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Teorema de Pitágoras

Enlosado cuadrangular. Arturo Mandly . (CC by sa)

En alguna ocasión te has podido encontrar con un suelo enlosado de forma análoga a la de la parte derecha de la siguiente imagen.

Hemos sombreado algunas de las zonas del enlosado pudiendo observar un triángulo rectángulo y en cada uno de sus lados un cuadrado. Como se puede apreciar, el cuadrado mayor está formado por tantas piezas triangulares como los que hay entre los otros dos juntos. Esto nos lleva a la conclusión de que el área del cuadrado sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos.

Pues bien, esta propiedad no es exclusiva de los rectángulos isósceles, como los de este caso, sino que se puede generalizar a cualquier tipo de triángulo rectángulo. Esto es lo que constituye el "Teorema de Pitágoras".

Importante

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre sus catetos es igual al área del cuadrado construido sobre su hipotenusa.

 

 

Como consecuencia de que el área del cuadrado es igual al lado al cuadrado, tenemos que: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, que es otra de las formas en que se expresa dicho teorema.

Si llamamos por tanto b y c a la longitud de los catetos y a al de la hipotenusa, tenemos entonces la fórmula:

a2 = b2 + c2

Puedes ver una demostración del teorema denominada "demostración geométrica 26 de Loomis". (desplaza el deslizador)

Teorema de Pitágoras demostración geométrica 26 de Loomis. daniel.fernan. (CC by sa)

Importante

Como consecuencia del teorema de Pitágoras si conocemos dos lados de un triángulo rectángulo podemos calcular el otro.

Dado que a2 = b2 + c2 tendremos:   o 

Anota estas fórmulas y dibuja un triángulo rectángulo en tu cuaderno y memorízalas, pero sin olvidar como se obtienen.

Aprende a hacerlo

Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que sus catetos miden 3 m y 4 m.
Calcular lo que mide el cateto de un triángulo rectángulo sabiendo que el otro mide 8 m y la hipotenusa 10 m.

Comprueba lo aprendido

Pregunta

Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 cm y 8 cm , ¿cuál de las siguientes opciones nos da la medida de la hipotenusa?

Sugerencia

Aplica correctamente el teorema de Pitágoras.

Respuestas

a) 7 cm

b) 10 m

c) 10 cm

Retroalimentación

Pregunta

El ancho de un jardín de forma rectangular mide 40 m y su diagonal 60 m, ¿cuál de las siguientes opciones nos indica la medida del largo del jardín con dos decimales?

Sugerencia

Aplica correctamente el teorema de Pitágoras.

Respuestas

a) 44,72 m

b) 44,55 m

c) 30,45 m

Retroalimentación

Seguir practicando

Realiza los siguientes ejercicios en tu cuaderno. ¿Los has hecho todos bien? Comprueba las soluciones

Tarea

¡Buscamos rectángulos!

Busca dos rectángulos que aparezcan en situaciones reales y que estén a tu alcance, como mesas, bancos, pañuelos, folios, etc. y realiza las siguientes actividades.

  • Mide el lado y la diagonal de cada uno de los objetos que hayas elegido.

     

  • Realiza un dibujo de cada uno y anota las medidas que has realizado.

     

  • Calcula mediante el teorema de Pitágoras la diagonal de uno de ellos y compara con la medición que has realizado.

     

  • Calcula mediante el teorema de Pitágoras uno de los lados del otro rectángulo y compara con la medición que has realizado.

     

  • Indica las causas por las que se ha podido producir cierta diferencia entre los valores calculados y el de tus medidas.

     

  • Comenta con tus compañeros por qué se produce este tipo de errores.

     

Curiosidad

Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene que la diagonal d de un cuadrado en función de su lado l, se puede calcular por la fórmula:

 

 

Ten en cuenta que en el cuadrado tendremos d2 = l2 + l2 = 2 l2 . Sacando la raíz cuadrada obtenemos dicha fórmula.

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