Ministerio de Educación

TIC en el área

de Matemáticas

Instituto de Tecnologías Educativas

2011

TIC en el Área de Matemáticas

Ecuaciones y sistemas con WIRIS

Ministerio de Educación. ITE |TIC en el Área de Matemáticas

Índice

Ecuaciones y sistemas con WIRIS.……………………………...……………….. 1

Recurso TIC: WIRIS………………………………………………………….………

2

Aplicaciones de WIRIS al Álgebra..……………………………………….. 3

Situación de aprendizaje……………………………………………………. 3

Los tipos de ecuaciones de segundo grado en WIRIS..…………….... 5

Método de completar cuadrados con WIRIS.………………………….... 5

Demostrar la fórmula general de resolución de ecuaciones de 6

segundo grado….……………………………………………………………..

Aplicar la fórmula general con la función Resolver y el 7

discriminante…..……………………………………………………………...

Representación gráfica de sistemas de

8

ecuaciones…………………………………………………………………….

El tablero de dibujo……..…………………………………………….. 9

Introducir comentarios en WIRIS…………………………………… 10

Guardar en páginas HTML…………………………………………… 11

Actividades……………………………………………………………… 12

Glosario………………………………………………………………….. 14

Aplicación al aula……………………………………………………………….……. 14

Planificación.………………………………………………………………….. 16

Sugerencias metodológicas…...……………………………..................... 18

Atención a la diversidad..…………………………………………………... 18

Ministerio de Educación. ITE |TIC en el Área de Matemáticas

Ecuaciones y sistemas con WIRIS

Presentación

A través del uso del álgebra y, por lo tanto, de la resolución de diferentes algoritmos (ecuaciones de primer y segundo grado, sistemas de ecuaciones, inecuaciones y sistemas de inecuaciones), podemos solucionar problemas cotidianos y reales de la vida diaria de una forma fácil y sencilla. Asimismo, pretendemos la integración didáctica del Álgebra en el aula con el uso del hardware y el software adecuado para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.

Objetivos

El objetivo de este módulo formativo es conseguir integrar las TIC de una manera eficiente en nuestra tarea docente, aprovechando todo el potencial que nos ofrecen para que nuestro alumnado alcance los objetivos de aprendizaje marcados. A través de una serie de propuestas didácticas verás ejemplos con contenidos curriculares concretos, donde aprenderás cómo aplicar los recursos TIC mediante la estrategia metodológica más apropiada.

Para ello, se presenta el recurso TIC: WIRIS

Programación

Objetivos específicos

Conocer el motor matemático WIRIS y su utilidad en la resolución de ecuaciones de segundo grado.

Aprovechar las posibilidades de Wiris en la demostración gráfica de la resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado.

Contenidos

El motor matemático WIRIS como herramienta de apoyo en el aula.

Demostración de los tipos de ecuaciones de segundo grado.

Demostración del método de completar cuadrados para resolver ecuaciones de segundo grado.

Demostración algebraica de la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado.

Análisis de ecuaciones de segundo grado mediante el discriminante.

WIRIS como apoyo a la demostración de contenidos gráficos en el aula.

1

Comentar y guardar ejercicios o ejemplos en WIRIS.

Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones de primer grado y su clasificación.

Criterios de evaluación

Resolver una ecuación de segundo grado por distintos métodos utilizando Wiris.

Resolver gráficamente un sistema de ecuaciones usando el motor matemático Wiris.

Requisitos mínimos

Conocimientos de conexión a Internet y navegación.

Conceptos básicos de herramientas de cálculo matemático.

Recurso TIC: WIRIS

Recurso TIC: WIRIS

WIRIS es una plataforma en línea para cálculos matemáticos diseñada específicamente para la educación.

Se accede de manera gratuita a ella y está respaldada por diversas comunidades autónomas y también es usada en otros países. En la animación podrás ver el entorno de trabajo que te ofrece y las inmensas posibilidades matemáticas que brinda.

La principal función de WIRIS es apoyar el aprendizaje de los alumnos, por lo que es una herramienta especialmente dirigida a este fin en el contexto de las TIC. Como motor matemático, tanto su uso como explicación a los alumnos es muy simple, ya que está orientado al trabajo en el aula. Como herramienta en línea, no necesita ningún tipo de software especial más que la conexión a Internet.

Su rango de aplicación va desde los estudios de primaria hasta los universitarios.

Para el álgebra, WIRIS ofrece técnicas para encontrar todas las soluciones de ecuaciones y para resolver sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. Esto aporta múltiples ventajas propias de este recurso como las siguientes:

Aumenta el rendimiento de trabajo en Álgebra al tener gran libertad de ensayar y probar, pudiendo comprobar de manera inmediata los resultados.

Para el educador es un elemento de apoyo audiovisual que mejora la transmisión de contenidos.

Es un programa que está especialmente diseñado para la educación. Es una buena herramienta para crear y aprender de forma amena.

Permite un trabajo avanzado de programación y repetición de ejercicios.

La representación gráfica de funciones permite comprender visualmente las expresiones sin necesidad de hacer los gráficos en la pizarra.

Permite el desarrollo de un trabajo de demostración en el aula y un trabajo de repetición y práctica de los alumnos fuera del aula.

Pinchando sobre la imagen podrás ver vídeo que describe el entorno de trabajo de WIRIS

2

En este PDF tienes un manual de uso básico de WIRIS.

Aplicaciones de WIRIS al Álgebra

Aplicaciones de WIRIS al Álgebra

WIRIS comprende todas las posibilidades de una calculadora científica, pero disponible de forma gratuita en Internet.

Ya que el álgebra permite expresar problemas de manera simbólica, el principal uso que daremos a WIRIS

será la resolución de ecuaciones o sistemas de ecuaciones, pero poniendo atención a la secuenciación de su resolución.

La gran capacidad de la herramienta resuelve las ecuaciones de primer o segundo grado o los sistemas de ecuaciones en un solo paso con las funciones Resolver ecuación y Resolver sistema.

Por otra parte, la facilidad del motor de cálculo para representar ecuaciones de dos incógnitas de manera gráfica, resulta muy atractiva así como fácil de aplicar en el entorno del aula.

En las propuestas didácticas que te proponemos, podrás encontrar pautas para trabajar problemas algebraicos aprovechando las ventajas de WIRIS.

En la imagen podrás ver un vídeo que describe las diferentes herramientas de WIRIS

Situación de aprendizaje

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Situación de aprendizaje

Presentamos dos propuestas didácticas:

Primera propuesta: Resolver ecuaciones de segundo grado con WIRIS

Las ecuaciones de segundo grado son un contenido de 3º de ESO. Se aprovechan todos los conceptos de equilibrio y operación sobre ambos miembros de la ecuación; sin embargo, se agregan importantes conceptos relativos a números irracionales, múltiples respuestas y la solución mediante una fórmula de estas ecuaciones.

En este sentido, el uso de un motor matemático en línea, WIRIS, como apoyo de la presentación de contenidos en el aula y espacio de ejercitación para tus alumnos, será una poderosa herramienta de apoyo a tu labor docente.

Desde las demostraciones más simples hasta la aplicación de la fórmula general de resolución de ecuaciones de segundo grado, la proyección de ejercicios con WIRIS en el aula te permitirá usar notación algebraica y las ventajas de su motor de cálculo.

A través de esta propuesta encontrarás pautas para usar WIRIS como herramienta de apoyo y complemento a una metodología de demostración en el aula.

En la imagen dispones de una animación en la que se define el concepto de ecuación de segundo grado

Segunda propuesta: Demostración gráfica de sistemas de ecuaciones con WIRIS

El aprendizaje de los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado se consolida en 4º de ESO, introduciéndose la clasificación de los sistemas y la posibilidad de resolverlos gráficamente.

Normalmente, una de las mayores dificultades que encuentra el educador del currículo de matemáticas es la representación gráfica de ecuaciones y funciones.

Por una parte, la pizarra convencional, a la hora de realizar dibujos, genera una pérdida de tiempo importante en el aula. Por otra parte, algunas TIC están orientadas a exponer textos e imágenes de manera novedosa y versátil, pero dejan de lado el lenguaje científico. Por ello, las posibilidades de representación gráfica de WIRIS son una verdadera ventaja a la hora de trabajar con elementos gráficos en el aula.

Esta propuesta te presenta las pautas necesarias para aprovechar la representación gráfica de WIRIS, así como sus utilidades de comentar y conservar los ejercicios desarrollados para poder repetirlos. 4

Los tipos de ecuaciones de segundo grado en WIRIS

Los tipos de ecuaciones de segundo grado en WIRIS

Desde el punto de vista del álgebra, la herramienta más poderosa de WIRIS es Resolver ecuación en la pestaña de Operaciones. Con esta se puede introducir cualquier ecuación y, siempre que la tenga, obtener su solución de manera inmediata. Sin embargo, desde el punto de vista didáctico, WIRIS nos servirá para desarrollar paso a paso las demostraciones de los distintos tipos de ecuaciones.

Aplicaremos esto a la resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas. Hay tres casos, dependiendo de qué factor es igual a cero:

Caso 1. b = 0 y c = 0. La forma es a x 2 = 0.

Por ejemplo, si tenemos 4 x 2 = 0, se despeja la incógnita dividiendo por 4 y aplicando la raíz cuadrada. En este caso, la solución siempre es cero.

Caso 2. c = O. La forma es a x 2 + bx = 0.

Caso 3. b = 0. La forma es a x 2 + c = 0.

Pincha en la imagen para ver un vídeo sobre cómo resolver ecuaciones de segundo grado incompletas con WIRIS

Actividad 1

Entra en WIRIS y practica, usando "resolver ecuación", ejemplos de demostración con las siguientes ecuaciones incompletas: 2 x 2 + 5x = 0 y 7 x 2 - 14 = 0.

Método de completar cuadrados con WIRIS

Método de completar cuadrados con WIRIS

Una vez demostrados los casos de ecuaciones de segundo grado incompletas, es necesario pasar a las ecuaciones completas. Antes de la fórmula general de resolución de ecuaciones, puedes demostrar el método de completar cuadrados. Este se sirve de las siguientes propiedades de los desarrollos de sumas 5

y restas:

(x + m)2 = x2 + 2mx + m2

(x - m)2 = x2 - 2mx + m2

El método de resolución consiste en expresar la ecuación que se intenta resolver de una de estas dos formas. A partir de la expresión desarrollada, se calcula el factor m, se expresa la ecuación como una suma o resta elevada al cuadrado y se deja el resto como el miembro derecho de la ecuación. Luego, basta con calcular las raíces del segundo miembro y despejar la ecuación de primer grado resultante. Se obtienen dos resultados.

Pinchando en la imagen puedes ver un vídeo sobre cómo se resuelven ecuaciones de segundo grado con WIRIS por el método de completar cuadrados

Actividad 2

Entra en WIRIS y practica cómo resolver la ecuación x2 - 4x + 3 = 0 por el método de completar cuadrados.

Demostrar la fórmula general de resolución de ecuaciones de segundo grado Demostrar la fórmula general de resolución de ecuaciones de segundo grado A pesar de que es necesario para el currículo pasar por las ecuaciones incompletas y el método de completar cuadrados, la herramienta más potente que vas a transmitir a tus alumnos en este contenido es, sin duda, la fórmula general de resolución de ecuaciones de segundo grado.

La metodología de demostración se adapta bien tanto a los métodos de resolución como a las demostraciones algebraicas.

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Dada la importancia de la fórmula general, vamos a aprovechar las posibilidades visuales de WIRIS para hacer su demostración algebraica.

Vamos a trabajar con valores nominales, comenzando por la enunciación general de la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0

Para llegar a la fórmula general:

Pinchando en la imagen verás un vídeo en el que se demuestra la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado con WIRIS

Actividad 3

Continúa la presentación que te hemos ofrecido como ejemplo con los otros dos métodos (suma y producto y método general) de resolución de ecuaciones de primer grado.

Aplicar la fórmula general con la función Resolver y el discriminante Aplicar la fórmula general con la función Resolver y el discriminante Aplicar la fórmula general es tan simple como sustituir los valores a, b y c de la ecuación en la fórmula y calcular las soluciones. Una manera de aprovechar las ventajas de WIRIS es usar su función Resolver.

Esta permitirá a tus alumnos comprobar los resultados obtenidos en la resolución de los ejercicios que les propongas.

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Otra manera de analizar una ecuación de segundo grado antes de resolverla es a través del discriminante.

Es el valor dentro de la raíz de la fórmula general, b2 - 4ac, y se representa por la letra griega Δ. Según su valor, la ecuación tendrá dos, una o ninguna soluciones:

En la imagen tienes un vídeo en el que se resuelve una ecuación de segundo grado mediante la función Resolver de WIRIS y se calcula el discriminante Actividad 4

Ensaya las posibilidades que te brinda WIRIS para presentar contenidos algebraicos de manera ágil. Aprovecha también sus características de cálculo para resolver ecuaciones de segundo grado con la fórmula general utilizando, para ello, este ejemplo: 2x2 - 10x + 12 = 0

Representación gráfica de sistemas de ecuaciones

Representación gráfica de sistemas de ecuaciones

WIRIS cuenta con dos comandos que permiten visualizar representaciones gráficas en dos dimensiones de objetos: dibujar y representar. También tiene la pestaña Geometría, que cuenta con una serie de opciones avanzadas de representación en tres dimensiones y es fácil de usar.

Los sistemas de ecuaciones de primer grado, o lineales, con dos incógnitas se expresan de manera general así:

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Cada ecuación puede ser representada como una recta en el plano formado por los ejes x e y. Los comandos de WIRIS nos permiten representarlas de manera sencilla y rápida.

La principal diferencia entre el comando dibujar y el comando representar es que el segundo, además de representar gráficamente la función, informa sobre elementos notables de las funciones. Dado que sólo trabajaremos con rectas, es indiferente usar un comando u otro.

En la imagen tienes un vídeo que muestra los comandos de representación gráfica en dos y tres dimensiones en WIRIS

Actividad 5

Representa estas ecuaciones lineales en WIRIS:

El tablero de dibujo

El tablero de dibujo

La nueva ventana donde aparecen las representaciones gráficas se llama tablero de dibujo. En su configuración inicial aparece con ejes y una malla o cuadrícula. Estos se pueden eliminar, pero te recomendamos dejarlos para situar las rectas.

Una vez visto cómo representar una ecuación, debemos representar un sistema de ecuaciones. Para esto uniremos en un mismo bloque de cálculo dos comandos dibujar y, en cada uno, incluiremos una de las 9

ecuaciones del sistema. La solución común a ambas ecuaciones es la solución del sistema. Si el sistema tiene solución, ésta se encuentra en el punto donde ambas rectas se cortan.

El tablero de dibujo tiene una serie de utilidades que podrás ver en la simulación, así como un ejemplo de solución gráfica.

En la imagen tienes un vídeo que muestra la representación gráfica de un sistema de ecuaciones y las funciones del tablero de WIRIS

Actividad 6

Representa este sistema de ecuaciones lineales en WIRIS y encuentra su solución de manera gráfica:

Introducir comentarios en WIRIS

Introducir comentarios en WIRIS

WIRIS permite introducir texto en los bloques de cálculo. Para que el motor matemático no interprete las palabras como comandos o incógnitas, usamos un comando especial. Esto resulta especialmente útil a la hora de introducir comentarios respecto a la clasificación de las ecuaciones mientras se demuestra su resolución.

Hay dos formas generales de clasificar sistemas de ecuaciones de primer grado de dos incógnitas: Sistemas de ecuaciones compatibles. Son los que tienen solución.

Sistemas de ecuaciones incompatibles. Son los que no tienen solución.

El sistema representado en forma gráfica en la simulación es compatible por cuanto las dos rectas que se 10

definen a partir de sus ecuaciones se cortan. Podemos completar los comandos en el bloque de WIRIS que hemos usado para representar gráficamente el sistema de ecuaciones con un comentario que complemente el lenguaje matemático. Estos comentarios ayudan a convertir la pantalla del motor matemático en una presentación multimedia.

En la imagen tienes un vídeo que muestra cómo introducir comentarios de texto en WIRIS

Actividad 7

Representa este sistema de ecuaciones lineales en WIRIS y escribe un comentario explicando qué tipo de sistema es:

Guardar en páginas HTML

Guardar en páginas HTML

Las posibilidades de presentación de WIRIS en el aula se ven aumentadas por la posibilidad de guardar los pasos ejecutados. Al ser un motor matemático que opera on-line, no tiene como fin generar documentos.

Sin embargo, tiene la gran ventaja de permitir guardar los pasos realizados en una página de WIRIS como si fuera una página web en lenguaje HTML. Esta página conserva las posibilidades de cálculo, por lo que no implica guardar los ejemplos resueltos, sino contar con una plantilla para poder repetir la lección usando WIRIS como apoyo en multitud de ocasiones.

En nuestro caso, puedes ver en la animación cómo se demuestra la diferencia entre sistemas de ecuaciones compatibles determinados, compatibles indeterminados e incompatibles con ejemplos y se complementan con comentarios para distinguirlos. Finalmente, la página se guarda para poder ser abierta en un navegador posteriormente. Puedes descargarte el ejemplo en este enlace.

En la imagen tienes un vídeo en el que se presentan los tres tipos de sistemas de ecuaciones y se 11

explica cómo guardarlo como página web

Actividad 8

En las dos actividades anteriores has representado un sistema compatible determinado y un sistema incompatible. Elige y representa ahora un tercer sistema que sea compatible indeterminado, agrega comentarios a la demostración y guárdalo como página web para poder usarla en cualquier ocasión. Añade algunos ejercicios al final.

Actividades

Actividades

Actividad 1

Entra en WIRIS y practica, usando "resolver ecuación", ejemplos de demostración con las siguientes ecuaciones incompletas: 2 x 2 + 5x = 0 y 7 x 2 - 14 = 0.

Actividad 2

Entra en WIRIS y practica cómo resolver la ecuación x2 - 4x + 3 = 0 por el método de completar cuadrados.

Actividad 3

12

Continúa la presentación que te hemos ofrecido como ejemplo con los otros dos métodos (suma y producto y método general) de resolución de ecuaciones de primer grado.

