Ministerio de Educación

Geogebra en la

enseñanza de las

matemáticas

Instituto de Tecnologías Educativas

2011

► 1. Interfaz de GeoGebra

► 1.1 Introducción

Introducción

Con esta guía sobre el Uso de GeoGebra se pretende familiarizar al usuario con el entorno visual propio de GeoGebra. Esta aplicación gratuita destaca, entre otras cosas, por su entorno intuitivo y la extrema facilidad de aprendizaje de uso. Sin embargo, siempre es interesante conocer algunas acciones o posibilidades alternativas de interacción que pueden ahorrarnos tiempo y molestias. Por ello, recomendamos su lectura (o al menos un vistazo) incluso a aquellos usuarios que ya posean alguna experiencia en el manejo de GeoGebra.

Para profundizar en GeoGebra, conocer su desarrollo, consultar foros y wikis, etc., lo mejor es dirigirse a la página oficial:

geogebra.org

Además, existen otros sitios web con muchas construcciones realizadas con GeoGebra, clasificadas temáticamente y listas para usar en nuestras clases. Uno de los más

destacados, en español, es geometriadinamica.es, cuyos autores pertenecen al Instituto GeoGebra de Cantabria, a su vez vinculado al International GeoGebra Institute:

geogebra.es

GeoGebra permite trabajar con objetos de geometría, álgebra, análisis y estadística. Se trata de un programa premiado en numerosas ocasiones. Podemos construir de modo muy simple puntos, segmentos, polígonos, rectas, vectores, cónicas, gráficas de funciones, curvas paramétricas y diagramas estadísticos. Todo ello dinámicamente, de forma que cualquier objeto puede sufrir modificaciones con un simple deslizamiento del ratón.

GeoGebra también admite expresiones como:

r: 3x + 4y = 7

c: (x – 2)²+ (y – 3)²= 25

y ofrece una amplia variedad de comandos entre los que cabe destacar la derivación y la integración.

Formas de usar GeoGebra

• Herramienta del estudiante: para realizar construcciones desde cero, ya sean dirigidas o abiertas, de resolución o de investigación.

• Herramienta del profesor: para realizar materiales educativos estáticos (imágenes, protocolos de construcción) o dinámicos (demostraciones dinámicas locales, applets en páginas web).

Ayuda

Las sección Ayuda proporciona información puntual sobre cualquier funcionalidad de GeoGebra. Además, con conexión a Internet, desde la propia ventana de GeoGebra (menú Ayuda) se puede acceder al manual de ayuda online, al foro y a la wiki de GeoGebra.

► 2. Construcciones ultraligeras

► 2.1 Introducción

Construcciones en segundos

GeoGebra ofrece un entorno intuitivo y amable. Cada herramienta expone un texto de ayuda de forma permanente en pantalla. Al escribir cada comando, pulsando F1, también podemos obtener ayuda rápida sobre sus sintaxis.

Algunas características de GeoGebra son particularmente versátiles. La facilidad para desplazar los objetos, crear un deslizador (es decir, un parámetro), mostrar u ocultar objetos, o dotarlos de un determinado color según la condición deseada, ayuda a crear en poco tiempo entornos de aprendizaje ricos en contenidos matemáticos.

En este módulo veremos algunos ejemplos de construcciones que se pueden realizar en muy poco tiempo (de ahí el título), a la vez que muestran usos y métodos generales de GeoGebra.

Si algún modelo de las páginas web ocupa demasiada altura para verlo completo, podemos pulsar F11 para dedicar toda la pantalla del navegador al applet.

Preparación del escenario

En la mayoría de las actividades deberemos decidir algunas características generales del entorno. Concretamente, existen tres aspectos que debemos indicar:

• ¿Se muestran los ejes?

• ¿Se muestra la cuadrícula?

• ¿Qué tipo de atracción tendrán los puntos de la cuadrícula?

Para mostrar o no los Ejes y la Cuadrícula podemos ir al menú Vista o bien ir al menú

contextual haciendo clic derecho sobre cualquier parte vacía de la Vista Gráfica.

