3.3. Teoremas basados en los triángulos rectángulos
Además del teorema de Pitágoras, existen tres teoremas
importantes sobre los triángulos rectángulos que permiten resolver
ciertos problemas geométricos de una forma rápida. Estos teoremas son
los siguientes:
Triángulo rectángulo proyecciones. Imagen de Arturo Mandly en Flickr
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Teorema del cateto: relaciona los catetos (b y c) con la hipotenusa (a) y las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (m yn).
Teorema de la altura: relaciona la altura (h) con las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (m y n)
Teorema sobre la altura y la hipotenusa: relaciona la hipotenusa (a) y altura (h) con los catetos (b yc).
La demostración de estos teoremas es sencilla; ya que se basan en
aplicar el teorema de Thales o el cálculo del área del triángulo
rectángulo de dos formas diferentes e igualar ambas expresiones.
Importante
Teorema del cateto
El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.
Como consecuencia tenemos las siguientes fórmulas:
b2 = m·a
c2 = n·a
siendo a = m + n y m la proyección del cateto b sobre la hipotenusa y n la del catetoc, tal y como se puede observar en el triángulo anterior.
La media proporcional (o geométrica) de dos números es la raíz cuadrada de su producto. Esto nos indica que; si extraemos la raíz cuadrada a cada término de las dos expresiones, tenemos que los catetos son la media proporcional de sus proyecciones y la hipotenusa.
Estas fórmulas nos permiten calcular los catetos, conocidas sus proyecciones o bien calcular un cateto conocida su proyección y la hipotenusa.
En la siguiente escena puedes comprobar cómo se cumple este teorema. Para ello mueve con el ratón el punto A y verás cómo mantienen el mismo valor el cuadrado del cateto y el producto de su proyección por la hipotenusa.
El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual al producto de las proyecciones de sus catetos sobre la hipotenusa.
Es decir que h2 = m·n
Este teorema nos permite calcular la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo si conocemos las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
También nos dice que la altura es la media proporcional (o geométrica) de las proyecciones.
En la siguiente escena puedes comprobar cómo se cumple este teorema. Para ello mueve con el ratón el punto A y verás cómo mantienen el mismo valor el cuadrado del cateto y el producto de su proyección por la hipotenusa.
En todo triángulo rectángulo el producto de la hipotenusa por la altura es igual al producto de los dos catetos.
Podemos expresarlo mediante la fórmula a·h = b·c y nos permitirá calcular la altura de un triángulo rectángulo en función de la hipotenusa y sus catetos.
Si dividimos ambos miembros de la fórmula anterior por 2, puedes observar que cada miembro representa el área del triángulo rectángulo.
Comprueba lo aprendido
Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo miden 2 m y 8 m ¿cuánto mide la altura sobre la hipotenusa?
Sugerencia
Es un caso sencillo de aplicación del teorema de la altura
a) 4 m
b) 10 m
Correcto. Aplicando el teorema de la altura h2 = 2·8=16, por tanto h = 4 m
Incorrecto. Repasa los cálculos y comprueba que estás aplicando el teorema adecuado.
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 m y la proyección de uno de sus catetos mide 4 m ¿cuánto mide dicho cateto?
Sugerencia
Mira cuál de los teoremas que hemos dado es el más adecuado.
a) 8 m
b) 3 m
c) 10 m
Incorrecto. Repasa los calculos
Incorrecto. El cateto no puede medir menos que su proyección.
Correcto. Aplicando el teorema del cateto b2=4·20=100, por tanto extrayendo la raíz cuadrada tenemos que b=10 m.
Los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 m y 3 m, por tanto su hipotenusa obtenida a partir del teorema de Pitágoras es 5 m ¿cuánto mide la altura sobre la hipotenusa?
Sugerencia
Aplica el último teorema que hemos desarrollado en este subapartado.
a) 6 m
b) 2,4 m
c) 2 m
Incorrecto. La altura no puede ser mayor que la hipotenusa.
Correcto. Aplicando el teorema que nos dice que a·h = b·c tenemos que 5h = 3·4 = 12, despejando h tenemos que h = 12/5 = 2,4 m
Incorrecto. Repasa los cálculos y aplica el teorema adecuado.
Comprueba lo aprendido
