciones).

• Otro ejemplo es la conversión de una recta que pasa por los puntos A y B en un segmento que los tiene como extremos: se hace doble clic sobre la recta y se ingresa Segmento[A, B] en el campo correspondiente de la caja de diálogo emergente.

► 1.12 Anima

Animación automática (sólo deslizadores)

Una de las herramientas más usadas en GeoGebra es la herramienta Deslizador. Esta herramienta tiene además una importante particularidad: una vez creado un deslizador podemos animarlo automáticamente, a través del menú contextual de Objeto, con la opción "Animación en marcha". El deslizador puede ser un número o un ángulo.

(Botón Pausa-Reproduce). Cuando la animación automática se encuentra activada, aparece un botón en la esquina inferior izquierda de la Vista Gráfica. Este botón permite parar y reiniciar el avance.

Estos botones pueden hacerse invisibles (aunque permanecen activos) cuando asignamos como velocidad de reproducción un parámetro o expresión algebraica, en vez de una constante.

Para activar varios deslizadores con animación automática a la vez, de forma sincronizada, los activamos uno a uno, detenemos la animación con el botón Pausa-Reproduce y reestablecemos el valor de cada deslizador en el deseado. Sólo tendremos, posteriormente, que volver a animarlos volviendo a pulsar el botón Pausa-Reproduce.

Práctica 7 [videoclip]

• En el menú Archivo, elegir Nuevo (sólo si es necesario; se pretende vaciar cualquier contenido anterior).

• Elegir Deslizador y hacer clic sobre la Vista Gráfica. Elegir las opciones de

"Ángulo" e "Incremento". Pulsar Aplica.

• En el campo de Entrada escribir (3; ). Para escribir hacer clic en ese símbolo, en la lista (sin desplegarla).

También se puede introducir mediante la combinación

de teclas Alt y A (Alt+A). En la sección de Ayuda Atajos del

Teclado se muestran otras muchas combinaciones.

• Pulsar Intro.

• Clic derecho sobre el deslizador (en la Vista Gráfica o en la Vista Algebraica), para abrir su menú contextual, y activar "Animación en marcha".

• Usar el botón Pausa-Reproduce

El signo "punto y coma" de la expresión (r; ) se refiere a coordenadas polares: punto a distancia r del origen, bajo un ángulo .

Los ángulos se ingresan en grados (°) o en

radianes (rad). El símbolo de grado no es más que el factor

/180 que convierte grados en radianes (GeoGebra opera

internamente siempre en radianes). Si en vez (3; )

hubiéramos ingresado (3, ) habríamos obtenido un

segmento vertical.

El símbolo ° no es el símbolo presente en el teclado, hay que elegirlo en la lista desplegable.

Animación manual (puntos semilibres)

Además de con la animación automática de los deslizadores, podemos animar los puntos semilibres (es decir, los puntos que pertenecen a otro objeto geométrico y conservan movilidad en él) mediante las siguientes teclas:

• Tecla + y tecla -.

• Flechas del teclado.

La tecla + hace avanzar al punto en el sentido del vector director de la recta, semirrecta o segmento, es decir, en el sentido PQ, donde P es el primer punto que define la recta y Q el segundo. Si el punto está en un arco circular, la tecla + lo hace avanzar en el sentido angular positivo (antihorario).

La tecla - lo hace en sentido opuesto.

Las flechas del teclado lo hacen avanzar en el sentido que indican.

Manteniendo pulsadas determinadas teclas, se puede alterar la velocidad de desplazamiento multiplicándola por un factor:

• Tecla Mayúsculas: factor 1/10

• Tecla Ctrl: factor 10

• Tecla Alt: factor 100

Todas estas teclas de animación también sirven para cambiar los valores de los números y puntos semilibres en la Vista Algebraica.

Práctica 8 [videoclip]

• En la siguiente construcción, probar a animar los puntos usando el teclado.

Seleccionar un punto (clic) y usar las teclas citadas. Observar las diferencias de comportamiento según la tecla o combinación de teclas usadas.

► 1.13 Capas

Capas

Gracias a las capas podemos alterar el orden en el cual se muestran los objetos, de forma que objetos que hemos creado con anterioridad pueden pasar a primer plano, situándose por encima (ocultándolos total o parcialmente) de objetos creados posteriormente.

Además, las capas nos permiten determinar los objetos que se seleccionarán o arrastrarán al hacer clic sobre varios de ellos.

Disponemos de 10 capas numeradas del 0 al 9. Las de índice mayor se superponen a las de valor más bajo.

Todos los objetos se sitúan por defecto en la capa más alta que se haya asignado a algún objeto. Inicialmente esta capa es la de índice 0, es decir, la situada más "al fondo" de la Vista Gráfica.

La capa asignada a un objeto cualquiera puede modificarse desde la pestaña Avanzado de la Caja de Diálogo de Propiedades.

Una vez modificado el índice de capa para un objeto (con un valor diferente de 0 que es el del fondo), todos los nuevos objetos quedarán en la capa de valor más alto (por ejemplo, capa 3), ocupada por algún objeto.

Después de seleccionar cualquier objeto o conjunto de objetos, podemos elegir todos los demás en la misma capa con el ítem ‘Selecciona la Capa Activa’ del menú Edita. En el caso de haber seleccionado varios objetos, este ítem solo está disponible si todos los objetos seleccionados son de la misma capa.

► 1.14 Un truco

Un truco útil

Práctica 9 [videoclip]

• En el menú Archivo, elegir Nuevo (sólo si es necesario; se pretende vaciar cualquier contenido anterior).

• Añadir un punto A.

• En el campo de Entrada escribir B=A Pulsar Intro.

• Ocultar el rótulo de B y activar su trazo.

• Elegir Casilla y hacer clic en cualquier parte de la Vista Gráfica. Cubrir el cuadro de diálogo escribiendo Activa trazo como subtítulo y eligiendo el punto B en la lista desplegable. Pulsar el botón Aplica.

• Mover el punto A. Destildar la casilla de control. Volver a mover el punto A.

En adelante...

En adelante, daremos por supuesto que cada vez que terminemos con un cuadro de diálogo, deberemos pulsar el botón que lo cierra.

De igual modo, daremos por supuesto que la expresión después de " Entrada:" se debe escribir (o copiar y pegar) en el campo de Entrada y pulsar a continuación la tecla Intro. Para más información sobre el uso del campo de Entrada, consultar el apartado

Entrada.

También se supondrá que deberemos abrir un nuevo archivo al inicio de cada sesión (sólo si es necesario; se pretende vaciar cualquier contenido anterior).

► 1.15 Un ejemplo

Un ejemplo. Circunferencia circunscrita a un triángulo

El objetivo es construir un triángulo cualquiera ("modificable con el ratón") y a partir de él la circunferencia que lo circunscribe. También deseamos conocer el centro de esa circunferencia.

Lo haremos de una forma distinta a la que suele ser habitual. Normalmente, encontraríamos el circuncentro como intersección de dos mediatrices. Si lo que deseamos es precisamente enseñar el lugar geométrico que equidista de dos puntos, no hay duda de que ese debe ser el procedimiento. Pero si lo que queremos es simplemente construir la circunferencia circunscrita y su centro lo más rápido y fácilmente posible, hay otras opciones.

Etapa 1

• Seleccionar Polígono.

• Clic en tres posiciones distintas (A, B y C) de la Vista Gráfica. Para acabar la construcción del triángulo hace falta "cerrarlo" volviendo a hacer clic sobre el primero de los vértices (A).

Ya hemos construido un triángulo "cualquiera". Comprobemos que podemos mover sus vértices a voluntad, arrastrándolos con el ratón con Elige-y-Mueve.

Etapa 2

• Seleccionar Circunferencia-3-puntos, que se hace visible al desplegar la lista de botones pulsando sobre la flechita de la esquina inferior derecha del botón visible Circunferencia.

• Clic en los tres vértices (A, B y C) del triángulo.

Comprobemos ahora que al mover los vértices del triángulo, que son objetos "libres", se desencadena la reacomodación automática del objeto "dependiente" (la circunferencia), pues se encuentra forzada a mantener la relación que la vincula a los vértices.

No obstante, también podemos desplazar toda la circunferencia (clic y arrastre), llevándonos con ella los puntos y el triángulo. Pero en este último caso lo único que conseguimos es situar la construcción en otra región del plano, simplemente, sin variar en nada las propiedades intrínsecas de los objetos geométricos implicados, al contrario de lo que pasa al mover un punto libre.

Por último, para localizar el centro de la circunferencia -el circuncentro del triángulo-debemos buscar un punto que esté en la mediatriz de A y B (pues ahí están todos los que equidistan de A y B) y que también esté en la mediatriz de B y C (pues ahí están todos los que equidistan de B y C). Evidentemente, el punto lo encontraremos en la intersección de ambas mediatrices. Observemos que las mediatrices pueden entenderse como "mediatrices de los lados" del triángulo o como "mediatrices de las cuerdas" de la circunferencia, pues los segmentos son los mismos.

Sin embargo, supondremos estos conceptos matemáticos ya conocidos y optaremos por la vía más rápida. Simplemente pediremos a GeoGebra que nos indique el centro de la circunferencia creada.

Etapa 3 [videoclip]

• Seleccionar Centro.

• Clic sobre la circunferencia.

Justo después, sin pulsar nada más, escribir

con el teclado la letra O. Surgirá un cuadro emergente con la letra O escrita en el campo de introducción de texto. Pulsar OK.

En el último paso hemos aprovechado que acabamos de crear el circuncentro para inmediatamente renombrarlo con la letra O (le hubiera correspondido la letra D).

También podríamos renombrarlo en otro momento, escogiendo de nuevo Elige-y-Mueve, haciendo clic sobre el punto con esa herramienta para "marcarlo" y escribir O.

► 2. Applets en páginas web

► 2.1 Introducción

Idea general

GeoGebra permite de una forma muy sencilla incorporar cualquier construcción a una página web, creando así una "miniaplicación" web. Cada una de estas miniaplicaciones responde al término informático de "applet" (se suele usar en género masculino). Una misma página web puede constar de más de un applet (si bien, lo más recomendable es que contenga sólo uno o los menos posibles).

Los applets son escenas interactivas que sirven de ayuda a la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas. Pero generalmente necesitan del complemento de una serie de preguntas que oriente y dirija la atención de los estudiantes en una determinada dirección. Los enunciados de introducción y de estas preguntas, a la vez que ejercitan la comprensión lectora, exigen un esfuerzo personal para alcanzar una respuesta coherente con lo observado o manipulado.

Si algún applet ocupa demasiada altura para verlo completo, podemos pulsar F11 para dedicar toda la pantalla del navegador al applet.

En la sección Otros modelos pueden verse distintos ejemplos de este planteamiento didáctico.

Applets de Java

Todas las construcciones presentadas en estos materiales lo hacen a través de páginas web que contienen un applet de GeoGebra, encargado de mostrar la construcción correspondiente. Los applets de GeoGebra son un caso particular de applets de Java, el lenguaje en el que está escrito GeoGebra. Otros programas usados en la enseñanza, como Descartes o JClic, también crean applets de Java.

Gracias a los applets podemos compartir construcciones en Internet. Lo único que necesita un usuario para usarlas es una conexión a Internet y tener instalada la plataforma Java en su ordenador. Esto significa que no es necesario tener instalado GeoGebra para ver y usar un applet de GeoGebra.

Recordemos que disponer de diversas formas de descargar archivos de Internet no nos da licencia para apropiarnos de su autoría. Incluso aunque no se advierta expresamente, por pura honradez (incluso aunque no exista ánimo de lucro) deberemos hacer constar su procedencia en cualquier tipo de publicación en donde utilicemos ese material y, si se conoce, su autoría.

Muchas de las construcciones de GeoGebra que podemos encontrar en Internet disponen de licencia Creative Commons del tipo ShareAlike (o en España, Creative Commons Reconocimiento-CompartirIgual), lo que significa que tenemos libertad para su uso, modificación y publicación, siempre que mencionemos tanto la autoría como esta misma licencia de uso.

Creación de un applet de GeoGebra

Para crear una página web con el applet correspondiente a una construcción, basta abrir esa construcción con GeoGebra, ir al menú Archivo y usar la opción "Exporta Hoja Dinámica como Página Web (html)".

► 2.2 Usar applets

Applets sin barras

Este es el tipo de applet más frecuente. El menú, la Barra de Herramientas y la Barra de Entrada pueden ser usados en el proceso de realización de la construcción, pero no se desean mostrar una vez realizada. Con ello, se pretende focalizar la atención exclusivamente en la Vista Gráfica. En algunos casos también se muestra la Vista Algebraica o la Hoja de Cálculo.

Clic en la imagen para abrir el applet de GeoGebra

Applets con barras

El más sencillo applet con barras consiste en presentar una réplica de la ventana completa de GeoGebra, en blanco. Esto resulta muy práctico para trabajar con GeoGebra sin necesidad de tenerlo instalado en el ordenador local.

Clic en la imagen para abrir el applet de GeoGebra

Con frecuencia este tipo de applets se sustituye por un botón que abre la aplicación GeoGebra en una ventana independiente (como si la tuviésemos instalada en nuestro ordenador). Cuando exportamos la construcción como página web (lo que veremos con detalle en el siguiente apartado) podemos elegir esta opción general.

Naturalmente, también podemos mostrar las barras en applets no vacíos.

Applets con barra de herramientas personalizada

Resulta habitual encontrarnos con applets con la barra de herramientas modificada. Las razones pueden ser varias. En el siguiente ejemplo sólo se muestran las herramientas necesarias para alcanzar el objetivo propuesto, obviando aquellas pertenecientes a otro nivel u otro tipo de actividades, lo que facilita el uso del applet.

Clic en la imagen para abrir el applet de GeoGebra

En otros casos, vemos que se han añadido herramientas personales especialmente diseñadas para facilitar el uso de una construcción concreta. En el apartado Otros

modelos podemos ver algunos ejemplos (Poliominós, Azulejos y Eratóstenes).

Barra de Navegación por Pasos de Construcción

Independientemente de las barras anteriores, podemos optar por mostrar la Barra de Navegación (menú Vista). Esta barra permite visualizar secuencialmente los pasos de la construcción. Veamos un ejemplo, en donde hemos elegido la opción "Definición" en el menú Opciones > Álgebra.

Clic en la imagen para abrir el applet de GeoGebra

Opcionalmente, podemos también elegir qué pasos se visualizarán a la vez, como si fueran uno, fijando puntos de interrupción en el Protocolo de Construcción, que se puede abrir desde la propia Barra de Navegación (botón situado a la derecha). En el siguiente módulo se ofrecen más detalles.

Applets con animación automática

Suelen ser applets expositivos, que usan el movimiento para atraer la atención sobre determinadas características o relaciones entre los objetos mostrados. La animación se activa o desactiva mediante el botón Reproducir/Parar situado en la esquina inferior izquierda de la Vista Gráfica.

Clic en la imagen para abrir el applet de GeoGebra

Propiedades de los applets

En el apartado Propiedades se detallan todas las propiedades que pueden configurarse en un applet. Podemos configurar las principales en el momento de exportar la construcción como página web. Además del nombre del applet y si se abrirá como applet integrado en una página web o como ventana independiente, podemos decidir:

• Si permitimos el uso del clic derecho o no.

• Si permitimos arrastrar los rótulos desplazables o no.

• Si mostramos en la esquina superior derecha el botón de reinicio del applet.

• Si permitimos abrir la construcción en una ventana independiente al hacer doble clic sobre el applet.

• Si mostramos la Barra de Menú.

• Si mostramos la Barra de Herramientas.

• Si mostramos el texto de ayuda de la Barra de Herramientas.

• Si mostramos la Barra de Entrada.

El resto de las propiedades que podemos configurar (realizando los cambios directamente en el código html de la página web) son, entre otras:

• Si permitimos desplazar la Vista Gráfica con el ratón pulsando la tecla Ctrl o Mayús.

• Si permitimos que aparezcan menús emergentes cuando haya ambigüedad sobre el objeto elegido.

• Las herramientas que se van a mostrar (por defecto serán las mismas que en el momento de exportar).

• El idioma de la interfaz (español, catalán, euskera, gallego u otro).

• Si se permiten avisos de error.

¿Dónde está GeoGebra?

El programa GeoGebra se encuentra distribuido entre varios archivos de Java (extensión JAR), el principal de los cuales se llama "geogebra.jar". Para que el applet funcione, estos archivos tienen que poder ser localizados por la página web.

Existen varias posibilidades:

1) Esos archivos sólo están en una carpeta de nuestro disco duro. En este caso, podremos ver los applets solamente en nuestro ordenador.

2) Hemos subido una copia de esos archivos a una carpeta de nuestro servidor. En tal caso, desde cualquier ordenador que tenga Java instalado podremos acceder a los applets.