Para variar el tipo de atracción de la cuadrícula debemos ir al menú Opciones, y en el apartado Atracción de Punto a Cuadrícula, elegir la opción deseada.

También podemos modificar la apariencia de la Cuadrícula en este menú de Opciones, en el apartado Vista Gráfica (en particular, podemos activar la opción "Isométrico" en la pestaña Cuadrícula). Este apartado también aparece en el menú contextual aludido en el punto anterior.

En las actividades simplemente señalaremos el estado recomendado de estas opciones.

Por ejemplo:

No

Sí (isométrica)

Desactiva

También conviene recordar que si estamos diseñando un actividad que contenga rótulos (etiquetas, texto) para proyectarla sobre una pantalla será recomendable aumentar el tamaño de la letra a 20 o 24 puntos, así como engrosar un poco las líneas más finas.

Protocolo y Barra de Navegación

Para el análisis de las construcciones ya realizadas, las utilidades de Protocolo y Barra de

Navegación, ambas accesibles a través del menú Vista, pueden ser de gran ayuda.

Nombres de los objetos

Cualquier objeto ingresado puede nominarse en el momento de hacerlo. Para ello, basta escribir como prefijo de la expresión una letra o un nombre seguido del símbolo igual (=).

Los puntos se nominan con letras mayúsculas, mientras que los vectores lo hacen con minúsculas. Si no se nomina el objeto, GeoGebra le pone un nombre automáticamente, siguiendo el orden alfabético.

Ejemplos:

• M = (A + B) / 2 [GeoGebra permite las operaciones con puntos como si fueran vectores de posición.]

• long1 = sqrt(v v)

• S = A + Interseca [r, s]

Se pueden usar índices también con los nombres de los objetos: A1 o sAB

se anotan como A_1 y s_{AB}. El guión bajo precede al subíndice.

► 3. Creación de recursos estáticos

► 3.1 Introducción

Dibujos fáciles y precisos

En la introducción al módulo 1, Interfaz de GeoGebra, se contemplaban dos formas generales de usar GeoGebra:

• Herramienta del estudiante: para realizar construcciones desde cero, ya sean dirigidas o abiertas, de resolución o de investigación.

• Herramienta del profesor: para realizar materiales educativos estáticos (imágenes, protocolos de construcción) o dinámicos (demostraciones dinámicas locales, applets en páginas web).

Vamos a fijar ahora nuestra atención en la realización de materiales educativos estáticos por parte del profesor.

Evidentemente, ese no es el fin primordial para el que se desarrolló GeoGebra. Sin embargo, por diversas causas (carencia de ordenadores, limitaciones horarias para usarlos, falta de hábito en el uso y control del espacio informático, etc.), a veces se prescinde completamente de GeoGebra porque se piensa que sólo puede ser útil en un aula con ordenadores. Con ello, el profesor renuncia a una cómoda y sencilla herramienta con la que crear el material personalizado que a menudo desea presentar a sus alumnos.

En este módulo veremos cómo crear las siguientes imágenes en poco tiempo. Esto nos permitirá, por ejemplo, insertarlas posteriormente en un documento de texto o en una presentación.

No repararemos en la sencillez o complicación de las herramientas que vamos a usar, por lo que no nos debe preocupar si algún procedimiento nos resulta por ahora especialmente

oscuro. Sólo queremos mostrar algunos materiales estáticos de diverso tipo creados con GeoGebra, y las pocas instrucciones que hemos necesitado para generarlos.

Particularmente, introduciremos el poderoso comando Secuencia. Si bien este comando es uno de los más difíciles de dominar, es también uno de los que más tiempo y trabajo nos puede ahorrar, por lo que es recomendable que al menos el profesor conozca su existencia desde un principio.

En cualquier caso, aprovecharemos la construcción realizada para, yendo un poco más allá, continuarla de forma que también sea aprovechable como recurso dinámico interactivo.

Sin construir nada, simplemente haciendo un volcado de pantalla al portapapeles (tecla Imp Pant), o mejor aún, exportando como imagen la Vista Gráfica (menú Archivo > Exporta) con los ejes o la cuadrícula visible, ya tenemos una imagen u hoja de trabajo útil como plantilla para proponer cuestiones sobre coordenadas, mallas ortogonales y mallas isométricas.

