En la resolución de problemas mediante el teorema de Thales deberás tener en cuenta las siguientes posibilidades:
Búsqueda de triángulos semejantes en la situación que se nos plantea y de
algunas medidas de sus lados.
Realizar descomposiciones como la que has visto en el pentágono o en el triángulo rectángulo del apartado anterior.
Realizar un dibujo esquemático del problema que
se plantea y asignar letras mayúsculas a los puntos y letras minúsculas
a los segmentos.
Anotar en el dibujo que hayas realizado los datos numéricos que se faciliten en el problema.
Aprende a hacerlo
La altura de un triángulo isósceles mide 3 cm y su base que es el lado desigual mide 2 cm. Calcula la altura que tendrá otro triángulo isósceles semejante al anterior si su base mide 12 cm.
Aprende a hacerlo
Triángulo rectángulo dividido en dos. Imagen de Arturo Mandly en Flickr
Licencia Creative Commons by-nc-sa
Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 cm y 4 cm, y su
hipotenusa 5 cm. Calcular la altura del triángulo si la base
correspondiente es la hipotenusa.
Dibuja el triángulo rectángulo con la hipotenusa como base.
Traza la altura y ten en cuenta que los dos triángulos que se forman junto con el original son semejantes.
Aplica el teorema de Thales para calcular la altura.
Realizamos el correspondiente dibujo con los datos que nos dan en el enunciado.
Triángulo rectángulo altura. Imagen de Arturo Mandly en Flickr
Licencia Creative Commons by-nc-sa
Al ser semejante el triángulo de vértices C, E y A al de vértices C, A y B, podemos aplicar el teorema de Thales.
La altura h se corresponderá con el cateto mayor, es decir, el cateto que mide 4 cm.
El lado que mide 3 cm se corresponderá con la hipotenusa que mide 5 cm.
Por tanto aplicando el teorema de Thales tendremos:
Solución: la altura del triángulo rectángulo mide 2,4 cm.
Como puedes observar en la escena, queremos construir una rampa que va a estar soportada por cuatro columnas de ladrillos. Tienes que determinar el número de ladrillos necesarios para construir las columnas. Puedes considerarlas como los lados de triángulos semejantes entre sí y aplicar directamente el teorema de Thales.
La base de un triángulo isósceles mide 6 cm y su altura 9 cm. Si aumentamos 2 cm su base de forma que los dos triángulos sigan siendo semejantes, su altura aumentará:
Sugerencia
Cálcula la nueva altura y determina cuánto ha aumentado.
a) 4 cm
b) 3 cm
c) 3,5 cm
Incorrecto. Repasa los cálculos.
Correcto. La base del nuevo triángulo medirá 6 + 2 = 8 cm y si llamamos H a su altura tendremos aplicando el teorema de Thales H/8 = 9/6 => H = 8·9/6 = 12 cm, por tanto la altura ha aumentado 12 - 9 = 3 cm.
Incorrecto. Repasa los cálculos.
Los lados de un triángulo rectángulo miden 3 m, 4 m y 5 m . Si aumentamos la hipotenusa 3 m de forma que los dos triángulos sean semejantes, sus catetos medirán:
Sugerencia
Realiza un dibujo de los dos triángulos y aplica el teorema de Thales.
a) 4,5 m y 5,5 m
b) 5,2 m y 6,5 m
b) 4,8 m y 6,4 m
Incorrecto. Repasa los cálculos.
Incorrecto. Repasa los cálculos.
Correcto. La hipotenusa del nuevo triángulo medirá 5 + 3 = 8 m .
Si llamamos y al cateto del nuevo triángulo que se corresponda al del otro que mide 3 m, tendremos y/8 = 3/5 => y = 8·3/5 = 4,8 m
Si llamamos x al cateto del nuevo triángulo que se corresponda al del otro que mide 4 m, tendremos x/8 = 4/5 => y = 8·4/5 = 6,4 m
Por tanto los catetos medirán 4,8 m y 6,4 m .
Si aumentamos 2 m los lados de un triángulo equilátero, entonces su altura:
Sugerencia
Compara la altura y el lado de un triángulo equilátero.
a) aumenta 2 m
b) disminuye menos de 2 m
c) aumenta más de 2 m
Incorrecto. Observa su altura y lado.
Correcto. La altura de un triángulo equilátero mide menos que el lado, por tanto la proporción entre la altura y el lado es menor que la unidad y la altura aumenta en menor proporción que el lado.
Incorrecto. Observa su altura y lado.
Tarea
¿Cuánto mide?
Estamos situados en un terreno llano en el que está colocado verticalmente un poste sujetado desde su extremo al suelo por un cordón.
Deseamos calcular la longitud del cordón y la altura del poste. Para ello, tenemos una cinta métrica. Es una situación que podemos resolver mediante la aplicación del teorema de Thales.
Realiza las siguientes cuestiones:
Elabora un procedimiento que nos permita calcular dichas longitudes basado en el teorema de Thales.
Realiza un gráfico (en la libreta o mediante gimp, openoffice draw, etc.) de la situación. Dibuja en él los triángulos que necesites añadir para resolver el problema y las medidas directas que creas son necesarias realizar.
Escribe las fórmulas que permitirían calcular dichas longitudes en función de las que hayas medido.
Realiza una entrada en el blog de aula en
la que debes insertar el gráfico que has realizado e indicar otra situación de la vida real que pueda resolverse de la misma forma. Colócale a la entrada dos etiquetas. La
primera será la inicial de tu nombre y tu primer apellido y la segunda será la palabra Thales.
Debes buscar la forma de tener dos triángulos semejantes, uno formado por el poste, suelo y el cordón y otro de tal forma que puedas medir sus lados.
Si has hecho el gráfico en la libreta puedes sacarle una foto y subirla al blog.
Aprende a hacerlo
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Tarea