3) Esos archivos se recogen de la página oficial de GeoGebra. Además del acceso universal, en este caso no necesitaremos subir los archivos JAR a nuestro servidor.

En los siguientes apartados se analizan con detalle estas y otras opciones.

► 2.3 Crear applets

Exporta Hoja Dinámica como Página Web (html) ...

Esta opción del menú Archivo exporta la construcción para su visualización en Internet, es decir, como applet dentro de una página html. [videoclip]

Si la construcción no ocupa todo el espacio de la Vista Gráfica, podemos limitar la zona que queremos exportar como página web de las siguientes formas:

• Enmarcando con el ratón la zona a exportar (clic sobre una posición libre de la Vista Gráfica y arrastrar). [videoclip]

• Moviendo la construcción (herramienta Desplazar-Vista) hasta la esquina superior izquierda de la Vista Gráfica y reduciendo

posteriormente el tamaño de la ventana de GeoGebra arrastrando la

esquina inferior derecha con el ratón. [videoclip]

• Estableciendo numéricamente las dimensiones del applet (ver más adelante).

El archivo HTML exportado (por ejemplo, cuadrado.html) puede abrirse con cualquier navegador de Internet (Firefox, Chrome, IE, Safari...). Por supuesto, se puede editar con cualquier procesador de texto (Bloc de Notas, OpenOffice Writer, Word...) o con un editor de páginas web (NVU, DreamWeaver, FrontPage, Kompozer...). [videoclip] También se pueden copiar y pegar los applets de una página a otra, con lo que podemos tener una única página web con varios applets (se recuerda que no es recomendable, en principio).

Para poder ejecutar los archivos jar de GeoGebra, la plataforma Java debe estar instalada en el ordenador. Se puede obtener Java, gratuitamente, en www.java.com

Si queremos usar las Hojas Dinámicas (nuestras o de otros) en una red local escolar, debemos pedir al administrador de la red que instale Java en los equipos.

Opciones

Campos básicos: Título, autor y fecha.

Campos generales: Texto anterior (por ejemplo, introducción) y posterior (por ejemplo, preguntas) a la construcción.

Opción general: Se puede elegir entre insertar la construcción directamente en la página web (Hoja Dinámica) o insertar un botón que abra la construcción al ser pulsado.

Opciones avanzadas

En el caso de haber elegido la Hoja Dinámica, podemos establecer las siguientes opciones:

Clic derecho habilitado. Activada, permite al usuario acceder al menú contextual.

Activa Desplazamiento de Rótulos. Activada, permite al usuario mover los rótulos de los objetos.

Mostrar el icono de reinicio de construcción. Activada, permite devolver el applet al estado original.

Un doble clic abre la ventana de la aplicación. Activada, permite abrir la construcción con la aplicación GeoGebra en una ventana independiente.

Mostrar la Barra de Menú. Activada, muestra la barra superior con los menús, pero no se permitirá guardar o imprimir a no ser que se active la casilla correspondiente.

Mostrar la Barra de Herramientas. Activada, muestra la barra con las herramientas (tal y como se encuentre configurada en el momento de la exportación), pero no aparecerán los botones de Deshacer y Rehacer a no ser que se active la siguiente casilla: Guarda, Imprime, Deshace. Si no se activa, estas opciones

permanecerán deshabilitadas.

Mostrar Ayuda de la Barra de Herramientas. En el caso de estar activada la opción de Mostrar la Barra de Herramientas, esta opción nos permite elegir entre mostrar o no el texto de ayuda de empleo de cada una de ellas.

Mostrar la Barra de Entrada. Activada, muestra la barra de Entrada, formada por el Botón de Ayuda a la Entrada, el Campo de Entrada y las listas desplegables de operadores, funciones, constantes, letras griegas y comandos.

Ancho

y Altura

. Permite establecer el ancho y alto del applet.

La última opción avanzada, por su importancia, la analizaremos por separado en el siguiente apartado.

Dos formas de exportar

GeoGebra ofrece dos formas básicas de construir la página web a partir de la construcción. Una vez abierta la ventana de Exporta Hoja Dinámica como Página Web, se puede elegir entre ambas en la pestaña Avanzado, panel Archivos, activando o no la casilla "ggb Archivo & jar Archivos".

ggb Archivo & jar Archivos

Si la activamos, se copian los archivos "jar" junto al html y en caso contrario se cargan desde la página de GeoGebra.

Se ofrecen más detalles en los siguientes apartados.

Incluyendo archivos ggb y jar

Si se activa la casilla "ggb Archivo & jar Archivos", al exportar se generará una página web que llamará a la aplicación GeoGebra (archivo geogebra.jar y otros archivos "jar") para que a su vez abra la construcción realizada (archivo ggb). El archivo "geogebra.jar"

y los otros archivos auxiliares de Java, se añadirán en la misma carpeta en la que se encuentra el archivo. Así pues, en la misma carpeta se crearán:

• El archivo html (por ejemplo, cuadrado.html): es la hoja dinámica o página web.

• El archivo ggb (por ejemplo, cuadrado.ggb): es la construcción realizada con GeoGebra.

• Los archivos jar (geogebra.jar y otros): son los archivos de GeoGebra que interpretan el archivo ggb y permiten visualizar e interactuar con el applet en la hoja dinámica.

Al no depender de Internet, esta opción ofrece varias ventajas:

• No es necesario disponer de conexión.

• Se llamará siempre a la misma versión de archivos "jar", es decir, de GeoGebra, garantizando que cualquier construcción se comportará siempre de igual manera, sin importar la versión actual de GeoGebra.

Por otra parte, ofrece el siguiente inconveniente:

• Hay que mantener sin romper los enlaces entre la página web (archivo html) y el resto de los archivos (ggb y jar), lo que dificulta el intercambio de applets entre diferentes usuarios.

Si los archivos "jar" (de los cuales el principal es geogebra.jar, pero hay más) se guardan en lugares distintos cada vez que exportamos una

construcción como página web, no sólo repetiremos innecesariamente los archivos, sino que además al subirlos a Internet haremos que la descarga de los applets sea muy lenta, ya que el navegador tendrá que descargar los mismos archivos una y otra vez.

Una solución fácil es colocar todas las construcciones en la misma carpeta donde se encuentran los archivos "jar".

Otra solución consiste en colocar todos los "jar" en una carpeta (llamada, por ejemplo, "jar") y el resto de las construcciones en subcarpetas o carpetas paralelas. En el primer caso, en el código fuente de cada html habrá que sustituir la expresión archive = "geogebra.jar" por archive =

"../geogebra.jar" y en el segundo por archive = "../jar/geogebra.jar".

Sin incluir archivos ggb y jar

Si no se activa la casilla "ggb Archivo & jar Archivos" se guardará una única página web con todo lo necesario (excepto la plataforma Java, claro) para visualizar la construcción, siempre que dispongamos de conexión a Internet. En esta página web irá incluida la propia construcción, codificada en base 64 (una larga cadena de caracteres), y una llamada a la página oficial de GeoGebra para descargar desde ella los archivos "jar"

correspondientes al programa GeoGebra.

Esta opción ofrece varias ventajas:

• No hace falta preocuparse de dónde están los archivos "jar" porque los descargará desde Internet (desde la dirección www.geogebra.org/webstart/3.2/unsigned/).

• No hace falta preocuparse de dónde está la construcción porque se encuentra integrada en el archivo html.

Por otra parte, al depender de Internet, ofrece los siguientes inconvenientes:

• Es necesario disponer de conexión.

• No cargará siempre la misma versión de archivos "jar", es decir, de GeoGebra, porque se actualizan con cierta frecuencia. Esas actualizaciones podrían provocar algún efecto no deseado (ya ha sucedido en alguna ocasión) con determinadas construcciones.

Ejemplo de exportación como página web

Página web con applet en blanco

Hemos exportado con los siguientes datos:

Título: Construcción de un cuadrado

Autor: Exox Mi

Fecha: 22 de febrero de 2222

Texto anterior: Con sólo las herramientas Intersección de Dos Objetos, Segmento y Circunferencia hay que construir un cuadrado de dimensiones variables.

Texto posterior: Un doble clic sobre el applet abre la construcción con GeoGebra en una nueva ventana.

Opciones: Todas activadas, excepto la última (de esta forma se impide la conexión a Internet para buscar el archivo geogebra.jar).

Clic en esta imagen abre la construcción de GeoGebra

Propuesta de trabajo

Convertir en applet una construcción cualquiera, de forma que vaya a buscar el archivo geogebra.jar a Internet.

Comentarios

Investigación:

• Buscar en Internet en qué consiste exactamente un archivo de extensión "jar".

• Buscar en Internet qué diferencia hay entre enlaces absolutos y enlaces relativos desde páginas web.

► 2.4 Propiedades

La etiqueta applet

Los applets tienen por defecto una serie de propiedades, algunas de las cuales están regidas por los valores de ciertos parámetros presentes en la página web que podemos ajustar a nuestras necesidades. Muchos de ellos son configurables desde la propia construcción, mediante casillas de elección, en el momento de crear el applet (como hemos visto en la sección anterior). Tanto en estos como en los demás, podemos modificar el valor directamente en el código fuente de la página web (html).

La etiqueta para iniciar un applet es <applet ... >:

<applet (propiedades)>

(aquí los parámetros del applet)

</applet>

La etiqueta </applet> indica la finalización de la instrucción "applet".

Las propiedades del applet son las siguientes.

Propiedades básicas

Ejemplos de sintaxis

Descripción

code = "geogebra.GeoGebraApplet"

La propiedad code especifica el tipo de applet

que se desea abrir. No tocar.

codeBase = "./"

La propiedad codeBase especifica la ruta de

directorios para la localización del applet. Si no

se especifica, asume la misma que aparece en

la URL del archivo html, es decir, la ruta de la

página web. Por ejemplo:

http://mi web.com/mispaginas/

archive = "../geogebra.jar"

La propiedad archive especifica la ruta

completa (incluido nombre del archivo) donde

archive =

se encuentra la aplicación que se debe usar

"http://www.geogebra.org/webstart/

para interpretar el applet. En este caso,

3.2/unsigned/geogebra.jar"

debemos señalar la dirección (absoluta o

relativa) en donde se encuentre el ejecutable

"geogebra.jar".

width = "750"

Ancho de la ventana del applet, en píxeles.

height = "550"

Alto de la ventana del applet, en píxeles.

Propiedades avanzadas

Si además deseamos que la construcción se comunique con algún código JavaScript presente en la página web, necesitamos darle un nombre al applet, imprescindible para que el programa JavaScript recoja o envíe información a la construcción de GeoGebra: name = "Entrada"

Nombre del applet, como objeto integrado en

el archivo html, para poder referirnos al él

(puede haber varios applets en una misma

página web). Esto permite a JavaScript recibir

o pasar información al archivo GeoGebra.

Por último, si queremos que la construcción GeoGebra envíe información al JavaScript, necesitamos incorporar una propiedad más.

MAYSCRIPT

Añadiendo esta propiedad permitimos al

archivo GeoGebra enviar información al

JavaScript (que a su vez puede enviarla a otro

applet).

Los parámetros del applet

Se habrá observado que entre las propiedades del applet de GeoGebra no figura lo más importante: el nombre de la construcción que deseamos mostrar. Esto es así porque o bien ese nombre, junto con otras variables, forma parte de los parámetros del applet, o bien la propia construcción se incluye, completa y codificada, como un parámetro más.

Entre las etiquetas <applet ...(propiedades)...> y </applet> podemos introducir varios parámetros. Su sintaxis general es:

etiqueta: param

propiedades: name y value

Por ejemplo:

<param name = "filename" value = "cuadrado.ggb" /> Como valor del nombre del archivo se indicará la dirección relativa al mismo.

La barra inclinada / final permite cerrar la etiqueta en la misma etiqueta (param) de apertura.

Los parámetros del applet (en realidad, las distintas propiedades de la misma etiqueta param) son los que se detallan a continuación. En el caso de que exista un valor por defecto, aparece en primera posición.

Parámetros configurables desde la construcción

El único parámetro necesario es el que ya hemos mencionado, el parámetro name (o bien el parámetro ggbBase64 si la propia construcción se encuentra codificada -usando base 64- en el applet). Todos los demás parámetros son opcionales.

Los que siguen a continuación son todos los parámetros que GeoGebra nos permite configurar directamente al usar la opción del menú Archivo opción "Exporta Hoja Dinámica como Página Web (html)", como se muestra en la sección "Crear applets".

Seguiremos el mismo orden en que allí aparecen.

Ejemplos de sintaxis

Descripción

name = " filename"

value = Nombre de la construcción (archivo ggb).

"cuadrado.ggb"

name = " type" value = "button"

Si se usa este parámetro sólo se mostrará un

botón que abrirá la aplicación en una ventana

independiente.

name = " enableRightClick" value Clic derecho habilitado. Permite usar el botón

= "true"

derecho del ratón (menú contextual). Si se

desactiva no se podrá disponer de los menús

name = "enableRightClick" value = contextuales, cuadros de diálogo de

"false"

propiedades o zoom mediante arrastre con el

botón derecho pulsado. También se

desactivarán algunas acciones de teclado,

como la tecla supr o la tecla F9 (recálculo),

siempre que la opción Mostrar la Barra de

Menú se encuentre desactivada.

name = " enableLabelDrags" Establece si se permite arrastrar los rótulos.

value = "true"

name = "enableLabelDrags" value

= "false"

name = " showResetIcon" value = Muestra el icono de reinicio de la construcción

"false"

en la esquina superior derecha del applet.

Haciendo clic en este icono se reinicia el

name = "showResetIcon" value = applet, es decir, se vuelve a cargar la

"true"

construcción.

name = " framePossible" value = Un doble clic abre la ventana de la aplicación.

"true"

Establece si se permite abrir la aplicación

name = "framePossible" value = GeoGebra en una ventana independiente al

"false"

hacer doble clic sobre el applet. Este

parámetro se ignora si se ha incluido el

parámetro name = "type" value = "button".

name = " showMenuBar" value = Mostrar la Barra de Menú.

"false"

name = "showMenuBar" value =

"true"

name = " showToolBar" value = Mostrar la Barra de Herramientas. Recordemos

"false"

que esta barra de herramientas puede ser

configurada para que sólo aparezcan las

name = "showToolBar" value = herramientas que deseemos antes de exportar

"true"

la construcción como página web.

name = " showToolBarHelp" value Mostrar la Ayuda de la Barra de Herramientas.

= "false"

name = "showToolBarHelp" value =

"true"

name = " showAlgebraInput" Mostrar la barra de Entrada, que consta del value = "false"

Campo de Entrada y las listas desplegables de

operadores, símbolos y comandos.

name = "showAlgebraInput" value

= "true"

Parámetros no configurables desde la construcción

Los siguientes parámetros no pueden ser configurados desde la construcción, por lo que deben ser añadidos manualmente al código fuente.

Ejemplos de sintaxis

Descripción

name = " bgcolor"

value = Color de fondo del botón, como cadena

"#FFFFFF"

hexadecimal. El color por defecto es blanco.