Actividad 4

Ensaya las posibilidades que te brinda WIRIS para presentar contenidos algebraicos de manera ágil. Aprovecha también sus características de cálculo para resolver ecuaciones de segundo grado con la fórmula general utilizando, para ello, este ejemplo: 2x2 - 10x + 12 = 0

Actividad 5

Representa estas ecuaciones lineales en WIRIS:

Actividad 6

Representa este sistema de ecuaciones lineales en WIRIS y encuentra su solución de manera gráfica:

Actividad 7

Representa este sistema de ecuaciones lineales en WIRIS y escribe un comentario explicando qué tipo de sistema es:

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Actividad 8

En las dos actividades anteriores has representado un sistema compatible determinado y un sistema incompatible. Elige y representa ahora un tercer sistema que sea compatible indeterminado, agrega comentarios a la demostración y guárdalo como página web para poder usarla en cualquier ocasión. Añade algunos ejercicios al final.

Glosario

Bloque

Es una o varias expresiones escritas de forma agrupada en WIRIS que se evalúan de manera conjunta.

Cada vez que se evalúa un bloque se calculan todas las expresiones en su interior y se crea uno nuevo vacío a continuación. Un bloque suele ser suficiente para plantear y solucionar las operaciones que intervienen en un problema o ejercicio.

Aplicación al aula

Resolver ecuaciones de segundo grado con WIRIS

Programación dirigida al alumnado

Objetivos

Comprender los diferentes métodos de resolución de ecuaciones de segundo grado a través de WIRIS.

Contenidos

WIRIS como motor matemático.

Las ecuaciones de segundo grado.

Criterios de evaluación

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Resolver ecuaciones de segundo grado mediante el método de completar cuadrados y mediante la fórmula general usando WIRIS

Materiales y recursos

Ordenador en el aula con conexión a Internet. Idealmente cañón de proyección.

Temporalización

Una sesión de una hora en el aula y una sesión de una hora de ejercitación en el aula de informática.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales de manera gráfica A continuación encontrarás una serie de orientaciones para aplicar en el aula los conceptos de WIRIS con alumnado de 4º ESO para complementar el trabajo de demostración de sistemas de ecuaciones lineales resueltos de manera gráfica.

Programación dirigida al alumnado

Objetivos

Aprender a resolver gráficamente sistemas de ecuaciones lineales y comprobar su solución con Wiris.

Conocer los tipos de sistemas de ecuaciones de acuerdo a sus soluciones.

Contenidos

Conceptos y resolución gráfica de sistemas de ecuaciones lineales.

Criterios de evaluación

Resolver un sistema de ecuaciones por el método gráfico. Determinar la clasificación del sistema de acuerdo a sus soluciones

Materiales y recursos

Ordenador en el aula con conexión a Internet. Idealmente cañón de proyección.

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Temporalización

Una sesión de una hora en el aula.

Planificación

Planificación: Resolver ecuaciones de segundo grado con WIRIS

La actividad se desarrollará siguiendo el siguiente orden:

1. Presentación

La actividad se plantea usando WIRIS como medio de expresión de los contenidos demostrados por el educador; por tanto, es necesario un ordenador en el aula e idealmente un cañón de proyección. El educador expone los contenidos relativos a la resolución de ecuaciones de segundo grado en la primera sesión en el aula utilizando:

La animación de la situación de aprendizaje para definir una ecuación de 2º

grado.

Demostración de los tipos de ecuaciones de 2º grado en WIRIS con los ejemplos 3x2 + 9x = 0 y 3x2 – 12 = 0.

Demostración del método de completar cuadrados en WIRIS con el ejemplo x2 - 6x + 5 = 0.

Demostración algebraica de la fórmula general con WIRIS.

Resolución de una ecuación de 2º grado y análisis mediante el discriminante en WIRIS con el ejemplo x2 - 6x + 5 =0

2. Ejercitación

Posteriormente, en la segunda sesión, los alumnos usarán WIRIS como espacio de ejercitación, pero esto se realiza en el aula de informática. Los alumnos practicarán de forma autónoma e individual los contenidos vistos en el aula mediante su aplicación a ejercicios concretos en el aula de informática haciendo uso de WIRIS. Se conservan todos los pasos del proceso para poder justificar los procedimientos realizados.

3. Orientaciones al profesorado

WIRIS soluciona muchos de los problemas que representa la formulación de expresiones complejas de ecuaciones como la misma fórmula general.

Aprovechando sus ventajas de presentación y cálculo, se logra una presentación clara y rápida, con lo cual queda más tiempo para resolver dudas del alumnado y profundizar en los aspectos menos claros.

4. Orientaciones al alumnado

En la primera sesión el trabajo es claro y la aplicación de WIRIS resulta, sin duda, 16

positiva para la concentración. En la sesión de ejercitación es importante resaltar que WIRIS no es un juego y vamos a usar solo algunas de sus características en esta sesión. Por otra parte, el carácter lúdico y multimedia del motor de cálculo resulta atractivo y motivador.

5. Evaluación

El profesor comprueba, de forma general, si los alumnos han comprendido el método de completar cuadrados y la aplicación de la fórmula general y el análisis mediante el discriminante al revisar los pasos seguidos en las pantallas de WIRIS

que cada alumno ha desarrollado.

Planificación: Demostración gráfica de sistemas de ecuaciones con WIRIS

La actividad se desarrollará siguiendo el siguiente orden:

1. Presentación

A través de un ordenador instalado en el aula, se proyecta la presentación previamente guardada como página web de WIRIS con los elementos necesarios para demostrar la resolución gráfica de sistemas de ecuaciones lineales. La demostración se realiza mediante los siguientes ejemplos:

a) Sistema compatible determinado

b) Sistema compatible indeterminado

c) Sistema incompatible

2. Ejercitación

Los alumnos copian los ejercicios que se han incluido en esa presentación y los resuelven por su cuenta de manera gráfica e identificando la clasificación de cada sistema. Luego se comprueban los resultados con el cálculo gráfico de WIRIS.

3. Orientaciones al profesorado

17

El educador complementa el proceso que va realizando en pantalla con sus comentarios y explicaciones. WIRIS le evita el engorroso trabajo de representar las rectas en una cuadrícula y de manera rápida y eficiente se encuentra la solución.

No se deja de lado la complementación de la demostración metódica con conceptos de clasificación de sistemas respecto a sus soluciones. El educador completa su presentación con una serie de ejercicios al final.

La gran ventaja de tener una serie de ejercicios y conceptos ya escritos, junto con la posibilidad de que los gráficos se realicen en el momento, es el ahorro de tiempo ocupado en operaciones no fundamentales para la labor pedagógica. Con estas herramientas el trabajo de aula resulta más gratificante y concentrado en la transmisión de los conceptos clave del currículo. El tiempo recuperado se puede aprovechar en aclarar dudas y en insistir en la ejercitación de los alumnos, que es la forma más eficiente de lograr la retención mediante la metodología de demostración.

4. Orientaciones al alumnado

El carácter innovador y dinámico de WIRIS representa un elemento motivador para el ambiente de concentración y estímulo para la participación y la resolución de los problemas planteados.

5. Evaluación

La comprobación de la asimilación de contenidos se realiza mediante la comprobación en pantalla de los resultados obtenidos. Se puede complementar también con una prueba escrita individual.

Sugerencias metodológicas

Sugerencias metodológicas

La metodología utilizada en esta actividad es la demostración.

Más información

Atención a la diversidad

Primera propuesta: Resolver ecuaciones de segundo grado con WIRIS

Actividad de refuerzo

18

1. Los alumnos que necesiten trabajo de refuerzo pueden seguir ejercitándose con ayuda de WIRIS en el aula de informática. Aquí pueden encontrar una serie de ejercicios en línea propuestos y resueltos. La práctica es la única manera de familiarizarse con los procesos resolutivos que es necesario incorporar para que resolver ecuaciones de segundo grado resulte simple y rápido.

Actividad de ampliación

1. Quizás una de las mejores maneras de memorizar una fórmula pase por repetir su demostración. Otra actividad que pueden desarrollar tus alumnos en WIRIS es repetir la demostración que tú has realizado, presentando paso a paso su desarrollo. De esta manera, además, no sólo memorizarán una fórmula que pueden olvidar, sino que también conocerán las herramientas para poder recrearla en caso de no estar seguros de recordarla bien.

Segunda propuesta: Demostración gráfica de sistemas de ecuaciones con WIRIS

Actividad de refuerzo

1. La manera tradicional de apoyar el trabajo de alumnos con dificultades motrices, el trabajo grupal, puede ser complementada mediante el aprovechamiento de WIRIS. En caso de tener algún alumno con estas características que encuentre dificultades a la hora de representar gráficamente las rectas que generan las ecuaciones de los sistemas, puedes hacer que llegue a la solución a través de WIRIS. Para esto, lo ideal será que no dibuje las dos rectas al mismo tiempo como vimos, sino que las trace una a una. Además, antes de trazarlas en WIRIS, se le puede pedir que calcule los puntos donde las rectas cortarían los ejes x e y para que pueda visualizar y entender la pendiente que tendrá la curva (uniendo mentalmente esos dos puntos) y determinar, por ejemplo, en qué cuadrante se cortarán las rectas.

Actividad de ampliación

1. Una buena manera de motivar y propiciar la participación de tus alumnos más avanzados es proponerles ejercicios de mayor dificultad. En el caso del contenido curricular visto, es probable que hayan asimilado de manera inmediata el método de resolución gráfico. Por tanto, una actividad interesante puede ser pedirles que no resuelvan sistemas sino que planteen ejemplos de sistemas que correspondan a19

sistemas compatibles determinados, compatibles indeterminados e incompatibles. De esta manera, los procesos mentales con los que trabajen les permitirán aplicar los conceptos incorporados para llevar los conceptos a ejemplos concretos. Los ejercicios propuestos pueden ser dibujados en WIRIS para verlos gráficamente.

20

TIC en el Área de Matemáticas

Estadística unidimensional con

Internet y hoja de Cálculo

Ministerio de Educación. ITE |TIC en el Área de Matemáticas

Índice

Estadística unidimensional con internet y hoja de cálculo

1

Recurso TIC: Internet y hoja de cálculo

2

Uso didáctico de Internet

3

La hoja de cálculo. Utilización en Estadística

4

Situación de aprendizaje

5

Internet como fuente de datos. Búsqueda simple

6

Búsqueda avanzada

7

Una web imprescindible: el Instituto Nacional de Estadística 7

Búsqueda de imágenes en Internet

8

Organizar los datos: la construcción de tablas

8

La construcción de los gráficos

10

La modificación de los gráficos

10

La automatización de la obtención de los parámetros: las fórmulas 11

Actividades

12

Glosario

13

Aplicación al aula

14

Planificación

14

Sugerencias metodológicas

17

Atención a la diversidad

17

Ministerio de Educación. ITE |TIC en el Área de Matemáticas

Estadística unidimensional con internet y hoja de cálculo

Presentación

La Estadística es el estudio de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir y analizar grandes cantidades de datos y para obtener de ellos las correspondientes inferencias.

Su estudio se basa en esa definición y es eminentemente práctico: los alumnos han de recoger los datos, tratarlos y sacar conclusiones. Para ello proponemos como metodología de trabajo el taller. En un taller se integran la teoría y la práctica mediante la investigación operativa, el descubrimiento científico y el trabajo en equipo con un objetivo: elaborar un trabajo final.

El objetivo de este módulo formativo es conseguir integrar las TIC de una manera eficiente en nuestra tarea docente, aprovechando todo el potencial que nos ofrecen para que nuestro alumnado alcance los objetivos de aprendizaje marcados. A través de una serie de propuestas didácticas verás ejemplos con contenidos curriculares concretos, donde aprenderás cómo aplicar los recursos TIC mediante la estrategia metodológica más apropiada.

Los recursos que se presentan son:

Internet como fuente e intercambio de información.

Hoja de cálculo para el tratamiento de datos y obtención de gráficos.

Programación

Objetivos específicos

Obtener en Internet información susceptible de tratamiento estadístico.

Establecer estrategias para optimizar las búsquedas.

Utilizar la hoja de cálculo en el tratamiento de gráficos y parámetros estadísticos unidimensionales.

Contenidos

Internet como fuente ilimitada de información y recursos.

Estrategias de búsqueda en Internet.

Recopilación de datos de variables estadísticas unidimensionales.

Gráficos estadísticos de variables unidimensionales.

Parámetros estadísticos unidimensionales.

1

Hoja de cálculo.

Criterios de evaluación

Localizar datos e imágenes estadísticos en Internet a través de búsquedas simples y avanzadas.

Elaborar tablas y gráficos y calcular parámetros estadísticos unidimensionales a través de la hoja de cálculo.

Requisitos mínimos

Conceptos básicos sobre el hardware y software a utilizar (ordenador con conexión a Internet).

Conocimientos básicos de navegación en Internet.

Conocimientos básicos de herramientas ofimáticas.

Conceptos básicos del uso de una hoja de cálculo.

Recurso TIC: Internet y hoja de cálculo

Recurso TIC: Internet

La RAE define Internet como “Red informática mundial, descentralizada, formada por la conexión directa entre computadoras u ordenadores mediante un protocolo especial de comunicación”.

Ello nos da una inmensa posibilidad de obtener información de todo tipo y prácticamente ilimitada; usaremos esa información para el cálculo de los parámetros y gráficos estadísticos. Internet nos ofrece importantes ventajas en nuestra labor profesional.

Ventajas del uso de Internet

El uso de Internet te aportará numerosas ventajas:

Es un elemento motivador para el aprendizaje de los alumnos.

Permite explorar el uso de nuevas formas de aprendizaje.

Aumenta las habilidades de comunicación y potencia el trabajo colaborativo.

Facilita al profesor el trabajo de seguimiento de los equipos formados por alumnos.

Es una herramienta que permite a los alumnos construir conocimientos y resolver problemas.

Facilita el acceso a la información relacionada con un tema que se esté desarrollando en clase.

Permite liberar al profesor de ser la fuente de información principal de la clase y dedicarse al seguimiento del proceso de aprendizaje de los alumnos.

Permite colaborar con otros profesores en la elaboración de proyectos y actividades.

Ayuda a encontrar y compartir planificaciones curriculares que apoyen el desarrollo de una clase.

Facilita el contacto con el resto de la comunidad (padres, tutores, otros profesores, etc.) Pinchando sobre la imagen puedes ver un minitutorial de Internet: Recurso TIC: Hoja de cálculo

Una hoja de cálculo es un programa que facilita la organización de los datos y permite manipular números dispuestos en forma de tablas. Además, permite realizar cálculos complejos con fórmulas y funciones y dibujar distintos tipos de gráficas.

Generalmente, este programa está instalado en nuestro ordenador formando parte de una suite ofimática más amplia: lo que se 2

llama un paquete de software integrado. Los más conocidos son: Microsoft Office (software propietario de Microsoft), con el programa Excel y OpenOffice.org (software libre), con el programa Calc para realizar hojas de cálculo, que es el que nosotros usaremos en este módulo.

Este programa presenta múltiples ventajas, tanto para el profesorado como para el alumnado.

Ventajas de la hoja de cálculo

Pinchando sobre la imagen puedes ver un minitutorial de Hoja de cálculo: Uso didáctico de Internet

Uso didáctico de Internet

Algunas posibilidades de Internet:

La Estadística e Internet

3

El número de sitios web dedicados a la Estadística es enorme. Utilizaremos Internet para: Buscar datos que nos permitan trabajar las distribuciones uni y bidimensionales.

Encontrar ejemplos ya elaborados por otros profesores que podamos adaptar a nuestras clases.

Encontrar, instalar (si es necesario) y utilizar herramientas que nos permitan una interactividad como fuente de un mejor aprendizaje de la estadística.

Cuidar especialmente el tratamiento de la diversidad.

Una vez localizada la información en Internet, es necesario guardarla de una forma u otra según el fin propuesto: Guardando por separado textos, imágenes, vídeos, etc.

Cargando las páginas completas.

Enlazando en Favoritos.

Vas a profundizar en el uso de Internet como fuente de datos y de herramientas estadísticas. Aprenderás a distinguir entre información fiable y no fiable y compartirás la información a través de las herramientas que Internet ofrece.

La hoja de cálculo. Utilización en Estadística

La hoja de cálculo. Utilización en Estadística

La Estadística es una materia que, aunque muy interesante, puede resultar algo tediosa por la cantidad de datos numéricos que debe manipular para hacer cálculos. Disponer de un instrumento como la hoja de cálculo OpenOffice.org Calc permite poder insistir en los conceptos más que en los cálculos. El uso de estos modelos en las clases puede organizarse de forma que su confección sea simultánea con su uso y el aprendizaje de los temas.

Pincha en la imagen para ver un vídeo de presentación de la interfaz de Calc.

La hoja de cálculo es un recurso TIC con unas grandes posibilidades pedagógicas en Estadística (y en Matemáticas en general) porque:

Educa al alumnado en el uso correcto de las fórmulas (necesidad de paréntesis, operadores en el orden correcto, etc.).

Permite automatizar cálculos de forma sencilla e intuitiva.

Permite interactuar con los gráficos estadísticos creados para cambiarlos, hacer pruebas, elegir el que más se adecue a la necesidad del momento, etc.

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Vas a conocer el uso de la hoja de cálculo como instrumento de manejo y representación de datos, además de cálculo con funciones matemáticas y representación de gráficos.

Situación de aprendizaje

Situación de aprendizaje

Presentamos dos propuestas didácticas:

Primera propuesta: La Estadística unidimensional e Internet.

La Estadística unidimensional es un contenido del segundo ciclo de ESO con un fuerte carácter interdisciplinar y transversal, pues maneja contenidos de otras áreas y obtiene conclusiones válidas para ellas. Se encarga de recoger, analizar e interpretar datos provenientes de muchas fuentes, por lo que Internet es un recurso óptimo a utilizar en esta ciencia.

Internet es una gran red mundial que ofrece posibilidades de obtener información “tratable” estadísticamente y utilizable para apoyar las estrategias didácticas con tus alumnos.