También puede ser buena idea, si tenemos pensado hacer fotocopias, cambiar el color de la cuadrícula a un gris más oscuro o negro para aumentar el contraste.

Por otra parte, debemos observar que en GeoGebra no existe una opción del tipo "copiar objetos". Lo más similar que podemos realizar es duplicar los objetos trasladándolos mediante un vector (para más detalles ver la

sección Ayuda > FAQ > Interfaz).

Unidades de superficie

El concepto de unidad, como medida de referencia, es fundamental. Para facilitar la comunicación con los alumnos (y entre ellos), en un primer estadio, podemos establecer como unidad de longitud en los ejes y en la cuadrícula 1 cm, aunque esta medida no corresponda a "píxeles".

De hecho, en la cuadrícula por defecto de GeoGebra, si exportamos la imagen como "png" (escala 1:1) y la imprimimos, cada casilla ocupa en el papel exactamente 1 cm2. También puede comprobarse directamente desde el menú Archivo > Previsualiza Impresión.

Por defecto, con escala de pantalla 1:1, una unidad en los ejes equivale a 50 píxeles.

Nota técnica: el tamaño en pantalla y el tamaño en papel están a la vez relacionados por la siguiente igualdad:

[Tamaño pantalla (píxeles)] x [2.54 (cm/pulgada)] = [Resolución impresión (dpi)] x [Tamaño papel (cm)]

La unidad dpi (dots per inch) también se denota, en español, como ppp (puntos por pulgada). Ejemplo: Para saber cuánto va a ocupar en papel una imagen cuadrada de 118 píxeles de lado con una resolución de impresora de 300 dpi, se multiplica 118 por 2.54 y se divide por 300. Resultado: un cuadrado de 1 cm de lado.

Tomemos un cuadrado de 50 px de lado. Cuando importamos esa imagen a GeoGebra, cada 50 px equivalen a una unidad cartesiana, así que el cuadrado ocupará exactamente una casilla de la cuadrícula. Si copiamos la pantalla pulsando la tecla Imp Pant, podemos recuperar la imagen de 50x50

px recortándola con cualquier editor gráfico. Para que esa imagen ocupe 1

cm2 en el papel tendremos que imprimirla con una resolución de 50x2.54 =

127 ppp (en vez de los 96 ppp habituales). Si optamos encuadrar la imagen y usar la opción "Copia la Vista Gráfica al Portapapeles" (menú Archivo > Exporta), obtendremos una imagen de salida de 100x100 px, por lo que para obtener 1 cm2 en el papel tendremos que imprimirla a 254 ppp. Por último, si optamos por usar la opción "Exporta Vista Gráfica como Imagen", el resultado será siempre un cuadrado de 1 cm de lado, por lo que al variar la resolución dpi el tamaño de la imagen en píxeles se ajustará automáticamente.

En cuanto a la visión en el monitor, estará condicionada por la resolución de pantalla y al posible uso del zoom.

Por otra parte, el atractivo hacia la Geometría, la más visual de las áreas matemáticas, se ve frecuentemente impulsado por la valoración de la estética de las formas y colores. En todas las construcciones, recomendamos la mejora del acabado estético.

Los ojos de GeoGebra: el ojo gráfico y el ojo algebraico Desde las primeras actividades mostraremos simultáneamente la Vista Gráfica y la Vista Algebraica. Es importante que, desde el comienzo, nos acostumbremos a visualizar las variaciones que se producen en una de esas vistas cuando interactuamos en la otra.

Cuantas más representaciones visuales distintas obtengamos del mismo objeto o relación geométrica, más nítida será la comprensión de su naturaleza y variabilidad, lo que no es óbice para que en determinados momentos o actividades se considere recomendable ocultar la Vista Algebraica, favoreciendo así la atención en el comportamiento de los objetos gráficos.