Sólo tiene efecto cuando se ha activado el

name = "bgcolor"

value = parámetro:

"#C0FFC0"

name = " type" value = "button"

name = " borderColor" value = Color del borde del applet, como cadena

"#808080"

hexadecimal. El color por defecto es gris.

name = "borderColor" value =

"#FFFFFF"

name = " enableShiftDragZoom" Establece si se permite desplazar la Vista value = "true"

Gráfica con el ratón, al arrastrar mientras se

pulsa la tecla Ctrl (o Mayús), o realizar zoom

name = "enableShiftDragZoom"

con la rueda del ratón mientras se pulsa la

value = "false"

misma tecla, o realizar zoom arrastrando con

clic derecho el ratón. Desactivando esta opción

se impide el desplazamiento o escalamiento de

la Vista Gráfica.

name = " enableChooserPopups" Controla si se mostrarán menús emergentes value = "true"

de elección de objeto cuando se haga clic

sobre objetos muy próximos o solapados.

name = "enableChooserPopups"

value = "false"

name = " allowRescaling" value = Determina si se intenta reescalar o no el applet

"false"

cuando varíe el tamaño del applet (por

ejemplo, al hacer zoom en el navegador). No

name = "allowRescaling" value = se activa si la hoja de cálculo o la vista

"true"

algebraica son visibles.

name = " maxIconSize" value = Establece entre 16 y 32 píxeles el tamaño

"32"

máximo de los iconos de la barra de

Herramientas.

name = "maxIconSize" value =

"16"

name = " customToolBar" value = Establece manualmente la configuración

"0 | 1 2 | 3 , 4 || 5 7"

elegida para la Barra de Herramientas. Si no

se especifica, será la que tenga la construcción

(ya sea la inicial de GeoGebra o la guardada

por el autor). Los códigos numéricos

corresponden a cada una de las herramientas,

que aparecerán en el orden indicado. La coma

indica un separador horizontal en un menú, la

barra | indica el comienzo de un nuevo menú y

la doble barra || añade un separador vertical

antes de comenzar el nuevo menú. Todos los

valores y símbolos deben separarse entre sí

con un espacio. Las herramientas personales

tienen numeración correlativa a partir de 1001

(1001, 1002...). Los códigos del resto de las

herramientas se pueden ver en la tabla

siguiente a esta.

name = " language" value = "es" Establece el código de idioma ISO. Si no se (español)

especifica, GeoGebra intentará asignar el

idioma local automáticamente, en el caso de

name = "language" value = "ca" disponer del mismo (GeoGebra dispone de más (catalán)

de 40 idiomas), en caso contrario optará por el

name = "language" value = "eu" inglés. En la tabla de más abajo se pueden ver (euskera)

todos los códigos de idiomas que usa

GeoGebra.

name = "language" value = "gl"

(gallego)

name = " country" value = "AT" Establece el código de país ISO. Este (Austria)

parámetro sólo tiene sentido usado con el

anterior. Sirve para especificar algunas

diferencias idiomáticas entre países con la

misma lengua (como Alemania y Austria, por

ejemplo). En la tabla de más abajo se pueden

ver estos códigos.

name = " errorDialogsActive" Establece si mostrarán los cuadros de aviso de value = "true"

error cuando (a través de la Barra de Entrada

o mediante JavaScript) se realice una entrada

name = "errorDialogsActive" value

á

= "false"

inválida.

name = " java_arguments" value Permite dedicar memoria suplementaria (en

= "-Xmx512m"

MB) al applet. El valor por defecto es 512 MB.

name = "java_arguments" value =

"-Xmx256m"

name = " ggbOnInitParam" value Permite especificar el argumento que se

= "applet2"

pasará a la función de JavaScript ggbOnInit().

Esta función es llamada al iniciarse

name = "ggbOnInitParam" value = completamente el applet. Puede ser útil

"applet1"

cuando haya varios applets en una misma

página.

CÓDIGOS NUMÉRICOS DE LAS HERRAMIENTAS

0

1

2

4

16

10

55

36

30

25

40

39

5

15

3

51

34

56

46

29

52

41

59

19

45

8

53

57

38

54

17

42

18

9

11

12

49

32

26

27

7

13

24

50

31

14

28

37

44

20

33

35

58

22

6

47

21

23

CÓDIGOS DE IDIOMA ISO

alemán

árabe

bosnio

búlgaro

catalán

checo

de

ar

bs

bg

ca

cs

chino

coreano

croata

danés

eslovaco

esloveno

zh

ko

hr

da

sk

sl

español

estonio

euskera

finés

francés

galés

es

et

eu

fi

fr

cy

gallego

georgiano

griego

hebreo

holandés

húngaro

gl

ka

el

he

nl

hu

indonesio

inglés

islandés

italiano

japonés

lituano

id

en

is

it

ja

lt

noruego

macedonio

noruego

bokmål

persa

polaco

portugués

mk

no

nb

fa

pl

pt

ruso

serbio

sueco

turco

vietnamita

ru

sr

sv

tr

vi

CÓDIGOS DE PAÍS ISO

Estados

Reino

Unidos

Unido

Australia Alemania Austria Portugal

Brasil

US

GB

AU

DE

AT

PT

BR

Ejemplo de código HTML de un applet

Para realizar esta práctica necesitamos disponer de varios archivos. Estos archivos se encuentran en el archivo comprimido "prueba.zip".

Etapa 1

• Guardar el archivo prueba.zip (clic derecho, Guardar destino como...) en el disco duro.

• Descomprimir el archivo. Aparecerá una carpeta llamada "prueba" que contiene los archivos prueba.html, prueba.ggb y los archivos jar de GeoGebra.

El archivo prueba.html es una página web que incluye la construcción de GeoGebra presente en el archivo prueba.ggb.

El código fuente del applet, dentro del archivo prueba.html, es:

<applet code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="./"

archive="geogebra.jar" width="1000" height="750" >

<param name="filename" value="prueba.ggb" >

<param name="showResetIcon" value="true" > Lo sentimos, el applet de GeoGebra no pudo iniciarse. Por favor, asegúrate que en tu navegador se encuentra instalada y activada la versión 1.4.2 o superior de Java. (<a href="http://java.sun.com/getjava">Haz clic aquí para instalar Java ahora.</a>)

</applet>

Obviando el texto "Lo sentimos..." que aparecerá cuando el applet no pueda cargarse debido a que en el ordenador del usuario no está instalado Java, el código anterior se traduciría como:

• Usar Java para abrir la miniaplicación de GeoGebra (applet code="geogebra.GeoGebraApplet") que se encuentra en la misma dirección relativa que acompañará al nombre del archivo (codebase="./").

• Para ello, cargar en Java el programa GeoGebra que se llama "geogebra.jar" que se halla en esta misma carpeta (archive="geogebra.jar").

• Reservar un ancho de pantalla de 1000 píxeles (width="1000") y un alto de 750

píxeles (height="750").

• El archivo que se debe abrir se halla en esta misma carpeta y se llama

"prueba.ggb" (name="filename" value="prueba.ggb").

• Además, se debe mostrar el icono de reinicio del applet en la esquina superior derecha (name="showResetIcon" value="true").

Vamos a añadir una opción para un parámetro. En concreto queremos añadir, dentro del applet, la etiqueta:

<param name = "enableShiftDragZoom" value = "false" /> que impide el desplazamiento o escalamiento de la Vista Gráfica.

Etapa 2

• Editamos el archivo prueba.html con un editor de texto (como el Bloc de Notas o el Writer de Open Office) o con un editor de páginas web. Si elegimos un editor de texto con formato (como Word) debemos tener cuidado en guardar el archivo, cuando acabemos, como texto plano (sin formato).

[videoclip Bloc Notas] [videoclip Open Writer] [videoclip FrontPage]

Ahora añadiremos el parámetro.

• En el editor de texto, o en la vista HTML de un editor de páginas web,

localizamos el párrafo que comienza por <applet y colocamos el cursor justo después de:

<param name="showResetIcon" value="true" > Ahora basta escribir:

<param name = "enableShiftDragZoom" value = "false" /> Ya hemos terminado, basta guardar el archivo y salir.

Propuesta de trabajo

En el mismo archivo prueba.html, añadir parámetros que modifiquen la Barra de Herramientas visibles de forma que sólo se permita crear o borrar rectas (ni siquiera se permita mover la Vista Gráfica ni seleccionar o mover los objetos).

Comentarios

Las páginas web se han convertido en un soporte habitual de la información. Es interesante distinguir al menos las etiquetas más usadas, como las etiquetas encargadas de insertar imágenes o enlaces.

Investigación:

• Buscar en Internet información básica acerca del lenguaje de etiquetas html.

► 3. Uso de construcciones

► 3.1 Introducción

Reconfiguraciones

En Internet se pueden encontrar muchas construcciones y applets de GeoGebra de los que podemos servirnos. Aquí analizaremos distintos tipos de construcciones que podemos encontrar y sus principales características.

Una estrategia general que suele dar muy buenos resultados es intentar variar de alguna forma (valores, posición, estado de casillas de control...) los diversos objetos que aparecen en la Vista Gráfica. No debemos ser demasiado "prudentes" con los applets, no hay peligro de que algo se estropee. En último caso, si perdemos el control, basta reiniciar la página web.

En cuanto a las construcciones (archivos GGB) que queramos adaptar conviene crear previamente, siempre, una copia de seguridad del archivo original. De este modo nos encontraremos mucho más confiados al explorar y modificar algún elemento de la construcción.

► 3.2 Moverlo todo

Construcciones adversus dibujos

Las herramientas de GeoGebra no son herramientas de edición gráfica. Ni siquiera existe una herramienta para copiar una zona de la pantalla. Lo más parecido que existe es copiar el valor de un objeto o copiar su estilo.

Si, por alguna razón especial, lo que deseamos es realizar una copia de la figura construida en otra zona de la Vista Gráfica (o incluso superpuesta a la original), lo más sencillo es crear un vector, elegir la herramienta

Traslada, y después de seleccionar toda la figura (por ejemplo enmarcándola mediante un arrastre del ratón) hacer clic sobre el vector de traslación (que debe ser (0,0) para lograr una superposición). Se debe tener en cuenta, no obstante, que con este procedimiento todos los objetos libres se convierten en dependientes y tampoco conservan el estilo de los objetos originales.

Construir no es lo mismo que dibujar. En una construcción unos elementos se apoyan en otros. La eliminación de un solo elemento puede provocar la eliminación de toda la construcción.

Además, los elementos no se relacionan entre sí por cercanía, ni por tamaño, ni por color. Se relacionan por mantener una dependencia, añadir unas limitaciones.

Sin embargo, las construcciones, consideradas como imágenes, se pueden exportar (menú Archivo) en formato vectorial para su uso en un editor de gráficos vectoriales. Un punto que hemos colocado con GeoGebra sobre una recta, puede ser desplazado de ella exportando la imagen vectorial y abriéndola con un editor de gráficos vectoriales.

Por otra parte, los dibujos (o cualquier otra imagen) pueden ser de ayuda como modelo a reproducir en forma de construcción, como fondo de la pantalla a modo de planilla, o como un elemento más de la construcción, susceptible de ser transformado por diversas operaciones geométricas. (Para más información, ver sección 5.4: Imágenes.)

Queremos proponer un modelo de actividad como ejemplo de la diferencia existente entre construcción y dibujo.

Para ello, construiremos triángulos con apariencia de triángulo equilátero. Todos serán iguales a la vista... hasta que se tire de sus vértices. Al hacerlo, revelarán las propiedades geométricas que los distinguen.

Herramientas y comandos

Usaremos las siguientes herramientas.

Punto

Intersección

Segmento

Perpendicular

Polígono

Circunferencia

La herramienta fundamental (Elige-y-Mueve) la damos por supuesta.

Propuesta de trabajo

Con las herramientas anteriores, proponemos construir en la Vista Gráfica tres triángulos con estas características:

• Todos deben ser diferentes (equilátero, isósceles, escaleno).

• Todos deben tener la misma apariencia de triángulo equilátero, todos ellos congruentes entre sí.

[videoclip]

Como construcción de referencia, se puede ver el archivo:

Clic en esta imagen abre la construcción de GeoGebra

en donde hemos realizado algo similar pero con aspecto de cuadrados en vez de triángulos equiláteros. Hacemos doble clic sobre el applet para abrir la construcción en

una nueva ventana. En él hemos construido ocho cuadriláteros donde sólo uno de ellos es un cuadrado legítimo y los demás son todos ellos de diferente tipo.

Revisión del modelo ya realizado

• Usamos la Barra de Navegación para ir viendo toda la construcción paso a paso.

• Observamos la relación de cada objeto con los anteriores.

Ahora realizaremos nuestra propia construcción.

Realización de nuestro propio modelo

• Las herramientas que figuran arriba son más que suficientes.

• Procuremos ser ordenados y claros en el proceso constructivo.

• Nunca debemos olvidar el cuidado de una cierta estética que añada atractivo a la construcción.

Ejemplo de construcción similar

Ocho cuadrados

Intentando mover los vértices de cada cuadrilátero podemos descubrir cuál es el único que realmente es un cuadrado.

Clic en esta imagen abre la construcción de GeoGebra

Comentarios

Diferenciar un dibujo de una construcción geométrica requiere cierto entrenamiento, una mirada más abstracta, más inteligente (menos sensorial y más intelectual), sobre lo que vemos. Justamente en esta diferencia reside el contenido matemático que subyace bajo la figura.

La rapidez con la que, gracias a GeoGebra, podemos verificar las variaciones y los invariantes de las figuras al desplazar los puntos que las componen, hace de GeoGebra un excelente recurso para entrar veloz y profundamente en el centro de ese contenido geométrico.

La comprensión que se alcanza mediante esta interacción con las figuras no sólo es mucho más rápida que mediante otros métodos sino que además es más permanente y sólida. Lo que a priori era una desventaja (ver con los ojos en vez de con "la mente") se convierte en un aliado ("los ojos" refutan su propia conjetura al observar el comportamiento de la construcción).

Investigación:

• Resulta interesante proponer formas distintas de construcción de un mismo objeto geométrico, incluso conservando todas las propiedades que le caracterizan (es decir, una verdadera construcción geométrica). En el ejemplo anterior aparece una forma de construir un cuadrado. ¿Conocemos, o podemos descubrir, otras?

► 3.3 Controles

Objetivos

Describiremos los distintos métodos de control que podemos encontrarnos, particularmente:

• La Barra de Menús

• La Barra de Herramientas

• La Barra de Entrada

• La Barra de Navegación

• La Vista Algebraica

• La Hoja de Cálculo

• El botón Reiniciar

• El botón Reproduce-Pausa

• Los deslizadores

• La propiedad Condición de Visibilidad

• La opción Atracción a la Cuadrícula

• Teclas especiales

Las barras de menús, herramientas y entrada

Estas barras forman parte de la interfaz habitual de la ventana de GeoGebra al realizar la construcción. Por defecto, no se muestran en los applets. Para hacerlas visibles existen dos posibilidades:

• Abrir la construcción GGB y volver a exportarla como página web con las opciones

deseadas. (Ver sección 2.3: Crear applets.)

• Editar el código html y añadir los parámetros correspondientes.

Esta segunda forma es, sin duda, la más rápida. Recordemos que lo único que necesitamos es añadir en la zona donde están las etiquetas del tipo:

<param name = " filename" value = "miconstruccion.ggb" /> las etiquetas deseadas para mostrar la barra de menús (MenuBar), la de herramientas (ToolBar) y la barra de entrada (AlgebraInput):

<param name = " showMenuBar" value = " true" />

<param name = " showToolBar" value = " true" />

<param name = " showAlgebraInput" value = " true" />

Si hemos decidido mostrar la barra de herramientas y además deseamos que se muestren en ella los textos de ayuda sobre cómo usar cada una de las herramientas debemos añadir la etiqueta:

<param name = " showToolBarHelp" value = " true" /> Recordemos también que para personalizar la barra de herramientas, mostrando únicamente las deseadas, debemos abrir la construcción, realizar las modificaciones en el menú Herramientas > "Personalizar Barra de Herramientas" y volver a guardar la construcción.

La Vista Algebraica, la barra de navegación y la hoja de cálculo En este caso, la forma de mostrarlas en los applets consiste simplemente en abrir la construcción GGB, hacer visibles, desde el menú Vista, las zonas deseadas, y volver a guardar la construcción.

Recordemos que en el menú Opciones podemos elegir de qué forma se mostrarán los objetos en la Vista Algebraica (valor, definición o comando).

Para ver detalles acerca de la Barra de Navegación (incluido el Protocolo de Construcción), ir al Menú Vista de la sección de Ayuda. Observemos también que la opción "División Horizontal" de este menú nos permite variar la disposición de la Vista Algebraica y la Hoja de Cálculo respecto a la Vista Gráfica (a izquierda y derecha o por debajo).

Ver videoclip

Por su parte, la Hoja de Cálculo puede tener otros usos, además del evidente al que alude su nombre. Puede recoger información de los puntos móviles, puede servirnos para rápidamente crear objetos "en cascada", puede usarse como plantilla de autocorrección...

El botón Reiniciar

Podemos mostrar el botón “Reiniciar el applet” en la esquina superior derecha de la Vista Gráfica. Al igual que anteriormente, para hacerlo visible existen dos posibilidades:

• Abrir la construcción GGB y volver a exportarla como página web una vez elegida

esa opción. Para detalles, ver sección 2.3: Crear applets.

• Editar el código html y añadir el parámetro correspondiente:

<param name = " showResetIcon" value = " true" /> Deslizadores y botón Reproduce/Pausa

El uso de deslizadores facilita en gran medida la variación de valores numéricos (o angulares) de forma fácil y rápida por parte del usuario.

En algunos applets podemos encontrarnos con el botón

Reproduce (o

Pausa) en la

esquina inferior izquierda de la Vista Gráfica. Este botón aparece al dotar de animación automática a un deslizador. Observemos que el deslizador puede estar oculto (y a menudo lo está) mientras se produce la animación automática.

Para más detalles, ver sección 1.12: Anima.

Condición de visibilidad

La herramienta Casilla de control se usa generalmente para permitir al usuario ocultar a voluntad algunos de los objetos de la Vista Gráfica.

Al hacer clic con esta herramienta sobre el Vista Gráfica se crea una casilla de control. Se trata, en realidad, de una variable booleana que puede tomar los valores true (1) o false (0). En la ventana emergente se puede especificar qué objetos quedarían afectados por el estado de tal casilla.

