Dos triángulos son semejantes si tienen los mismos ángulos.
Si hacemos coincidir los vértices de los dos triángulos que tengan el mismo ángulo, obtenemos lo que se llama posición en Thales de los triángulos semejantes.
Triángulos semejantes. Imagen de Arturo Mandly en Flickr
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Comprueba lo aprendido
Escribe en tu cuaderno las siguientes afirmaciones e indica si son verdad o no y por qué.
Todos los triángulos isósceles son semejantes entre sí.
Verdadero
Falso
Sugerencia
Ten en cuenta que no tienen por qué tener el mismo ángulo que es distinto.
¡Incorrecto!
Por ejemplo un triángulo isósceles puede tener por ángulos 20º, 20º y 140º , y otro 40º, 40º y 100º, y por tanto no son semejantes.
¡Correcto!
Por ejemplo un triángulo isósceles puede tener por ángulos 20º, 20º y 140º , y otro 40º, 40º y 100º, y por tanto no son semejantes.
Todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí.
Verdadero
Falso
Sugerencia
Observa cuanto miden sus ángulos.
¡Correcto!
En los triángulos equiláteros todos los ángulos son iguales a 60º y por tanto son semejantes todos entre sí.
¡Incorrecto!
En los triángulos equiláteros todos los ángulos son iguales a 60º y por tanto son semejantes todos entre sí.
Dos ángulos de un triángulo miden 60º y 40º; los de otro miden 80º y 40º. Por tanto, ambos triángulos son semejantes.
Verdadero
Falso
Sugerencia
Calcula cuanto mide el otro ángulo de cada triángulo (ten en cuenta que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180º)
¡Correcto!
El ángulo que falta en el primer triángulo es 180-60-40 = 80º, y por tanto sus ángulos son 40º, 60º y 80º
El ángulo que falta en el segundo triángulo es 180-80-40 = 60º, y por tanto sus ángulos son 40º, 60º y 80º
Por tanto los dos triángulos tienen los mismos ángulos y por ello son semejantes.
¡Incorrecto!
El ángulo que falta en el primer triángulo es 180-60-40 = 80º, y por tanto sus ángulos son 40º, 60º y 80º
El ángulo que falta en el segundo triángulo es 180-80-40 = 60º, y por tanto sus ángulos son 40º, 60º y 80º
Por tanto los dos triángulos tienen los mismos ángulos y por ello son semejantes.
Tarea
Pentágono regular. Imagen de Arturo Mandly en Flickr
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¡Pentágonos!
Dibuja en tu cuaderno un pentágono regular como el de la figura (no hace falta que sea totalmente exacto), del tamaño que tú prefieras y resuelve las siguientes cuestiones:
Determina cuánto mide el ángulo del vértice Edel pentágono.
Determina si el triángulo con vértices en los puntos A,By C es semejante al de vértices en los puntos A, By G.
Determina si el triángulo con vértices los puntos A,B y C es semejante al de vértices en los puntos B, CyG.
Ten en cuenta que la suma de los ángulos internos de un polígono den lados es igual a (n-2)·180º .
Por ejemplo la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es (4-2)·180 = 360º .
Importante
Como has visto cuando colocamos dos triángulos en posición de Thales, si prolongáramos todos los segmentos, obtendríamos precisamente las condiciones en las que se cumple el teorema de Thales: dos rectas cortadas a su vez por rectas paralelas entre sí.
Teorema de Thales en triángulos semejantes. Imagen de Arturo Mandly en Flickr
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Como consecuencia; podemos establecer que la proporción entre dos lados cualesquiera de uno de los dos triángulos, es igual a la misma proporción entre los lados correspondientes en el otro triángulo.
Esta propiedad nos va a permitir calcular un lado de un triángulo a partir de otro conocido y las medidas de los lados de otro triángulo semejante a él. En el siguiente apartado vamos a aplicarla a la resolución de problemas de cálculos de longitudes.
Comprueba lo aprendido
Triángulos semejantes. Imagen de Arturo Mandly en Flickr
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¿Cuál es la longitud del lado CC'?
Sugerencia
Aplica el teorema de Thales a los dos triángulos que son semejantes.
a) 2,15 m
b) 2,71 m
c) 2,51 m
d) 2,81 m
Repasa el procedimiento empleado.
Repasa el procedimiento empleado.
Correcto. Al ser los triángulos ABB' y ACC' semejantes, podemos aplicar el teorema de Thales y por tanto tendremos:
Tomando dos cifras decimales tenemos CC' = 2,51 m
Repasa el procedimiento empleado.
Comprueba lo aprendido
¿Cuánto mide el lado AC ?
Triángulos semejantes. Imagen de Arturo Mandly en Flickr.
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Sugerencia
Aplica el teorema de Thales a los dos triángulos semejantes.
a) 3,5 m
b) 2,5 m
c) 4,5 m
Correcto. Al ser los triángulos ABB' y ACC' semejantes, podemos aplicar el teorema de Thales y por tanto:
=> AC = 3,5 m
Incorrecto. Repasa los cálculos ¿no crees que es algo pequeño este resultado?
Incorrecto. Repasa los cálculos ¿no crees que es algo grande este resultado?
Comprueba lo aprendido
Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Copialas y razona la respuesta en tu cuaderno.
Si construimos un triángulo equilátero cuya altura sea el doble de la de
otro triángulo equilátero, su lado también medirá el doble.
Verdadero
Falso
Sugerencia
Puedes colocar ambos triángulos en posición de Thales.
¡Incorrecto!
Ya que los dos triángulos son semejantes, la proporción entre las alturas de los dos triángulos equiláteros será la misma que entre sus lados.
¡Correcto!
Ya que los dos triángulos son semejantes, la proporción entre las alturas de los dos triángulos equiláteros será la misma que entre sus lados.
Si reducimos a la mitad las diagonales de un rombo, su lado queda reducido a la cuarta parte.
Verdadero
Falso
Sugerencia
Divide el rombo en triángulos iguales.
¡Incorrecto!
El lado se reducirá también a la mitad ya que el rombo lo podemos dividir en cuatro triángulos iguales y si reducimos a la mitad dos de sus lados el otro también queda reducido en la misma proporción.
¡Correcto!
El lado se reducirá también a la mitad ya que el rombo lo podemos dividir en cuatro triángulos iguales y si reducimos a la mitad dos de sus lados el otro también queda reducido en la misma proporción.
A un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 cm y 4 cm los aumentamos 4 cm, por tanto ambos triángulos son semejantes entre sí.
Verdadero
Falso
Sugerencia
Calcula la proporción entre los catetos en ambos triángulos.
¡Incorrecto!
La proporción de los catetos del primer triángulo es 8/4 = 2
Los nuevos catetos medirán 8+4 = 12 cm y 4+4 = 8 cm, por tanto su proporción será 12/8 = 1,5 y por tanto las proporciones son diferentes y como consecuencia los triángulos no son semejantes entre sí.
¡Correcto!
La proporción de los catetos del primer triángulo es 8/4 = 2
Los nuevos catetos medirán 8+4 = 12 cm y 4+4 = 8 cm, por tanto su proporción será 12/8 = 1,5 y por tanto las proporciones son diferentes y como consecuencia los triángulos no son semejantes entre sí.
Curiosidad
Triángulo rectángulo dividido en dos. Imagen de Arturo Mandly en Flickr
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Si trazamos la altura de un triángulo rectángulo tomando como base a la hipotenusa, obtenemos otros dos triángulos rectángulos que a su vez son semejantes a él.
En la red
Si deseas ampliar información sobre los triángulos semejantes puedes visitar el siguiente enlace.
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Tarea