► 4. Construcciones vs. dibujos

► 4.1 Introducción

Construcciones vs. dibujos

Las herramientas de GeoGebra no son herramientas de edición gráfica. Ni siquiera existe una herramienta para copiar una zona de la pantalla. Lo más parecido que existe es copiar el valor de un objeto o copiar su estilo.

Si, por alguna razón especial, lo que deseamos es realizar una copia de la figura construida en otra zona de la Vista Gráfica (o incluso superpuesta a la original), lo más sencillo es crear un vector, elegir la herramienta Traslada, y después de seleccionar toda la figura (por ejemplo enmarcándola mediante un arrastre del ratón) hacer clic sobre el vector de traslación (que debe ser (0,0) para lograr una superposición). Se debe tener en cuenta, no obstante, que con este procedimiento todos los objetos libres se convierten en dependientes y tampoco conservan el estilo de los objetos originales.

Construir no es lo mismo que dibujar. En una construcción unos elementos se apoyan en otros. La eliminación de un solo elemento puede provocar la eliminación de toda la construcción.

Además, los elementos no se relacionan entre sí por cercanía, ni por tamaño, ni por color.

Se relacionan por mantener una dependencia, añadir unas limitaciones.

Sin embargo, las construcciones, consideradas como imágenes, se pueden exportar (menú Archivo) en formato vectorial para su uso en un editor de gráficos vectoriales. Un punto que hemos colocado con GeoGebra sobre una recta, puede ser desplazado de ella exportando la imagen vectorial y abriéndola con un editor de gráficos vectoriales.

Por otra parte, los dibujos (o cualquier otra imagen) pueden ser de ayuda como modelo a reproducir en forma de construcción, como fondo de la pantalla a modo de planilla, o como un elemento más de la construcción, susceptible de ser transformado por diversas operaciones geométricas.

► 5. Deslizadores y animaciones

► 5.1 Introducción

Deslizadores y animaciones

GeoGebra permite la animación manual (mediante el teclado) o desatendida (mediante la animación automática de un deslizador). Veamos sus características principales.

Los deslizadores se pueden animar automáticamente ya sea desde el menú contextual o desde la ventana de Propiedades.

(Botón Pausa-Reproduce). Cuando la animación automática se encuentra activada, aparece un botón en la esquina inferior izquierda de la Vista Gráfica. Este botón permite parar y reiniciar el avance.

Para activar varios deslizadores con animación automática a la vez, de forma sincronizada, los activamos uno a uno, detenemos la animación con el botón Pausa-Reproduce, hacemos clic derecho sobre un deslizador para abrir el cuadro de diálogo Propiedades y desde este cuadro, en la pestaña Básico, establecemos el valor de cada deslizador en el deseado. Sólo tendremos, posteriormente, que volver a animarlos volviendo a pulsar el botón Pausa-Reproduce.

Además de con la animación automática de los deslizadores, podemos animar los puntos semilibres (es decir, los puntos que pertenecen a otro objeto geométrico y conservan movilidad en él) mediante las siguientes teclas:

• Tecla + y tecla -.

• Flechas del teclado.

La tecla + hace avanzar al punto en el sentido del vector director de la recta, semirrecta o segmento, es decir, en el sentido PQ, donde P es el primer punto que define la recta y Q

el segundo. Si el punto está en un arco circular, la tecla + lo hace avanzar en el sentido angular positivo (antihorario).

La tecla - lo hace en sentido opuesto.

Las flechas del teclado lo hacen avanzar en el sentido que indican.

Manteniendo pulsadas determinadas teclas, se puede alterar la velocidad de desplazamiento multiplicándola por un factor:

• Tecla Mayúsculas: factor 1/10

• Tecla Ctrl: factor 10

• Tecla Alt: factor 100

Todas estas teclas de animación también sirven para cambiar los valores de los números y puntos libres en la Vista Algebraica.

► 6. Problemas dirigidos

► 6.1 Introducción

Problemas dirigidos

GeoGebra ha sido especialmente diseñado para facilitar el aprendizaje y la enseñanza de la geometría. La mayoría de las herramientas básicas son geométricas. Con sólo unas pocas pulsaciones del ratón se pueden construir rápidamente figuras realmente complejas.