Puede verse otro ejemplo de uso de una casilla de control en el apartado 1. 14: Un truco.

También podemos escribir directamente cualquier expresión lógica en la pestaña Avanzado de las propiedades de cualquier objeto. Por ejemplo, para establecer que un punto A será visible sólo si está ubicado en el primer cuadrante la condición será: x(A) ≥ 0 && y(A) ≥ 0

Se pueden usar condiciones de visibilidad asociadas al valor de un deslizador. Eso permite dividir una sola construcción en varias escenas distintas (independientes o no) según el valor que tome el deslizador en cada momento. Por ejemplo, un deslizador llamado "escena" que sólo pueda tomar los valores 1, 2 y 3, puede servirnos para controlar tres escenas diferentes simplemente estableciendo como condición de visualización para los objetos de la escena 1 la expresión:

escena == 1

y análogamente para las otras dos escenas. Parece un trabajo que lleve bastante tiempo, si hay muchos objetos, pero en realidad se hace rápido debido a la facilidad con la que se pueden efectuar cambios masivos en los objetos a través del menú Edita > Propiedades.

Atracción a la cuadrícula

Además de decidir si los Ejes o la Cuadrícula se visualizarán, e independientemente de que así sea, podemos limitar el movimiento de los puntos a las intersecciones de la Cuadrícula. Esto resulta particularmente útil al trabajar con números enteros, con geoplanos, con mosaicos y algún otro tipo de actividades que usa la Cuadrícula como plantilla.

Para más detalles, ver el apartado Propiedades de la Vista Gráfica de la sección de

Ayuda.

Teclas especiales

La tecla de función F9 permite el recálculo de todos los objetos. Resulta útil cuando en la construcción se utilizan números aleatorios, pues fuerza a que el programa los regenere.

La combinación de teclas Ctrl y F (inicial de Fresh) actualiza la Vista Gráfica. Es útil para limpiar los rastros de aquellos puntos u objetos que lo tuvieran activado.

Puntos semilibres

Los puntos semilibres son aquellos que se definen como puntos de alguna línea, quedando por lo tanto su libertad condicionada a las posiciones de los puntos de esa línea.

Evidentemente, los puntos semilibres son objetos esenciales en la mayoría de las construcciones de Geometría Dinámica, pues la elección de un punto cualquiera de un segmento, arco, etc. es muy habitual en los métodos constructivos. Pero también podemos usarlos para controlar los movimientos de otros objetos, como textos o imágenes.

Otros parámetros configurables

Como ya hemos avanzado en el apartado 2.4: Propiedades de los applets, existen varios parámetros que podemos configurar tanto al exportar la construcción a página web como editando directamente el archivo HTML. Dos de ellos, muy usados, son los siguientes.

• No permitir el uso del botón derecho del ratón, evitando de esta forma el acceso a las propiedades de los objetos:

<param name = " enableRightClick" value = " false" />

• Permitir abrir con un doble clic una ventana independiente de la aplicación:

<param name = " framePossible" value = " true" /> Hay otros dos parámetros muy interesantes que podemos considerar, aunque sólo se pueden editar directamente en la página web. Se detallan a continuación.

• No permitir el desplazamiento ni escalamiento de la Vista Gráfica mediante el uso combinado de tecla Ctrl y ratón. Con ello garantizamos la correcta visualización de los objetos en todo momento:

<param name = " enableShiftDragZoom" value = " false" />

• No permitir la aparición de ventanas emergentes de elección de objeto, ante una ambigüedad. Estas ventanas son muy prácticas, casi imprescindibles, al realizar una construcción, pero pueden resultar muy engorrosas en applets con objetos que, al moverse, se superponen con frecuencia en una misma capa:

<param name = " enableChooserPopups" value = " false" /> Propuesta de trabajo

Crear un applet con estas características:

• Debe poseer un deslizador numérico, que varíe entre 0 y 1 con incremento 0.001

(oscilante), llamado k. Este deslizador debe tener activada la Animación Automática y permanecer oculto (es mejor detenerlo antes de ocultarlo).

• Debe mostrar dos puntos cualesquiera A y B, libres, y un tercer punto C entre ellos definido como sigue (se puede copiar esta definición en la Barra de Entrada y pulsar Intro): C = A + (B-A) k

• El nombre de la construcción debe ser "correveydile.ggb"

• El nombre de la página web con el applet debe ser "correveidile.html"

• Las dimensiones del applet deben ser de 800x500 píxeles.

• Al abrir la página, en el applet deben estar visibles los botones y

.

• El usuario no debe disponer de ninguna forma de desplazar o escalar la Vista Gráfica, ni borrar el punto C. Sólo podrá mover los puntos A y B, y animar o parar el punto C.

Ejemplo de construcción similar

Tres tristes tigres

El siguiente ejemplo realiza lo mismo que se pide en la propuesta, salvo que con otro nombre y los objetos triplicados. También se han añadido tres imágenes móviles asociadas a los puntos C1, C2 y C3, y se ha activado el rastro de estos puntos.

Clic en esta imagen abre la construcción de GeoGebra

Comentarios

La mejor manera de conocer las posibilidades de combinación de todos estos elementos de control es mediante la observación de applets que los incorporen. En las páginas

"Otros modelos" de estos materiales se pueden encontrar muchos de ellos.

Investigación:

• En una determinada construcción, al mover una imagen aparecen otras dos, según la posición que ocupe la primera. ¿Cómo se habrá conseguido hacer esto? Dadas tres imágenes, se puede conseguir ese efecto sin necesidad de crear ni un solo objeto más. También se puede conseguir con textos en vez de con imágenes.

¿Cómo? Indicación: hacer uso del comando Esquina[imagen o texto, número de

esquina] en las condiciones de visibilidad.

► 3.4 Inspección

Herramientas de inspección

Si deseamos analizar cómo se ha realizado una construcción, GeoGebra dispone de varias herramientas y métodos que nos pueden ayudar en gran medida.

Los principales son:

• La herramienta Oculta-Objeto.

• Las distintas opciones de mostrar la Vista Algebraica.

• La Barra de Navegación.

• El Protocolo de Construcción.

• El editor de Propiedades.

• El uso de las teclas F3, F4 y F5.

La herramienta Expone/Oculta Objeto

Con la herramienta Oculta-Objeto (en el último panel de botones, el correspondiente a Escenario), al hacer clic sobre un objeto lo exponemos u ocultamos. Si hacemos doble clic en una zona vacía todos los objetos se expondrán.

Los objetos que se mantendrán ocultos se resaltan. Estos cambios se hacen efectivos al abandonar esa herramienta.

Debemos tener en cuenta que si usamos la Barra de Navegación para explorar la construcción sólo los objetos visibles se irán mostrando a medida que alcancemos el punto en el que se crearon.

Inspección de la Vista Algebraica

La visualización de la Vista Algebraica (menú Vista) nos permite explorar rápidamente los objetos de la construcción, salvo textos e imágenes -que no son objetos numéricos ni geométricos- y salvo los gráficos obtenidos con la herramienta o comando Lugar

Geométrico -cuya ecuación GeoGebra no calcula-. Debemos cerciorarnos de que se muestra también la carpeta con los Objetos Auxiliares (opción del menú Vista).

Recordemos que podemos elegir la forma de expresar en la Vista Algebraica cada objeto creado con una herramienta o comando. Hay tres tipos diferentes de expresión (menú Opciones > Álgebra): Valor, Definición y Comando. Cada una de ellas nos proporciona diferente tipo de información.

Además, la expresión numérica o algebraica de algunos objetos puede tener más de una forma, seleccionable a través del menú contextual (clic derecho) o -de manera más completa- en las propiedades del objeto.

Los puntos pueden mostrarse en coordenadas cartesianas o polares, o como números complejos; las ecuaciones de las rectas y semirrectas pueden ser generales, explícitas o paramétricas; la ecuación de la circunferencia puede expresarse en forma general (como cónica) o reducida:

Objeto

Opción

Valores

Comentario

Formato:

Punto

(a, b)

Coordenadas

Vector

(a; b)

a + b i

Recta

Ecuación

Semirrecta

Circunferencia Ecuación

El orden en que aparecen los objetos en cada una de las carpetas de la Vista Algebraica (Objetos Libres, Objetos Dependientes y Objetos Auxiliares) es el siguiente:

• Primero los objetos cuyo nombre comienza con mayúscula, en orden alfabético.

GeoGebra nombra automáticamente cada Punto con mayúscula.

• Después los objetos cuyo nombre comienza con minúscula, en orden alfabético.

Barra de Navegación por Pasos de Construcción

La Barra de Navegación nos permite recorrer los pasos de una construcción. Para exponerla al pie de la Vista Gráfica, basta seleccionar esta opción del menú Vista.

La Barra muestra botones para la navegación y el número de pasos de la construcción (o puntos de interrupción). Por ejemplo, 2/7 significa que se está mostrando el paso 2 (o punto de interrupción 2) de los 7 pasos (o 7 puntos de interrupción) de la construcción.

La Barra de Navegación resulta muy útil para inspeccionar cómo se ha realizado, secuencialmente, una construcción, pero también tiene un alto valor como recurso didáctico en aquellos applets en los que deseemos que el alumno pueda avanzar y retroceder, paso a paso, en el proceso constructivo.

Los botones de navegación son:

Primero: retrocede hasta el primer paso

Anterior: retrocede al paso anterior

Siguiente: avanza al paso siguiente

Último: avanza hasta el último paso

Reproduce: avanza automáticamente paso a paso

(podemos cambiar el número de segundos entre dos pasos consecutivos) Pausa: este botón aparece al pulsar el botón Reproduce, y permite parar la reproducción

Desde esta barra también se puede abrir el Protocolo:

Abre el Protocolo

Protocolo de la Construcción

Podemos abrir este Protocolo desde el menú Vista o desde la Barra de Navegación. El

Protocolo de la Construcción es una tabla que muestra todas las etapas de construcción.

Aquí puede rehacerse una construcción paso a paso usando la barra de navegación que aparece al pie de la pantalla. Incluso es posible intercalar pasos de construcción y modificar su secuencia.

Podemos elegir las columnas que se muestran en el Protocolo usando el menú Vista de esta ventana.

En la columna Puntos de Interrupción pueden definirse los pasos de construcción que se mostrarán en cada avance, permitiendo agrupar objetos. Cuando se recorre tal construcción vía barra de navegación, se exhiben simultáneamente los grupos de objetos.

Podemos insertar directamente pasos de la construcción en cualquier posición. Para ello, seleccionamos el paso bajo el que queremos insertar nuevos pasos y dejamos la ventana del Protocolo abierta mientras creamos nuevos objetos. Los nuevos pasos de construcción serán insertados en la posición elegida.

El menú de ayuda del protocolo de construcción ofrece una explicación más detallada de su uso:

Los cambios pueden también afectar a otros objetos dependientes.

Puede que algunos cambios no se puedan realizar debido a que los objetos descendentes no pueden situarse en una posición anterior a sus ascendentes.

Desde la ventana de Protocolo de Construcción, podemos exportar el Protocolo de Construcción como página web. Basta ir al menú Archivo de esa ventana y elegir la opción de exportar.

En el cuadro de diálogo que se abre podemos elegir el título, autor, fecha, etc. También tenemos la opción de exportar el Protocolo en color, lo que significa que cada referencia a un objeto mantendrá el mismo color que él.

El archivo HTML exportado (por ejemplo, protocolo_transportador.html) puede abrirse con cualquier navegador de Internet (Mozilla, Internet Explorer, Safari...). Por supuesto, se puede editar con cualquier procesador de texto (Bloc de Notas, Word, OpenOffice Writer) o con un editor de páginas web (NVU, DreamWeaver, FrontPage, Kompozer...).

El editor de Propiedades

Este editor puede sernos de gran ayuda para localizar objetos basándonos en su tipo o en sus propiedades conocidas. Por ejemplo, todos los segmentos del mismo color de un polígono, o todas las circunferencias, etc.

Para más información, ver el apartado Propiedades, del módulo 1 Interfaz de GeoGebra.

Las teclas F3, F4 y F5

Una vez seleccionado un objeto en la Vista Algebraica o en la Vista Gráfica, al pulsar una de estas teclas de función, GeoGebra copia cierta información del objeto en la Barra de Entrada.

La tecla F3 copia la definición del objeto, la tecla F4 copia el valor y la tecla F5 copia el nombre.

Propuesta de trabajo

Queremos visualizar todos los pasos de la siguiente construcción.

Clic en esta imagen abre la construcción de GeoGebra

Para ello, hacemos clic en la imagen anterior. Una vez que aparece la página web con el applet, hacemos doble clic sobre el applet (está activada la opción de abrir en ventana independiente). Ahora debemos modificar la construcción.

Restauración de todos los pasos

• Abrir el Protocolo de Construcción.

• Configurar el Protocolo para que muestre todos los pasos (no sólo los Puntos de Interrupción).

• Comprobarlo usando la Barra de Navegación.

• Guardamos el archivo con un nuevo nombre: rombo.ggb

Comentarios

La forma en que el usuario va a poder visualizar y manipular la construcción debe estar configurada según nuestros intereses. Algunos applets pueden cambiar radicalmente su finalidad simplemente alterando esas condiciones.

Investigación:

• El comando PasoConstrucción[] puede usarse como condición de visibilidad para hacer aparecer u ocultar un objeto en distintos momentos del proceso de construcción. Por ejemplo, si a un punto P le incorporamos la condición de visibilidad:

PasoConstrucción[] < PasoConstrucción[texto1]

entonces P sólo se mostrará hasta llegar al paso en el que se crea el texto1.

Investigar más formas de usarlo (ver Ayuda).

► 4. Los ítem didácticos

► 4.1 Introducción

Qué entendemos por ítem didáctico

Por muy completa, dinámica y hasta espectacular que sea una construcción, generalmente le sacaremos poco provecho si no la acompañamos de las preguntas adecuadas al nivel y características de nuestros alumnos.

Preparar un ítem didáctico significa crear una guía, una serie de cuestiones que inviten a la exploración y dirijan el uso de la construcción.

En todos los modelos de construcción que aparecen en las páginas de "Otros modelos", al final de cada módulo, la construcción aparece "arropada", generalmente con una breve introducción, unas instrucciones de uso y una serie de preguntas. Es este conjunto al que hemos denominado "ítem didáctico".

Un ítem didáctico no tiene la extensión ni estructura de una unidad didáctica, pues no pretende abarcar un tema matemático. Usando una analogía biológica, no se trata de estudiar un organismo sino funciones y métodos de ese organismo que no son exclusivos de él. En otras palabras, primar las competencias generales sobre los conocimientos puntuales.

Por otra parte, este tipo de actividades nos ofrece una visión más amplia de las conexiones entre los diferentes contenidos que habitualmente vemos estructurados en ramificaciones de temas y apartados. De este modo, conceptos que antes parecían islas independientes, asociados a unidades concretas, aparecen conectados por numerosos puentes.

► 4.2 Contexto y uso

Objetivo

Presentaremos con detalle un ejemplo de cómo enmarcar una construcción dentro de un contexto teórico o práctico, así como facilitar adecuadamente las instrucciones de interacción.

El reloj

Los relojes son objetos familiares, útiles y precisos. Por sí mismos representan la culminación de un enorme y progresivo avance científico: la medición precisa del tiempo.

Supongamos que encontramos en Internet el siguiente applet:

Clic en esta imagen abre la construcción de GeoGebra

Observemos que este applet usa código JavaScript para capturar la hora del ordenador local y pasarla a la construcción de GeoGebra.

Emplearemos el reloj como instrumento de aprendizaje. Primero, tenemos que definir cuál o cuáles son los objetos de aprendizaje. Los temas pueden ser muy diversos:

• Lectura de la hora en un reloj digital.

• Lectura de la hora en un reloj analógico.

• División en grados de la circunferencia.

• Tipología y medida de ángulos.

• Formas compleja e incompleja de un ángulo.

• Relación entre las velocidades de las agujas.

• Bases de numeración 12 y 60.

• Problemas de superposición o alineación de las agujas.

• Problemas de persecución de las agujas.

En nuestro ejemplo, hemos decidido aprovechar la construcción para realizar preguntas elementales sobre algunos de estos temas.

Segundo, debemos decidir si vamos a usar el applet para introducir o recordar aspectos teóricos: conceptos, procedimientos, métodos, estrategias... A menos que ese sea justamente el objetivo del applet, no conviene abusar, ya que un texto demasiado extenso puede restar atractivo a la página web. En este ejemplo sólo hemos escrito una pequeña introducción acerca del reloj. Más adelante mostramos un par de textos complementarios que podrían añadirse.

