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Monomios y polinomios

Cubo
Cubo. Imagen de Arturo Mandly

Del cubo de la figura podemos expresar su volumen y su superficie total en función de la medida de sus aristas (x):

Volumen V(x) = x3

Superficie total S(x) = 6x2

 

Estas fórmulas forman parte de las expresiones algebraicas más sencillas llamadas monomios en las cuales el valor particular se obtiene cuando sustituimos la letra x por un valor concreto. Así por ejemplo si x = 4 cm, tendremos que V = 43 = 64 cm3 y S = 6·42 = 96 cm2.

A partir de estas expresiones, se pueden construir otras también sencillas llamadas polinomios y a partir de ellos a su vez otras más complejas.

Los monomios están formados por una parte numérica y por otra literal que puede contener una o varias letras que denominamos variables.

Importante

Escribe en tu cuaderno las siguientes definiciones y ejemplos:

Monomios: son las expresiones más sencillas y están formadas por una parte numérica llamada coeficiente (cuando es 1 se suprime) y una parte literal formada por una letra elevada a un exponente natural (o el producto de varias de estas potencias). De esta forma, las dos expresiones anteriores se corresponden a monomios.

Así por ejemplo, en el monomio 15x2 , el coeficiente es 15 y la parte literal es x2 .

En el monomio x3, el coeficiente es 1 y la parte literal es x3 .

También se considerará como un monomio a aquel que sólo tiene parte numérica. De esta forma, 8 por ejemplo, sería un monomio. Cuando forma parte de otra expresión más compleja, como por ejemplo 2x + 8 , diremos que es el término independiente.

 

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal:

  • 8x2 , -5x2 , x2 son monomios semejantes (todos tienen la misma parte literal x2)
  • 3xy4, -2xy4 son monomios semejantes (todos tienen la misma parte literal xy4 )
  • x2  y 7x3 , no son semejantes ya que en el primero su parte literal es x2 y en el otro x3 (son diferentes).

 Definiciones

  • Un polinomio es una "suma de monomios". Cada uno de los sumandos que aparecen se denomina término del polinomio y cada uno es un monomio. El grado del polinomio es el grado mayor de los monomios que lo forman.

Ejemplos:2x2-7x+1 (grado 2), 8x-5x4+3 (grado 4), 9 (polinomio de grado 0). Pero 3x2-5x-2 (no tiene grado ya que no es un polinomio, hay una potencia de x con exponente negativo).

  • El valor numérico de un polinomio para un determinado número, es el número que se obtiene sustituyendo x por dicho número. Ejemplo: si P(x) = 2x3-5x+4 , P(2) = 2·23-5·2+4 = 2·8-10+4 = 10.
  • El número a es raíz o cero de un polinomio P(x) si P(a)=0.

 

Ejemplos:

1. P(x) = x2-3x+2 tiene por raíces x=1 y x=2.

2. P(x) = x2-2x+1 = 0 tiene por única raíz x = 1, pues x2-2x+1 = (x-1)2 (en este caso se dice que la raíz es doble).

3. P(x)= x2+1 = 0 no tiene ninguna raíz real, pues el cuadrado de todo número real es positivo (así x2+1>0).

Simplificación de expresiones algebraicas, reduciendo términos semejantes.

Esta aplicación permite practicar la tarea de simplificar una expresión algebraica reduciendo términos semejantes.

gtinocoTérminos semejantes. (CC by sa)

El botón "Otro" genera un nuevo ejercicio.

La casilla de control "Ordena", ordena los términos de la expresión de acuerdo al exponente de la variable.

La casilla de control "Simplificación" muestra la reducción de términos semejantes.

Comprueba lo aprendido

Pregunta

Dado el polinomio P(x) = 2x5 - 3x4 - x-3 + 5 , su grado es:

Sugerencia

Repasa el concepto de grado de un polinomio antes de continuar.

Respuestas

a) 4

b) 5

c) Ninguna de las anteriores.

Retroalimentación

Aprende a hacerlo

Dados los polinomios Q(x) = x2 -4x + 1 y M(x) = -x2 + x + 3
Calcular el valor numérico del polinomio Q(x) para x = 2, x = -3 y x = 0
Calcular el valor numérico del polinomio M(x) para x = 3 , x = -2 y x=2/3

Comprueba lo aprendido

Pregunta

Si P(x) = -2x3 + 5x2 + x - 4 :

Respuestas

Su grado es 3.

El término independiente es -4.

El coeficiente del término de grado 2 es 5.

El coeficiente del término de mayor grado es -2.

El valor numérico del polinomio en x=2 es: P(2)=4.

Retroalimentación

Comprueba lo aprendido

Pregunta

¿Cuáles de los siguientes pares de números son las raíces o ceros del polinomio p(x) = x2 - 2x?

Sugerencia

Debes sustituir dichos números en el lugar de x y comprobar si el resultado una vez simplificado da cero

Respuestas

a) 1 y 3

b) 0 y 2

Retroalimentación

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