En esta propuesta didáctica encontrarás las pautas necesarias para obtener información de Internet, guardar toda la información útil que has recopilado y tratarla adecuadamente. Te ofreceremos secuenciaciones búsquedas basadas en un ejemplo concreto: la temperatura máxima de algunas ciudades europeas durante el mes de octubre de 2007.

Pincha en la imagen para ver una animación en la que se define el concepto de población y muestra: Segunda propuesta: Estadística unidimensional con la hoja de cálculo.

La Estadística unidimensional es un contenido de ESO cuyos conceptos fundamentales son: formación de tablas y frecuencias, elaboración de gráficos y obtención de parámetros estadísticos, tanto de centralización como de dispersión.

El uso de una hoja de cálculo, en este caso Calc de OpenOffice, te va a permitir la realización rápida, sencilla y eficaz de los 5

gráficos de frecuencias de distinto tipo y el cálculo de los parámetros de forma fácil. También es interesante ver cómo el cambio de valores repercute inmediatamente en el gráfico, lo que posibilita un aprendizaje intuitivo de la estadística.

En esta propuesta didáctica encontrarás las pautas necesarias para hacer un uso en clase de esta herramienta informática.

Internet como fuente de datos. Búsqueda simple

Internet como fuente de datos. Búsqueda simple

Internet es una fuente de datos inagotable y en continuo crecimiento; el problema es que no está muy bien organizada. Es necesario aprender unas pautas para buscar los datos estadísticos que necesitas en tus clases y optimizar tu búsqueda. No olvides que cualquiera puede publicar en Internet prácticamente lo que quiera, por lo que se genera mucha información que no es válida. Distinguir entre la información fiable y la no fiable también es muy importante. Por todo ello, es imprescindible establecer las estrategias de búsqueda más adecuadas a tus objetivos.

En la animación se presenta un ejemplo sencillo de búsqueda en Internet donde verás lo importante que es tener claro el objetivo (la temperatura en este caso), seguir caminos distintos (distintos buscadores) y saber encontrar las palabras claves y más adecuadas a tu búsqueda. También será importante el uso de operadores.

Operadores

Sirven para especificar más la búsqueda, a fin de encontrar la información deseada. Puedes escribir sólo uno o hacer combinaciones con todos ellos.

En la imagen tienes un vídeo sobre cómo realizar una búsqueda simple en Internet: Actividad 1

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Siguiendo las pautas marcadas en la animación, busca alguna web en la que esté toda la información sobre la población española y, en concreto, sobre las elecciones y resultados de 2004.

Búsqueda avanzada

Internet como fuente de datos. Búsqueda avanzada

Todos los buscadores disponen de un enlace que permite realizar búsquedas avanzadas. Es una búsqueda guiada y más efectiva, que equivale a la utilización de operadores. Las búsquedas avanzadas pueden ayudarte a encontrar más eficientemente lo que quieres ya que te permite manejar varios parámetros de la búsqueda.

Google. Situado a la derecha del lugar en que escribes los términos: Búsqueda avanzada.

Yahoo. Situado arriba a la derecha: más – Búsqueda avanzada.

Lycos. Situado arriba: Buscador y después a la izquierda: Avanzada.

En la animación puedes ver cómo funciona la búsqueda avanzada de Google, que es una de las más completas. Además de la propia búsqueda, existe otro apartado llamado Búsqueda específica de una página. Para realizar esta búsqueda hay que introducir la dirección de una página web y hacer clic en Buscar en una de las dos opciones disponibles: Similares. Ofrece páginas similares a la escrita.

Enlaces. Ofrece páginas que contengan enlaces o hipervínculos a la página escrita. Cuantas más obtengamos, más importante será la página a la que hemos hecho referencia.

Pincha sobre la imagen para ver una simulación sobre cómo realizar una búsqueda avanzada en Internet: Actividad 2

Utilizando la búsqueda avanzada, encuentra y anota los resultados de las elecciones generales de 2004: Senado, Congreso, por comunidades autónomas, etc.

Una web imprescindible: el Instituto Nacional de Estadística Una web imprescindible: el Instituto Nacional de Estadística Como ya sabes, encontrar datos tratables estadísticamente es fácil en Internet, pero es importante su grado de fiabilidad. Una de las webs más completas en cuanto a datos y fiabilidad es la del Instituto Nacional de Estadística español porque: 7

Los datos que ofrece tienen carácter oficial y, por tanto, fiable, y son fruto de procesos de búsqueda y tratamiento seguros.

Ofrece una información muy variada.

Permite, mediante formularios, búsquedas muy ajustadas a nuestras necesidades.

Incluye gran cantidad de gráficos estadísticos.

Tiene una ayuda muy útil que incluye FAQ (preguntas más frecuentes).

Si quieres buscar datos estadísticos visita la base de datos INEbase; aquí se encuentra la información clasificada por temas y, para cada tema, por operaciones, a través de un índice donde puedes seleccionar la operación estadística deseada.

Además del INE, también están las páginas de las Comunidades Autónomas y de la Comisión europea (Eurostat).

En la imagen tienes una simulación sobre los apartados de la web INE: Actividad 3

Siguiendo las pautas que se marcan en la animación, haz una visita a la página del INE y busca los resultados sobre la población española de 2004 por provincias

Búsqueda de imágenes en Internet

Búsqueda de imágenes en Internet

Una parte muy importante de Estadística unidimensional es la elaboración e interpretación de gráficos estadísticos. Internet ofrece un impresionante banco de imágenes, entre las que puedes encontrar diferentes tipos de gráficos estadísticos.

Para usar la búsqueda de imágenes en Google, debes, en primer lugar, hacer clic en el apartado Imágenes de la parte superior del buscador. Como para la búsqueda en La Web, tienes dos posibilidades: Búsqueda simple. Escribe tu búsqueda en la casilla y haz clic en el botón Buscar o presiona Intro. Cuando veas la página de resultados, haz clic en la versión en miniatura de las fotos que desees ver. Aparecerá una versión más grande de la imagen, así como la página donde se encontró la imagen original. En nuestro ejemplo, puedes escribir gráficos estadísticos temperaturas y encontrarás multitud de gráficos de barras, sectores, etc.

Búsqueda avanzada. Haz clic en Búsqueda avanzada en la parte derecha de la página principal de la búsqueda de imágenes. Aparecerá el mismo formulario que en las búsquedas avanzadas de La Web, y que puedes completar siguiendo las pautas que te damos en la animación del apartado que viste anteriormente, denominado Búsqueda avanzada.

8

Gráficos estadísticos en Internet

Actividad 4

Realiza una búsqueda avanzada para obtener, con Google, gráficos estadísticos sobre las elecciones generales de 2004.

Organizar los datos: la construcción de tablas

Organizar los datos: la construcción de tablas

La hoja de cálculo te facilita una mejor organización de los datos que has obtenido en tu trabajo de documentación. Ello te permite realizar los gráficos y calcular los parámetros de forma automática, además de una mejor presentación de los trabajos.

Una hoja de cálculo está formada por celdas distribuidas en filas y columnas, lo que te permitirá realizar tablas estadísticas y automatizar ciertos cálculos de los parámetros más importantes.

Cada una de las celdas puede formatearse, como se hace en el procesador de textos, para obtener un resultado adecuado a tus necesidades. Además, la hoja de cálculo distingue perfectamente las celdas numéricas de las que contiene texto.

En la animación se presenta la elaboración de una tabla de frecuencias con el ejemplo de la situación de aprendizaje y se señalan los iconos que se han utilizado.

En la imagen puedes obtener un vídeo que describe el proceso para elaborar una tabla de datos con Calc: Actividad 5

9

Abre tu hoja de cálculo y prepara una tabla completa de frecuencias absolutas y relativas. Utiliza datos sencillos obtenidos tras una encuesta en la propia clase, como por ejemplo el número de hermanos de cada alumno. Déjalo bien formateado para que se distingan los títulos, los datos, etc.

La construcción de los gráficos

La construcción de los gráficos

Con los datos a trabajar ya correctamente situados en las celdas, filas y columnas de la hoja de cálculo, aprenderás ahora a obtener los gráficos estadísticos más significativos referidos a esos datos. OpenOffice.org Calc dispone de un asistente que te guiará en la creación de gráficos, de forma que te resulte más fácil crearlo.

Las posibilidades que te ofrece son:

Seleccionar el tipo de diagrama que vas a insertar, seleccionando uno de la lista de diagramas predeterminados que existen. De entre ellos, los que se utilizan para estadística son: columnas, barras y círculos, tanto en dos como en tres dimensiones.

Indicar el título del diagrama y la leyenda que debe aparecer en los ejes de coordenadas.

Cambiar la ubicación del gráfico dentro de la hoja sin más que arrastrarlo con el cursor y situarlo en la posición deseada.

También puedes cambiar su tamaño utilizando los manejadores como si de una imagen se tratara.

Si pulsas dos veces sobre el diagrama cambiará el aspecto de la ventana y entrarás en un entorno de edición para modificar los atributos del gráfico, tanto los relativos a las líneas y al texto como el tipo y el estilo global.

Ver vídeo que describe el proceso para elaborar un gráfico de barras con Calc: Actividad 6

Siguiendo las instrucciones de la animación y, con los datos que ya has preparado en tu hoja de cálculo, elabora un gráfico de barras y un sector circular.

La modificación de los gráficos

La modificación de los gráficos

Una utilidad muy interesante al realizar los gráficos con una hoja de cálculo es la posibilidad de cambiar los datos originales y ver la repercusión inmediata en el gráfico. Así puedes mostrar mucho mejor a tus alumnos la importancia de la ejecución e interpretación adecuada de este tipo de gráficos.

Una vez insertado el gráfico es muy fácil modificar los datos, únicamente sitúate sobre la celda que quieras modificar e inserta el nuevo valor, que inmediatamente verás representado en el gráfico.

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También es importante otro tipo de cambio: sin tocar los datos originales, puedes cambiar el tipo de gráfico, hacer pruebas con ellos hasta decidir cuál es el que mejor se adecua a tus necesidades concretas, al tipo de datos de los que partes, etc.

En la animación verás lo fácil que es cambiar el tipo de gráfico y cómo el cambio en el gráfico al modificar los datos de la tabla es automático.

Ver vídeo que muestra cómo modificar un gráfico construido en Calc: Actividad 7

Haz prácticas con el gráfico que ya tienes hecho: prueba otros tipos de gráficos, cambia los títulos, pon colores de fondo, etc. Y, sobre todo, cambia los datos de origen y observa el gráfico.

La automatización de la obtención de los parámetros: las fórmulas La automatización de la obtención de los parámetros: las fórmulas La verdadera potencia de una hoja de cálculo está en la posibilidad de realizar operaciones de todo tipo con los datos incluidos en sus celdas: desde las funciones más elementales hasta las más complejas y, por supuesto, para la estadística. Además, la hoja de cálculo tiene la importante propiedad de que cualquier cambio que introduzcamos en un dato utilizado para hacer una operación, repercute de forma automática en el resultado de ésta.

Una función es una fórmula predefinida por Calc, que opera con uno o más datos y ofrece un resultado que aparecerá directamente en la celda o será utilizado para calcular la fórmula que la contiene. Puedes escribirla directamente si conoces su sintaxis o utilizar el asistente que este programa facilita. En él debes elegir la función que desees. En este caso, es recomendable elegir primero la categoría Estadística para disminuir la lista de funciones.

A modo de aproximación al uso de la hoja de cálculo, te ofrecemos en la animación un ejemplo de obtención de los parámetros estadísticos básicos.

Puedes descargar un ejemplo de gráficos y cálculo de parámetros con Calc en el siguiente enlace.

Ver vídeo que muestra el proceso para calcular algunos parámetros estadísticos en Calc: 11

Actividad 8

Utilizando las funciones de la hoja de cálculo, halla la media aritmética y la mediana de los datos de tu ejemplo.

Actividades

Actividad 1

Siguiendo las pautas marcadas en la animación, busca alguna web en la que esté toda la información sobre la población española y, en concreto, sobre las elecciones y resultados de 2004.

Actividad 2

Utilizando la búsqueda avanzada, encuentra y anota los resultados de las elecciones generales de 2004: Senado, Congreso, por comunidades autónomas, etc.

Actividad 3

Siguiendo las pautas que se marcan en la animación, haz una visita a la página del INE y busca los resultados sobre la población española de 2004 por provincias

Actividad 4

Realiza una búsqueda avanzada para obtener, con Google, gráficos estadísticos sobre las elecciones generales de 2004.

Actividad 5

Abre tu hoja de cálculo y prepara una tabla completa de frecuencias absolutas y relativas. Utiliza datos sencillos obtenidos tras una encuesta en la propia clase, como por ejemplo el número de hermanos de cada alumno. Déjalo 12

bien formateado para que se distingan los títulos, los datos, etc.

Actividad 6

Siguiendo las instrucciones de la animación y, con los datos que ya has preparado en tu hoja de cálculo, elabora un gráfico de barras y un sector circular.

Actividad 7

Haz prácticas con el gráfico que ya tienes hecho: prueba otros tipos de gráficos, cambia los títulos, pon colores de fondo, etc. Y, sobre todo, cambia los datos de origen y observa el gráfico.

Actividad 8

Utilizando las funciones de la hoja de cálculo, halla la media aritmética y la mediana de los datos de tu ejemplo.

Glosario

Inferencia

La Inferencia estadística persigue la obtención de conclusiones sobre un gran número de datos, basándose en la observación de una muestra obtenida de ellos; también intenta medir su significación, es decir la confianza que nos merecen.

Protocolo

Lenguaje de comunicaciones entre computadores bajo ciertas reglas y restricciones.

Suite ofimática

Conjunto de software para el uso en oficinas y entornos profesionales. Con frecuencia incluyen un procesador de textos, una hoja de cálculo, una base de datos y un programa de presentaciones.

Software libre

Según la GNU, el "Software Libre'' es un asunto de libertad, no de precio. En inglés una misma palabra (free) significa tanto libre como gratis, lo que ha dado lugar a cierta confusión. "Software Libre'' se refiere a la libertad de los usuarios para ejecutar, copiar, distribuir, estudiar, cambiar y mejorar el software.

Software propietario

Se refiere a cualquier programa informático en el que los usuarios tienen limitadas las posibilidades de usarlo, modificarlo o redistribuirlo (con o sin modificaciones), o cuyo código fuente no está disponible o el acceso a éste se encuentra restringido.

Chats

También conocido como cibercharla, es un anglicismo que usualmente se refiere a una comunicación escrita a través de Internet entre dos o más personas que se realiza instantáneamente.

Blogs

También conocidos como weblogs o cuadernos de bitácora (listado de sucesos), son sitios web que se actualizan periódicamente y recopilan cronológicamente textos o artículos de uno o varios autores, apareciendo primero el más reciente, donde el autor conserva siempre la libertad de dejar publicado lo que crea pertinente.

13

Wikis

Un wiki («rápido» en hawaiano) es un sitio web que puede ser editado por varios usuarios. Los usuarios de un wiki pueden así crear, editar, borrar o modificar el contenido de una página web, de forma interactiva, fácil y rápida.

Videoconferencia

La videoconferencia posibilita la comunicación simultánea bidireccional de audio y vídeo, permitiendo mantener reuniones con grupos de personas situadas en lugares alejados entre sí. La videoconferencia proporciona importantes beneficios como el trabajo colaborativo entre personas geográficamente distantes y una mayor integración entre grupos de trabajo.

Operadores

Sirven para especificar más la búsqueda, a fin de encontrar la información deseada. Puedes escribir sólo uno o hacer combinaciones con todos ellos.

Aplicación al aula

La Estadística unidimensional. Internet

Después de ver los contenidos anteriores, encontrarás orientaciones para utilizarlos con tus alumnos del segundo ciclo de ESO.

Esta aplicación al aula se centra en estrategias de enseñanza-aprendizaje de la estadística unidimensional, sobre todo en tratamiento de datos estadísticos y el uso de Internet como recurso didáctico.

Programación dirigida al alumnado

Objetivos

Recopilar datos para calcular los principales parámetros estadísticos.

Desarrollar destrezas de búsqueda de información en Internet.

Contenidos

Parámetros estadísticos unidimensionales.

Búsqueda de datos en Internet.

Criterios de evaluación

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Calcular parámetros estadísticos de una variable unidimensional con datos obtenidos de Internet.

Materiales y recursos

Ordenador con acceso a Internet de banda ancha para cada grupo de alumnos.

Recomendable una pizarra digital.

Temporalización

Tres sesiones de una hora en horario lectivo complementado con dos horas de trabajo por grupos en el aula de informática del Centro.

Estadística unidimensional con la hoja de cálculo

Te proponemos una aplicación para alumnos de Secundaria, con el fin de que la adaptes a tus necesidades concretas y a tu alumnado, con una atención especial a su diversidad específica.

Programación dirigida al alumnado

Objetivos

Utilizar la hoja de cálculo para elaborar gráficos estadísticos y calcular parámetros estadísticos unidimensionales.

Contenidos

Estadística unidimensional: diagramas de frecuencias y parámetros estadísticos.

La hoja de cálculo.

Criterios de evaluación

Realizar dos gráficos y calcular los parámetros estadísticos de centralización de un ejemplo concreto con la hoja de cálculo.

Materiales y recursos

Ordenador en el que esté instalada alguna suite de programas que incluyan una hoja de cálculo y un procesador de textos.

Temporalización

Tres sesiones de una hora en horario lectivo y dos sesiones de trabajo en taller en el aula de informática del centro.

Planificación

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Planificación: La Estadística unidimensional. Internet

La actividad se desarrollará siguiendo el siguiente orden:

1. ¿Qué trabajo vamos a hacer?

Se utilizará como fuente de trabajo las elecciones generales de 14 de marzo de 2004 y cada grupo de alumnos elegirá un tema sobre ellas: resultados en votos al Parlamento y al Senado, resultados en escaños en las dos cámaras, número de electores por edad en toda España, en algunas comunidades autónomas, etc.

