Ya hemos visto cómo una fracción se puede expresar en forma decimal.

Ahora vamos a realizar el proceso inverso, es decir, vamos a obtener una fracción que se corresponda con un número expresado en forma decimal sea exacto, periódico puro o periódico mixto.

Número decimal periódico

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Un número decimal periódico es un número racional caracterizado por tener un período (cifras que se repiten indefinidamente) en su expansión decimal. Este período puede constar de una o varias cifras, como:

$\cfrac{1}{3} = 0,\boldsymbol{3}\,333\dots \; ; \quad \cfrac{1}{7} = 0,\boldsymbol{142857}\,142857\dots$

El período se puede expresar escribiendo un arco encima de las cifras repetidas, por ejemplo:

$\cfrac{2}{3} = 0, \overset{\frown}{6} \; ; \quad \cfrac{12}{11} = 1, \overset{\frown}{09}$

Tipos de números periódicos

Número periódico puro: Cuando inmediatamente después de la coma hay una o más cifras que se repiten.
- Ejemplo: $0,999\dots = 0,\bar{9}$
Número periódico mixto (también llamado semiperiódico): Cuando después de la coma hay una o más cifras que no se repiten, seguidas por una o más cifras que sí se repiten.
- Ejemplo: $1.91222\dots = 1.91 \bar{2}$ , en donde 91 es el anteperíodo.

Fracción correspondiente a un número periódico

Una fracción puede dar un número decimal periódico:

\begin{array}{l} \cfrac{1}{9} = 0,111111111111...\\ \cfrac{1}{7} = 0,142857142857...\\ \cfrac{1}{3} = 0,333333333333...\\ \cfrac{2}{27} = 0,074074074074...\\ \cfrac{7}{12} = 0,58333333333... \end{array}

Dado un número periódico en su representación decimal, es posible encontrar la fracción que lo produce (fracción generatriz). Ejemplo:

\begin{array}{rcll} x & = & 0,333333\ldots\\ 10x & = & 3,333333\ldots & \text{(multiplicando por 10 ambos miembros)} \\ 9x & = & 3 & \text{(restando segunda fila menos primera fila)} \\ \\ x & = & \cfrac{3}{9} = \cfrac{1}{3} & \text{(simplificando)} \end{array}

Otro ejemplo:

\begin{array}{rcl} x & = & \;\;\; 2,85636363\ldots \\ 100x & = & 285,63636363\ldots \\ 99x & = & 282,78 \end{array}

x = \frac{282,78}{99} = \frac{28278}{9900} = \frac{1571}{550}

El procedimiento anterior es general y permite enunciar las siguientes reglas:

Número periódico puro: La fracción de un número decimal periódico puro tiene:

numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.

denominador: tantos 9 como cifras tiene el período

Ejemplo:

5,34\ 34\dots = \frac{534-5}{99} = \frac{529}{99}

Número periódico mixto: La fracción de un número decimal periódico mixto tiene:

numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.

denominador: tantos 9 como cifras tiene el período, seguidos de tantos 0 como cifras tiene la parte no periódica.

Ejemplo:

12,345\ 67\ 67\ 67\dots = \frac{1234567-12345}{99000} = \frac{1222222}{99000} = \frac{611111}{49500}

Tipo de número periódico resultante

Dada una fracción irreducible (es decir, en la que numerador y denominador son primos entre sí, y por tanto no se puede simplificar más) es sencillo saber si corresponde a un número periódico puro, mixto, o es un decimal exacto, sin necesidad de hacer la división: