2.1. Lo general de la progresión aritmética.

Estantería repleta. Imagen de ppmuñoz en Flickr. Licencia Creative Commons by-nc-sa

En casa de mi tío hay varias estanterías de libros que están repletas. Los estantes de esas estanterías, están separados de forma periódica. La inferior está a 7 centímetros del suelo y las restantes a 34 centímetros cada una de la anterior. Si escribimos la altura a la que están los estantes, obtenemos la siguiente sucesión 7, 41, 75, 109, 143, 177, 211.

Las sucesiones que, como la anterior, tienen la característica de que cada término se obtiene del anterior sumándole una cantidad constante reciben el nombre de progresiones aritméticas.

Al valor constante que se suma a cada término para obtener el siguiente se le llama diferencia y suele representarse por la letra d. En el caso del ejemplo de la estantería la diferencia sería 34.

En general, en una progresión aritmética se cumple que para cualquier n a partir de 2.

Es muy fácil ver si una sucesión es una progresión aritmética. Basta restar pares de términos consecutivos;  si se obtiene siempre el mismo valor, tenemos una progresión aritmética.

Por ejemplo, la sucesión 6, 10, 14, 18, 22, ... es progresión aritmética ya que se cumple:

Una forma simple de verlo es hallar la diferencia entre los dos primeros términos y comprobar si sumando siempre ese valor se obtienen los demás.

Si consideramos la ley de formación de una progresión aritmética, nos podemos encontrar con lo siguiente:

Basta fijarse para encontrar rápidamente cuál es la ley de formación: cualquier término es igual al primero más la diferencia multiplicada por una unidad menos que el lugar que ocupa el término.

Es decir, el término general de una progresión aritmética, cuyo primer término es a₁ y su diferencia es d, sería:

A partir de lo anterior, si tenemos un par de términos cualesquiera y , si restamos ambos podemos encontrar la fórmula para hallar un término en función de otro cualquiera.

Gracias a las expresiones anteriores, conociendo un término y la diferencia o dos términos cualesquiera es posible hallar todos los términos de la progresión aritmética. Veámoslo en el siguiente ejercicio resuelto.