Cada grupo de alumnos debe buscar los datos en un buscador y/o en alguna web y elaborar un trabajo.

2. Organización de los alumnos y alumnas

El profesor debe organizar los grupos teniendo siempre en cuenta el criterio del tratamiento de la diversidad; nunca debe organizar grupos especiales, los alumnos con necesidades educativas especiales deben estar integrados.

3. El profesorado

El docente explicará en una hora de clase los conceptos fundamentales de la estadística unidimensional: variables, frecuencias absolutas y relativas, media, mediana y moda.

Después, en una segunda sesión, dará las pautas para buscar datos estadísticos en Internet.

Utilizará un ejemplo sencillo como la temperatura de algunas ciudades europeas, pudiendo usar las animaciones aportadas en esta propuesta.

Después dará las pautas para realizar el trabajo final.

4. El alumnado

En las dos sesiones de trabajo en el aula de informática, los alumnos deberán realizar la actividad propuesta:

Repartir las tareas entre los miembros del grupo.

Buscar los datos necesarios para el tema elegido sobre las elecciones generales de 14 de marzo de 2004.

Elaborar las tablas y calcular los parámetros estadísticos.

Redactar el trabajo elaborado en un procesador de textos.

5. Los resultados

En la tercera sesión del aula, el alumnado deberá exponer los resultados del grupo: Distribución estadística organizada en tablas de frecuencias con los datos obtenidos.

Parámetros estadísticos correspondientes elaborados por los alumnos: media, mediana y moda.

Diagramas gráficos obtenidos de Internet y/o elaborados por los alumnos.

Conclusiones.

Planificación: Estadística unidimensional con la hoja de cálculo La actividad se desarrollará siguiendo el siguiente orden:

1. ¿Qué trabajo vamos a hacer?

Se tratará un conjunto de datos relacionados con los alumnos. Todos los grupos harán el estudio de la misma variable cuantitativa para comprobar las diferencias de cada grupo en la puesta en común. La variable a estudiar será el número de horas que los alumnos ven la televisión en una semana. Deberán 16

realizar al menos un diagrama de barras, uno de sectores y calcular la media, moda y mediana, todo ello a través de una hoja de cálculo.

2. Organización de los alumnos y alumnas

El profesor debe organizar los grupos teniendo siempre en cuenta el criterio del tratamiento de la diversidad; nunca debe organizar grupos especiales, los alumnos con necesidades educativas especiales deben estar integrados.

3. El profesorado

El profesor explicará en dos horas de clase los conceptos fundamentales de los gráficos y los parámetros correspondientes a la estadística unidimensional y el modo de utilizar la hoja de cálculo para introducir los datos, realizar los gráficos y calcular los parámetros de centralización. Utilizará un ejemplo sencillo de variable también cuantitativa como es la altura de cien pisos. Para ello puede utilizar todos los ejemplos ofrecidos en esta propuesta.

4. El alumnado

En las dos sesiones de trabajo en el aula de informática, los alumnos deberán realizar la actividad propuesta:

Repartir las tareas entre los miembros del grupo.

Conseguir e introducir los datos.

Realizar los gráficos y calcular los parámetros.

Formatear el trabajo para que tenga una presentación adecuada.

Añadir las conclusiones pertinentes.

5. Los resultados

En la tercera sesión del aula, un alumno o alumna de cada grupo deberá exponer los resultados.

Posteriormente se deberá hacer un trabajo general de puesta en común sobre los resultados obtenidos en el total de la clase.

Sugerencias metodológicas

Sugerencias metodológicas

La tecnología usada como eje de la innovación educativa, siempre debe estar apoyada en la metodología. Por ello, en este módulo utilizamos el taller como metodología activa idónea para este contenido curricular y para la introducción de las TIC de forma innovadora.

Más información

Atención a la diversidad

Se plantean dos tipos de actividades para atender la diversidad en el aula:

La Estadística unidimensional. Internet

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Actividad de refuerzo

Para alumnos que necesiten refuerzo te proponemos un trabajo sobre la distribución de apellidos en su provincia: Los alumnos deben hacer una lista de los primeros apellidos de sus compañeros (basta con 10).

Para ello deben utilizar la búsqueda simple en un buscador. El profesor puede proponerles ciertas palabras como “apellidos”, “frecuentes”, “España” si lo considera necesario.

Deberá realizar una tabla de frecuencias y hallar los parámetros estadísticos.

Actividad de ampliación

Los alumnos que por sus capacidades necesitan hacer una ampliación del tema pueden hacer esta actividad. Será imprescindible que utilicen las búsquedas avanzadas de alguno de los buscadores existentes, para los que el profesor deberá dar algunas pautas.

Tomando como base el trabajo realizado en su grupo, responder a las siguientes preguntas:

¿Qué son frecuencias acumuladas? Añadirlo al trabajo.

¿Qué son la varianza y la desviación típica? Añadirlas al trabajo.

¿Qué es el percentil?

Estadística unidimensional con la hoja de cálculo

Actividad de refuerzo

Para alumnos que necesiten refuerzo, te proponemos una actividad de manipulación de la hoja de cálculo para repasar los conceptos más importantes de estadística unidimensional. A partir de la hoja que tú has ido confeccionado a través de las actividades de la propuesta o de la que te proporcionamos en ella, los alumnos deben:

Cambiar los datos de la tabla.

Modificar el formato de la tabla, colores de fondo, color de textos, etc.

Comprobar que, al cambiar los datos, se modifican gráficos y parámetros.

Modificar el formato de los gráficos que ya están elaborados.

Realizar en su cuaderno los cálculos de los parámetros estadísticos cuyos resultados se ofrecen en la hoja de cálculo y comprobar si su solución es correcta.

Actividad de ampliación

Para alumnos que necesitan profundizar en el tema, te proponemos que hagan un estudio sobre las películas que ven en su casa realizado y presentado en una hoja de cálculo:

Los alumnos harán una encuesta en su clase sobre el número de películas que ven a la semana y sobre el tipo de cine al que pertenecen: terror, ficción, romántica, etc. Ellos mismos determinarán estos grupos.

Realizarán las tablas de frecuencias con los datos obtenidos.

Elaborarán diagramas de barras y sectores para cada tipo de encuesta.

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Calcularán los parámetros estadísticos de la variable cuantitativa.

Realizarán un trabajo explicando las conclusiones extraídas en su estudios 19

TIC en el Área de Matemáticas

Figuras geométricas con

GeoGebra

Ministerio de Educación. ITE |TIC en el Área de Matemáticas

Índice

Figuras geométricas con GeoGebra

1

Recurso TIC: GeoGebra

2

Uso didáctico de GeoGebra

2

Situación de aprendizaje

3

Entorno de trabajo de GeoGebra

4

Herramientas Ángulo y Texto de GeoGebra

5

Transformaciones en el plano y otras herramientas de GeoGebra 6

Actividades

7

Glosario

8

Aplicación al aula

8

Planificación

9

Sugerencias metodológicas

10

Atención a la diversidad

11

Ministerio de Educación. ITE |TIC en el Área de Matemáticas

Figuras geométricas con GeoGebra

Presentación

El objetivo de este módulo formativo es conseguir integrar GeoGebra de una manera eficiente en nuestra tarea docente, aprovechando todo el potencial que nos ofrece para que nuestro alumnado alcance los objetivos de aprendizaje marcados.

A través de esta propuesta didáctica verás ejemplos con contenidos curriculares concretos, donde aprenderás cómo aplicar el recurso TIC GeoGebra para la comprensión de axiomas, propiedades y teoremas geométricos, mediante la estrategia metodológica más apropiada, en este caso, la exposición.

Programación

Objetivos específicos

Conocer las características principales de GeoGebra.

Utilizar la herramienta Ángulos en GeoGebra.

Aprender a usar deslizadores en GeoGebra.

Saber realizar movimientos en el plano con GeoGebra.

Contenidos

Entorno de trabajo de GeoGebra. Ventanas y objetos.

Formas de representar y medir figuras y ángulos en GeoGebra.

Introducción de texto estático y dinámico.

Transformaciones geométricas en GeoGebra.

Criterios de evaluación

Instalar y utilizar correctamente las ventanas de GeoGebra.

Construir elementos geométricos básicos con GeoGebra: punto, recta y polígono.

Dibujar y medir los distintos tipos de ángulos con GeoGebra.

Realizar transformaciones geométricas en el plano con imágenes, empleando deslizadores.

1

Requisitos mínimos

Conocimientos básicos sobre gestión de archivos y carpetas.

Conocimientos básicos de navegación en la Red.

Recurso TIC: GeoGebra

¿Qué es GeoGebra?

Geogebra es un programa pensado para el aprendizaje y la enseñanza de las Matemáticas, fácil de usar, de estética cuidada, con grandes posibilidades pedagógicas y en continuo desarrollo. Se destina principalmente para Educación Secundaria y reúne geometría, álgebra y cálculo.

Markus Hohenwarter, desde el departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Salzburgo, es el principal desarrollador, poniendo a nuestra libre disposición un entorno sencillo, amigable y potente con el que podemos realizar fácilmente construcciones geométricas y analíticas. Apareció en el año 2001 y se encuentra disponible en GeoGebra. Es software libre y usa la multiplataforma de Java.

Las construcciones se guardan en un archivo XML de extensión ggb. También pueden exportarse como una aplicación interactiva ( applet de Java) embebida en una página web.

Geogebra facilita el trabajo de contenidos curriculares aportando diversas ventajas como las siguientes: Es gratuito y de código abierto, con licencia GNU.

Está disponible en español, incluido el manual de ayuda.

Presenta foros en varios idiomas, el castellano entre ellos.

Ofrece una wiki en donde compartir las propias construcciones con los demás.

Es multiplataforma, por lo que puede funcionar en Windows, Linux, MacOS X, Solaris, etc.

Las construcciones realizadas son fácilmente exportables como páginas web, por lo que podemos crear aplicaciones interactivas y dinámicas en pocos segundos.

Uso didáctico de GeoGebra

2

Uso didáctico de GeoGebra

Existen programas sobre Sistemas de Álgebra Computacional, que permiten cálculos simbólicos y numéricos y otros sobre Sistemas de Geometría Dinámica, que permiten la introducción directa en la ventana gráfica de objetos geométricos y la representación dinámica de los mismos.

GeoGebra tiene algo de las dos categorías de forma conjunta, y esto es lo más interesante. Combina las representaciones gráficas y simbólicas ofreciendo ambas al mismo tiempo: una expresión en la ventana algebraica se corresponde con un objeto en la ventana geométrica y viceversa.

Permite realizar construcciones tanto con puntos, vectores, segmentos, rectas y secciones cónicas como con funciones que después se pueden modificar dinámicamente. También se pueden introducir ecuaciones y coordenadas directamente; permite hallar derivadas e integrales de funciones y ofrece un repertorio de comandos propios del análisis matemático.

En la propuesta didáctica que te presentamos,encontrarás pautas para usar GeoGebra en el aula.

En la imagen podrás ver un vídeo sobre cómo instalar GeoGebra: Situación de aprendizaje

Situación de aprendizaje

En la enseñanza de Secundaria el alumnado debe adquirir la parte de geometría euclidiana necesaria para llegar a los conceptos de punto, figura, recta, plano y espacio, como construcciones puramente mentales, y generalizar las relaciones entre estos elementos. La geometría euclidiana crea un hábito de razonamiento que la hace importante para conformar un individuo organizado.

Utilizando GeoGebra se dispone de las ventajas que los recursos TIC ofrecen para la enseñanza de la geometría. Permite abordarla de una forma dinámica e interactiva, de manera que ayuda al alumnado a visualizar contenidos matemáticos algo más complicados de entender desde un dibujo estático.

Para poder exponer al alumnado de 3º de ESO los elementos geométricos fundamentales, vas a representar en GeoGebra distintas figuras poligonales y a realizar medidas (longitudes, áreas y ángulos) con las herramientas que incluye el programa.

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Figura geométrica realizada con GeoGebra

Entorno de trabajo de GeoGebra

Entorno de trabajo de GeoGebra

La sencilla estructura de la interfaz de GeoGebra es la siguiente: Barra de menú con: Archivo, Edita, Vista, Opciones, Herramientas, Ventana y Ayuda.

Barra de herramientas. Con ellos puedes dibujar figuras sobre la ventana gráfica, donde están representados los ejes de coordenadas y/o la cuadrícula, apareciendo simultáneamente sus coordenadas o ecuaciones en la ventana algebraica, dividida en objetos libres y dependientes.

También se sitúan aquí las herramientas de Hacer/Deshacer.

Los objetos libres, a diferencia de los dependientes, no dependen de ningún otro objeto y pueden ser modificados directamente.

A cada objeto gráfico, GeoGebra le asigna automáticamente un nombre, que se ve en la ventana gráfica y su valor en la ventana algebraica. También los agrupa según el tipo de elemento geométrico del que se trate (puntos, segmentos, ángulos, etc.) al abrir la ventana de propiedades. Esto facilita el trabajo, ya que se pueden cambiar rápidamente colores, tamaños y otras propiedades, de manera individual o por grupos.

Barra de acciones, identificada como Campo de Entrada. En él pueden anotarse directamente coordenadas, ecuaciones, comandos, funciones y símbolos que se representan en la zona gráfica al pulsar Intro.

En la imagen tienes un vídeo que muestra algunas características y herramientas de GeoGebra.

4

Actividad 1

Instala en tu ordenador el programa GeoGebra. Dibuja una recta y un polígono de cinco lados.

Cambia su color y los nombres de los lados.

Herramientas Ángulo y Texto de GeoGebra

Herramientas Ángulo y Texto de GeoGebra

En GeoGebra se pueden medir longitudes, áreas, ángulos y la pendiente de una recta desde la herramienta Ángulo.

Con la herramienta Inserta Texto se pueden incluir en la ventana gráfica, texto estático, dinámico y sencillos cálculos que ayudarán a demostrar numerosas propiedades y teoremas geométricos. Todo lo que quieras que aparezca de forma literal debes escribirlo entre dobles comillas. Los cálculos, por el contrario, se realizan escribiendo directamente el nombre que GeoGebra asigna automáticamente a cada objeto y el operador que necesites.

En Visualiza se encuentra la opción Protocolo de la Construcción donde se enumera la secuencia de la construcción realizada; así puedes ver paso a paso cómo se ha realizado.

Puedes descargar un ejemplo de la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo y de la

demostración geométrica del teorema de Pitágoras.

Haciendo clic en la imagen puedes ver un vídeo que muestra el uso de las herramientas Ángulo y Texto para medir los ángulos interiores de un polígono:

5

Actividad 2

Dibuja un triángulo y mide sus ángulos demostrando que la suma es 180º. Abre el ejemplo sobre Pitágoras y visualiza su protocolo de construcción.

Transformaciones en el plano y otras herramientas de GeoGebra Transformaciones en el plano y otras herramientas de GeoGebra GeoGebra permite representar de forma sencilla transformaciones geométricas básicas (simetrías, traslaciones, rotaciones, etc.). Se accede con la herramienta Refleja objeto en recta, identificada con una recta y dos puntos, desplegando su menú vertical.

Para el aprendizaje de estas transformaciones es recomendable utilizar imágenes de la vida cotidiana. En GeoGebra se puede insertar una imagen en diferentes formatos con la herramienta Intercala imagen. Este programa considera las imágenes como objetos geométricos, de manera que puedes aplicarles las mismas propiedades.

Formatos de imagen

GIF. Formato sin pérdida de calidad para imágenes con hasta 256 colores, limitados por una paleta restringida a este número. Utilizado ampliamente en la Red tanto para imágenes como para animaciones.

JPG. Algoritmo diseñado para comprimir imágenes con 24 bits de profundidad o en escala de grises.

JPEG es también el formato de fichero que utiliza este algoritmo para comprimir imágenes.

TIFF. Estos archivos contienen, además de los datos de la imagen propiamente dicha, etiquetas en las que se archiva información sobre las características de la imagen, que sirve para su tratamiento posterior.

PNG. Formato gráfico basado en un algoritmo de compresión sin pérdida de calidad para bitmaps, no sujeto a patentes. Permite almacenar imágenes con una mayor profundidad de contraste que GIF y otros datos importantes.

Otra herramienta útil es el Deslizador. Un deslizador es la representación gráfica de un número o ángulo libres y se utiliza para controlar el valor de un parámetro. Se puede realizar desde el propio botón, o con la 6

opción Expone objeto del menú contextual. Al activarla, aparece un deslizador.

En la imagen puedes ver un vídeo que muestra el uso de varias herramientas de GeoGebra en las transformaciones geométricas:

Actividad 3

Realiza una simetría axial de un pentágono regular. Inserta una imagen y realiza giros con ella.

Actividades

Actividad 1

Instala en tu ordenador el programa GeoGebra. Dibuja una recta y un polígono de cinco lados.

Cambia su color y los nombres de los lados.

Actividad 2

Dibuja un triángulo y mide sus ángulos demostrando que la suma es 180º. Abre el ejemplo sobre Pitágoras y visualiza su protocolo de construcción.

Actividad 3

Realiza una simetría axial de un pentágono regular. Inserta una imagen y realiza giros con 7

ella.

Glosario

Software libre

En inglés free software, es la denominación del software que da libertad a los usuarios sobre su producto adquirido y, por tanto, puede ser usado, copiado, estudiado, modificado y redistribuido libremente.

Multiplataforma de Java

El lenguaje Java posee un procesador virtual que ejecuta cualquier código que haya sido escrito en ese lenguaje; de esta forma se puede usar en todos los sistemas compatibles con el software Java. El funcionamiento del programa Java es el mismo en todas las plataformas y sólo cambia la apariencia, que se adapta a la del sistema operativo que lo ejecuta (Windows, Solaris, Linux, Mac, etc.).

XML

Siglas que significan textualmente "lenguaje de marcas ampliable"; es un metalenguaje de etiquetas. XML

no es realmente un lenguaje en particular, sino una forma de definir lenguajes para diferentes necesidades.

Sus ventajas son que es posible extenderlo con la adición de nuevas etiquetas, que no es necesario crear un analizador específico para cada lenguaje, y que, si un tercero decide usar un documento creado en XML, es muy fácil entender su estructura y procesarlo.