Igualmente, resulta muy sencillo plantear problemas geométricos. Aquí tenemos distintas posibilidades.

Si optamos por proponer la realización de una construcción desde cero (por ejemplo,

"construir un rombo") evidentemente no necesitamos preparar nada, sólo guiar al alumno respondiendo a las dudas que plantee.

Ahora bien, si queremos que GeoGebra ayude al alumno en la búsqueda de la solución, podemos optar por establecer sistemas de control que alerten de algún objetivo conseguido (o al contrario, de la presencia de algún error). Esto es posible gracias a los textos con visibilidad condicionada.

Por último, también podemos guiar al alumno preparando un modelo a reproducir (por ejemplo, "construye un rombo similar al que ves aquí"). En este caso, disponemos además de dos alternativas: permitir el uso de la barra de navegación (para que el alumno vea cada uno de los pasos de la construcción realizada previamente) o no permitirlo, de forma que sólo se vea "qué" hay que lograr pero no "cómo" lograrlo.

► 7. Percepción y medición

► 7.1 Introducción

Percepción y medición

La gran ventaja de la Geometría respecto a otras ramas de las Matemáticas es la posibilidad de visualizar una representación gráfica de los objetos geométricos. El aprendizaje de los conceptos matemáticos y de las relaciones entre objetos abstractos se ve ayudado en gran medida si disponemos de una figura que represente el concepto o la relación.

Pero los ojos también pueden engañarnos, inducirnos a falsas conclusiones o alimentar la adquisición de ideas erróneas.

En el aprendizaje de las Matemáticas es esencial la argumentación. No sólo como forma de aproximarnos al tipo de relación que se oculta detrás de nuestras observaciones visuales o manipulativas, sino también como método óptimo para eludir tesis incorrectas.

Un buen aprovechamiento de las utilidades de GeoGebra ayuda en gran manera a ser consciente de esta necesidad del razonamiento lógico y a rebatir las apariencias visuales engañosas.

Por otra parte, las herramientas de medición resultan de gran utilidad para obtener rápidamente soluciones concretas a problemas geométricos.

En este módulo veremos algunos ejemplos de las dificultades de percepción y el aprovechamiento de las herramientas de medición.

►8. Subconstrucciones

► 8.1 Introducción

Herramientas personales

GeoGebra nos permite crear nuestras propias herramientas personales. Esto significa que podemos convertir cualquier proceso constructivo que hayamos realizado en una herramienta.

Resulta conveniente guardar el archivo "ggb" en el que hemos realizado la construcción que convertiremos en herramienta. De esta forma, si en el futuro deseamos modificar algo o crear otra herramienta similar no tendremos que comenzar todo de nuevo. No obstante, si nos hemos olvidado de guardar el archivo y queremos recuperar el proceso que dio lugar a la herramienta, en el módulo dedicado al lenguaje XML aparece una solución.

GeoGebra también nos permite gestionar qué herramientas, y con qué distribución, queremos mostrar en la Barra de Herramientas.

Todo ello se hace a través del menú de Herramientas y con la opción Guardar Configuración del menú Opciones.

Menú Herramientas

Herramientas

Creación de Herramienta Nueva ...

Gestión de Herramientas ...

Personalizar Barra de Herramientas ...

Creación de Herramienta Nueva

Podemos crear nuestras propias herramientas personales, basadas en una construcción existente. Primero, realizamos los pasos necesarios para construir el objeto u objetos deseados. Después, elegimos esta opción del menú de Herramientas. En el cuadro de diálogo que aparecerá podemos especificar los objetos de salida, los objetos de entrada, los nombres para la herramienta y el comando, y el icono asociado.

Las herramientas personales siempre pueden usarse tanto con el ratón como introduciendo el comando en el Campo de Entrada. Todas las herramientas personales que hayamos creado se guardarán automáticamente en el archivo GGB de nuestra construcción.

Gestión de Herramientas

Aquí podemos eliminar o cambiar el nombre o el icono de las herramientas personales que hayamos creado.