Después, hay que decidir qué instrucciones mínimas debemos indicar para que la manipulación de la construcción sea sencilla. Normalmente, basta referenciar la forma en que debemos interactuar con los elementos dinámicos que puedan aparecer: deslizadores, casillas de control, puntos libres y semilibres, botones (reinicio, reproduce-pausa), imágenes móviles, uso de barras, uso de la hoja de cálculo, etc.

Por último, lo más importante, debemos formular preguntas adaptadas al nivel y conocimientos previos de los alumnos que van a observar y manipular la construcción.

Como ayuda a la comprensión de los enunciados de las preguntas es importante que estos sean claros y poco extensos. Además, dentro de lo posible, se debe tener cuidado en evitar "el efecto dominó", es decir, que una respuesta incorrecta a alguna de las preguntas provoque ineludiblemente errores en las respuestas a las siguientes preguntas.

Para poder contestar correctamente a las preguntas, los alumnos deberán poder observar y manipular la construcción en todo momento. Es muy recomendable que los alumnos escriban sus respuestas en su cuaderno (u otro medio dispuesto al efecto) pues, al tiempo que practican la expresión escrita, este hábito ayuda a que ejerciten la reflexión de las ideas que desean exponer.

El resultado es:

Clic en la imagen para abrir el ítem didáctico

Texto complementario 1

El uso del ordenador y el hábito lector no deben estar enfrentados, ambos persiguen un mismo fin: recoger, ordenar y facilitar información. El uso de applets con preguntas dirigidas puede servir de estímulo para la curiosidad. Aquí presentamos dos ejemplos relacionados con el ítem anterior, que abren las puertas a otros conceptos o procedimientos matemáticos a la vez que añaden relaciones interdisciplinares. El primero corresponde a esta observación:

Fíjate en la numeración romana que se ve en el

reloj analógico. ¿Has observado que aparece IIII

(en vez de IV) en muchos relojes de ese tipo? Sin

embargo, no aparece VIIII sino IX.

Si seguimos disponiendo de ordenadores, podemos plantear que sean los propios alumnos los que busquen en Internet respuestas a esa cuestión.

Alternativamente, podemos facilitarles el texto ya encontrado y discutir en clase cuál nos parece la causa más probable de esa curiosidad.

Según aparece en Wikipedia, son varias las posibles causas de que aparezca IIII en vez de IV:

• Un relojero suizo entregó un reloj que su soberano le había encargado, pero cometió el error de representar el número 4 como IIII y no usando el IV El monarca indignado, hizo ejecutar al desafortunado artesano, y desde ese momento, a modo de protesta y homenaje, todos sus colegas comenzaron a usar el IIII en vez de IV.

• El conjunto de cuatro caracteres IIII crea una simetría visual con su opuesto en la esfera VIII, cosa que el IV no logra.

• Poniendo IIII, el número de símbolos sobre el reloj es: 20 símbolos I, 4 símbolos V y 4 símbolos X, estos números son múltiplos de 4, por lo que es posible, para los fabricantes de reloj, hacer un molde para la fabricación de 5 símbolos I, una V y una X, con lo que esto supone de ahorro en la fabricación de los símbolos. También es posible hacer los moldes siguientes para su uso una sola vez: V IIII IX

VI II IIX

VII III X

VIII I IX

IIX invertido proporciona el XII. Además tenemos dos IX uno de los cuales, invertido, proporciona el XI.

• IIII fue preferido por los romanos en la antigüedad.

• También se sugería que el IV corresponde a las dos primeras letras de Júpiter, (IVPITER en latín), el dios romano, su uso, por tanto, no era apropiado.

• El símbolo I es el único que aparece en las primeras cuatro horas, el V aparece las siguientes cuatro horas y el X las siguientes cuatro, proporcionando una simetría rota usando el IV.

• IV es más difícil de leer con la inclinación en la esfera del reloj.

• Luis XIV, rey de Francia, prefería IIII sobre IV, por lo que ordenó a sus relojeros producir relojes con IIII en lugar de IV, instituyendo una costumbre que perdura.

Texto complementario 2

El segundo ejemplo, completamente distinto, parte de la siguiente cuestión: El reloj analógico también puede servir para

orientarnos. ¿Sabes cómo?

Este es el procedimiento para orientarnos con ayuda de un reloj analógico, tal cual aparece Wikipedia:

Se dispone horizontalmente un reloj analógico y se hace coincidir la aguja horaria con la dirección donde se encuentra el sol en ese momento: la dirección sur (si estamos en la zona templada del hemisferio norte) quedará en la bisectriz del ángulo que forma la aguja horaria con las 12.

Un ejemplo: si son las 3 de la tarde y dirigimos la aguja horaria hacia el lugar donde se encuentra el sol, la línea que indica el sur quedaría en la bisectriz del ángulo que forma el número 3 con las 12, es decir, la posición que tendría la aguja horaria a la 1

y media.

Naturalmente hay que tener en cuenta la diferencia entre la hora solar y la oficial ( Hora Universal Coordinada, UTC), es decir, que si estamos en Castellón a las 7 de la tarde en horario de verano, dirigimos la aguja horaria hacia el lugar donde se encuentra el sol, le restamos dos horas y la dirección sur quedaría a las 2 y media en dicho reloj.

Propuesta de trabajo

Manipular todos los elementos móviles de la siguiente construcción (dos deslizadores y dos puntos semilibres) y crear un ítem didáctico a partir de ella.

Clic en esta imagen abre la construcción de GeoGebra

Comentarios

Al crear un ítem didáctico estamos creando un pequeño "entorno de aprendizaje", a veces llamado "micromundo". Es importante adaptar los ítem didácticos a nuestra realidad educativa, considerando el nivel y experiencias previas de nuestros alumnos.

Investigación:

• Recorre otras construcciones en las páginas "Otros modelos" de cada módulo y analiza si sería necesario realizar algunos ajustes en el texto, especialmente en las preguntas, para poder usar el applet con tus alumnos.

► 4.3 Las preguntas

Preguntas dirigidas

Muchas veces una misma construcción puede usarse en distintos niveles o para distintos objetivos simplemente reformulando el tipo de preguntas o las ayudas ofrecidas para poder contestarlas adecuadamente.

Algunos ítem didácticos no precisan de preguntas porque la propia construcción se encarga de realizarlas y evaluarlas. Algunas de estas actividades de autoevaluación se

pueden ver (son las cuatro primeras) en el apartado Otros modelos de este módulo.

Otras veces tampoco son necesarias las preguntas, al tratarse de actividades en las que se trate de reproducir un modelo o de mostrar la habilidad entre dos jugadores.

Vamos a ver un ejemplo de construcción de una batería completa de preguntas a partir de un applet y un objetivo concretos. Para ello hemos elegido el tipo de contenido matemático más difícil de interpretar: una demostración formal.

La demostración

Si algo eleva a las Matemáticas entre todas las áreas del conocimiento es su poder para alcanzar un grado de certidumbre superior a cualquier otro. Cualquier teorema demostrado hace muchos siglos continúa siendo verdadero y sus aplicaciones mejoran nuestras vidas. Esto no sucede en arquitectura, ingeniería, pintura, astronomía, música, lingüística, química, historia, derecho, biología o medicina (afortunadamente), por ejemplo.

La demostración matemática es el invento que permite lograr esa imperturbabilidad en el tiempo, esa seguridad en el conocimiento, independiente de costumbres, tecnologías y aspiraciones. Es el triunfo del razonamiento puro frente a los prejuicios, creencias y deseos.

Sin embargo, demostrar matemáticamente exige entrenamiento y disciplina mental. Por ello su introducción en la enseñanza es y debe ser muy gradual.

Gracias a las preguntas dirigidas, los ítem didácticos pueden servir para aproximarnos a la naturaleza de las demostraciones matemáticas de una manera más visual, menos abstracta, sin perder por ello la esencia del método demostrativo.

A continuación detallaremos un ejemplo. Se trata de una demostración de que, en una circunferencia (cualquiera), el valor de un ángulo central (cualquiera) siempre es el doble que el del ángulo inscrito que abarca el mismo arco. El applet que usaremos es el siguiente:

Clic en esta imagen abre la construcción de GeoGebra

Observemos que el applet se encuentra dividido en diferentes escenas sucesivas. Cada una corresponde a un paso hacia la demostración completa. Veremos cada paso por separado, qué se pretende con él, y qué preguntas nos pueden ayudar a dirigir la atención hacia el razonamiento clave en cada caso.

Paso 0: comprobación

Antes de demostrar nada habrá que ver si lo que queremos demostrar tiene algún viso de ser cierto. Por eso, en la primera escena del applet aparece el transportador de ángulos, lo que nos permite efectuar las mediciones oportunas.

Por lo tanto, las primeras preguntas deben invitar a esa comprobación: 1. Sitúa C de forma que el ángulo central azul, mida aproximadamente 90 grados (usa el transportador). ¿Cuánto mide, en esas condiciones, el ángulo inscrito amarillo con vértice en A?

2. Vuelve a hacer lo mismo que en la pregunta anterior, pero situando C de forma que el ángulo central azul tome otros valores distintos a 90º, como 60º, 80º ó 100º. ¿Qué valores toma, en cada caso, el ángulo amarillo? ¿Encuentras alguna relación que se cumpla siempre entre el ángulo central azul y el ángulo inscrito amarillo?

Observemos que primero preguntamos por lo que pasa en casos concretos, y sólo después de varios casos se pregunta acerca de alguna relación común a todos los casos observados.

Los alumnos tienden a pensar que esta comprobación por sí sola ya vale como demostración. "Lo estoy viendo, ¿no basta?" En este punto es importante remarcar que sólo hemos "visto" algunas posiciones, pero que aunque hubiésemos comprobado mil millones de ellas todavía quedaría una infinidad de posiciones sin comprobar. Es necesario añadir un motivo a nuestras observaciones, un porqué, un razonamiento que valga para cualquier posición, para estar realmente seguros de que siempre se mantendrá esa relación.

Un ejemplo. Hoy sabemos que una cierta propiedad de los números naturales (conocida como "conjetura de Pólya") es cierta para los cien primeros números, y para los mil primeros, y los diez mil, y los cien mil, y para el primer millón de números, y para los primeros diez millones, y para los primeros cien millones... Nuestra intuición parece gritarnos que entonces la conjetura tiene que ser cierta. Sin embargo, la conjetura de Pólya resultó ser falsa (el primer número que la incumple es el 906150257). Nuestra intuición falla porque no está habituada a comparar cantidades grandes pero finitas de ensayos con cantidades infinitas de posibilidades.

Paso 1: primera posición

En la primera (dis-, com-, su-, pro-) posición, observamos que el punto C se mantiene siempre opuesto al punto A. Esto supone que el ángulo inscrito está formado por un diámetro y una cuerda. Esta disposición tiene la ventaja de ser más fácil de analizar que otras, ya que en este caso los ángulos que queremos comparar se apoyan en un mismo lado, el diámetro.

Razonamiento: el ángulo azul es lo que le falta al naranja para llegar a 180º, pero por otra parte los ángulos amarillos también son lo que le falta al naranja para llegar a 180º, así que el ángulo azul equivale a los dos ángulos amarillos iguales.

A partir del razonamiento, creamos las preguntas dirigidas que faciliten su descubrimiento. Por supuesto, el tipo de preguntas dependerá mucho del nivel de los alumnos para los que estamos diseñando el cuestionario:

3. El triángulo AOB es isósceles. ¿Por qué?

4. Al ser isósceles el triángulo AOB, los ángulos amarillos en A y en B son iguales.

¿Por qué?

5. La suma de esos dos ángulos amarillos es el ángulo suplementario del ángulo naranja. ¿Por qué?

6. El ángulo suplementario del ángulo naranja es el azul. ¿Por qué? De aquí se deduce que el ángulo azul es igual a la suma de los ángulos amarillos, es decir, mide el doble que el ángulo inscrito en A.

Aparentemente, al demostrar el resultado en la posición 1, no hemos avanzado gran cosa para la demostración general, ya que la posición 1 es muy particular. Sin embargo, veremos que esa posición es clave, ya que nos va a permitir reconducir cualquier otra posición a ella. Veamos la posición 2.

Paso 2: segunda posición

En esta segunda posición, el diámetro que pasa por A divide en dos partes cada uno de los ángulos que queremos comparar. A cada parte le podemos aplicar el razonamiento anterior.

Razonamiento: si el centro O es interior al ángulo amarillo, éste será la suma de dos ángulos apoyados en el diámetro, para los cuales ya estaba demostrado el resultado; como la "suma de los dobles" es lo mismo que el

"doble de la suma", el ángulo azul será también el doble del amarillo.

A partir del razonamiento, creamos la pregunta dirigida:

7. Aplicando lo descubierto en la posición 1, cada ángulo verde central mide el doble que el correspondiente ángulo verde inscrito. ¿Puedes deducir entonces que el ángulo central azul es el doble que el ángulo inscrito amarillo?

Paso 3: tercera posición

En esta tercera posición, cada uno de los ángulos que queremos comparar se puede poner como diferencia de dos ángulos que se apoyan en el diámetro. A cada uno de ellos le podemos aplicar el razonamiento de la posición 1.

Razonamiento: si el centro O es exterior al ángulo amarillo, éste será la diferencia de dos ángulos apoyados en el diámetro, para los cuales ya estaba demostrado el resultado; como la "diferencia de los dobles" es lo mismo que el "doble de la diferencia", el ángulo azul será también el doble del amarillo.

A partir del razonamiento, creamos la pregunta dirigida:

8. Aplicando lo descubierto en la posición 1, los ángulos centrales verde y rojo miden el doble que los correspondientes ángulos inscritos verde y rojo. ¿Puedes deducir entonces que el ángulo central azul es el doble que el ángulo inscrito amarillo?

Paso 4: conclusión

Hemos terminado la demostración, pero falta explicar por qué.

Razonamiento: dado un ángulo inscrito cualquiera, el centro O puede estar en uno de los lados del ángulo, en el interior del ángulo o en el exterior del ángulo. No hay más posibilidades, y en todas ellas ha sido demostrado que el ángulo central correspondiente mide el doble.

A partir del razonamiento, creamos las preguntas dirigidas:

9. De estos tres casos (posiciones 1, 2 y 3), ¿puedes deducir que entonces siempre va a suceder que el ángulo central medirá el doble que el ángulo inscrito que abarque el mismo arco BC?

10. Otra conclusión a la que podemos llegar es que todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco BC miden lo mismo. ¿Por qué?

Paso 5: caso particular importante

Una consecuencia ("corolario") del resultado que hemos demostrado es un importante caso particular, conocido como "Teorema de Tales” en los países anglosajones (ese resultado se conoce aquí como "Segundo Teorema de Tales" o sencillamente no se le da ningún nombre, no confundir con nuestro "Teorema de Tales", el de la canción de Les Luthiers sobre la proporcionalidad de segmentos).

Corolario: todo ángulo inscrito que abarque media circunferencia es recto.

A partir del enunciado, creamos las preguntas dirigidas:

11. Mueve B. ¿Cuánto vale el ángulo central azul, con vértice en O, que abarca el arco BC? ¿Siempre mide lo mismo?

12. Mueve A. ¿Cuánto vale el ángulo inscrito amarillo, con vértice en A, que abarca el arco BC? ¿Siempre mide lo mismo? ¿Es un caso particular de lo que plantea la pregunta 9?

13. Completa un enunciado de este importante caso particular rellenando el hueco:

"Dada una circunferencia, cualquier punto de ella formará con los extremos de cualquier diámetro un ángulo de _________ grados."

14. Vuelve a escribir este importante caso particular de otra forma, rellenando el hueco: "Cualquier triángulo inscrito en una circunferencia que tenga su diámetro como uno de los lados será un triángulo ______________".

Ítem didáctico

Veamos nuestro ítem completo:

Clic en la imagen para abrir el ítem didáctico

Propuesta de trabajo

Elegir un ítem cualquiera de los que aparecen en las páginas Otros modelos de estos

materiales y crear una batería de preguntas alternativa a la que allí aparezca.

Comentarios

Tradicionalmente se asocia "preguntar" con "evaluar", esto es, se contempla la función de la pregunta casi exclusivamente como modo de comprobar si se conoce o desconoce alguna cosa. Sin embargo, las preguntas graduales, secuenciales, intencionadamente constructivas, resultan muy útiles para la propia adquisición del conocimiento si se

realizan en un medio que permita al estudiante el ensayo y la observación, la exploración, antes de aventurar una respuesta.

Investigación:

• Existe cierta similitud entre las preguntas dirigidas en un ítem didáctico y el

"método socrático" para valorar la veracidad de una afirmación. Sin embargo, a diferencia de este último, los discípulos no cuentan solamente con su poder argumentativo para alcanzar el descubrimiento, sino que pueden ayudarse de las observaciones obtenidas al interactuar con el applet. Busca en Internet información sobre la naturaleza y procedimientos del método socrático y analiza en qué aspectos se asemeja y en cuáles difiere del método seguido en el ítem didáctico.