Applet de Java

Un applet es un pequeño programa escrito en Java incrustado en una página Web, siendo independiente del sistema operativo en el que funciona. Se puede ejecutar en cualquier navegador que disponga de un intérprete Java, sin que para su uso necesite intercambiar Información con el servidor, ya que siempre se ejecuta en el cliente.

Aplicación al aula

Figuras, medidas y transformaciones en el plano

Te proponemos crear un blog de aula con tu alumnado de 2º ESO para que sirva de espacio de comunicación en el aprendizaje de geometría

Programación dirigida al alumnado

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Objetivos

Conocer diversas figuras poligonales, tipos de ángulos y simetrías.

Aplicar con soltura y adecuadamente los conceptos geométricos adquiridos a situaciones de la vida diaria.

Utilizar de forma adecuada el programa GeoGebra como ayuda en el aprendizaje de la geometría euclidiana.

Contenidos

Geometría del plano.

Estudio de formas, configuraciones y relaciones geométricas.

Uso de GeoGebra para construir elementos geométricos.

Criterios de evaluación

Reconocer, dibujar, medir y calcular áreas de distintas figuras y cuerpos geométricos con GeoGebra.

Dibujar con GeoGebra los elementos básicos de geometría.

Construir con GeoGebra un polígono y medir sus ángulos externos e internos.

Aplicar traslaciones, giros y simetrías a figuras sencillas utilizando GeoGebra.

Materiales y recursos

Ordenadores con GeoGebra y el pluggin de Java instalados.

Un sistema PD (proyector y ordenador).

Temporalización

Cuatro sesiones en horario lectivo.

Planificación

Planificación: Figuras, medidas y transformaciones en el plano

La actividad se desarrollará siguiendo el siguiente orden:

1. Planteamiento de la actividad

El objetivo es que el alumnado represente diferentes figuras poligonales, distintos tipos de ángulos y algunos tipos de simetrías empleando el programa GeoGebra.

2. Organización del aula

9

Dependiendo de los recursos del centro, esta actividad se llevará a cabo de forma individual o en parejas, con un ordenador para cada persona o grupo.

3. Desarrollo de la actividad

A lo largo de cuatro sesiones el alumnado debe trabajar diversos conceptos geométricos, aumentando progresivamente el grado de dificultad.

4. Presentación y evaluación de los resultados

El profesorado utilizará la última sesión para aclarar ideas y las posibles dudas que tenga su alumnado. Algunos pueden mostrar a sus compañeros las construcciones realizadas con GeoGebra.

A través de las exposiciones se irá evaluando tanto la correcta asimilación del contenido curricular como del recurso utilizado, teniendo en cuenta aspectos como:

Construcciones realizadas adecuadamente.

Utilización correcta de GeoGebra, estudiando los diversos pasos que se han llevado a cabo en la realización del dibujo.

Sugerencias metodológicas

Sugerencias metodológicas

La metodología utilizada en esta actividad es la de exposición Más información

Para desarrollarla, te proponemos:

Primera sesión

Explica el objetivo de la actividad, exponiendo brevemente el funcionamiento del programa GeoGebra.

Muestra las dos ventanas, gráfica y algebraica, y las opciones de utilizar la barra de herramientas tanto con el ratón como de forma directa con el teclado.

Realiza algunas construcciones sencillas para mostrar las herramientas de GeoGebra.

Segunda sesión

En esta sesión se trabajarán los elementos básicos de geometría: punto, recta, polígono, etc.

El alumnado debe ir representando las distintas figuras geométricas propuestas y guardándolas en una carpeta de su ordenador, utilizando la opción Archivo/Graba como.

Se puede sugerir que comprueben algunas propiedades geométricas con GeoGebra.

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Debes guiar y orientar el trabajo del alumnado a lo largo de toda la sesión.

Tercera sesión

En esta sesión se trabajarán ángulos, medidas y simetrías.

El alumnado debe representar diferentes polígonos y medir sus ángulos interiores y exteriores con GeoGebra. Pueden comprobar que se cumple la fórmula de la suma de los ángulos (180º x número de lados menos 2).

También realizarán diferentes transformaciones geométricas básicas con imágenes de la vida cotidiana que debes suministrarles.

Cuarta sesión

Dedica esta sesión para que el alumnado exponga a través de un proyector las construcciones realizadas con GeoGebra. Debe destacarse la importancia del uso del lenguaje matemático con propiedad en estas exposiciones.

En dicha exposición se tendrá abierto el Protocolo de Construcción, para ir comprobando los diferentes pasos realizados.

Es el momento de aclarar ideas y resolver dudas no resueltas en las sesiones anteriores.

Atención a la diversidad

Actividad de refuerzo

Esta actividad se destinará al alumnado que dé muestras de no haber alcanzado los objetivos propuestos. Se le propondrá utilizar las herramientas Polígono, Polígono regular y Punto para representar con Geogebra los tipos de triángulos y cuadriláteros. También pueden usar la herramienta Ángulo para medir los ángulos de los polígonos representados.

Actividad de ampliación

Esta actividad se destinará al alumnado que alcance con facilidad los objetivos propuestos. A estos alumnos y alumnas se les pueden proponer problemas para demostrar los criterios de igualdad de triángulos y las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo.

También es posible que representen con Geogebra los puntos notables de un triángulo: incentro y bisectrices; circuncentro y mediatrices; ortocentro y alturas y baricentro y medianas.

Para los más aventajados se les planteará representar la recta de Euler.

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TIC en el Área de Matemáticas

Funciones y gráficas con

Graphmática y PDI

Ministerio de Educación. ITE |TIC en el Área de Matemáticas

Índice

Funciones y gráficas con Graphmática y PDI

1

Recursos TIC: Graphmática y PDI

2

Situación de aprendizaje

3

¿Cómo situar puntos con Graphmática?

5

Tabla de valores y proporcionalidad directa

6

Conjuntos de funciones a la vez

7

De la descripción verbal a la función

8

Representación de funciones de proporcionalidad inversa

9

Encontrar puntos críticos

10

Actividades

11

Glosario

12

Aplicación al aula

13

Planificación

14

Sugerencias metodológicas

16

Atención a la diversidad

17

Ministerio de Educación. ITE |TIC en el Área de Matemáticas

Funciones y gráficas con Graphmática y PDI

Presentación

La importancia del concepto de función se debe a su enorme campo de aplicaciones prácticas. Este módulo te ofrece estrategias para el uso de TIC en experiencias didácticas de aula mediante exposición.

Una función matemática es la forma de expresar la relación entre dos o más variables (o conjuntos de elementos).

El objetivo de este módulo formativo es conseguir integrar las TIC de una manera eficiente en nuestra tarea docente, aprovechando todo el potencial que nos ofrecen para que nuestros alumnos alcancen los objetivos de aprendizaje marcados. A través de una serie de propuestas didácticas verás ejemplos con contenidos curriculares concretos, donde aprenderás cómo aplicar los recursos TIC mediante la estrategia metodológica más apropiada.

Los recursos tecnológicos que se presentan son Graphmatica y PDI como herramientas para realizar gráficos de funciones de manera sencilla e intuitiva.

Programación

Objetivos específicos

Conocer el procedimiento para representar puntos y gráficas cartesianas sencillas con Graphmatica.

Utilizar la PDI para representar los ejes cartesianos y las gráficas generadas con 1

Graphmatica a un grupo de alumnos.

Utilizar Graphmatica para elaborar gráficas a partir de una tabla de valores o de una expresión algebraica o verbal.

Hacer uso de la PDI para representar las gráficas y señalar las relaciones particulares de las funciones representadas.

Contenidos

Uso de Graphmatica para representar puntos y conjuntos de funciones.

Uso didáctico de la pizarra digital o PDI mediante visualización en grupo.

El plano cartesiano.

Utilización de las características avanzadas de Graphmatica.

Uso didáctico de la PDI mediante visualización en grupo.

Criterios de evaluación

Representar puntos y conjuntos de funciones con Graphmatica.

Proyectar con una pizarra digital o PDI las representaciones gráficas realizadas con Graphmatica.

Representar ejemplos gráficos y tablas de valores de funciones con Graphmatica.

Utilizar las herramientas de cálculo y el cursor de coordenadas en Graphmatica.

Proyectar los gráficos elaborados con Graphmatica con la PDI.

Requisitos mínimos

Conceptos básicos sobre equipos informáticos y sistema operativo.

Conocimientos elementales sobre el manejo de una pizarra digital o PDI.

Recursos TIC: Graphmática y PDI

Recursos TIC: Graphmática y PDI

Graphmática

Es una aplicación informática de carácter matemático especialmente diseñada para graficar funciones.

Como veremos en las propuestas didácticas de nivel básico, algunas de las características que presenta son:

Automáticamente determina el tipo de gráfico que colocamos basándose en las variables usadas, reconoce dominios de ecuaciones si los incluimos.

Ajusta la razón x/y cuando modificamos el rango de los ejes o cambia el tamaño de la ventana de gráficos para que se mantenga el aspecto apropiado del gráfico.

Soporta inecuaciones cartesianas.

El procesador de ecuaciones sigue las reglas matemáticas: multiplicación implícita, librería completa de funciones matemáticas, y no es necesario aislar variables antes de graficar.

También es posible realizar cálculo numérico y simbólico: derivadas, integrales y puntos críticos de cualquier función cartesiana.

Puedes descargarlo en su página oficial.

2

Pinchando en la imagen podrás ver un vídeo que muestra cómo instalar y configurar Graphmatica: La Pizarra Digital

Cada vez existe mayor número de recursos tecnológicos en las aulas y uno de los más utilizados es el videoproyector. Un paso más en esta tecnología son las Pizarras Digitales (PD) y las Pizarras Digitales Interactivas (PDI), que aporta mayores ventajas.

La PD es sistema tecnológico, generalmente integrado por un ordenador y un videoproyector que permite proyectar en una superficie plana contenidos digitales en un formato idóneo para visualización en grupo.

Vamos a aprovechar estas características para representar con el programa Graphmatica un sistema de ejes cartesianos y, con la PDI, interactuar directamente sobre la superficie de proyección. El objetivo va a ser desarrollar el tema de funciones mediante el lenguaje de las gráficas con ayuda de los recursos TIC

mencionados.

Ventajas de su uso conjunto

Haciendo uso de Graphmatica junto con la Pizarra Digital Interactiva podemos exponer con claridad, rapidez y precisión gran parte del tema de funciones y gráficas que nos ocupa.

Es un elemento motivador para el aprendizaje de los alumnos, aumentando sus aportaciones en clase, la atención y retentiva de éstos gracias a su mayor participación.

Aumenta la comprensión: permitiendo mostrar más ejemplos para comentar y además permite visualizar conceptos y procesos complejos, difíciles o imposibles de exponer en clase con la pizarra tradicional.

Se pueden preparar clases mucho más atractivas y documentadas, permitiendo guardar los materiales que se van creando. Esto también es fuente de motivación para el docente, además de obtener mejores resultados de sus alumnos.

Ayuda en Educación Especial, pudiendo compensar problemas de visión (en la PDI se puede trabajar con caracteres grandes), audición (la PDI potencia un aprendizaje visual), coordinación psicomotriz (en la PDI se puede interactuar sin ratón ni teclado)...

Facilita el tratamiento de la diversidad de estilos de aprendizaje: se pueden hacer ejercicios donde se utilice el tacto y el movimiento en la pantalla.

Pinchando sobre la imagen podrás ver un minitutorial sobre el uso de la PDI: 3

Situación de aprendizaje

Situación de aprendizaje

Presentamos dos propuestas didácticas:

Primera propuesta: El plano cartesiano con Graphmatica

Todos estamos acostumbrados al uso de un gráfico para ver cómo están relacionadas dos variables entre sí. La utilidad de tales gráficos es la de proporcionar una imagen geométrica simple de la forma en que cambia una cantidad respecto a otra.

Es fundamental saber representar en un sistema de ejes cartesianos la colección de todos los puntos del plano que son solución de una determinada ecuación que contiene dos variables x e y, llamada comúnmente gráfica.

En esta propuesta, dirigida a 1º ESO, aprenderás a manejar el programa Graphmatica y cómo configurar un sistema de coordenadas cartesianas en el plano, representar puntos aislados y obtener tanto la tabla de valores como la gráfica de funciones sencillas. Además, y utilizando una PDI o pizarra digital, puedes proyectar numerosos ejemplos a un grupo de alumnos sin apenas esfuerzo.

Segunda propuesta: Gráficas de funciones con Graphmatica

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En el mundo actual, y en particular en los medios de comunicación, existe una gran cantidad de información sobre diversos fenómenos de cambio, en campos tan diversos como la economía o la meteorología, información que se presenta en la mayoría de los casos por medio de gráficas.

Es fundamental, por tanto, capacitar al alumnado para la lectura e interpretación de dicha información, llegando a extraer las características esenciales de la misma.

En esta propuesta, dirigida a 2º ESO, se mostrará cómo manejar en profundidad el programa Graphmatica, representando nuevos tipos de funciones, buscando puntos críticos, ajuste a curvas y otros usos como la representación de inecuaciones. Además, utilizando una PDI, puedes proyectar los ejemplos guardados interpretando resultados.

¿Cómo situar puntos con Graphmatica?

¿Cómo situar puntos con Graphmatica?

Antes de representar puntos y gráficas con este programa es conveniente hacer unos pequeños ajustes de configuración para que la representación gráfica mejore. En la animación se muestran estos cambios previos.

Hay dos formas de colocar puntos aislados con Graphmatica. La más habitual es utilizar el editor de datos (hay un botón directo a la derecha, en la barra). Con esta herramienta se puede cambiar la forma y el color de los puntos. Otra forma es introducir en el cuadro de edición, por ejemplo: x=3;y=2 para representar el punto (3,2).

Este procedimiento también serviría para situar puntos en un sistema de coordenadas cartesiano construido con Graphmatica.

Aunque la ayuda de la versión 2.0f está en inglés, el lenguaje matemático es universal. Observa la tabla de operadores que soporta y su notación.

Tabla de operadores

5

En la imagen tienes un vídeo en el que se explica cómo representar puntos: Actividad 1

Siguiendo las indicaciones vistas en el vídeo, representa algunos puntos en cada cuadrante y sobre los ejes. Cambia la forma y color de los puntos.

Tabla de valores y proporcionalidad directa

Tabla de valores y proporcionalidad directa

En muchas situaciones cotidianas nos encontramos con funciones de proporcionalidad directa. Para relacionar problemas diarios con gráficas y tablas de funciones vamos a representar algunos ejemplos con Graphmatica, ajustando los ejes y representando funciones a partir de tablas y expresiones algebraicas.

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Para ello, el programa va a facilitar el proceso con sus funciones automáticas, gracias a las cuales determina el tipo de gráfico y ajusta la razón xy.

Este tipo de gráficos es relativamente frecuente, pues se utilizan en los medios de comunicación para representar, por ejemplo, las tasas de desempleo en un tiempo determinado o comparaciones de precios.

En la imagen tienes un vídeo que muestra cómo representar funciones de proporcionalidad directa: Actividad 2

Resolver representando con Graphmatica estos problemas de proporcionalidad directa: PROBLEMA 1: Sabemos que el espacio recorrido por un automóvil con velocidad constante, v, depende del tiempo, t, que está circulando. Podemos calcular el espacio que ha recorrido si conocemos el tiempo utilizando la fórmula: e = v·t .

PROBLEMA 2: El coste, C, de la bolsa de naranjas está en función del peso, P. Si el precio del kilo de naranjas es 0,8€ ¿Cuánto nos costarán 3 kilos?

Conjuntos de funciones a la vez

Conjuntos de funciones a la vez

Muchas veces la mejor forma de observar y entender ciertas características de las funciones es realizar varias representaciones para comparar y analizar.

El concepto de pendiente de una recta se puede esbozar, sin llegar a definirla formalmente, pero sí relacionándola con la constante de proporcionalidad.

Representando conjuntos de funciones, y=m·x, donde variamos m con valores mayores a 1, por un lado, para observar cómo aumenta la pendiente de la recta representada (se va acercando al eje Y) y por otro, con valores inferiores a 1, para observar lo contrario.

Graphmatica dispone de una herramienta con la que podemos conseguir este objetivo sin apenas esfuerzo.

En la imagen tienes un vídeo que muestra cómo representar un conjunto de funciones de proporcionalidad directa:

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Actividad 3

Representa, del mismo modo que en la animación, varios conjuntos de funciones pero con pendiente negativa.

De la descripción verbal a la función

De la descripción verbal a la función

Partiendo de la idea de función como expresión de una dependencia entre variables (en este caso dos), sabemos que las funciones pueden expresarse de diversas formas: Modelo físico o simulación.

Descripción verbal.

Tabla de valores.

Gráfica.

Fórmula o ecuación.

El programa Graphmatica posee una serie de opciones útiles para representar gráficamente distintas situaciones funcionales de la vida real.

Permite graduar los ejes de forma independiente.

Posee una función zoom gráfico (ampliar/reducir) para aplicar valores tanto en la tabla como en la gráfica.

Se puede especificar el dominio (en ocasiones, valores negativos no tienen sentido real).

Ajuste a curvas: traduce tabla de valores empíricos en su ecuación aproximada.

En la animación se pueden ver ejemplos sencillos para representar funciones con Graphmatica a partir de problemas cotidianos. Para representar funciones con Graphmatica a partir de problemas, muchas veces hay que ajustar los ejes independientemente, considerar sólo algunos valores del eje X o encontrar la fórmula más próxima a la tabla de valores existente.

En la imagen tienes un vídeo en el que se muestra cómo representar funciones afines y cuadráticas: 8

Actividad 4

Utiliza la opción dominio y cambio de escala en problemas de proporcionalidad directa relacionados con situaciones reales.

Representación de funciones de proporcionalidad inversa

Representación de funciones de proporcionalidad inversa

En la vida cotidiana se presentan situaciones de proporcionalidad inversa como las siguientes: Tiempo de realización de un trabajo y número de operarios.

Numero de grifos del depósito de una fuente y tiempo que tarda en llenarse.

Número de paquetes que caben en un almacén y tamaño de éstos.

Número de botellas necesarias para transportar un líquido y capacidad de éstas.

Su representación gráfica es una curva llamada hipérbola y la constante de proporcionalidad, k, se obtiene del producto x·y.

Graphmatica tiene una opción denominada Evaluar… que permite obtener el valor de x o de y dada la gráfica de una función. Simplemente hay que seleccionar la función e introducir el valor de cualquiera de las variables.

Las opciones para cambiar la escala de los ejes y los intervalos de definición son muy útiles para poder obtener información de la función que se está representando.

Otra característica interesante, es la denominada cursor de coordenadas. Una vez representada la función, permite ver de forma rápida la evolución de las dos variables colocando el cursor sobre la gráfica y desplazándolo con las teclas de movimiento a izquierda o derecha, arriba o abajo.

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Sobre la imagen tienes un vídeo que muestra cómo representar funciones de proporcionalidad inversa:

Actividad 5

Representa algunos ejemplos de la vida cotidiana de proporcionalidad inversa, calculando el valor de una de las variables conociendo el de la otra.

Encontrar puntos críticos

Encontrar puntos críticos

Aunque a este nivel, 2º de ESO, evaluar máximos, mínimos, intervalos de crecimiento y decrecimiento se limita a la simple observación gráfica y localización más o menos visual de estos valores, podemos aprovechar una de las características que ofrece Graphmatica, Encontrar puntos críticos… para que esta labor sea realmente sencilla y significativa.

Si se representa una función cuadrática, hay que buscar los máximos y mínimos para localizar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Apoyándose en la tabla de valores y colocando divisiones adecuadas en la leyenda y rejilla gráfica, esta tarea puede resultar muy instructiva.

Esta opción también se informa de los puntos de corte con los ejes y de los extremos próximos a un valor x específico.

La fórmula del área del círculo (el área en función de la longitud del radio) se puede utilizar como ejemplo para el estudio de los valores positivos de la parábola.

En la imagen tienes un vídeo que muestra el procedimiento para encontrar puntos críticos: 10

Actividad 6

Representa alguna función cuadrática y utiliza la opción "Encontrar puntos críticos…" para averiguar el máximo o mínimo y los puntos de corte con los ejes.

Actividades

Actividad 1

Siguiendo las indicaciones vistas en el vídeo, representa algunos puntos en cada cuadrante y sobre los ejes. Cambia la forma y color de los puntos.

Actividad 2

Resolver representando con Graphmatica estos problemas de proporcionalidad directa: PROBLEMA 1: Sabemos que el espacio recorrido por un automóvil con velocidad constante, v, depende del tiempo, t, que está circulando. Podemos calcular el espacio que ha recorrido si conocemos el tiempo utilizando la fórmula: e = v·t .

PROBLEMA 2: El coste, C, de la bolsa de naranjas está en función del peso, P. Si el precio del kilo de naranjas es 0,8€ ¿Cuánto nos costarán 3 kilos?

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Actividad 3

Representa, del mismo modo que en la animación, varios conjuntos de funciones pero con pendiente negativa.

Actividad 4

Utiliza la opción dominio y cambio de escala en problemas de proporcionalidad directa relacionados con situaciones reales.

Actividad 5

Representa algunos ejemplos de la vida cotidiana de proporcionalidad inversa, calculando el valor de una de las variables conociendo el de la otra.

Actividad 6

Representa alguna función cuadrática y utiliza la opción "Encontrar puntos críticos…" para averiguar el máximo o mínimo y los puntos de corte con los ejes.

Glosario

PDI (pizarra digital interactiva)

Sistema tecnológico integrado por un ordenador, un proyector y un dispositivo de control de puntero. La superficie de proyección es interactiva.

Pizarra digital

Sistema tecnológico integrado por un ordenador y un proyector.

Lectura de una gráfica

Cuando tratamos de obtener información de una gráfica, primero identificamos las variables representadas en cada eje, el significado del origen, la unidad y graduación para luego identificar los puntos, es decir, dado un valor de una de las variables hallar el valor correspondiente de la otra, o bien identificar si un punto dado por sus coordenadas pertenece o no a la gráfica.

Interpretación de una gráfica

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Es la capacidad para describir la función representada de forma general, atendiendo a las características corrientes de la gráfica, es decir, a las variaciones que presenta. En lugar de puntos, muchas veces, es conveniente considerar intervalos en los que se mantiene o se modifica de una determinada forma la variación de la función.

Aplicación al aula

El plano cartesiano

Después de comprobar las posibilidades que te ofrece la Pizarra Digital Interactiva complementada con el programa de gráficos Graphmatica, te proponemos utilizarlo con el alumnado de 1º de ESO para el estudio del plano cartesiano.

Programación dirigida al alumnado

Objetivos

Aplicar adecuadamente los conceptos matemáticos del plano y coordenadas cartesianas.

Utilizar el programa Graphmatica para la representación gráfica de funciones.

Contenidos

El plano cartesiano.

Utilización de las coordenadas cartesianas para representar e identificar puntos y funciones de proporcionalidad directa.

Programa Graphmatica.

Uso de la pizarra digital o PDI.

Criterios de evaluación

Representar puntos en el plano mediante sus coordenadas con ayuda de Graphmatica.

Representar con Graphmatica funciones y conjuntos de funciones de proporcionalidad directa.

Materiales y recursos

Ordenador con Graphmatica instalado.

Pizarra digital o PDI.

Temporalización

Dos sesiones de una hora en horario lectivo.

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Gráficas de funciones

Esta aplicación al aula está planteada para que el alumnado de 2º ESO utilice el programa Graphmatica para representar gráficamente funciones.

Programación dirigida al alumnado

Objetivos

Representar funciones con el programa Graphmatica.

Interpretar gráficas de funciones.

Conocer el concepto de proporcionalidad inversa y puntos críticos a través de la representación gráfica de funciones.

Contenidos

Gráficas cartesianas.

Elaboración con Graphmatica de gráficas a partir de una tabla de valores o de una expresión algebraica sencilla que relacione dos variables.

Proporcionalidad inversa con Graphmatica.

Criterios de evaluación

Utilizar Graphmatica para intercambiar información entre tablas de valores y gráficas.

Obtener con ayuda de Graphmatica información práctica de gráficas cartesianas sencillas referidas a fenómenos naturales, a la vida cotidiana y al mundo de la información.

Saber encontrar puntos críticos en gráficas sencillas con Graphmatica.

Materiales y recursos

Un aula con ordenadores.

Pizarra digital o PDI, con videoproyector y dispositivo de control de puntero.

Programa Graphmatica.

Temporalización

3 sesiones de una hora en horario lectivo.

Planificación

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Planificación: El plano cartesiano

La actividad se desarrollará siguiendo el siguiente orden:

1. Planteamiento de la actividad

El objetivo es que el alumnado aprenda a representar puntos en un sistema de coordenadas cartesiano y, además, funciones sencillas de proporcionalidad directa. Es conveniente buscar ejemplos de situaciones de la vida cotidiana.

2. Organización del aula

Dependiendo de los recursos del centro, esta actividad se llevará a cabo en un aula que disponga de una Pizarra Digital o PDI y, al menos, un ordenador con Graphmatica.

3. Desarrollo de la actividad

El docente facilitará un documento a cada alumno en el que haya ejercicios para representar puntos y algunos enunciados que correspondan a funciones de proporcionalidad directa de la vida cotidiana.

4. Presentación de resultados y evaluación

El docente utilizará la PDI para presentar los resultados de los ejercicios, además invitará a algunos alumnos o alumnas a proyectar sus resultados al grupo y, si se dispone de pizarras individuales (TabletPC), el alumnado puede resolver sus ejercicios al grupo desde cada mesa.

Para evaluar los resultados, es preciso tener en cuenta tanto la destreza en el manejo de los recursos como la correcta asimilación de la materia curricular. Por ello conviene que los resultados de los ejercicios que han resuelto los grupos queden almacenados para que el docente los pueda revisar después o que cada grupo resuelva un ejercicio en la última sesión para poder comprobar la adquisición de conocimientos.

La resolución de dudas sobre el manejo del programa en el transcurso de la actividad también puede orientar al docente sobre la destreza y correcto manejo del recurso.

Planificación: Gráficas de funciones

1. Planteamiento de la actividad

El objetivo es que el alumnado aprenda a interpretar problemas cotidianos de índole funcional (dados mediante descripción verbal o tablas de valores) y los represente gráficamente de forma adecuada utilizando el programa Graphmatica.

2. Organización del aula

15

Dependiendo de los recursos del centro, esta actividad se llevará a cabo en un aula con, al menos, 16 ordenadores y el programa Graphmatica instalado.

También debe disponer de una Pizarra Digital o PDI.

3. Desarrollo de la actividad

El docente facilitará un documento al alumnado con problemas (al menos 5) que correspondan a funciones de proporcionalidad directa e inversa de la vida cotidiana. Varios de estos problemas deben tener los datos tabulados, en otros aparecerá explícitamente la fórmula o será de sobra conocida y en algunos sólo debe figurar un enunciado verbal.

4. Presentación de resultados y evaluación

Los resultados de los ejercicios se presentarán mediante su proyección con la pizarra digital o PDI.

Para realizar la evaluación de la actividad, hay que tener en cuenta tanto la asimilación de los conceptos curriculares como el correcto manejo del recurso.

Para ello, es importante supervisar, durante la segunda sesión, si los grupos pueden resolver los ejercicios por sí mismos partiendo de las explicaciones del docente durante la sesión anterior. Si no fuera así, habría que analizar qué problemas comunes se presentan para incidir en el refuerzo de las mismas. De cualquier modo, es un indicador del nivel de manejo de la herramienta. Los resultados que se presenten en la tercera sesión, deben ser también un material objeto de evaluación.

Sugerencias metodológicas

Sugerencias metodológicas

La metodología utilizada en esta actividad es la exposición.

Más información

Para su aplicación, te proponemos:

Primera propuesta: El plano cartesiano con Graphmatica

Primera sesión

Explica el objetivo de la actividad, exponiendo el material elaborado, insistiendo en los aspectos fundamentales y pidiendo a tus alumnos que te indiquen ejemplos cotidianos que puedan 16

representarse como funciones de proporcionalidad directa.

Efectúa, con ayuda de Graphmatica y la pizarra digital, una presentación del protocolo a seguir para representar puntos (tanto enteros como fraccionarios) en un sistema de coordenadas cartesianas.

Además, mediante ejemplos, representa algunas funciones lineales con sus tablas de valores, mostrando la recta más o menos inclinada (concepto de pendiente implícito) según el valor del coeficiente de la x.

Facilita un documento con ejercicios, que deben haber resuelto, según las indicaciones anteriores, para la segunda sesión.

Segunda sesión

Se van realizando algunos ejercicios, con ayuda de la PDI y Graphmatica a la vez, comenta posibles variaciones interesantes de algunos de ellos.

Después, se deben resolver las dudas que han surgido, tanto en el manejo del recurso como en los conceptos matemáticos, de modo que el aula colabore en la búsqueda de soluciones.

Posteriormente, el alumnado colaborará, utilizando Graphmatica y proyectando todo el proceso con la PDI, en la resolución de los ejercicios que no se hayan resuelto.

Al final de esta sesión se debe realizar la evaluación de la actividad.

Segunda propuesta: Gráficas de funciones con Graphmatica

Primera sesión

Explica el objetivo de la actividad, exponiendo algún ejemplo de cada herramienta u opción que el alumnado deba usar. Utiliza la PDI para que todo el grupo participe. Es conveniente insistir en el método de trabajo con el programa Graphmatica y ante todo en cómo se interpreta y se lee una gráfica.

En cada ordenador debe haber una copia de un documento de trabajo con 6 problemas de proporcionalidad directa e inversa relacionados con la vida cotidiana. En cada uno es conveniente que aparezcan varias cuestiones que el alumnado deba investigar con la gráfica delante.

Realiza un problema de los que hay en el documento que has preparado, a modo de ejemplo, insistiendo en el protocolo a seguir para representar la gráfica de la función objeto de estudio.

Segunda sesión

Recuerda rápidamente las opciones que van a utilizar con Graphmatica.

En esta sesión el alumnado debe realizar 2-3 problemas completos con Graphmatica.

Puedes resolver para todo el grupo las dudas que se hayan presentado al realizarlos.

Tercera sesión

En esta sesión el alumnado debe terminar los problemas y su representación gráfica con Graphmatica.

Es interesante que algunos alumnos presenten a sus compañeros el resultado de sus ejercicios, ayudándose de la PDI.

Al final de esta sesión se realizará la evaluación de la actividad.

Atención a la diversidad

El plano cartesiano

17

Actividad de refuerzo

Puede ser beneficioso realizar representaciones gráficas con Graphmatica de puntos aislados y funciones sencillas de proporcionalidad directa, mostrando además su tabla de valores, todas a partir de problemas relacionados con la actividad cotidiana, por ejemplo del tipo: 1. Representa los siguientes pares de puntos en un sistema cartesiano: a) (-1,2) b) (3,7) c) (-4,-2) b) (5,-9)

2. Un comerciante vende la bolsa de palomitas a 0,5 €. Representa gráficamente la función que relaciona el número de bolsas con su precio. ¿Cuánto valen 3 bolsas de palomitas?

¿Y 10 bolsas?

Actividad de ampliación

Para el alumnado con una mayor capacidad de asimilación de los conceptos, se puede proponer un ejercicio que consista en realizar representaciones gráficas de funciones lineales y afines con Graphmatica, mostrando además su tabla de valores, todas estas representaciones gráficas se realizarán a partir de problemas relacionados con la actividad cotidiana, por ejemplo del tipo:

1. Un electricista cobra 8 € por cada hora de trabajo y 10 € por el desplazamiento.

Representa gráficamente esta función así como cuánto cobrará por una reparación que ha tardado 3 horas en hacerla.

2. Un frutero vende patatas a 0,6 € el kilo. Representa gráficamente la función que relaciona el peso de las patatas con su precio. ¿Cuánto valen 3 kg. de patatas? ¿Y 5 kg.

de patatas? ¿Y 10 kg. de patatas?

Gráficas de funciones

Actividad de refuerzo

Propón al alumnado que necesite realizar actividades de refuerzo resolver problemas de proporcionalidad directa con una expresión matemática sencilla. Para ello hay que utilizar básicamente las opciones de escala y encuadre. También se pueden buscar algunos valores particulares de cualquiera de las dos variables utilizando la herramienta Evaluar.

Actividad de ampliación

18

Para el alumnado que haya demostrado mayor nivel de asimilación, tanto de la materia curricular como en el manejo del recurso, se puede proponer un ejercicio en el que haya que realizar representaciones gráficas con Graphmatica de funciones de proporcionalidad inversa, y alguna función cuadrática para que obtengan de forma visual, primero, y con la herramienta Encontrar puntos críticos después, el máximo o mínimo y los puntos de intersección con los ejes.

19

TIC en el Área de Matemáticas

Interpretación de tablas y gráficas

con JClic

Ministerio de Educación. ITE |TIC en el Área de Matemáticas

Índice

Interpretación de tablas y gráficas con Jclic

1

Recurso TIC: JClic

2

Aplicaciones didácticas de JClic

3

Situación de aprendizaje

4

Uso de recursos didácticos JClic

4

Navegación por una batería de ejercicios

5

Selección de ejercicios de interpretación de gráficas y de tablas 6

Actividades

7

Glosario

8

Aplicación al aula

8

Planificación

9

Sugerencias metodológicas

10

Atención a la diversidad

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Ministerio de Educación. ITE |TIC en el Área de Matemáticas

Interpretación de tablas y gráficas con Jclic

Presentación

Una de las dificultades que presenta el proceso de enseñanza/aprendizaje de las matemáticas es manejar con soltura varios lenguajes: gráfico, tabular, algebraico, verbal, etc.

El objetivo de este módulo formativo es conseguir integrar las TIC de una manera eficiente en nuestra tarea docente, aprovechando todo el potencial que nos ofrecen para que nuestro alumnado alcance los objetivos de aprendizaje marcados. A través de esta propuesta didáctica verás ejemplos con contenidos curriculares concretos, donde aprenderás cómo aplicar el recurso TIC Jclic para diseñar ejercicios sencillos sobre conceptos elementales de probabilidad y representación de datos, mediante la resolución de problemas como estrategia metodológica.

Programación

Objetivos específicos

Aprender a utilizar el programa JClic y materiales de la zona Clic como recurso didáctico.

Aplicar recursos de JClic para facilitar el aprendizaje de conceptos elementales de representación de datos.

Saber localizar y descargar recursos de JClic para trabajar off-line.

Contenidos

Tipos de actividades con JClic.

Utilidades del programa JClic.

Recursos de apoyo del proyecto JClic para la enseñanza/aprendizaje de las matemáticas.

Criterios de evaluación

Identificar y explorar recursos JClic para el repaso de conceptos sobre la interpretación de datos y gráficos.

Descargar y trabajar off-line actividades JClic para el análisis de datos y representaciones.

Requisitos mínimos

Conocimientos básicos de equipos informáticos y sistema operativo.

Conocimientos básicos del procesador de textos.

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Conocimientos básicos de navegación por Internet.

Recurso TIC: JClic

JClic y la zona JClic

El programa JClic es una herramienta de generación de actividades docentes que se encuentra totalmente integrada en un entorno de Internet.

Se compone de cuatro aplicaciones distintas, cada una de las cuales tiene una finalidad diferente: Jclic player. Para visualizar y ejecutar las actividades. Permite reproducir aplicaciones Jclic de modo independiente al navegador web.

Jclic author. Permite diseñar actividades y modificar las ya existentes.

Jclic reports. Recoge datos e informes de las actividades realizadas por los alumnos. Registra, por tanto, un seguimiento de la actividad.

Jclic applet. Permite incrustar las actividades de Jclic en una página web.

Se puede aprovechar JClic para introducir las TIC como recurso de apoyo para el proceso de enseñanza/aprendizaje de las matemáticas, así como las restantes áreas de conocimiento.

