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Puntos y rectas en los triángulos

En tu vida cotidiana estás acostumbrado a encontrarte con una gran variedad de objetos en los que aparecen distintos triángulos, pero probablemente no habrás observado las propiedades que tienen en cuanto a puntos, rectas y circunferencias que se pueden estudiar de ellos aparte de sus vértices y lados.

En este apartado vamos a tratar precisamente de esos lugares geométricos basados en el triángulo, llamados puntos y rectas notables.

Medianas y baricentro


Desplaza el deslizador para ver la construcción de las medianas y el baricentro. Observa la propiedad que se enuncia.

Antonio Monje. Medianas y baricentro. (CC by sa)


Al final puedes pinchar en cualquier vértice y modificar el triángulo

¿Está el baricentro o centro de gravedad siempre en el interior del triángulo?

¿Es posible determinar el baricentro trazando solamente una mediana? Explica el procedimiento.

Tarea

Con la siguiente tarea queremos comprobar que el baricentro es el centro de gravedad del triángulo. Para ello realiza las siguientes actividades:

  • Dibuja un triángulo que no sea pequeño en un folio, en una cartulina o en un trozo de cartón.

     

  • Recorta el triángulo.

     

  • Traza las medianas y marca con un punto que se note bien el baricentro.

     

  • Coloca el triángulo en distintas posiciones al lado del borde de la mesa y observa que sucede cuando el baricentro sobresale de la mesa o se encuentra encima de la mesa.

     

  • ¿Qué conclusión sacas?

     

  • Anota en tu cuaderno las conclusiones que has sacado.

     

  • Comprueba en el grupo de la clase  que en todos los triángulos que has realizado se cumplen las conclusiones que habéis obtenido.

     

Mediatrices y circuncentro

La mediatriz de un segmento, es la recta perpendicular al segmento en su punto medio.

Se llaman mediatrices del triángulo a las mediatrices de cada uno de sus lados.

El punto de corte de las tres mediatrices se denomina circuncentro.

Haz clic en las casillas una a una y en orden para observar cómo se determina el circuncentro de un triángulo.

Basado en Construcción del circuncentro de un triángulo Compartida por Elizabeth Geogebra. (CC by sa)

Responde a las siguientes preguntas modificando en la escena el triángulo.

Si el triángulo es acutángulo (todos sus ángulos menores de 90º ) ¿Dónde se encuentra el circuncentro?

¿Cuándo está en el exterior del triángulo?

Intenta, moviendo alguno de los vértices, que el triángulo sea rectángulo. ¿Dónde está en este caso el circuncentro?

Alturas y ortocentro

Reproduce la siguiente escena antes de contestar a las preguntas.

Antonio Monje. Alturas y ortocentro. (CC by sa)

La de un triángulo es el segmento que une un vértice con el lado opuesto o su prolongación formando ángulo .

Las tres alturas de un triángulo, o sus prolongaciones, se cortan en un punto que se llama .

En un triángulo acutángulo el ortocentro se encuentra del triángulo.

En un triángulo rectángulo el ortocentro se encuentra del triángulo

En un triángulo obtusángulo el ortocentro se encuentra del triángulo

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Curiosidad

El baricentro, ortocentro y circuncentro de un triángulo están siempre alineados. La línea que determinan se denomina recta de Euler.

Visita el siguiente enlace y observa el comportamiento de la recta. ¿De verdad están siempre alineados? Transforma el triángulo.

Bisectriz, incentro y circunferencia inscrita.


Reproduce la siguiente escena:

Antonio Monje. Bisectriz e incentro. (CC by sa)

¿Podrías asegurar que el incentro equidista de los tres lados? Razona tu respuesta

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