Tarea

¿Qué es la geometría fractal?

Suele ser corriente pensar que los elementos que componen las matemáticas son conocidos desde hace mucho tiempo y sus aplicaciones están claras y fundamentadas, pero eso no es cierto. La matemática es una ciencia en constante evolución y suelen encontrarse elementos nuevos con relativa frecuencia.

Hoy vamos a hablar de una de las partes más recientes y que sin embargo está más de actualidad: la geometría fractal. El término fractal fue acuñado por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975. Se aplica a aquellos elementos que tienen la característica de no poder ser descritos mediante las estructuras geométricas tradicionales, que tienen una ley de formación recursiva y que son autosemejantes. Esto último quiere decir que si cogemos un trozo, se puede comprobar que es igual al total pero a diferente escala. Es decir, ambos son semejantes.

Coliflor. Imagen de ppmuñoz en Flickr. Licencia Creative Commons by-nc-sa

Lo realmente asombroso es que después de su creación, se descubrió que muchos elementos de la naturaleza se rigen por esa geometría fractal. Las nubes, las costas, los relámpagos, los cristales de hielo, el sistema circulatorio humano, los helechos, o la coliflor de la imagen son elementos fractales.

En esta tarea vamos a tratar con fractales geométricos. Es decir, aquellas figuras que se forman a partir de un elemento geométrico al que se le aplica una regla de formación que se repite indefinidamente , dando lugar al objeto fractal. No debe extrañarte este concepto pues ya en este curso has trabajado con uno de esos elementos. Recordarás que en la primera unidad te presentamos el Triángulo de Sierpinski, que es un ejemplo típico. Pero existen muchos más: el copo de nieve, las curvas de Hilbert, la curva de Koch, el conjunto de Cantor, la alfombra de Sierpinski, la esponja de Menger, etc...

La primera parte de esta tarea consistirá en que realices una presentación en PHOTOPEACH en la que expliques qué es un elemento fractal, des ejemplos de fractales en la naturaleza (incluyendo fotografías y explicaciones) y, por último, incluyas tres ejemplos de construcciones fractales, al menos una de ellas en tres dimensiones. ¿Cómo utilizar Photopeach?

Además, vamos a trabajar con el triángulo de Sierpinski que encontraste en la Unidad 1. Este objeto fractal tiene una propiedad muy curiosa, mientras que su área tiende a cero a medida que se avanza en la iteración, su perímetro tiende a infinito. Para comprobarlo, vas a escribir en tu cuaderno dos progresiones:

La primera corresponderá a su área, es decir, la parte rellena de cada figura. (Partiremos de que el área del triángulo inicial vale 1).

En el segundo caso, vamos a considerar que el perímetro del triángulo inicial vale 1. Queremos hallar la suma de los perímetros de todos los triángulos que forman la figura en cada una de las iteraciones.

Para ayudarte, vamos a reproducir las primeras fases de la iteración consistente en dividir el lado por la mitad y construir los triángulos sobre esos puntos medios. Básicamente, dividimos cada triángulo en cuatro partes iguales y desechamos la parte interior.