1.3. Monomios y polinomios

Cubo
Cubo. Imagen de Arturo Mandly en Flickr
Licencia Creative Commons by-nc-sa

Del cubo de la figura podemos expresar su volumen y su superficie total en función de la medida de sus aristas (x):

Volumen V(x) = x3

Superficie total S(x) = 6x2

 

Estas fórmulas forman parte de las expresiones algebraicas más sencillas llamadas monomios en las cuales el valor particular se obtiene cuando sustituimos la letra x por un valor concreto. Así por ejemplo si x = 4 cm, tendremos que V = 43 = 64 cm3 y S = 6·42 = 96 cm2.

A partir de estas expresiones, se pueden construir otras también sencillas llamadas polinomios y a partir de ellos a su vez otras más complejas.

Los monomios están formados por una parte numérica y por otra literal que puede contener una o varias letras que denominamos variables.

Icono de iDevice

Importante

Escribe en tu cuaderno las siguientes definiciones y ejemplos:

Monomios: son las expresiones más sencillas y están formadas por una parte numérica llamada coeficiente (cuando es 1 se suprime) y una parte literal formada por una letra elevada a un exponente natural (o el producto de varias de estas potencias). De esta forma, las dos expresiones anteriores se corresponden a monomios.

Así por ejemplo, en el monomio 15x2 , el coeficiente es 15 y la parte literal es x2 .

En el monomio x3, el coeficiente es 1 y la parte literal es x3 .

También se considerará como un monomio a aquel que sólo tiene parte numérica. De esta forma, 8 por ejemplo, sería un monomio. Cuando forma parte de otra expresión más compleja, como por ejemplo 2x + 8 , diremos que es el término independiente.

 

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal:

  • 8x2 , -5x2 , x2 son monomios semejantes (todos tienen la misma parte literal x2)
  • 3xy4, -2xy4 son monomios semejantes (todos tienen la misma parte literal xy4 )
  • x2  y 7x3 , no son semejantes ya que en el primero su parte literal es x2 y en el otro x3 (son diferentes).

 

Definiciones

     

  • Un polinomio es una "suma de monomios". Cada uno de los sumandos que aparecen se denomina término del polinomio y cada uno es un monomio. El grado del polinomio es el grado mayor de los monomios que lo forman.
Ejemplos:2x2-7x+1 (grado 2), 8x-5x4+3  (grado 4), 9 (polinomio de grado 0). Pero 3x2-5x-2 (no tiene grado ya que no es un polinomio, hay una potencia de x con exponente negativo).
  • El valor numérico de un polinomio para un determinado número, es el número que se obtiene sustituyendo x por dicho número. Ejemplo: si P(x) = 2x3-5x+4 , P(2) = 2·23-5·2+4 = 2·8-10+4 = 10.
  • El número a es raíz o cero de un polinomio P(x) si P(a)=0.

 

Ejemplos:

1. P(x) = x2-3x+2 tiene por raíces x=1 y x=2.

2. P(x) = x2-2x+1 = 0 tiene por única raíz x = 1, pues x2-2x+1 = (x-1)2 (en este caso se dice que la raíz es doble).

3. P(x)= x2+1 = 0 no tiene ninguna raíz real, pues el cuadrado de todo número real es positivo (así x2+1>0).

Icono de iDevice de pregunta Comprueba lo aprendido
Dado el polinomio P(x) = 2x5 - 3x4 - x-3 + 5 , su grado es:
    
a) 4
b) 5
c) Ninguna de las anteriores.

Icono de iDevice Aprende a hacerlo
Dados los polinomios Q(x) = x2 -4x + 1 y M(x) = -x2 + x + 3
Calcular el valor numérico del polinomio Q(x) para x = 2, x = -3 y x = 0
Calcular el valor numérico del polinomio M(x) para x = 3 , x = -2 y x=2/3
Comprueba lo aprendido
Si P(x) = -2x3 + 5x2 + x - 4 :
Su grado es 3.
El término independiente es -4.
El coeficiente del término de grado 2 es 5.
El coeficiente del término de mayor grado es -2.
El valor numérico del polinomio en x=2 es: P(2)=4.


Icono de iDevice de pregunta Comprueba lo aprendido
¿Cuáles de los siguientes pares de números son las raíces o ceros del polinomio p(x) = x2 - 2x?
    
a) 1 y 3
b) 0 y 2

Matemáticas 3º E.S.O. CeDeC