Distintas expresiones para la ecuación de una recta

Ya hemos visto que la expresión representa una función cuya gráfica es una línea recta. Esa ecuación, por lo tanto, representa la ecuación de una recta. Como veremos en este apartado, existen otras expresiones equivalentes. La expresión anterior recibe el nombre de forma explicita de la ecuación de la recta.

Conocemos ya varias formas de hallar esa ecuación. En particular, hemos visto que el método más simple puede aplicarse cuando conocemos la pendiente y la ordenada en el origen. En el caso de que conociéramos dos puntos por donde pasa, también hemos estudiado cómo hallar su pendiente. En concreto, si la recta pasa por los puntos y , la forma de hallar la pendiente es muy fácil; ya que basta dividir la variación que hay en la ordenada, al pasar de un punto a otro, entre la variación de la abscisa. Es decir, la pendiente sería:

Da lo mismo el orden en que se elijan los puntos, pero debe ser el mismo en los dos miembros de la fracción. En el siguiente ejercicio resuelto puedes ver cómo calcular la ecuación de la recta que pasa por dos puntos de diversas maneras.

Aprende a hacerlo

Halla la ecuación de la recta que pasa por los siguientes puntos:

a) (2,5), (0,1)

b) (-1,5), (3,1)

Retroalimentación

a) En el primer caso, los puntos que conocemos son (2,5) y (0,1). Como el segundo punto es el que pertenece al eje de ordenadas, su segunda componente es la ordenada en el origen. Por lo tanto, ya conocemos que n=1. Nos basta ahora hallar la pendiente para conocer la ecuación. Hallamos el cociente de las variaciones de sus componentes y obtenemos:

Por tanto, la ecuación de la recta es

Ten presente que siempre puedes comprobar fácilmente que lo obtenido es lo correcto. Como esa ecuación debe ser la de una recta que pasa por los dos puntos anteriores, se debe verificar si yo sustituyo los dos puntos en esa expresión. Vamos a comprobarlo.

b) En este segundo caso vamos a ver que hay dos métodos para encontrar la ecuación de la recta.

Primer método:

En primer lugar hallamos la pendiente de la recta, que será

. Por tanto, la ecuación que buscamos es

. Para encontrar la ordenada en el origen, basta con que sustituyamos cualquiera de los dos puntos en la ecuación y hallemos el valor buscado. Si sustituimos, por ejemplo, el segundo punto se verifica:

de donde obtenemos

Por tanto, la ecuación buscada es

Para asegurarte de que es correcta, basta que sustituyas el otro punto y lo compruebes.

que es cierto.

Segundo método:

Lo que hemos hecho para encontrar n lo podríamos haber hecho para hallar los dos parámetros. Basta sustituir los dos puntos en la ecuación y obtenemos el sistema siguiente:

que se convierte en el sistema y resolviéndolo se obtiene .

Se obtiene la misma ecuación .

Sin embargo, si conocemos dos puntos de la recta podemos hallar la ecuación de una forma directa. Para ello vamos a utilizar la semejanza de triángulos.

Vamos a suponer que tenemos dos puntos de la recta que son conocidos, y . Además vamos a considerar un punto genérico que representará a todos los puntos de la recta.

Si te fijas en la imagen, verás que hay una razón de semejanza entre los cambios para pasar del punto A al B y los cambios para pasar del punto A al P. Imponiendo que existe una proporción entre esas cantidades, llegamos a la expresión siguiente:

Esta expresión de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos suele recibir el nombre de forma continua de la ecuación de la recta. Si operamos en esa expresión y despejamos la incógnita, llegamos a la forma explícita que hemos visto hasta el momento.

Aprende a hacerlo

Queremos encontrar la recta que pasa por los puntos A(4,-2) y B(1,2).

Halla primero la forma continua de la recta y, a partir de ella, la forma explícita.

En la red

En el siguiente enlace puedes encontrar más ejemplos de cálculo de la expresión continua de una recta (para pasar a continuación a su forma explícita y hallar su pendiente y su ordenada en el origen).

Copia en tu cuaderno un ejemplo resuelto de función con pendiente positiva, otra negativa y uno de ecuación de una recta que no representa a una función.

En el ejercicio resuelto anterior habíamos llegado a una expresión de la forma

. Si multiplicamos por 3 estábamos en la expresión

Si en la expresión anterior, pasamos todos los sumandos al primer término, obtenemos una expresión equivalente a la primera que es

. Como podemos ver es una expresión en la que todos los términos están mezclados en el primer miembro, es decir, no hay ninguna variable despejada como ocurría en la forma explícita.

Se llama forma implícita o general de la recta a una expresión de la forma:

En la expresión anterior a, b y c son números cualesquiera.

En la red

Para practicar todas estas expresiones distintas de la ecuación de una recta, puedes ir al siguiente enlace. En él encontrarás ejercicios resueltos de tres tipos distintos:

Dado un punto y la pendiente se pide hallar la expresión general de la recta.
Dados dos puntos por donde pasa la recta, hallar su ecuación general.
Dada la ecuación general de una recta determinar su pendiente.

Copia en tu cuaderno al menos uno de cada tipo.

Tarea

¿Relacionamos?

Ahora vas a hacer matemáticas como si tu fueses el profesor. Vas a aplicar todo lo que aprendiste en la parte de álgebra para deducir lo siguiente: que relación existe entre la pendiente y la ordenada en el origen de la ecuación de una recta y las constantes a, b y c de su expresión general.

Es decir, debes partir de la expresión y, tras despejar el valor de y, escribir m y n en función de a, b y c.

En el ejercicio resuelto que has trabajado antes, has visto cómo era posible encontrar la ecuación de una recta a partir de dos puntos: hallando primero la pendiente y después, con uno cualquiera de los puntos, encontrando el valor de la ordenada en el origen.

Pero en el caso de que tengamos un punto por donde pasa la gráfica de la función y la pendiente, hay una forma más rápida de encontrar otra expresión de la ecuación.

El razonamiento es muy parecido a lo que hemos visto anteriormente. Supongamos que tenemos un punto Q(a,b) y un punto genérico de la recta P(x,y) y además sabemos que la pendiente es m. Como ya has aprendido antes, teniendo dos puntos podemos sacar fácilmente la pendiente, luego con P y Q podemos hallar la pendiente que será:

Si en la expresión anterior despejamos, obtenemos dos expresiones equivalentes que se conocen como la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta.