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Aquí tienes una aplicación geométrica del producto de dos polinomios:
(x +3)·(x+2) = x2 + 5x +6. ¿Lo recuerdas?
Viendo el área total del rectángulo,
(x+3)·(x+2)
observábamos que ésta era la misma que si se partía en trocitos y se sumaban éstos:
x2 + 2x + 3x +6
Pues bien esta igualdad algebraica es cierta sea cual sea el valor de x. Siempre es verdad.
Importante
Una Identidad es una igualdad algebraica, esto es, una igualdad en la que aparecen números y letras que siempre se cumple, sean cuales sean los valores de las incógnitas.
Aprende a hacerlo
Vamos a pensar en el siguiente ejemplo sencillo:
Centro comercial, Madrid. Imagen del ITE en el banco de imágenes del ITE Licencia Creative Commons by-nc-sa
Mi amiga Ana va a abrir una nueva tienda en un centro comercial y ha pedido presupuesto para las estanterías que piensa poner. Le han dado un presupuesto en el que cada estantería cuesta 68 €. En total, con los gastos de montaje de 140 € incluidos, la factura sería de 412 €.
Si traducimos a lenguaje algebraico, llamaríamos x al número de estanterías y tendríamos la igualdad:
68·x +140 = 412.
No hace falta pensar mucho para darse cuenta de que ahora no vale cualquier valor de x, para que la igualdad se cumpla; es más, sólo es cierta si x es 4. Es decir, la solución sería que va a poner 4 estanterías.
A estas igualdades, que a veces son ciertas y a veces no, se les llaman ecuaciones.
Importante
Una ecuación es una igualdad algebraica que es cierta para algunos valores de las incógnitas y falsa para otros.
Por tanto, la diferencia entre identidad y ecuación es que la identidad siempre es cierta, mientras que la ecuación no.
El valor o valores de la incógnita que hacen que la igualdad se cumpla se llaman solución de la ecuación.
Aprende a hacerlo
Vamos a ver un ejemplo en el que tenemos que distinguir entre una igualdad o una ecuación. Para ello tendremos que ver si la igualdad se cumple para cualquier valor de x o no.
Indica si la igualdad 2(x+4) + 3x = 5x + 8 es identidad o ecuación.
Le damos a x un valor cualquiera; por ejemplo x = 1 y lo sustituimos en la igualdad:
2(1+4) +3·1 = 5·1 +8
2·5 + 3 = 5 + 8
13 = 13. Se cumple.
Probamos con otro valor; por ejemplo x = 2 y repitiendo el procedimiento debemos llegar a que 18 = 18, que también es verdad. Así pues debemos sospechar que estamos ante una identidad.
Si operamos en el miembro de la izquierda vemos que nos sale:
2(x+4) + 3x = 2x + 8 + 3x = 5x + 8,
que es el miembro de la izquierda. Por tanto, la igualdad es cierta sea cual sea el valor de x. Por tanto, la igualdad es una identidad.
Indica si la igualdad 2(x+5) - 3x = x + 10 es una identidad o una ecuación.
Actuamos igual. Le damos un valor a una de las incógnitas, por ejemplo, x = 1
2(1+5) - 3·1 = 1+ 10
2·6 - 3 = 11
9 = 11
que en absoluto es verdad. Por tanto, como hemos encontrado un valor de x que no cumple la igualdad, estamos ante una ecuación.
Aprende a hacerlo
Vamos ahora a comprobar que la ecuación que pusimos al principio del apartado tiene como solución x = 4. Para ello simplemente tenemos que sustituir la x por el valor indicado y ver que la igualdad que resulte es cierta.
La ecuación era: 68·x +140 = 412.
Sustituyendo x por 4 tenemos,
68·4 + 140 = 412
272 + 140 = 412
412 = 412
Por tanto, como llegamos a una igualdad que es verdad, efectivamente x = 4 es solución de la ecuación.
En la red
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actividades en la escena que aparece en el siguiente enlace en el que hay
que comprobar si el valor indicado es solución o no de la ecuación.
Aprende a hacerlo