► 4.4 Conexiones

Matemáticas

En general, el conocimiento adquirido adopta una estructura en red, un conjunto de parcelas interconectadas, con fronteras difusas, en vez de una suma de parcelas aisladas y perfiladas.

Una de las características de las Matemáticas es que en ellas esta característica general del conocimiento se hace más patente, prácticamente omnipresente. En cualquier tema y nivel podemos apreciar la fuerte conexión con conceptos y métodos procedentes de otras ramas. Es por ello que muchas construcciones se prestan a una multiplicidad de puntos de vista, o a establecer relaciones con otras.

Detallaremos un ejemplo de cómo podemos aprovechar estas interconexiones para usar un mismo applet con distintos objetivos, es decir, crear otro ítem didáctico a partir del mismo applet.

Por otra parte, además de este tipo de interconexiones matemáticas, también abunda otro tipo de conexiones debidas a la enorme aplicabilidad de las matemáticas, como son las conexiones con la lógica, los juegos, la naturaleza, la música, los mecanismos, la informática, la astronomía, la logística (entendida como organización), la economía, las teorías físicas, la comunicación, etc.

El ítem didáctico original

Usaremos como ejemplo el ítem didáctico "Caminata" (Camino al trabajo), tal cual

aparece en el apartado Otros modelos del módulo 2:

Clic en la imagen para abrir el ítem didáctico

El enunciado de la actividad es:

Antonio vive en una pequeña isla. Todos los días va caminando desde su casa al lugar donde trabaja, que no está muy lejano. Primero se dirige en línea recta hacia el castillo, pero cuando está a mitad de camino gira a su izquierda y coge un camino recto que se mantiene siempre a la misma distancia de su casa que del castillo. Cuando está a 400 metros de su casa, en línea recta, gira 60º a su derecha y camina en línea recta 650

metros. Después gira 50º a su izquierda y camina otros 400 metros: ha llegado a su destino. Más abajo puedes ver el plano de la isla, a escala 1:10000 (1 cm del plano equivale a 100 metros en la realidad).

y la batería de preguntas dirigidas elegidas para ese enunciado es: 1. Localiza sobre el mapa la casa de Antonio: es la que está situada más a la izquierda. Su posición queda determinada por el punto amarillo. Señala sobre el mapa el camino que ha de seguir hasta el punto en que gira 60º a la derecha. Para ello haz uso de las herramientas de GeoGebra que te parezcan más adecuadas. ¿Qué es lo que se encuentra al llegar a ese lugar?

2. Completa el recorrido de Antonio. Señala el camino que sigue hasta llegar a su destino. ¿En qué lugar trabaja Antonio?

3. Oculta todos los objetos que has utilizado en la construcción, excepto los segmentos que representan los tramos que camina y los puntos de paso. Utiliza la herramienta

para medir los dos primeros tramos y calcula la distancia

total que recorre Antonio desde su casa hasta el lugar donde trabaja.

4. Activa la casilla Comprobar y comprueba tus soluciones.

Antes de realizar las siguientes variantes, haríamos una pequeña modificación en la construcción. Para ello, abrimos la construcción de GeoGebra y ocultamos (no eliminamos, sólo ocultamos) la casilla y el texto "Comprobar", guardando de nuevo la construcción.

El nuevo ítem

Enunciado:

Antonio vive en una pequeña isla. Dos edificios que aparecen en ella ya tienen marcada su posición con un punto: la casa de Antonio y el castillo.

Pero se pueden ver más cosas situadas sin marcar su posición exacta. En esta actividad deberás marcarlas y realizar algunas mediciones. Más abajo puedes ver el plano de la isla, a escala 1:10000 (1 cm del plano equivale a 100 metros en la realidad).

Utiliza la herramienta

para medir la distancia en línea recta entre dos

marcas cualesquiera, cada vez que lo necesites.

Preguntas:

1. Con la herramienta

Nuevo Punto, marca la parada de bus colocando un

punto entre las dos ruedas visibles del autobús. Una vez colocado, haz clic derecho sobre él, elige Propiedades en el menú que aparece y dale un color rojo y un estilo de tamaño 7.

2. Haz lo mismo con el coche de policía para marcar al comisaría, con la base de la bomba de gasolina para marcar la gasolinera, con la base del árbol y con la base del faro. Marca también, de forma parecida, las otras dos edificaciones que faltan: la iglesia y la pequeña casa.

3. Mide la distancia en línea recta entre la casa de Antonio y el resto de las marcas. ¿Cuál es la distancia máxima? ¿Y la mínima? Recuerda que cada centímetro que midas con la herramienta equivale a 100 metros en la realidad.

4. ¿Cuáles son los puntos (marcados o no) más distantes entre sí en la isla?

Coloca los nuevos puntos que creas conveniente y mide la distancia entre ellos para averiguar esa distancia máxima.

5. Un día Antonio sale de su casa con intención de pasar por todos los sitios marcados. ¿Cuál es el recorrido que le aconsejarías para que caminase lo menos posible? ¿Cuánto mide en total ese recorrido?

6. Otro día Antonio sale de su casa con intención de pasar por todos los sitios marcados y regresar a su casa. ¿Cuál es el recorrido que le aconsejarías para que caminase lo menos posible? ¿Cuánto mide en total ese recorrido?

7. Otro día Antonio sale de su casa y se dirige en línea recta a la marca más próxima. Desde allí, se dirige a la marca que ahora sea la más próxima, que no sea su casa. Una vez llegado a esa marca, sigue desplazándose de marca en marca, siempre visitando la más próxima que no haya visitado ya. ¿Qué recorrido realiza al final? ¿Cuánto mide en total ese recorrido?

8. Más o menos, ¿qué área tendrá la superficie de la isla? Para realizar tu estimación, coloca los nuevos puntos que creas conveniente y mide la distancia entre ellos para estimar aproximadamente cuánto mide de promedio la isla de largo y cuánto mide, también en promedio, de ancho.

Propuesta de trabajo

Elegir un ítem cualquiera de los que aparecen en las páginas Otros modelos de estos

materiales y diseñar un ítem didáctico alternativo.

Comentarios

Muchas situaciones pueden ser analizadas desde distintos puntos de vista y a distintos niveles. La isla de Antonio puede servir para realizar las más elementales preguntas, como "¿cuántos vehículos hay?", hasta las más difíciles, como "¿qué algoritmo debe seguir un ordenador para averiguar el recorrido mínimo que parta de una marca, pase por el resto de las marcas y vuelva a la marca de partida?".

Con frecuencia, el cambio del enunciado y las preguntas sólo exige pequeños cambios en el applet, fáciles de llevar a cabo sin necesidad de reconstruirlo por entero.

Investigación:

• Recorre otras construcciones en las páginas "Otros modelos" de cada módulo y analiza si alguno de ellos podría ser de utilidad para otro tipo diferente de actividad.

► 5. Creación de materiales estáticos

► 5.1 Introducción

Idea general

En la presentación se contemplaban dos formas generales de usar GeoGebra:

• Herramienta del estudiante: para realizar construcciones desde cero, o incompletas, ya sean dirigidas o abiertas, así como manipular construcciones ya realizadas, de resolución o de exploración.

• Herramienta del profesor: para realizar materiales educativos estáticos (imágenes) o dinámicos (demostraciones dinámicas, applets en páginas web).

Vamos a fijar ahora nuestra atención en la realización de materiales educativos estáticos por parte del profesor.

Evidentemente, ese no es el fin primordial para el que se desarrolló GeoGebra. Sin embargo, por diversas causas (carencia de ordenadores, limitaciones horarias para usarlos, falta de hábito en el uso y control del espacio informático, etc.), a veces se prescinde completamente de GeoGebra porque se piensa que sólo puede ser útil en un aula con ordenadores. Con ello, el profesor renuncia a una cómoda y sencilla herramienta con la que crear el material personalizado que a menudo desea presentar a sus alumnos.

En este módulo veremos cómo crear algunas imágenes en poco tiempo. Esto nos permitirá, por ejemplo, insertarlas posteriormente en un documento de texto o en una presentación.

La cuadrícula

Sin construir nada, simplemente haciendo un volcado de pantalla al portapapeles (tecla Imp Pant), o mejor aún, exportando como imagen la Vista Gráfica (menú Archivo > Exporta) con los ejes o la cuadrícula visible, ya tenemos una imagen u hoja de trabajo útil como plantilla para proponer cuestiones sobre coordenadas, mallas ortogonales y mallas isométricas.

También puede ser buena idea, si tenemos pensado hacer fotocopias, cambiar el color de la cuadrícula a un gris más oscuro o negro para aumentar el contraste.

Por otra parte, debemos observar que en GeoGebra no existe una opción del tipo "copiar

objetos" (para más detalles ver la sección Ayuda > FAQ > Interfaz).

Unidades de superficie

El concepto de unidad, como medida de referencia, es fundamental. Para facilitar la comunicación con los alumnos (y entre ellos), en un primer estadio, podemos establecer 1 cm como unidad de longitud en la cuadrícula, aunque esta medida no corresponda a

"píxeles" (px).

De hecho, en la cuadrícula por defecto de GeoGebra, si exportamos la imagen como "png" (escala 1:1) y la imprimimos, cada casilla ocupa en el papel exactamente 1 cm2. También puede comprobarse directamente desde el menú Archivo > Previsualiza Impresión.

Por defecto, con escala de pantalla 1:1, una unidad en los ejes equivale a 50 px.

Nota técnica: el tamaño en pantalla y el tamaño en papel están a la vez relacionados por la siguiente igualdad:

[Tamaño pantalla (px)] x [2.54 (cm/pulgada)] = [Resolución impresión (dpi)] x [Tamaño papel (cm)]

La unidad dpi (dots per inch) también se denota, en español, como ppp (puntos por pulgada). Ejemplo: Para saber cuánto va a ocupar en papel una imagen cuadrada de 118 px de lado con una resolución de impresora de 300 dpi, se multiplica 118 por 2.54 y se divide por 300. Resultado: un cuadrado de 1 cm de lado.

Consideremos una imagen cuadrada de 50 px de lado. Cuando importamos esa imagen a GeoGebra, cada 50 px equivalen a una unidad cartesiana, así que el cuadrado ocupará exactamente una casilla de la cuadrícula. Si copiamos la pantalla pulsando la tecla Imp Pant, podemos recuperar la imagen de 50x50 px recortándola con cualquier editor gráfico. Para que esa imagen ocupe 1 cm2 en el papel tendremos que imprimirla con una resolución de 50x2.54 = 127 ppp (en vez de los 96 ppp habituales). Si optamos encuadrar la imagen y usar la opción " Copia la Vista Gráfica al Portapapeles" (menú Archivo > Exporta), obtendremos una imagen de salida de 100x100 px, por lo que para obtener 1 cm2 en el papel tendremos que imprimirla a 254 ppp. Por último, si optamos por usar la opción " Exporta Vista Gráfica como Imagen", el resultado será siempre un cuadrado de 1 cm de lado, por lo que al variar la resolución dpi el tamaño de la imagen en píxeles se ajustará automáticamente.

En cuanto a la visión en el monitor, estará condicionada por la resolución de pantalla y al posible uso del zoom.

► 5.2 Polígonos

Objetivos

Usaremos GeoGebra para crear rápidamente figuras poligonales con vértices en la cuadrícula (como si fuera un geoplano). El área de cada una de estas figuras es sencilla de calcular simplemente contando cuántas casillas o fracciones de casillas abarca. No hace falta recurrir a ninguna fórmula, así que es una buena actividad para profundizar en los conceptos de área y unidades de área.

Por otra parte, es habitual la confusión numérica entre número de "intersecciones o puntos de la cuadrícula" y número de segmentos unidad. Por ejemplo, en la siguiente imagen se aprecia que la separación entre los 4 puntos no es de 4 unidades lineales, sino sólo 3:

Se podrán redistribuir los vértices del polígono, así como crear nuevos polígonos.

Esta actividad es muy flexible en cuanto a la forma de las figuras creadas, por lo que puede ser aprovechada para impulsar la imaginación y creatividad de los alumnos.

Herramientas y comandos

Sólo precisaremos de dos herramientas: la herramienta fundamental para mover y seleccionar (herramienta Elige-y-Mueve) y la herramienta Polígono. Una vez dibujado un polígono, procederemos a variar su "estilo" (grosor de los segmentos, colores, transparencia...) a nuestro gusto.

Al tratarse de la primera actividad, practicaremos también los procedimientos para guardar archivos y exportar imágenes, descritos en el apartado Menús > Archivo de la

sección Ayuda.

Los botones Deshace y Rehace son muy útiles para devolver la construcción a un estado anterior.

Construcción paso a paso

Primero prepararemos el escenario.

En el menú Vista desactivamos ver Ejes y activamos ver Cuadrícula.

En el menú Opciones, en "Atracción de Punto a Cuadrícula", elegimos la tercera opción:

"Activa (Cuadrícula)".

Ahora construimos una figura poligonal usando la herramienta Polígono:

• Marcamos varios puntos diferentes y cerramos el polígono volviendo a hacer clic sobre el primer punto marcado.

• Seleccionar la herramienta Elige-y-Mueve (o pulsar la tecla Esc). Probar a mover el polígono con ayuda de esta herramienta.

• Clic derecho sobre el polígono, sus vértices y sus lados para variar las propiedades de estilo a gusto.

Podemos hacer clic sobre el objeto en la Vista Gráfica o en la Vista Algebraica. A veces, debido a la cercanía de los objetos geométricos, resulta más cómodo emplear la Vista Algebraica.

Por último, exportamos la imagen de la figura obtenida:

• Enmarcar la figura arrastrando el ratón y exportar el cuadro enmarcado como imagen "png" usando el menú Archivo > Exporta. [videoclip]

• Guardar el archivo usando el menú Archivo > Guarda.

Ejemplo de construcción

Pentágono

Una vez realizada la construcción podemos hacer un volcado de pantalla al portapapeles (tecla Imp Pant), o exportar como imagen la Vista Gráfica con la cuadrícula visible, para su impresión. La imagen obtenida nos servirá para preguntar sobre el área de su superficie. Basta mover los vértices para obtener rápidamente

distintas variantes del mismo problema.

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Propuesta de trabajo

Realizar una construcción similar que muestre un recinto heptagonal. Deben verse los rótulos de los vértices, pero no los rótulos de los lados ni el rótulo del polígono. Escribir el enunciado de un problema basado en la figura construida.

Comentarios

Una ventaja de usar el soporte dinámico frente al estático es que una sola construcción nos vale para plantear multitud de problemas del mismo tipo, simplemente variando la posición de los vértices.

Existen diversos procedimientos para contar las casillas o fracciones de casillas correspondientes al área de la figura. Algunos emplean la disección y adición, cortando y sumando las partes simples resultantes. Otros emplean la sustracción, restando el área de aquellas partes que faltan para obtener un rectángulo.

Merece la pena dedicar tiempo a discutir la eficacia de estos métodos y sus variantes sobre diversas figuras. Un método puede ser muy rápido sobre alguna figura, pero volverse relativamente lento sobre otras. Esto es muy habitual en Matemáticas, de ahí la conveniencia de disponer siempre de varios métodos o formas de enfocar el problema.

A los pocos ensayos, los alumnos se darán cuenta de que el área que buscan aparece en la Vista Algebraica como valor del polígono. Si se quiere impedir esto, basta ocultar la Vista Algebraica en el applet.

También se puede formular el problema a la inversa: prefijar el valor (entero o mitad de entero) de un área y solicitar el correspondiente ejemplo de polígono (uno cualquiera o con

un número prefijado de lados o con alguna propiedad como

cierta simetría...).

Investigación:

• Valorar la dificultad del siguiente problema: "Encontrar todos los triángulos de área 1 construibles sobre una

cuadrícula de 3x3 unidades." ¿Es tan fácil como

parece? ¿Tiene la misma dificultad resolverlo en papel que con GeoGebra?

• ¿Qué sucede con los polígonos cruzados (los no simples, aquellos en los que al menos dos lados se intersecan)? ¿Continúa siendo sencillo el cálculo del área? ¿El valor que GeoGebra otorga al polígono sigue correspondiendo al área?

► 5.3 Tableros

Objetivos

Usaremos GeoGebra para crear rápidamente un tablero para un entretenido juego de estrategia para dos jugadores. Podremos imprimirlo, si así lo deseamos, y también podremos jugar directamente sobre él.

Herramientas y comandos

Usaremos muy pocos recursos, sólo las siguientes herramientas.

Punto

Segmento

Los objetos creados por las herramientas con fondo verde son desplazables (a no ser que su definición se base en puntos que no sean libres).

Construcción paso a paso

Primero prepararemos el escenario.

