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Teoremas basados en los triángulos rectángulos

Además del teorema de Pitágoras, existen tres teoremas importantes sobre los triángulos rectángulos que permiten resolver ciertos problemas geométricos de una forma rápida. Estos teoremas son los siguientes:

 

Triángulo rectángulo proyecciones. Imagen de Arturo Mandly en Flickr
Licencia Creative Commons by-nc-sa
  • Teorema del cateto: relaciona los catetos (b y c) con la hipotenusa (a) y las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (m y n).

     

  • Teorema de la altura: relaciona la altura (h) con las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (m y n

     

  • Teorema sobre la altura y la hipotenusa: relaciona la hipotenusa (a) y altura (h) con los catetos (b y c).

     

La demostración de estos teoremas es sencilla; ya que se basan en aplicar el teorema de Thales o el cálculo del área del triángulo rectángulo de dos formas diferentes e igualar ambas expresiones.

Importante

Teorema del cateto

El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

Como consecuencia tenemos las siguientes fórmulas:

  • b2 = m·a
  • c2 = n·a

siendo a = m + n  y  m la proyección del cateto b sobre la hipotenusa y n la del cateto c, tal y como se puede observar en el triángulo anterior.

La media proporcional (o geométrica) de dos números es la raíz cuadrada de su producto. Esto nos indica que; si extraemos la raíz cuadrada a cada término de las dos expresiones, tenemos que los catetos son la media proporcional de sus proyecciones y la hipotenusa.

Estas fórmulas nos permiten calcular los catetos, conocidas sus proyecciones o bien calcular un cateto conocida su proyección y la hipotenusa.

En el siguiente ejemplo puedes desplazar el vértice C y comprobar que se verifica la fórmula del teorema del cateto.

Teorema del Cateto. Basado en Demostración del Teorema de Pitágoras por semejanza Compartida por José Manuel Infante Infante  CC by sa

Importante

Teorema de la altura

El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual al producto de las proyecciones de sus catetos sobre la hipotenusa.

Es decir que h2 = m·n

Este teorema nos permite calcular la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo si conocemos las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

También nos dice que la altura es la media proporcional (o geométrica) de las proyecciones.

En el siguiente ejemplo puedes desplazar el vértice C y comprobar que se cumple el teorema de la altura.

Teorema de la altura. Basado en Demostración del Teorema de Pitágoras por semejanza Compartida por José Manuel Infante Infante  CC by sa

Importante

Teorema sobre la hipotenusa y la altura

En todo triángulo rectángulo el producto de la hipotenusa por la altura es igual al producto de los dos catetos.

Podemos expresarlo mediante la fórmula a·h = b·c y nos permitirá calcular la altura de un triángulo rectángulo en función de la hipotenusa y sus catetos.

Si dividimos ambos miembros de la fórmula anterior por 2, puedes observar que cada miembro representa el área del triángulo rectángulo.

Comprueba lo aprendido

Pregunta

Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo miden 2 m y 8 m ¿cuánto mide la altura sobre la hipotenusa?

Sugerencia

Es un caso sencillo de aplicación del teorema de la altura

Respuestas

a) 4 m

b) 10 m

Retroalimentación

Pregunta

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 m y la proyección de uno de sus catetos mide 4 m ¿cuánto mide dicho cateto?

Sugerencia

Mira cuál de los teoremas que hemos dado es el más adecuado.

Respuestas

a) 8 m

b) 3 m

c) 10 m

Retroalimentación

Pregunta

Los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 m y 3 m, por tanto su hipotenusa obtenida a partir del teorema de Pitágoras es 5 m ¿cuánto mide la altura sobre la hipotenusa?

Sugerencia

Aplica el último teorema que hemos desarrollado en este subapartado.

Respuestas

a) 6 m

b) 2,4 m

c) 2 m

Retroalimentación

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