También podemos guardarlas en archivos especiales, de extensión GGT (GeoGebra Tools File). Este archivo puede usarse posteriormente (menú Archivo, Abre) para cargar estas herramientas en otra construcción cualquiera.

Abrir un archivo GGT no altera la construcción actual, pero abrir otro archivo GGB sí lo hace. Si deseamos conservar nuestro trabajo, debemos guardar siempre un archivo GGB antes de abrir otro archivo GGB.

Personalizar Barra de Herramientas

Con esta opción podemos elegir cuáles serán las herramientas que figurarán en la Barra de Herramientas. Esto resulta particularmente interesante para realizar Hojas Dinámicas donde las herramientas se encuentren limitadas.

La configuración de la barra de herramientas actual se guarda junto con la construcción en el archivo GGB.

El proceso descrito es suficiente para exportar al applet de la página web la configuración que hayamos establecido en la Barra de Herramientas. Sin embargo, si lo que deseamos es mantener esta configuración cada vez que abramos GeoGebra de nuevo, una vez distribuidas las herramientas a nuestro gusto, debemos guardar los cambios pulsando en la opción Guardar Configuración, del menú Opciones. Si posteriormente deseamos Restablecer la Barra de Herramientas Original de GeoGebra deberemos volver al cuadro que se muestra en la imagen, pulsar el botón correspondiente y guardar de nuevo esa configuración.

La visualización y posición de la herramienta fundamental Elige-y-Mueve es invariable (salvo que se modifique manualmente en el parámetro del applet).

►9. ¿Y si...? Curiosidad, intuición y conjeturas

► 9.1 Introducción

¿Y si...? Curiosidad, intuición y conjeturas explorar (del lat. «explorare»)

1 tr. Examinar íntimamente una cosa para ver lo que hay en ella o cómo está. •

Particularmente, recorrer con ese objeto un país o lugar desconocido. • Examinar el médico una parte interna del organismo o una herida.

2 Tratar de enterarse, antes de emprender una cosa, de cuál es la situación en relación con ella, de su posibilidad, sus posibles consecuencias, etc. Sondear, tantear. • Particularmente, hacerlo así con alguien: ‘Eso lo ha dicho para explorarnos’.

Diccionario de uso del español María Moliner Para aprender matemáticas necesitamos saber hacer dos cosas: explorar (todos sabemos que hay tres clases de matemáticos, los que saben contar y los que no).

Ahora bien, toda exploración supone una continua toma de pequeñas (o grandes) decisiones. ¿Qué caminos parecen los mejores? ¿Por dónde ir? ¿Cómo salvar los obstáculos?

El dinamismo de GeoGebra favorece la exploración de forma natural gracias a dos características: el proceso constructivo y la movilidad.

Por una parte, el proceso constructivo nos permite analizar la situación en pasos sucesivos, partiendo de los más simples. Este proceder está íntimamente ligado con el razonamiento inductivo, un potente instrumento de exploración.

Por otra parte, la facilidad con la que podemos desplazar los objetos, obligándolos a adquirir muchas posiciones distintas, permite la observación de las características inherentes al "paisaje" que estamos explorando.

Una vez comenzada la exploración, surgirán pistas, posibilidades, ideas, conjeturas. La refutación de muchas de ellas no sólo servirá para reducir el campo de atención alrededor del núcleo del problema, sino -lo que es mucho más valioso- para adquirir experiencia sobre los tipos de observaciones y conjeturas que no suelen ser eficaces en el análisis y distinguirlos de aquellos que sí lo son.

Otra técnica exploratoria consiste en comenzar el recorrido en otro punto distinto.

Particularmente, con el razonamiento regresivo se pueden obtener muy buenos resultados partiendo del extremo contrario del inicio: el final.

►10. Salta a la vista

► 10.1 Introducción

Salta a la vista

Dicen que una imagen vale por mil palabras. Sin embargo esto sólo es cierto cuando logramos interpretar el significado de la imagen.

La figura anterior (realizada sobre la cuadrícula de GeoGebra, por supuesto) corresponde a la distribución de los primos menores que cien. Evidente para cualquiera, ¿o no?