La zona JClic es un entorno para la creación, realización y evaluación de diversos tipos de actividades: rompecabezas, asociaciones, ejercicios de texto, palabras cruzadas, etc. En la zona Clic se comparten materiales didácticos interactivos de diferentes tipos que te permiten plantear actividades educativas multimedia.

Las actividades JClic se suelen presentar empaquetadas en proyectos, formados por un conjunto de actividades y una o más secuencias, que indican el orden en que se han de mostrar.

En la propuesta didáctica que te presentamos se encuentran pautas para el uso de esta herramienta y su aplicación en el aula.

Pulsando sobre la imagen siguiente podrás ver un vídeo que muestra cómo instalar el programa JClic: A continuación dispones de un minitutorial de Jclic:

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Aplicaciones didácticas de JClic

Aplicaciones didácticas de JClic

Clic es una herramienta excelente para trabajar contenidos curriculares a través de la elaboración y resolución de actividades interactivas. Su utilización supone numerosas ventajas como las siguientes: El recurso se puede utilizar para plantear ejercicios de probabilidad y para el trabajo con funciones y gráficas en todos los niveles de enseñanza.

Permite graduar la dificultad de las actividades y adecuarlas a los contenidos de los diferentes cursos.

Permite organizar las actividades en materiales didácticos propios o modificar los disponibles con Jclic Author.

El proyecto contiene paquetes de propuestas de actividades y ejemplos de su uso en el aula de matemáticas.

Permite a los docentes desarrollar actividades de varios tipos en formato web e intercambiarlos con otros colegas.

Facilita que los contenidos docentes (problemas, situaciones, imágenes, ejemplos) sean más interactivos, atractivos y más próximos a la realidad del alumnado.

Permite que el alumnado sea también generador de actividades educativas.

Además permite:

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Situación de aprendizaje

Situación de aprendizaje

Esta propuesta didáctica se basa en el uso de materiales del proyecto JClic para apoyarse en actividades que faciliten el aprendizaje del tema de interpretación de tablas y gráficas.

Desde los primeros cursos de la ESO, y siguiendo con el Bachillerato, los temas de análisis de datos y de gráficas están presentes en todos los programas de matemáticas. Esta es una indicación de la importancia de estos temas, así como de las dificultades que suele presentar al alumnado.

En esta propuesta, dirigida al tercer curso de la ESO, se va a utilizar JClic. Este programa ha encontrado su aplicación más extensa en la enseñanza primaria y primeros ciclos de la ESO. La sencillez de manejo del programa te permitirá modificar proyectos existentes así como crear tus propios ejercicios para motivar más al alumnado que utilizando el libro de texto.

Uso de recursos didácticos JClic

Uso de recursos didácticos JClic

Los recursos didácticos se encuentran en la zona Clic. Si al entrar e intentar descargar algún ejercicio, el instalador no se pone en marcha automáticamente es probable que sea necesario comprobar la configuración del plug-in Java del ordenador, como se explica en esta página.

Los recursos didácticos que ofrece JClic se pueden utilizar de dos maneras distintas: En línea ( on line) con el ordenador conectado a Internet durante el tiempo que duren las actividades. Se denomina Visualizar las actividades en un applet. JClic trabaja con applets, objetos incrustados en una página web. Los proyectos que se ven de esta manera no quedan almacenados en el disco duro.

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En modo local ( off line). El ordenador no necesita estar conectado a Internet, pero se deben de instalar previamente las actividades en el ordenador. JClic tiene un asistente que permite descargar las actividades y guardarlas en la biblioteca de proyectos JClic del ordenador. La biblioteca se crea la primera vez que se pone en marcha JClic, o cuando se lleva a cabo la primera instalación de un proyecto.

Sobre la imagen tienes un vídeo en el que se muestra cómo localizar, abrir y descargar un archivo JClic: Actividad 1

Accede a la zona Clic y descarga al PC el proyecto Estadística en 3º de ESO. Comprueba que los puedes abrir desde el PC. Tras descargar el proyecto y abrir JClic Player, comprueba que también se ha generado una biblioteca donde aparece el siguiente ejercicio: Navegación por una batería de ejercicios

Navegación por una batería de ejercicios

Tal y como se ha mostrado, una vez abierto el proyecto y tras la página de título y autor, al pulsar la flecha azul se pueden ir viendo actividades sobre el tema de probabilidad, representación de datos, estadística elemental, y de interpretación de gráficas.

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Para resolver un ejercicio en ocasiones hay que dar el resultado numérico, escribiéndolo o marcando una de las opciones ofrecidas.

Las actividades desarrolladas con JClic se pueden controlar de dos maneras: con el cronómetro y con el contador de intentos de resolución. Ambos permiten hacer un seguimiento del trabajo empleado para solucionar los ejercicios. Además, al terminarlos se genera un informe de actividades.

Pincha sobre la imagen para ver un vídeo en el que se enseña el significado de los iconos de pantalla de un proyecto JClic:

Pincha sobre la imagen para ver un vídeo en el que se muestra cómo resolver actividades de tipo asociación simple en JClic:

Actividad 2

Contesta en tu PC, fuera de línea, los ejercicios de orden impar (pantalla 1ª, 3ª, etc.) del ejercicio

"Estadística de 3º de ESO", del anterior apartado, para comprobar el funcionamiento automatizado del informe de resultados.

Selección de ejercicios de interpretación de gráficas y de tablas Selección de ejercicios de interpretación de gráficas y de tablas 6

La posibilidad de utilizar actividades o secuencias de ejercicios tomados de la página de JClic no agota las ventajas de utilizar este recurso. Con JClic Author se pueden modificar ejercicios ya hechos para modificarlos y adaptarlos a distintas necesidades.

Con las actividades disponibles en la zona Clic, se pueden realizar las siguientes acciones: Modificar el orden en una secuencia de actividades.

Detener el proyecto al alcanzar un ejercicio determinado.

Escribir mensajes dirigidos al alumnado o modificar los ya existentes.

Modificar los textos de las actividades.

De esta manera, se pueden utilizar los ejercicios en distintos momentos del mismo curso o adaptarlos para niveles diferenciados de conocimiento sobre la interpretación de tablas gráficas.

En este enlace puedes descargar un archivo en el que, partiendo del proyecto Estadística en 3º de ESO, se han realizado modificaciones.

Sobre la imagen tienes un vídeo en el que se muestra el procedimiento de descarga y uso del programa JClic Author para modificar proyectos JClic:

Actividad 3

Practica, con ayuda de los procedimientos mostrados en el vídeo, cómo llevar el ejercicio de la primera pantalla del proyecto Estadística en 3º de ESO al final del proyecto, escribe algún texto nuevo, altera el orden de los mismos e introduce un STOP al final de los mismos. Guarda el proyecto y comprueba que funciona bien.

Actividades

Actividad 1

Accede a la zona Clic y descarga al PC el proyecto Estadística en 3º de ESO. Comprueba que los puedes abrir desde el PC. Tras descargar el proyecto y abrir JClic Player, comprueba que también se ha generado una biblioteca donde aparece el siguiente ejercicio: 7

Actividad 2

Contesta en tu PC, fuera de línea, los ejercicios de orden impar (pantalla 1ª, 3ª, etc.) del ejercicio

"Estadística de 3º de ESO" para comprobar el funcionamiento automatizado del informe de resultados.

Actividad 3

Practica, con ayuda de los procedimientos mostrados en el vídeo, cómo llevar el ejercicio de la primera pantalla del proyecto Estadística en 3º de ESO al final del proyecto, escribe algún texto nuevo, altera el orden de los mismos e introduce un STOP al final de los mismos. Guarda el proyecto y comprueba que funciona bien.

Glosario

JAVA

Lenguaje de programación para desarrollar programas que pueden funcionar en cualquier plataforma (computador).

Applet

Componente de software que funciona dentro de otro programa, por ejemplo un navegador de Internet.

Normalmente efectúa operaciones muy concretas, por eso es una aplicación (cita): -let, en inglés.

Aplicación al aula

Interpretación de tablas y gráficos

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Esta aplicación al aula se dirige al alumnado de 3º de ESO.

Programación dirigida al alumnado

Objetivos

Aprender a resolver ejercicios de JClic para interpretar contenidos de tablas sencillas, gráficas elementales y su relación con tablas de datos.

Saber interpretar tablas y gráficos.

Saber navegar por la web de JClic.

Conocer el manejo del programa JClic para resolución de actividades.

Contenidos

Interpretación con actividades JClic de información presentada en tablas o gráficos.

Análisis de diagramas de barras y de sectores con ejercicios JClic.

Interpretación de tablas y gráficos.

Criterios de evaluación

Resolver ejercicio de JClic.

Leer datos en tablas y gráficos.

Utilizar actividades de JClic para repasar los conceptos básicos de representación de datos.

Manejar el programa JClic para resolver actividades.

Materiales y recursos

Ordenadores con acceso a Internet.

Programa JClic.

Cañón de proyección.

Procesador de texto.

Temporalización

Dos sesiones en horario lectivo.

Planificación

Planificación: Interpretación de tablas y gráficos

La actividad se desarrollará siguiendo el siguiente orden:

1. Planteamiento de la actividad

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Explica al alumnado que el objetivo de la actividad es trabajar ejercicios de gráficas de manera conjunta utilizando el programa JClic. Previamente tienes que haber elegido los ejercicios con los que se va a trabajar para poder realizar un repaso de conceptos clave que van a aparecer, como los diagramas de sectores, histogramas, asociación de datos a gráficos, etc.

2. Organización del aula

Para realizar esta actividad, lo ideal sería que cada alumno o alumna dispusiera de un ordenador. Si no fuera posible por las características del aula de informática, el alumnado se puede organizar en parejas.

3. Desarrollo de la actividad

Mientras cada alumno, alumna o pareja esté preparado para el trabajo con su respectivo ordenador, debes presentar, con ayuda del cañón, cada actividad. Para ello explica cómo se abre, el contenido curricular al que se refiere y algún consejo para su resolución. El alumnado debe intentar resolverlo en cada ordenador y comunicar al aula cada posible respuesta, para tratar la resolución del problema de manera colectiva. Es importante que, con cada intervención, el alumnado fundamente bien su elección, argumentando verbalmente por qué una opción es correcta y otras no.

3. Presentación y evaluación de los resultados

La presentación de los resultados se va a hacer de forma progresiva, después de cada ejercicio. Al terminar la sesión, el alumnado debe copiar y pegar en un documento de procesador de textos la pantalla de Informe de la sesión de trabajo que genera JClic.

Se aplicarán los criterios de evaluación explicitados en la pantalla anterior, a lo que se añadirá aspectos como la participación y argumentación del alumnado en cada ejercicio, aspectos que te orientarán sobre el aprovechamiento del ejercicio y poder así completar la evaluación de la actividad.

Sugerencias metodológicas

Sugerencias metodológicas

La metodología utilizada en esta actividad es la de resolución de problemas Más información

Para su aplicación, te proponemos:

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Primera sesión

Debes iniciar la sesión presentando la actividad que se va a realizar. Para ello, y con ayuda del proyector, muestra el programa JClic y el entorno de trabajo que se va a emplear. Debes explicar cómo se trabaja con los proyectos.

Después, realiza un breve repaso curricular de los contenidos que se van a trabajar. Tienes que plantear los conceptos básicos que van a aparecer en los ejercicios para que el alumnado se centre en las actividades. Por ello, debes haber programado el número de ejercicios que se van a poder resolver en cada sesión.

Posteriormente, abre la primera actividad para que el alumnado aprenda el procedimiento. Después, resuélvela, con el mismo objetivo.

El desarrollo del resto de las actividades debe seguir un patrón similar: desde tu ordenador debes abrir una actividad, recordar los conceptos claves del contenido al que hace referencia y dejar que el alumnado comunique verbalmente cuáles son las posibilidades de resolución que elegirían.

El docente debe dejar un tiempo posterior a esta puesta en común para que cada alumno o alumna solucione este ejercicio del modo que crea conveniente. Las respuestas deben ser razonadas y fundamentadas teóricamente.

Segunda sesión

Durante la primera mitad de la sesión, se deben resolver los ejercicios que has reunido en el proyecto Estadística en 3º de ESO modificado, ajustado a los conocimientos curriculares de tu grupo.

Esta resolución de ejercicios se debe realizar siguiendo la dinámica de la sesión anterior.

En la segunda mitad de la sesión, debes guiar al alumnado para que te pueda facilita una copia del contenido de la pantalla Informe que genera JClic de la sesión de trabajo.

Después conviene que se pongan en común los problemas o dificultades que han surgido a lo largo de las dos sesiones, para optimizar en posteriores ocasiones la adaptación de la actividad.

Al finalizar la sesión debes realizar la evaluación de la actividad.

Atención a la diversidad

Actividad de refuerzo

Para atender al alumnado que presente más dificultades para asimilar conceptos curriculares o para manejar el programa JClic, puedes elaborar un proyecto con los tipos de ejercicios concretos que supongan una mayor dificultad a los alumnos, secuenciados adecuadamente.

Este recurso te permite realizar actividades de distinta gradación para atender a los estudiantes con necesidades específicas. Puedes pedir a estos alumnos y alumnas que te digan las dudas que se les plantean con aspectos curriculares concretos, para elaborar así un proyecto con las actividades totalmente adaptadas a sus necesidades específicas.

Actividad de ampliación

Se puede proponer que estos alumnos y alumnas lleven a cabo todas las actividades del proyecto de Estadística de 3º de ESO, con el apoyo del profesor cuando se trabajen conceptos que aún no se han manejado suficientemente en la clase.

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Enfrentarse a cuestiones nuevas, aun de temas poco conocidos, con ayuda de un recurso TIC, puede ser un reto motivador para el alumnado que registre mayor capacidad, tanto en lo referente a los conocimientos curriculares como al manejo de un recurso tecnológico.

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TIC en el Área de Matemáticas

Del lenguaje tabular al gráfico con

Descartes

Ministerio de Educación. ITE |TIC en el Área de Matemáticas

Índice

Del lenguaje tabular al gráfico

1

Recursos TIC: Descartes

2

Instalación de Descartes

3

Instalación de la máquina virtual de Java

3

Instalación del plug-in de Descartes

4

Instalación de materiales

5

Uso de los recursos de Descartes

6

Situación de aprendizaje

7

Unidades didácticas con Descartes

7

Navegación por una unidad didáctica

9

Ejercicios de la unidad didáctica de Descartes

10

Aplicación al aula

11

Planificación

11

Sugerencias metodológicas

13

Atención a la diversidad

14

Glosario

14

Ministerio de Educación. ITE |TIC en el Área de Matemáticas

Del lenguaje tabular al gráfico

Presentación

Una de las dificultades que presenta el proceso de enseñanza/aprendizaje de las matemáticas es manejar con soltura varios lenguajes: gráfico, tabular, algebraico, verbal, etc. En este módulo veremos como abordar este tipo de aprendizaje usando recursos TIC interactivos del proyecto Descartes, y al abordar este objetivo aprenderemos sobre este Proyecto, sus objetivos y sus recursos.

En este módulo formativo abordaremos la integración eficiente de las TIC en nuestra tarea docente, aprovechando todo el potencial que nos ofrecen, para que nuestro alumnado alcance los objetivos de aprendizaje marcados. A través de esta propuesta didáctica verás ejemplos con determinados contenidos curriculares que hemos seleccionado y con ellos aprenderás cómo aplicar los materiales del proyecto de Educación Matemática con TIC denominado Descartes. Éste te facilitará el desarrollo de temas completos del currículo de Primaria, ESO y Bachillerato.

Programación

Objetivos específicos

Conocer los recursos del proyecto Descartes, en particular los relativos al tratamiento de datos.

Realizar la instalación del plug-in de Descartes.

Saber cómo buscar materiales en Descartes.

Contenidos

El proyecto Descartes: navegación por las unidades didácticas.

Relación entre tablas de datos y gráficas a través de recursos de Descartes.

Criterios de evaluación

Buscar y descargar materiales del proyecto Descartes.

Analizar los materiales encontrados para el tratamiento de tablas de datos y gráficas.

Requisitos mínimos

Manejo básico del ordenador.

Navegación básica por Internet.

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Recursos TIC: Descartes

El Proyecto Descartes

Descartes es un proyecto del Instituto de Tecnologías Educativas (ITE) del Ministerio de Educación, cuyo objetivo es innovar en la enseñanza de las Matemáticas con TIC y para ello se cuenta con una herramienta que permite el desarrollo de recursos interactivos que sirven al docente de apoyo para sus clases. Esta colección de recursos cubren cualquier bloque y nivel del currículo. Su utilización supone numerosas ventajas:

Promueve el aprendizaje de las matemáticas significativamente.

Es controlable por el docente y es fácil de usar por el alumnado.

La amplitud de recursos disponibles permite profundizar y crear ambientes de aprendizaje motivadores.

Permite visualizar y trabajar conceptos y procedimientos matemáticos de forma activa.

Los cálculos y representaciones gráficas pueden contener parámetros modificables para hacer indagaciones, para experimentar.

Sus contenidos son interactivos, basados en la visualización y en la interacción con los elementos matemáticos.

Cubren todos los contenidos del currículo.

Son adaptables por cada docente a la diversidad del alumnado.

Permiten producir gran variedad de aplicaciones educativas.

Se contemplan tres niveles de utilización del proyecto:

El estudiante que interacciona con los ejercicios propuestos y se configura en actor principal de su aprendizaje.

El docente que analiza, selecciona, planifica e incluye en su programación las distintas unidades o escenas disponibles para la consecución de los objetivos educativos. Actúa como arquitecto de ese aprendizaje.

El docente que aborda el desarrollo de nuevas unidades didácticas y escenas.

La web de Descartes tiene cuarto apartados principales:

Información y ayuda: buscador, ayuda para instalar el proyecto y poder trabajar sin conexión, novedades.

Recursos donde se incluyen los materiales listos para su uso en el aula.

Formación en la herramienta y en su utilización en el aula.

Comunicación y otros enlaces.

En la propuesta didáctica que se incluye en este módulo se plantea en concreto una serie de actividades destinadas a conocer y a aplicar Descartes para el manejo de datos y de gráficas.