En el menú Vista desactivamos ver Ejes, activamos ver Cuadrícula y desactivamos ver Vista Algebraica.

En el menú Opciones, en "Atracción de Punto a Cuadrícula", elegimos la tercera opción:

"Activa (Cuadrícula)".

• Ahora construimos los puntos que harán las veces de casillas con la herramienta Punto, siguiendo el patrón que indica la imagen. Seleccionamos todos los puntos (menú Edita, Propiedades, hacer clic sobre "Punto" en el panel izquierdo), les asignamos color gris (pestaña Color), tamaño máximo (pestaña Estilo, valor 9) y los fijamos (pestaña Básico, "Objeto Fijo").

• Con la herramienta Segmento unimos esos puntos como indica la figura.

• Con la herramienta Punto creamos dos "puntos gordos" más, de tamaño 7 y colores verde y rojo, que harán las veces de fichas.

• Seleccionar la herramienta Elige-y-Mueve (o pulsar la tecla Esc). Probar a mover las fichas por el tablero.

• Por último, ocultamos la Cuadrícula.

Ejemplo de construcción

Tablero de juego

Reglas del juego: Cada jugador mueve por turno su ficha a una casilla adyacente, siguiendo las líneas. El primer jugador en mover es el de la ficha roja y su objetivo es tratar de caer en la casilla en donde se halle el segundo jugador, quien debe tratar de huir. El que consiga su objetivo, gana.

Para evitar partidas "eternas", el primer jugador dispone de cinco minutos para alcanzar su objetivo: en caso contrario, pierde; si un jugador tarda más de 20

segundos en realizar su movimiento, también pierde.

Si ambos jugadores son expertos, el primer jugador, con la ficha roja, puede ganar siempre. ¿Cómo?

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Propuesta de trabajo

Realizar una construcción similar con un tablero análogo de orden una unidad mayor: Comentarios

La mejor forma de comprobar que hemos realizado una construcción como deseábamos es intentando mover todos los objetos y observando su comportamiento. A continuación, mostramos tres videoclips con "tomas falsas", es decir, con errores en la construcción de nuestro ejemplo:

• Nos olvidamos de fijar puntos, y usamos un punto del tablero como ficha: videoclip.

• Colocamos una ficha en un eje, en vez de mantenerla libre. En el videoclip se

muestra cómo liberarla.

• Colocamos algunos puntos del tablero fuera de la cuadrícula: videoclip.

Si no se conoce este juego, recomendamos que se intente hallar la estrategia ganadora.

En caso de no conseguirlo, puede verse en este videoclip.

Existe una multitud de juegos y rompecabezas sobre sencillos tableros que podemos diseñar fácilmente con GeoGebra. La relación entre los juegos de mesa y las matemáticas ha dado lugar a extensos y profundos estudios. Las conexiones son muchas y muy importantes. En el caso de los juegos de estrategia pura (como el ajedrez, el go o las damas), se requiere observación, análisis, memoria, intuición y deducción. En el caso de los juegos de azar puro (como las ruletas y dados), se requiere una buena estimación de las probabilidades y de la esperanza matemática. En el caso de los juegos mixtos (que son los más populares: parchís, naipes, dominó, mahjong, backgammon...) algo de todo eso y... bastante tiempo libre.

Además, contamos con una amplia variedad de pequeños juegos (como el sencillo ejemplo que aquí hemos elegido) especialmente concebidos para desarrollar la observación y el método, dos de las más valiosas cualidades necesarias para el buen hacer matemático, con la gran ventaja de que no se precisan grandes inversiones de tiempo para su análisis y experimentación.

Investigación:

• Buscar en Internet juegos de lógica y estrategia susceptibles de ser propuestos a los alumnos, ya sean juegos para dos jugadores o solitarios.

• En este juego las formas ceden importancia a favor de la distribución de nodos y conexiones. Es una interesante propuesta crear tableros equivalentes con otras formas, como éste:

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► 5.4 Imágenes

Usos de las imágenes

GeoGebra permite integrar imágenes en el escenario. Podemos usar las imágenes estáticamente, como fondo, para añadir atractivo al escenario o clavarlas en puntos fijos para trabajar sobre ellas. También podemos asociarlas a puntos libres para convertirlas en objetos móviles y susceptibles de transformaciones.

Para incorporar una imagen a una construcción se usa la herramienta Inserta Imagen (situada en la penúltima botonera). Haciendo clic con esa herramienta en cualquier zona de la Vista Gráfica podremos elegir la imagen que deseamos incorporar. GeoGebra permite incorporar imágenes con extensiones GIF, JPEG, JPG, TIF, PNG y BMP.

Se pueden ver muestras de ilustraciones en las páginas Colección Clip Art SVG

(imágenes vectoriales) y en Colección Clip Art PNG. Unas muestras de fotografías se

recogen en la página Fotos. Ver el apartado Comentarios, al final de esta página, para más información.

Las imágenes pueden ser aprovechadas para trabajar sobre ellas con las herramientas de GeoGebra u otras herramientas personales que hayamos creado específicamente para ese trabajo. Si se tratan de imágenes vectoriales, desde el editor de imágenes debemos exportarlas previamente en otro formato admitido por GeoGebra, como PNG o GIF.

Muchas imágenes habituales están formadas por elementos geométricos simples. En los siguientes enlaces mostramos una pequeña colección de Logotipos, Banderas, Iconos y

Señales de Tráfico.

Las capas

Cuando dos objetos se superponen en la Vista Gráfica, uno puede ocultar al otro. Para poder decidir qué objeto será "el más cercano" a nosotros, GeoGebra dispone de capas

(ver el apartado Capas del módulo Interfaz).

Al comenzar cualquier construcción todos los objetos se sitúan en la capa 0. En general, los últimos objetos que se crean se superponen a los ya creados, ocultándolos. Sin embargo, también influye la naturaleza de los objetos. Los puntos siempre estarán visibles, las líneas (como los segmentos) siempre quedarán por encima de las superficies (como los polígonos), y en general los objetos "mayores" se sitúan por detrás de los

"menores", de forma que en la mayoría de los casos todos son visibles.

Si queremos que un objeto "sobresalga" sobre todos esos objetos basta asignarle la capa 1. A partir de ese momento, todos los nuevos objetos irán, por defecto, a la capa 1, así que si queremos "hundirlos" debemos reasignarles la capa 0.

El uso de capas es especialmente habitual cuando se trabaja con imágenes, ya que debemos decidir qué imágenes serán "las más cercanas" y cuáles pasarán al fondo o a planos intermedios.

Imágenes de fondo

GeoGebra dispone de 9 capas, pero a su vez todas ellas están por encima de una capa sin numerar que sólo puede albergar imágenes de fondo. Para llevar una imagen a esa capa "detrás de todo" basta asignarle la propiedad "Imagen de fondo" en el menú Edita (o clic derecho) > Propiedades.

Cuando una imagen se convierte en "imagen de fondo" deja de poder seleccionarse con el ratón (para poder volver a hacerlo hará falta desactivar esa propiedad en el menú Edita > Propiedades).

La principal ventaja de convertir una imagen en imagen de fondo es que así no ocupa memoria RAM, es decir, no ralentiza en absoluto el proceso de ejecución de la construcción o el applet, de forma que incluso imágenes de gran "peso" (de muchos KBytes) no entorpecen una animación sobre ellas, por ejemplo.

Imágenes fijas

Para GeoGebra, una imagen es un "paralelogramo coloreado" que tiene asignada su posición por tres vértices de ese paralelogramo: la Esquina[1] que es el vértice inferior izquierdo, la Esquina[2] que es el vértice inferior derecho y la Esquina[4] que es el vértice superior izquierdo.

Inicialmente, el sistema cartesiano de la Vista Gráfica asocia una unidad a cada 50

píxeles. Supongamos que tenemos una imagen de 400 píxeles de ancho por 300 píxeles de alto. Si la colocamos en la Vista Gráfica ocupará un rectángulo de 8 cm de ancho por 6 de alto (los números y puntos que después aparecen, 8, 6, (8,0), (4,3)... se refieren a este ejemplo).

Sean ahora tres puntos A, B y C. Llamemos AB a la distancia de A a B (o a la medida del segmento AB). Análogamente, AC. Veamos distintas posibilidades de enclave de la imagen al punto A. La asignación de las esquinas se realiza en las Propiedades de la imagen, pestaña Posición. [videoclip]

• Establecemos A como Esquina 1. Si hacemos zoom la imagen no se escalará.

• Establecemos A como Esquina 1 y A+(8,0) como Esquina 2. Si hacemos zoom la imagen se escalará. Es el uso más frecuente cuando queremos fijar una imagen para trabajar sobre ella.

• Establecemos A como Esquina 1 y B como Esquina 2. La imagen se escalará con el factor AB/8.

Imágenes alteradas

La Esquina 4 nos permite distorsionar la imagen provocando el cambio de la proporción de los lados del rectángulo, o bien transformando el rectángulo en un romboide.

Siguiendo con el ejemplo anterior:

• Establecemos A como Esquina 1, B como Esquina 2 y C como Esquina 4. Si C no está en la perpendicular por A a AB, entonces la imagen perderá la forma rectangular y adoptará la de un romboide. Si C es un punto en esa perpendicular (previamente creada), dependiente de A, entonces la imagen se "volteará" al mover A (arrastrando a C en su movimiento) a la derecha de B.

Imágenes dinámicas

GeoGebra permite mover las imágenes, ya sea de forma libre o dirigidas por el punto situado en la Esquina 1. En muchas ocasiones resulta recomendable usar imágenes (GIF

o PNG) con color transparente. Esta propiedad, junto con el uso de las capas, realza la impresión de que los objetos se sitúan en distintos planos respecto al observador.

Además de las posibilidades anteriores, tenemos algunas formas más de establecer las esquinas para facilitar ciertos movimientos:

• Establecemos A-(4,3) como Esquina 1. La imagen se moverá al arrastrar su centro (el punto A). Si hacemos zoom la imagen no se escalará.

• Establecemos A-(4,3) como Esquina 1 y A-(-4,3) como Esquina 2. La imagen se moverá al arrastrar su centro (el punto A). Si hacemos zoom la imagen se escalará.

Es el uso más frecuente cuando queremos usar una imagen móvil.

Ejemplo de construcción

Transportador

En este ejemplo se muestra una imagen fija y otra móvil, que puede trasladarse y girar. Con ayuda de la Barra de Navegación puede verse cada uno de los pasos realizados. Se debe prestar especial atención a las propiedades de las imágenes (básicas, de estilo, de posición y avanzadas).

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Propuesta de trabajo

Crear otra imagen móvil que pueda trasladarse y girar alrededor del punto de traslación, similar al ejemplo anterior, como por ejemplo la regla incluida en este

archivo ggb.

Comentarios

Es importante recordar que la posibilidad de descargar imágenes de Internet no nos concede autorización para apropiarnos de ellas para cualquier uso. Incluso aunque no se advierta en ninguna parte del sitio web la responsabilidad que pudiera derivarse del uso ilegítimo del material descargado, debemos asegurarnos de que tales imágenes están libres de derechos, buscando alguna referencia expresa a este hecho. Particularmente, debemos tener especial prudencia si las imágenes (fotos, ilustraciones...) son de gran calidad o si su uso nos va a reportar algún beneficio económico de forma directa o indirecta.

En Internet existen repositorios de imágenes gratuitas y de dominio público (libres de derechos). La única molestia suele ser traducir previamente la palabra de búsqueda al inglés antes de ingresarla en el buscador interno.

Repositorios de fotografías se ofrece en morguefile.com y en public-domain-

photos.com (que también incluye ilustraciones clipart).

En ilustraciones, dos direcciones con miles de imágenes (tanto vectoriales SVG como PNG) son clker.com y openclipart.com.

Las imágenes vectoriales SVG poseen las ventajas de ser escalables sin perder calidad y ser fácilmente modificables con un editor de imágenes vectoriales (uno completo y gratuito es inkscape).

Investigación:

• Jugar con las distintas posibilidades de anclar una imagen a las tres esquinas, dependiendo de cómo estén definidos los puntos correspondientes.

• Probar el siguiente truco en la construcción del transportador: asignar al punto A la capa 0, cambiar el estilo de punto a círculo hueco, color blanco, tamaño 9, y ocultar el rótulo. Cambiar el estilo del transportador a sombreado 100% (transparencia nula). Probar ahora a mover el transportador.

► 6. Propuestas sencillas de construcción

► 6.1 Introducción

Idea general

Ya sea usando las propias herramientas de GeoGebra o herramientas creadas ad hoc, el espacio de la Vista Gráfica puede ser cubierto directamente por los alumnos mediante construcciones dirigidas, eminentemente geométricas.

Una tarea primordial, en este sentido, es la diferenciación precisa de lo que es una construcción frente a lo que es un simple dibujo o boceto. Esa importante distinción la

hemos establecido en la sección 3.2 del módulo 3.

Una vez diferenciada una construcción de un dibujo, el trabajo con GeoGebra consiste, esencialmente, en la adquisición de una serie de destrezas prácticas que vienen dadas por el uso de las distintas herramientas y comandos en diferentes situaciones. Es algo así como el ajedrez: se domina en la medida que se reconocen situaciones análogas a otras anteriores susceptibles de ser afrontadas mediante una recombinación de estrategias.

Sin embargo, algunos métodos son particularmente ilustrativos (como algunas partidas de ajedrez también lo son) de la esencia del juego constructivo.

Detallaremos en este último módulo dos de esos métodos, que hemos denominado

"marcas" y "colores". También veremos algunos ejemplos de aplicación a la resolución de problemas.

Construcciones en segundos

GeoGebra ofrece un entorno intuitivo y amable. Cada herramienta expone un texto de ayuda de forma permanente en pantalla. Al escribir cada comando, pulsando F1, también podemos obtener ayuda rápida sobre sus sintaxis.

Algunas características de GeoGebra son particularmente versátiles. La facilidad para desplazar los objetos, crear un deslizador (es decir, un parámetro), mostrar u ocultar objetos, o dotarlos de un determinado color según la condición deseada, ayuda a crear en poco tiempo entornos de aprendizaje ricos en contenidos matemáticos.

En este módulo veremos algunos ejemplos de construcciones que se pueden realizar en poco tiempo a la vez que muestran usos y métodos generales de GeoGebra.

Preparación del escenario

En la mayoría de las actividades deberemos decidir algunas características generales del entorno. Concretamente, existen dos aspectos que frecuentemente debemos decidir:

• ¿Se muestra la cuadrícula?

• ¿Qué tipo de atracción tendrán los puntos de la cuadrícula?

Para mostrar o no la Cuadrícula podemos ir al menú Vista o bien ir al menú contextual

haciendo clic derecho sobre cualquier parte vacía de la Vista Gráfica.

Para variar el tipo de atracción de la cuadrícula debemos ir al menú Opciones, y en el apartado Atracción de Punto a Cuadrícula, elegir la opción deseada.

También podemos modificar la apariencia de la Cuadrícula en este menú de Opciones, en el apartado Vista Gráfica. Este apartado también aparece en el menú contextual aludido en el punto anterior.

Conviene recordar que si estamos diseñando una actividad que contenga rótulos (etiquetas, texto) para proyectarla sobre una pantalla será recomendable aumentar el tamaño de la letra a unos 20 puntos, así como engrosar un poco las líneas más finas.

Nombres de los objetos

Cualquier objeto ingresado en la Barra de Entrada puede nominarse en el momento de hacerlo. Para ello, basta escribir como prefijo de la expresión una letra o un nombre seguido del símbolo igual (=).

Los puntos se nominan con letras mayúsculas, mientras que los vectores lo hacen con minúsculas. Si no se nomina el objeto, GeoGebra le pone un nombre automáticamente, siguiendo el orden alfabético.

Ejemplos:

• M = (A + B) / 2 [GeoGebra permite las operaciones con puntos como si fueran vectores de posición.]

• r = Recta[A,B]

• P = Punto[r]

Se pueden usar índices también con los nombres de los objetos: A1 o sAB se anotan como A_1 y s_{AB}. El guión bajo precede al subíndice.

Insertar textos

La mayor parte de los textos deben ir fuera de la construcción. No obstante, a veces surge la necesidad de introducir un texto breve para aclarar alguna cosa o por motivos estéticos.

Por ejemplo, si deseamos que el nombre de un deslizador no se desplace al moverlo, lo que hacemos es no mostrarlo y colocar en su lugar un texto fijo.

[videoclip]

La herramienta Texto permite también insertar código LaTeX para editar símbolos y expresiones algebraicas, como si fuera un editor de ecuaciones [videoclip]. En la sección de

Ayuda > LaTeX se detalla la sintaxis de esas instrucciones.

► 6.2 Marcas

Objetivos

En esta sección expondremos cómo podemos aprovecharnos de la combinación de precisión numérica y uso del Zoom para dejar "marcas" muy precisas que nos ayuden a encontrar un lugar desconocido.