Muchas de las preguntas de los tests de inteligencia se basan precisamente en la capacidad para captar el proceso lógico o las relaciones que hay detrás de una imagen, generalmente abstracta.

Es cierto que una imagen puede favorecer en gran medida tanto el aprendizaje de nuevos conceptos como las relaciones entre estos y otros ya adquiridos. Pero si en vez de disponer de una imagen podemos contar con una "imagen dinámica", captaremos las ideas esenciales de forma más rápida y profunda.

Una imagen como la anterior que parta de un rectángulo con todas sus casillas azules y vaya blanqueando las casillas siguiendo la criba de Eratóstenes es mucho más clara, es casi "autoexplicativa".

Con GeoGebra podemos crear fácilmente construcciones que ayuden a explicar, por sí solas, las ideas que deseamos transmitir, o bien nos ayuden "a ver" qué procesos se esconden detrás de una imagen.

►11. Conexiones matemáticas

► 11.1 Introducción

Conectando ideas

Si algo caracteriza a GeoGebra frente a otras aplicaciones diseñadas para el aprendizaje de las matemáticas es la conexión entre las distintas formas de representación. Decíamos en la presentación:

"GeoGebra visualiza a la vez un punto en el plano cartesiano y sus coordenadas numéricas, una circunferencia y su ecuación, la gráfica de una función y su expresión simbólica, etc."

Este tipo de conexiones permanentes predispone favorablemente a la observación de más conexiones conceptuales.

Por otra parte, con GeoGebra es mucho más sencillo, debido a su dinamismo, observar tanto las relaciones entre cantidades como las relaciones entre "variaciones de esas cantidades". De la misma forma que un objeto puede pasar fácilmente desapercibido manteniéndose en absoluta inmovilidad, pero se descubre inmediatamente al menor movimiento, nuestra mirada se dirige no sólo a la representación gráfica o algebraica de los objetos sino también a su variabilidad.

La incorporación de la Hoja de Cálculo y los comandos estadísticos amplían las conexiones entre Aritmética y Álgebra, Geometría y Análisis Funcional con las de Probabilidad y Estadística, abarcando de esta forma todos los grandes núcleos teóricos del aprendizaje matemático.

Pero lo más importante está en la práctica, no en la teoría. La facilidad de cálculo (aritmético, algebraico o geométrico) unida a la inmensa riqueza que supone la interactividad del estudiante con las representaciones de los objetos matemáticos hace de GeoGebra una auténtica "calculadora visual" que permite el abordaje de problemas convencionales a la vez que amplía las posibilidades de investigación y estudio a muchos problemas que sin este tipo de recursos informáticos nunca se nos ocurriría siquiera proponer. En el apartado "Otros modelos" de este módulo se muestra un buen ejemplo: el titulado "Alfabeto".

►12. Proyecciones 3D

► 12.1 Introducción

Proyecciones de 3D a 2D

Los desarrolladores de GeoGebra están trabajando para añadir una Vista 3D que permita trabajar con objetos con tres coordenadas. Mientras no terminen, podemos simular objetos tridimensionales mediante sus proyecciones en el plano.

Estas proyecciones podemos realizarlas punto a punto, como sucede en los vértices de un poliedro, o por curvas, como sucede en las mallas de superficies.

Dedicaremos un apartado a cada uno de estos procedimientos. En el apartado "Otros modelos" podemos encontrar y analizar varios ejemplos.

►13. Applets, JavaScript y XML

► 13.1 Introducción

Comunicaciones y programación

En este módulo veremos con detalle las posibilidades de integración de una construcción en una página web, algunas opciones de configuración y el puente que tiende GeoGebra a los usuarios que tengan nociones básicas de programación en JavaScript.

Veremos también (apartado URL) cómo descargar en el disco duro una construcción de GeoGebra que vemos en Internet.

Finalmente, en el apartado JavaScript, expondremos algunos ejemplos para aquellas personas que tengan algunas nociones de programación orientada a objetos, o simplemente curiosidad por conocer estas posibilidades de uso de GeoGebra.

Document Outline

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