En la imagen puedes ver los cuatro apartados principales en la web Descartes pulsando sobre ella accederás a esa página inicial de la web de este proyecto.

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Instalación de Descartes

Instalación de Descartes

Para trabajar con el proyecto Descartes es necesario que el ordenador personal cuente con dos elementos auxiliares:

1. La máquina virtual de Java.

2. El visor de escenas o plug-in de Descartes.

Una vez que se dispone de estos elementos puedes trabajar bien manteniéndote conectado via Internet con la página del proyecto o bien optar por el trabajo en modo local (sin conexión) para lo que previamente hay que proceder a instalar los materiales seleccionados en el ordenador personal.

Instalación de la máquina virtual de Java

Instalación de la máquina virtual de Java

Descartes está desarrollado en el lenguaje de programación que se denomina Java, por tanto, para que puedan verse las escenas interactivas de Descartes, es necesario que en el ordenador del usuario esté instalada la denominada "máquina virtual de Java" (en inglés Java Virtual Machine, de acrónimo JVM) o el entorno de ejecución de Java ( Java Runtime Environment o JRE). Estos entornos permiten al usuario ejecutar programas en Java, pero obviamente sin necesidad de conocer el lenguaje Java.

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Puedes comprobar si tienes instalada la máquina virtual de Java en el test que se incluye a continuación: Si aparece arriba un texto animado (puede que tarde algunos segundos) tu sistema tiene el intérprete de ejecución Java y su navegador tiene habilitado Java. En este caso podrás ver correctamente las páginas de Descartes.

En caso contrario, verás a la izquierda que pone: "No interpreta Java", y puede deberse a dos motivos: 1. Tu navegador soporta Java, pero lo tiene deshabilitado. Para comprobarlo pulse aquí.

2. Tu sistema operativo no tiene instalado el intérprete de Java. Compruébalo pulsando aquí. En caso de no tenerlo puedes descargarlo pulsando el siguiente enlace.

Descargar la máquina virtual de Java

Cuando se accede a una escena de Descartes y no se tiene instalado Java, automáticamente, se indica esta necesidad y se enlaza con la página oficial de descargas de Java. En la escena de Descartes que se incluye en la siguiente opción del menú de esta página ("Visor de escenas") puedes comprobar como se te indica que es necesario tener instalado Java si no dispones de él.

Instalación del plug-in de Descartes

Instalación del plug-in de Descartes

Para poder ver y trabajar con la escenas interactivas de Descartes es necesario que tengas instalado Java en tu ordenador. En la siguiente escena se te advertirá de este hecho en caso de que no lo tengas instalado, en ese caso antes de continuar accede a la opción anterior del menú etiquetada como " Instalación de la máquina virtual de Java" e instala Java.

Si ves la escena animada, y sobre la que puedes interactuar, verás todas las escenas de Descartes.

Si no la ves sigue las instrucciones detalladas a continuación.

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java.

Si tienes instalado Java y no ves la escena interactiva anterior lo que debe de haberte aparecido es el aviso reflejado en la siguiente imagen:

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Ahí se indica que necesitas instalar Descartes Web 2.0, es decir, el "visor de escenas" o plug-in de Descartes. Al pulsar en el botón superior de ese aviso te guiará a la página de instalación del plug-in, que enlazamos también aquí. Seleccionando el sistema operativo de tu ordenador tendrás que seguir las instrucciones que allí se detallan.

Si encuentras alguna dificultad o problema puedes consultar con tu tutor o tutora del curso, o bien: Instalación de materiales

Instalación de materiales de Descartes

Si deseas tener instalados en tu ordenador personal todos o algunos de los materiales de Descartes puedes acceder a la web Descartes y seleccionar la opción de instalación.

En esa página, cuya cabecera se refleja en la imagen siguiente, se explica el proceso que haz de seguir.

Buscador e instalación a través del buscador

El procedimiento más cómodo y usual para localizar materiales en la web Descartes, y si se desea proceder a su descarga e instalación, es utilizar el buscador.

Puedes usar:

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a) La opción de búsqueda a través de Google que utiliza este motor pero restringido al sitio de la web Descartes.

b) La opción de búsqueda en la base de datos donde se te ofertan algunos atributos por los que puedes buscar como Sección, Autor o Curso pudiendo desplegar los valores admisibles y seleccionarlos. Pero también se pueden seleccionar atributos adicionales mediante la opción configurar búsqueda. Realizada una búsqueda tendrás la lista de materiales que cumplen esas condiciones y podrás seleccionar aquellos que deseas descargar e instalar.

La web Descartes al completo

Anualmente editamos un DVD con todos los contenidos de la web Descartes. Éste también se puede descargar en la opción " Solicitar CD-DVD"

El único inconveniente de esta opción radica en el hecho de ser, obviamente, la situación de la web en el momento de la edición del DVD y obviamente puede diferir bastante respecto a los contenidos de la web actual. Por ejemplo en el DVD de 2008, que figura en la imagen anterior, los materiales están sin el plug-in de Descartes (en ese momento no existía) mientras que ahora en la web todos están adaptados para que funcionen con él.

Uso de los recursos de Descartes

Uso de los recursos

Si has navegado un poco por la web del Proyecto Descartes habrás observado la enorme cantidad de recursos de los que disponemos. Estos recursos constituyen un recubrimiento curricular de todos los niveles de enseñanza no universitaria.

Uno de los procedimientos para utilizar estos recursos es ubicarse en el rol estricto del profesor que se marca como objetivo utilizar las TIC para promover una mejora en el aprendizaje de su alumnado sin abandonar su función de profesor y sin reconvertirse en un técnico-informático o programador. Para lograr este objetivo el papel del profesorado se centra en la realización de una búsqueda de recursos que 6

desarrollen los contenidos que desea o necesita impartir, abordar un análisis de los mismos y proceder a seleccionar aquellos que se ajusten mejor a las necesidades de su aula. En esta selección obviamente influirán los objetivos didácticos que se buscan conseguir y habrá cierta retroalimentación entre los recursos que pueden condicionar o influir la metodología o bien la preselección de un tipo de metodología será la que condicione la elección de los recursos.

En este módulo buscaremos mostar cómo se puede abordar este procedimiento.

Situación de aprendizaje

Situación de aprendizaje

Nos planteamos como profesores introducir a nuestro alumnado en el aprendizaje del lenguaje tabular y gráfico. La disposición de un conjunto de datos en forma de tabla, así como la conversión de los datos tabulados en una gráfica, son procesos diferentes que implican niveles de comprensión elevados. Lo mismo se podría decir de las operaciones inversas: interpretación de gráficos y extracción de valores a partir de los mismos.

Para ayudar a una mejor comprensión de estos procesos de aprendizaje en el alumnado de 3º ESO, se pueden utilizar ejercicios interactivos como los propuestos en el Proyecto Descartes. En esta propuesta vas a trabajar con una unidad didáctica, y a través de ella aprenderás a navegar de forma eficiente y a realizar los diversos tipos de actividades que contiene.

Pantalla de una unidad didáctica de Descartes

Unidades didácticas con Descartes

Unidades didácticas con Descartes

En Descartes hay una importante cantidad de información y propuestas organizadas en unidades didácticas (además hay otras secciones o agrupaciones de recursos). Para encontrar las que se adecuen al contenido deseado, se puede acudir a los listados organizados por contenido y cursos o utilizar el buscador temático.

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Una vez localizadas las unidades didácticas deseadas éstas se pueden utilizar de dos maneras distintas: Unidades en línea: para trabajar con las unidades didácticas en línea es imprescindible estar conectado a Internet mientras se esté trabajando con ellas.

Unidades instaladas: para trabajar sin estar conectado es necesario abordar un proceso previo de instalación y en este proceso sí hay que estar conectado a Internet para poder descargar la unidad didáctica. Una vez instalada en el ordenador, se puede trabajar con ella sin necesidad de disponer de una conexión a la Red.

Instalación de recursos de Descartes

El procedimiento para instalar recursos de Descartes está descrito en la página que se enlaza en la imagen: Actividad 1

Utiliza el buscador de Descartes o accede a la web por la sección de unidades didácticas para localizar la unidad de 3º ESO llamada Tablas y expresiones algebraicas. Sigue el procedimiento que se indica en las instrucciones de instalación para instalarla y visualízala en local.

Nota: Recuerda que la primera instalación que se realiza de algún elemento de la web de Descartes requerirá de cierto tiempo pues previamente se procederá a instalar todos los ficheros comunes de esta web.

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Navegación por una unidad didáctica

Navegación por una unidad didáctica

Para trabajar con la unidad didáctica de Tablas y expresiones algebraicas, debes tener clara cuál es la estructura base de todas las que hay en Descartes.

La pantalla de presentación muestra un resumen del contenido de la unidad y los objetivos que se pretende alcanzar con ellas.

En la parte izquierda de la pantalla hay un menú con los distintos apartados y si seleccionas alguno de ellos pasas a visualizarlo.

Una vez dentro de un apartado, la navegación suele ser secuencial pues comprende un desarrollo de contenidos que requiere esa transición.

Al final de cada pantalla hay unas flechas de avance y retroceso por las distintas pantallas y apartados de la unidad. Para volver al inicio, tan sólo hay que pulsar la flecha que apunta hacia arriba.

En cada página hay varias escenas o pizarras interactivas, sobre las que se puede interaccionar recibiendo uan respuesta acorde con la acción realizada, acompañadas por una serie de ejercicios relativos a los contenidos de cada una de ellas.

Pantalla de la unidad didáctica Tablas y expresiones algebraicas Actividad 2

Explora la unidad didáctica Tablas y expresiones algebraicas para hacerte una idea de la organización de los contenidos y localizar los que más te puedan interesar.

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Ejercicios de la unidad didáctica de Descartes

Ejercicios de la unidad didáctica de Descartes

En la unidad didáctica de Descartes elegida para estudiar el lenguaje tabular y gráfico existen numerosos ejercicios cuyo funcionamiento se adapta a patrones diferentes. En todos los casos, las actividades se presentan en applets con los que se puede interactuar.

En algunas de ellas, el ejercicio consiste en variar parámetros que ofrece Descartes para obtener distintas gráficas. Todo ello se hace con el fin de identificar una de las posibilidades con una tabla de datos.

En otras, se plantean problemas cuya resolución pasa por manipular el gráfico que se presenta introduciendo un parámetro determinado en la representación.

Por último, se presentan otras actividades en las que para resolver un problema es preciso manipular el gráfico que aparece en el applet directamente sobre el eje de coordenadas, sin necesidad de introducir ningún parámetro.

Haz clic sobre la imagen para ver vídeo sobre cómo resolver distintos ejercicios de una unidad didáctica en Descartes:

Actividad 3

Selecciona algunas actividades de cada tipo en la unidad didáctica con la que estás trabajando. Explora todas las opciones de modificación de los datos y las representaciones gráficas para aprender el procedimiento de resolución de cada una de ellas.

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Aplicación al aula

Lenguajes tabular y gráfico

Esta aplicación al aula se dirige al alumnado de 3º de ESO.

Programación dirigida al alumnado

Objetivos

Saber cómo interpretar y representar datos y gráficas con recursos de Descartes.

Conocer los diferentes tipos de representaciones gráficas.

Aprender a relacionar datos presentados verbalmente, en tablas y en gráficos.

Conocer la estructura de la web de Descartes y de sus unidades didácticas.

Contenidos

Tipos de datos y representaciones gráficas.

Resolución de ejercicios con Descartes.

Unidad didáctica de Tablas y Expresiones algebraicas de Descartes.

Criterios de evaluación

Resolver ejercicios de relación de datos gráficos y tabulares con Descartes.

Asociar tablas de datos y gráficas.

Razonar los procesos de resolución de ejercicios de representación gráfica de Descartes.

Materiales y recursos

Ordenador con conexión a Internet.

Proyector multimedia.

Temporalización

Dos sesiones en horario lectivo.

Planificación

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Planificación Lenguaje tabular y gráfico

La actividad se desarrollará siguiendo el siguiente orden:

1. Planteamiento de la actividad

Esta actividad tiene un doble objetivo. Por un lado, que el alumnado aprenda a manejar con confianza los tres lenguajes que se utilizan (verbal, tabular y grafico).

Por otro, que aprenda a relacionar los planteamientos gráficos con los numéricos.

Para ello, se va a trabajar con Descartes, como medio de ejercitación de estas vertientes.

2. Organización del aula

Durante la primera sesión se va a trabajar en común, y con un ordenador por cada alumno o alumna.

En la segunda, se van a formar grupos de cuatro miembros para que cada uno de ellos resuelva unos ejercicios distintos elegidos por ti.

3. Desarrollo de la actividad

En la primera sesión debes mostrar al alumnado la unidad didáctica de Descartes con la que se va a trabajar, así como los distintos tipos de ejercicios y cómo se resuelven. El trabajo durante toda la sesión se realizará en común.

En la segunda, deberás proporcionar a cada grupo dos ejercicios distintos de la unidad didáctica. Cada grupo deberá disponer de un ordenador y tendrá que trabajar localmente para resolver el ejercicio y mostrar el resultado de su trabajo proyectándolo en el aula.

3. Presentación y evaluación de los resultados

La presentación de los resultados se hará a lo largo de toda la actividad, pues debe participar el alumnado sugiriendo formas de resolver los ejercicios que se planteen.

En la segunda sesión, cada grupo debe exponer los resultados de su trabajo al aula.

Es importante que se justifique el resultado al que se ha llegado y, sin decir si su respuesta es correcta o incorrecta, razonar en común las posibilidades de resolución. Solamente al final de este proceso debes desvelar la solución correcta y justificarla si fuera necesario.

Para evaluar esta actividad, debes valorar en su justa medida la adquisición de conocimientos curriculares y los procedimientos realizados. Para ello, ten en cuenta aspectos como los siguientes:

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Correcta asimilación del manejo y variación de datos en los applets de la unidad didáctica.

Correcta expresión de los conceptos matemáticos.

Buena asociación entre tablas de datos, gráficas y enunciados de problemas.

Correcta justificación de los pasos dados en la resolución de los ejercicios.

Sugerencias metodológicas.

Sugerencias metodológicas

La metodología utilizada en esta actividad es la de resolución de problemas Más información

Para su aplicación, te proponemos:

En esta propuesta te planteamos el método de resolución de problemas para trabajar con el alumnado.

Primera sesión

Debes iniciar la sesión realizando un breve repaso del contenido curricular.

A continuación, y con ayuda del proyector, debes mostrar la página del Proyecto Descartes y la navegación por sus unidades didácticas.

Debes explicar cómo está organizada cada unidad tomando como ejemplo la que se va a trabajar: Tablas y expresiones algebraicas.

También debes mostrar brevemente cómo se presentan los ejercicios.

A continuación, se va a trabajar en común con los ejercicios que hayas seleccionado para ello (es conveniente que haya por lo menos uno de cada tipo según su modo de resolución).

Debes presentar cada uno y resolverlo con al participación del alumnado, que puede experimentar desde su ordenador. Los alumnos y alumnas deben proponer formas de resolverlo, pero justificando siempre sus acciones.

Cuando estimes que las distintas posibilidades están correctamente fundamentadas, debes comunicar la respuesta correcta y su fundamentación.

Segunda sesión

Antes de iniciar esta sesión debe estar en cada ordenador que se vaya a utilizar la unidad didáctica descargada.

También debes haber seleccionado por lo menos dos ejercicios para que trabaje cada grupo, y que sean distintos de un grupo a otro.

Agrupa al alumnado en grupos de cuatro integrantes e infórmales que cuentan en cada ordenador con la unidad didáctica descargada y los ejercicios que deben resolver.

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Durante la segunda mitad de la sesión cada grupo debe, con ayuda del proyector, presentar a sus compañeros los ejercicios en los que han trabajado y la solución a la que han llegado justificando sus respuestas.

Todo el alumnado debe participar en la propuesta de soluciones alternativas razonadas.

Sólo cuando termine este proceso debes comunicar la solución correcta proporcionando las aclaraciones que creas oportunas.

Al finalizar la sesión debes realizar la calificación de la actividad.

Atención a la diversidad

Actividad de refuerzo

Para el alumnado que haya presentado problemas al seguir la actividad, tanto en lo que se refiere al contenido con el que se ha trabajado como con el manejo del entorno de Descartes, proponemos una actividad basada en la resolución de esta aplicación que, aparte de limitar las posibilidades de respuesta, muestra directamente las representaciones gráficas, con lo que puede facilitar al alumnado el proceso de aprendizaje y de relación de las gráficas con sus expresiones matemáticas.

En ella, además, el manejo de la interfaz de Descartes es más sencillo, por lo que los alumnos y alumnas se relajarán considerablemente si en la actividad del aula el recurso les había supuesto algún problema.

Actividad de ampliación

Para el alumnado que haya demostrado facilidad en la asimilación de los conceptos y en el manejo del recurso utilizado, proponemos la realización de una actividad en la que tengan que resolver las actividad complementarias de la unidad didáctica elegida. Al ser de un nivel más avanzado en lo referente a la dificultad de los planteamientos, su resolución planteará a estos alumnos y alumnas un reto y una motivación.

Glosario

JAVA

Lenguaje de programación para desarrollar programas que pueden funcionar en cualquier plataforma (computador).

Applet

Componente de software que funciona dentro de otro programa, por ejemplo un navegador de Internet.

Normalmente efectúa operaciones muy concretas, por eso es una aplicación (cita): -let, en inglés.

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Escena interactiva

Cada uno de los applets desarollados con Descartes que permiten al usuario interactuar y recibir una respuesta contextualizada a lo que éste haya realizado.

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Document Outline

TIC matematicas ini

01 Ecuaciones_y_sistemas_con_WIRIS

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02 Estadistica_unidimensional_Internet_y_Hoja

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03 Figuras_geometricas_con_GeoGebra

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04 Funciones_y_graficas_con_Graphmatica_y_PDI

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05 Interpretacion_de_tablas_y_graficas_con_JClic

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06 Del_lenguaje_tabular_al_grafico_con_Descartes

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