Zoom y precisión

Aparentemente, la Vista Gráfica posee unas características similares a una hoja de papel en blanco. Sin embargo, la operatividad que permite la Vista Gráfica es muy superior, porque podemos realizar una gran ampliación de cualquier pequeña zona, como si mirásemos la hoja de papel con un microscopio.

Veremos la potencia de este método mediante la resolución de un problema que, sin la ayuda de GeoGebra, sería impensable siquiera proponer a alumnos que no tuvieran algún conocimiento del álgebra.

El problema

Marca un punto A y un punto B. Averigua dónde están todos los puntos que distan de B el doble que de A.

Este problema se puede resolver con cierta facilidad... si se dominan métodos y estrategias algebraicas que se tardan años en aprender.

La construcción

Primero preparamos el escenario: si están visibles, ocultamos los Ejes y la Cuadrícula.

Nos aseguramos también de que la opción Atracción de Puntos a la Cuadrícula (menú Opciones) se encuentre desactiva. Como además desearemos bastante precisión, elegimos en el mismo menú Opciones un Redondeo de 5 lugares decimales.

Si hemos actuado con anterioridad sobre la Vista Gráfica, también es aconsejable (con clic derecho sobre ella) asegurar la Vista Estándar.

Con la herramienta Punto colocamos los puntos A y B en la Vista Gráfica. Como vamos a usar herramientas de Zoom (acercamiento y alejamiento) es aconsejable no usar la herramienta Desplazar-Vista para resituar los puntos. Lo que debemos hacer es mover A y B a las posiciones que queramos. De esta forma siempre podremos recuperar la vista estándar (inicial) haciendo clic derecho en cualquier zona vacía de la Vista Gráfica.

Como Propiedades de esos puntos A y B elegimos Objeto Fijo y Muestra Rótulo.

Con la misma herramienta, creamos un nuevo punto C.

A continuación, en la Barra de Entrada escribimos (se puede usar Ctrl+C y Ctrl+V para copiar y pegar la selección desde aquí):

d = Distancia[C,B] - 2*Distancia[C,A]

Pulsamos la tecla Intro para ejecutar esa instrucción. Nuestro objetivo es encontrar todas las posiciones de C para las cuales el valor de "d" sea cero (ya que "d" sólo valdrá 0 cuando CB = 2 CA). Para poder ver cómodamente y en todo momento ese valor, lo convertimos en un texto. Para ello, escribimos:

Texto[d]

Desplazamos el texto a una zona vacía de la Vista Gráfica y le asignamos la propiedad

"Posición absoluta en pantalla".

Modo de empleo

Ahora todo lo que tenemos que hacer es mover C hasta una posición en la que el texto indique el valor 0. Cuando estemos cerca de ese valor usamos la rueda de ratón (en su defecto, la herramienta Acercamiento) para hacer Zoom aumentando el tamaño visible de la zona que estamos explorando.

Este procedimiento de acercarnos > aumentar > acercarnos > aumentar... nos permitirá disminuir progresivamente el error cometido hasta alcanzar el valor d = 0 (lo que significa un error máximo de una cienmilésima, pues hemos elegido redondear el quinto lugar decimal).

Al hacer zoom, en algún momento el punto C puede desaparecer de la vista gráfica. En tal caso con la herramienta Desplazar-Vista podemos volver a situarlo en la zona visible.

Una vez localizada una posición de C que cumple que la distancia a B es el doble que a A, seguimos el siguiente procedimiento para dejar una marca justo en ese lugar:

• Hacer clic sobre C y pulsar F4. En la Barra de Entrada aparecerá el valor de las coordenadas de C. Pulsar Intro.

• Mover C y dar al nuevo punto la propiedad de punto fijo.

Para volver a localizar otra posición y dejar otra marca, primero volvemos a la vista estándar haciendo clic derecho sobre cualquier zona vacía de la Vista Gráfica y eligiendo esa opción del menú contextual que aparece. Alternativamente, podemos elegir la opción

“Muestra Todos los Objetos”.

Movemos el punto C a una zona diferente de la pantalla y recomenzamos la búsqueda, marcando sucesivas posiciones con nuevos puntos.

Propuesta de trabajo

Averiguar, siguiendo este método, cuál es la solución del problema y mostrarla.

Comentarios

Este método es lento pero eficaz. Es algo así como las piedras que dejaba Pulgarcito para señalar el camino por el que pasaba. Observemos que en ningún momento hemos realizado ningún cálculo aritmético o algebraico en busca de la solución, ni tenemos ninguna idea previa de cuál va a ser.

Investigación:

• Pensar en otros problemas susceptibles de ser resueltos con este método.

► 6.3 Colores

Objetivos

Usaremos la propiedad Color Dinámico para visualizar fácilmente lugares geométricos desconocidos, siempre que sepamos expresar la condición que deben cumplir los puntos del mismo.

Este modo de empleo del color dinámico es realmente potente. Simplemente "barriendo"

la pantalla el lugar geométrico aparece, como por arte de magia, ante nuestros ojos.

El Color Dinámico

La propiedad Color Dinámico asigna al objeto tres valores numéricos, cada uno de ellos variable entre 0 y 1, que corresponden a la intensidad de rojo, verde y azul presentes en su color-luz combinado.

Para desactivar esta propiedad se debe usar el botón X situado a la derecha del código RGB (red, green, blue). En tal caso, el color del objeto será el establecido en la pestaña Color del cuadro de diálogo Propiedades del objeto. Es la opción predefinida al crear un objeto nuevo:

En la siguiente tabla se puede apreciar (agrupados por complementarios) el resultado de la elección de algunos colores básicos.

Rojo

Verde

Azul

Color

Nombre

0 0 0

Negro

1 1 1

Blanco

0.33 0.33 0.33

Gris oscuro

0.67 0.67 0.67

Gris claro

1 0 0

Rojo

0 1 1

Ciano

0 1 0

Verde

1 0 1

Magenta

0 0 1

Azul

1 1 0

Amarillo

Cuando un valor numérico "k" no esté entre 0 y 1, GeoGebra sigue la siguiente norma: 1) Si el valor numérico no está entre 0 y 2, divide entre 2 y se queda con el resto.

2) Si el valor numérico "k" obtenido (o el resto de dividir entre 2) está entre 1 y 2, toma "2 - k".

El motivo de este comportamiento es evitar cambios bruscos de color entre dos valores numéricos próximos.

Por ejemplo, la siguiente imagen corresponde al rastro de color que ha dejado una circunferencia al girar alrededor de un punto. [videoclip]

Los pasos de construcción son:

Nº

Nombre

Definición

Comando

1

Punto A

2 Circunferencia

c Circunferencia con centro A y radio 4 Circunferencia[A, 4]

3

Punto B

Punto en c

Punto[c]

4

Circunferencia d Circunferencia con centro B y radio 4 Circunferencia[B, 4]

Una vez construida la circunferencia "d", en su propiedad de Color Dinámico introducimos los valores:

Rojo: x(B) Verde: y(B) Azul: x(B)-y(B)

donde x(B) es la abscisa de B e y(B) es la ordenada de B. Por último, activamos el rastro de la circunferencia "d" y movemos suavemente su centro, el punto B, que girará alrededor del punto A. Recordemos que para borrar ese rastro debemos pulsar Ctrl+F (la F de Fresh).

La construcción

Vamos a resolver el mismo problema que en la sección anterior, usando ahora el método del Color Dinámico. Tenemos dos puntos fijos A y B y un punto libre C. Queremos conocer dónde están las posiciones de los puntos que distan de B el doble que de A.

Para abreviar la escritura, llamaremos "b" a la distancia de C a B y "a" al doble de la distancia de C a A. En la Barra de Entrada escribimos (se puede usar Ctrl+C y Ctrl+V

para copiar y pegar la selección desde aquí):

b = Distancia[C,B]

a = 2*Distancia[C,A]

Queremos averiguar para qué posiciones de C se cumplirá "b = a".

Para ello, establecemos como Propiedad de Color Dinámico del punto C la expresión a/b en el color Rojo, la expresión b/a en el color Verde y la expresión 1+a-b en el color Azul: Observemos que cuando "b" sea igual a "a", y solamente en ese caso, las tres expresiones valdrán 1, así que el color resultante será blanco.

Ahora sólo tenemos que activar el rastro del punto C y moverlo por la pantalla, buscando las zonas más próximas al blanco. Después de algunos "barridos" obtendremos una imagen similar a esta:

Hemos destacado los puntos A y B, en tamaño mayor y color amarillo, A a la izquierda y B a la derecha. Como un halo fantasma, la circunferencia blanca nos señala la solución del problema.

Propuesta de trabajo

Resolver con este método el problema de encontrar todos las posiciones que disten dos unidades más de B que de A:

b = Distancia[C,B]

a = 2+Distancia[C,A]

Comentarios

El color dinámico nos conduce rápidamente hacia el descubrimiento del lugar geométrico buscado. Los tonos claros nos indican la posible cercanía del blanco, nuestro objetivo, algo así como en el juego del "frío o caliente". De esta forma, las distintas luminosidades nos van facilitando cada vez más información sobre dónde se encontrará el lugar buscado. Además de útiles, las imágenes que se obtienen con este método a menudo son muy bellas, pues las propiedades de las expresiones y operaciones matemáticas quedan reflejadas en las formas y colores obtenidos.

Investigación:

• Dados los valores "a" y "b", existe una infinidad de expresiones que toman el valor 1 cuando los dos valores sean iguales. Considerando que el signo ^ indica

"elevado a", sqrt() indica "raíz cuadrada de", y abs() indica "valor absoluto de", algunas de ellas son: a/b, b/a, 1+a-b, 1+b-a, (a/b)^2, sqrt(a/b), 2^-abs(a-b), (3b-2a)/(2a-b), etc. Es interesante y divertido probar a variar estas expresiones en el color dinámico y observar el resultado obtenido en cada caso. Por ejemplo, la combinación:

Rojo: a/b Verde: (3b-2a)/(2a-b) Azul: 2^-abs(a-b)

produce para el problema anterior la imagen:

mientras que si definimos k = sqrt((2a-b)(2b-a)), las expresiones: Rojo: k/b Verde: k/a Azul: k/sqrt(a*b)

provocan la aparición de la imagen:

► 6.4 Problemas

Mathema

La raíz de la palabra Matemáticas es griega y significa "conocimiento, enseñanza", es decir, lo que se aprende y enseña. Ahora bien, ¿con qué finalidad? Lo que se aprende y enseña... ¿para qué?

La respuesta es simple: lo que se aprende y enseña para poder superar dificultades, esto es, resolver problemas.

Los problemas son el origen y fin de las Matemáticas desde hace más de cuatro mil años.

Antiguos problemas de reparto, parcelas, contabilidad, arquitectura y astronomía sentaron las bases de la aritmética, la proporcionalidad, la geometría euclidiana, los sistemas de numeración, los métodos de medición...

Como los métodos matemáticos tienden a la generalización como vía de resolución de problemas concretos, rápidamente la propia matemática crea un enorme número de problemas generales ("teoremas") de las propias Matemáticas, resueltos o todavía sin resolver.

Los actuales problemas de la física cuántica, de la bioingeniería genética, de los sistemas caóticos, de las comunicaciones digitales... requieren nuevos métodos para resolverlos, nuevas Matemáticas, que de esta forma se mantienen vivas como nunca, abriendo nuevas regiones del conocimiento y alcanzando nuevos resultados a un ritmo muy superior a cualquier momento anterior.

En definitiva, los problemas son el corazón mismo de las Matemáticas: "hacer matemáticas" es esencialmente "resolver problemas".

Tecnología GeoGebra

De la misma forma que un mecánico agradece una buena caja de herramientas como ayuda para resolver una gran variedad de problemas, las herramientas de GeoGebra nos permiten abordar más fácilmente muchos tipos de problemas, e incluso atacar algunos tipos que sin su ayuda serían, en un determinado nivel de enseñanza, prácticamente inviables.

Detallaremos a continuación un ejemplo.

Un problema difícil (o no tanto)

Veamos ahora el siguiente enunciado:

Las diagonales de algunos trapecios son mutuamente perpendiculares. Los nominaremos "trapecios ortodiagonales". Dados dos puntos fijos A y B,

¿dónde se encuentran todos los puntos de corte de las diagonales de los trapecios ortodiagonales de base AB?

A primera vista, el problema parece al menos del nivel de bachillerato. Para empezar, hay un tipo de dificultad en la misma comprensión del enunciado. Se usan términos desconocidos que "hay que digerir". Hará falta ir desgranando frase a frase ese enunciado, pero veremos que con la ayuda de GeoGebra el proceso se podrá realizar con toda naturalidad.

Las diagonales de algunos trapecios son mutuamente perpendiculares.

¿Es cierto? Si realizamos algunos ensayos con GeoGebra vemos rápidamente que podemos construir de diversas formas muchos de esos trapecios. Seguramente nos daremos cuenta que si trazamos cualquier par de rectas paralelas y otro par cualquiera de rectas perpendiculares, los cuatro puntos de corte de esos dos pares de rectas son los vértices de esos trapecios.

Los nominaremos "trapecios ortodiagonales".

Bien, eso no añade información, sólo es una forma de denominar, para abreviar, a los trapecios cuyas diagonales se cortan perpendicularmente. Sigamos.

Dados dos puntos fijos A y B, ¿dónde se encuentran todos los puntos de corte de las diagonales de los trapecios ortodiagonales de base AB?

Ahora lo único que tenemos que conseguir hacer es construir esos trapecios a partir de la base AB. Tal vez los pasos más naturales para lograrlo sean los siguientes:

• Puntos A y B, los fijamos y trazamos el segmento AB.

• Recta paralela a AB por un punto cualquiera C.

Con eso ya tenemos el par de rectas paralelas. Ahora construiremos las diagonales perpendiculares. Tenemos dos vértices fijos del trapecio, A y B. Colocamos un tercer vértice en cualquier posición de la paralela, con lo que conseguimos una diagonal. El resto es fácil.

• Punto D en la paralela a AB que hemos trazado.

• Recta AD y recta perpendicular a AD por B.

• El punto de corte E de esta última recta con la paralela a AB es el cuarto vértice del trapecio.

Hemos usado GeoGebra para "reconstruir las condiciones del problema". Una vez hecho, la movilidad del punto D nos permitirá resolver el problema en segundos.

• Sea F el punto de corte de las dos diagonales. Activamos su rastro.

• Al mover D, F describe una circunferencia de diámetro AB y centro el punto medio de AB.

Observemos que la posición de C, es decir, la altura del trapecio, no importa. El trapecio puede tener una altura de mil kilómetros que dará igual: el punto en que se cortarán las dos diagonales estará siempre en esa circunferencia.

Ejemplo de construcción

Trapecios ortodiagonales

Usar la Barra de Navegación para distinguir cada uno de los pasos. Al final, mover D.

Clic en esta imagen abre la construcción de GeoGebra

Propuesta de trabajo

Resolver con ayuda de GeoGebra el siguiente problema:

Sea una circunferencia de centro A y radio 5. Colocamos en esa circunferencia tres puntos (B, C y D) y formamos el triángulo BCD. El baricentro de ese triángulo es la media de los vértices: (B+C+D)/3.

Cuando se mueve cualquiera de los tres vértices B, C ó D, el baricentro recorre un arco de circunferencia. ¿Cuánto mide el radio de esa circunferencia?

Herramientas:

Punto, Circunferencia-Radio, Polígono, Centro, Segmento.

Estrategia:

Realizar la construcción paso a paso y una vez realizada [videoclip] usar el

método descrito en Marcas para marcar 3 puntos por los que pase el baricentro al mover un vértice del triángulo. Esos tres puntos determinan la circunferencia buscada. Calcular su radio usando las herramientas Centro y Segmento.

Nota: alternativamente, en este caso, en vez de usar marcas podemos emplear la herramienta Lugar, más rápida y cómoda [videoclip].

Comentarios

El uso combinado de las herramientas de GeoGebra permite convertir la Vista Gráfica en un avanzado laboratorio matemático en donde poder realizar todo tipo de ensayos, experimentos y comprobaciones con facilidad y rapidez, con la gran ventaja sobre el instrumental físico de no estar limitados por sus dimensiones, flexibilidad, roturas, manchas, desgaste, reposición, peligro de ingestión, peligro de lesión, etc., además de poder conseguir mayor precisión, calidad estética y dinamismo.

Investigación:

• En la propuesta de trabajo, la circunferencia que recorre el baricentro al mover un vértice siempre divide al lado opuesto en tres partes iguales. ¿Es cierto? ¿Por qué?

(Indicación: el baricentro se sitúa en la mediana a 1/3 del lado y 2/3 del vértice.)

Document Outline

Portada_geogebra

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